山东省菏泽市鄄城县第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(含解析)

高一数学试题
一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．设复数（i为虚数单位），的共轭复数是，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．或
3．在空间四边形的边上分别取四点，如果与交于点，那么（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．可能在直线上，也可能在直线上 D．既不在直线上，也不在直线上
4．已知非零向量满足，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
5．如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰仿为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是（ ）（单位：）
A． B． C． D．10
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数是关于的方程的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分，如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（键长）相等、碳原子到四个氢原子的距离（链长）均相等，任意两个键之间的夹角（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原于为顶点的四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、不定项选择题（本题共3小题，每题6分，共18分。每题有一个或两个选项符合题意，全部选对得6分，少选按比得分，多选错选不得分）
9．在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．著，则 D．，则
10．已知为坐标原点，如图四边形为平行四边形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上的投影的数量为
C． D．的重心坐标为
11．如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ）
A．正方体外接球的半径为
B．点在线段上运动，则四面体的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为
D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．那么当底面水平放 时，水面高为______．
13．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有______个．
14．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
四、解答题
15．（13分）已知关于的方程有实根，求这个实根及实数的值．
16．（15分）
一个长、宽、高分别是的水槽中装有的水，现放入一个直径头的木球．如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
请写出解答过程．
17．（15分）
如图所示，在正方体中分别为的中点，．求证：
（1）四点共面；
（2）若交平面于点，则三点共线．
18．（17分）记的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的周长范围．
19．（17分）已知正六边形的边长为1．
（1）当点满足______时，；
（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；
（3）若点是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围．
高一数学参考答案
1．C 2．A 3．A
4．解析：选A．因为，所以可设，则，
因为，所以，即．
则，故选A．
5．解析：选B．设塔高为米，根据题意可知在中，，
从而有，在中，，，，，
由正弦定理可得，，
可得，，
则，所以塔的高是．故选B．
6．解析：选C．直观图中，，
，
原来的平面图形是上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，
该平面图形的面积为．故选C．
7．解析：选A．是关于的方程的一个根，
，化简得，
解得
，
如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和，
则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为，
若，则，
点的集合图形是以为圆心，半径为1的圆，
围成的面积为．
8．解析：选A．说，则由余弦定理知：，解得，
故该正四面体的棱长均为．由正弦定理可知：弦正四面体底画外接圆的半径，高．故该正四面体的体积为．故选A．
9．解析，连ABD，对于A，若，则，
∴，故该选项是正确的；
对于B，若，则，故该选项是正确的；
对于C，若，设，
，故该选项错误；
对于D，，则，，，，故该选项正确．故选ABD．
10．解析：选ABC．设点的坐标为，，
四边形为平行四边形，，
解得即点坐标为，
，选项A正确；
设与的夹角为，根据投影定义可知，在上的投影为，选项B正确；
在中，，
设与的夹角为，所以，
，选项C正确；
根据三角形重心公式可得，的重心坐标为，即，选项D错误．
11．解析：选BC．对于A，由正方体的性质可知正方体外接球的交经为其体对离线，故正方体外核球的半径为，故A错误；
对于B，点P在线段AB上运动，则四面体的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确；
对于C，与所有12条棱都相切的球的直径等于面的对角线，则，则球的体积，故C正确；
对于D，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为r，可知线役AM长度的最小值是A到球心的距离减去内切球的半径，∵正方体的棱长为1，
∴，A到球心的距离为，所以AM的最小值是，故D错误．故选BC．
12．当三棱柱形容器的侧面水平放置时，液面部分是四棱柱形，其高为原三棱柱形容器的高，侧棱．设当底面ABC水平放置时，液面高为h．由已知条件知，四棱柱底面面积与原三棱柱底面面积之比是3∶4．由两种状态下液体体积相等，可得，所以．因此，当底面ABC水平放置时，水面高为6．
13．解析：正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面，又因为每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面，每个面上的两条相交的对角线确定6个平面，则共有个平面．
答案：20
14．解析：将该四棱锥沿剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短，
即蚂蚁爬行的最短的路线为，由．
得，从而最短距离为．
15．解 设是方程的实根，代入方程并整理得．
由复数相等的条件得，解得或
即方程的实根为或，相应的的值为或．
16．根据长方体的体积公式可得水槽的容积，∵木球的三分之二在水中，∴木球在水中部分的体积．
又∵水槽中有水，
∴水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和，．
故水不会从水槽溢出。
17．证明：（1）连接（图略），
分别为的中点，．
在正方体中，易知可确定一个平面，即四点共面．
（2）正方体中，设确定的平面为，平面为．
，又，
点在平面与的交线上，同理，
点在平面与的交线上，．
又，
，故三点共线．
18．解：（1）在中，由射影定理得，
则题述条件化简为，由余弦定理得，
可得，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
则的周长，
因为，则，
因为为锐角三角形，，
则得，
故．
19．解：（1）建系如图，
则，
因为，设，所以，，
又因为，所以，，可得，又因为，所以，直线，所以，为直线上的任意一点即可（答案不唯一）．
（2）建系如图，
则，
设，
由可得：，
所以解得
所以．
（3）设，因为点是正六边形内或其边界上的一点，则，则．