广东省广东地区（深圳外国语、东莞东华高级中学、阳江一中、河源中学）2023-2024学年高二下学期4月阶段性考试数学试题（含解析）

广东地区（深圳外国语、东莞东华高级中学、阳江一中、河源中学）2023-2024学年高二下学期4月阶段性考试
数学试题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.现有两种不同颜色的颜料要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两部分着不同颜色的不同方法有（ ）
A.8 B.4 C.3 D.2
2.设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.为三角形边上的高，在空间直角坐标系中，（ ）
A. B. C. D.
4.若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（ ）
A. B. C. D.
6.若-2是函数的极小值点，则实数（ ）
A.-2 B.-6 C.-2或-6 D.-4
7.已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（ ）
A.若关于中心对称，则关于对称
B.若关于对称，则有对称中心
C.若为周期函数，则为周期函数
D.若为奇函数，为偶函数，则周期为2
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各式中，等于的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则关于函数有关极值的结论错误的是（ ）
A.有极小值没有极大值
B.有极大值没有极小值
C.至少有两个极小值和一个极大值
D.只有一个极小值和两个极大值
11.如图，幂函数图象下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）
A.
B.记为的前项和，则为
C.记为数列的前项和，则
D.数列的通项公式为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.7名学生按要求排成一排，甲乙二人不站在两端，有多少种不同排法__________.（用数字作答）.
13.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”.若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是__________.
14.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.线段的中点为上任意一点都满足；则抛物线的标准方程为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）若求函数在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
16.（15分）记为等差数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17.（15分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面为的中点，且.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值；
18.（17分）已知是圆上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，动点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上任一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两点，求面积的最大值.
19.（17分）已知函数.
（1）设，请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）当时，若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
数学参考答案及评分意见
1.D 【解析】①有2种，②有1种，③有1种，由分步乘法计数原理共有种不同方法，故选D.
2.A 【解析】由的方程为，得的渐近线方程为；由的渐近线方程为，得的方程为.即“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分不必要条件.故选.
3.B 【解析】.故选B.
4.A 【解析】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，所以实数的取值范围为，故选A.
5.B 【解析】对于，由题意得，新数列的首项为2，公差，故，故选B.
6.B 【解析】由函数，可得，因为-2是函数的极小值点，可得，解得或，当时，令，解得或；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极大值，不符合题意；当时，令，可得或；令，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极小值，-2是极小值点，综上可得，.故选B.
7.B 【解析】依题意，椭圆的左焦点为，过作轴垂线，垂足为，由，
得，则，设，则有，由，两式相减得，则有，所以.故选B.
8.D 【解析】对于，若关于中心对称，则，两边求导可得0，即，所以关于对称，故A正确；对于，若关于对称，则，令，则，所以（常数），即有对称中心，故B正确；对于为周期函数，则，两边求导可得，即，故C正确；对于D，因为为奇函数，所以，即①，又为偶函数，故，可得，即②，由①②得到，，故周期为4，D错误.故选D.
9.CD 【解析】对选项，故A错误.对选项，故B错误.对选项C，，故C正确.对选项D，，故D正确.故选CD.
10.ABD 【解析】如图，由图象可知，记直线与曲线切点横坐标，，将直线向下平移到与曲线相切，设切点横坐标为，当时，单调递增，所以有且.对于，有，所以在时单调递减；当时，单调递减，所以有且.有，所以在时单调递增；所以是的极小值点.同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点.故选ABD.
11.ABD 【解析】选项，由题意知为边长为的等边三角形，如图，
则，因为点在曲线上，可得，解得，又由题意知为边长为的等边三角形，则，则，可得，解得，故A正确；选项B，由为边长为的等边三角形，可得，故B正确；选项C，由点在曲线上，则，整理得，由，可知，故C错误；选项D，当时，可得，所以，可化为，因为，则，所以，，又因为，即数列是以为首项，为公差的等差数列，所以数列的通项公式为，故D正确.故选ABD.
12.2400 【解析】先从除甲乙外的5人中选2人站在两边，有种方法，然后剩下的5人全排列，有种方法，所以由分步乘法原理可知共有种方法.故答案为2400.
13. 【解析】对于函数，令，则，因为在区间上单调递减，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在区间上单调递增，所以恒成立，即恒成立，由得只需，综合得.故答案为.
14. 【解析】设.因为线段的中点为，所以.因为点在抛物线上，所以，两式相减得直线的斜率.又因为，所以，解得或.过点作准线的垂线为垂足，则，所以，所以，即，所以.故答案为.
15.解：（1）由得，求导得，
所以，
故函数在处的切线方程为：即.
（2）由求导得，
若，则恒成立，即在上单调递增；
若，则，
所以时，时，，
即在上单调递减，在上单调递增.
16.解：（1）由等差数列的前项和，
可得，可得，所以公差，
所以的首项为2，公差为1，可得通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
则.
17.解：（1）连接，
设点到平面的距离为，
因为，又因为平面，
所以.
因为，底面是矩形，
所以，所以，
则.
所以即，即得.
（2）平面，底面为矩形，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴.如图建系，，
平面一个法向量为，设平面的法向量为，
，
可得即所以.
设二面角的平面角为.
，二面角的余弦值为.
18.解：（1）因为线段的垂直平分线交线段于点，则，
所以，，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，
所以曲线的方程为.
（2）设，
代入得，
所以曲线的方程为.
由知，同理，
，
设
①当直线有斜率时，设，
代入椭圆的方程整理得：，
，
将代入椭圆的方程得：，
与椭圆有公共点，
由得：，
令，则，
②当斜率不存在时，设，代入椭圆的方程得：，
.
综合①②得面积的最大值为，
所以面积的最大值为.
19.解：（1）由，
则，
令，
则，
当，即时，，此时单调递减；
当，即时，，此时单调递增，
所以，
所以对任意，都有，
所以在上单调递增，即不存在极值.
（2）当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，即，
故的取值范围为.