7.1.2复数的几何意义 学案

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7.1.2复数的几何意义
班级 姓名
学习目标
1．可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、复数的几何意义1．复平面(1)复平面：建立了直角坐标系来表示 的平面叫做 ；(2)实轴：坐标系中的x轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 ．2．复数的几何意义(1)复数集C中的数与复平面内的点 ：复数z＝a＋bi复平面内的点 ；(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量 ：复数z＝a＋bi平面向量 ．【即时训练1】(1)复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(　　)A．(3，－5)　　 　B．(3,5) C．(3，－5i) D．(3,5i)(2)若＝(0，－3)，则对应的复数(　　)A．等于0 B．等于－3 C．在虚轴上D．既不在实轴上，也不在虚轴上
阅读教材，完成右边的内容 二、复数的模1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作_______或_______(a，b∈R)．2．求法：|z|＝|a＋bi|＝_______，其中a，b∈R．3．模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离．【即时训练2】(1)已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．(2)若复数z满足条件|z|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为_______．若复数z满足条件1<|z|<2，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为_______．
阅读教材，完成右边的内容 三、共轭复数一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ．复数z的共轭复数用 ____表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ ．【即时训练3】复数z＝－3－2i的共轭复数＝________，||＝________．
复数与复平面内的点的关系 【例1】实数m取什么值时,复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：(1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y＝x上．【变式1】在复平面内，复数z＝5a＋(6－a2)i，表示其共轭复数的点在第三象限，则实数a满足________．
复数与复平面内向量的对应 【例2】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．(1)求向量＋和对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．【变式2】(1)在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为________．(2)在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是________．
复数的模及其应用 【例3】(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________．(2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________．
课后作业
一、基础训练题
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　)
A．z1＞z2 B．z1＜z2 C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
3．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i，则的模||等于(　　)
A． B．2 C．4 D．
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝(　　)
A．－＋i B．－i C．－－i D．＋i
6．(多选题)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　)
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
7．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________．
8．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________．
10．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于
(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．
11．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判定△ABC的形状．
二、综合训练题
12．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．　　　 D．3
13．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
三、能力提升题
14．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|＜．
7.1.2复数的几何意义
参考答案
1、【答案】C　
【解析】z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．
2、【答案】D　
【解析】z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|．
3、【答案】D　
【解析】由于OABC是平行四边形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝．
4、【答案】D　
【解析】∵0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
5、【答案】D　
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，
得解得即z＝＋i．
6、【答案】AC　
【解析】|z|＝＝，A正确；
复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；
z的共轭复数为－1＋2i，C正确；
复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．
7、【答案】12　
【解析】由条件，知所以m＝3，
因此z＝12i，故|z|＝12．
8、【答案】(3，＋∞)　
【解析】∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x＞3．
9、【答案】±i　
【解析】因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝．
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i．
10、【解】∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数，
∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m，4－m2)．
(1)复数z对应的点位于虚轴上，则解得m＝1.
(2)复数z对应的点位于第二象限，则∴故1＜m＜2.
(3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，
解得m＝0或m＝3.
11、【解】(1)由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||＝，||＝2，||＝，所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
12、【答案】D　
【解析】∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
而|z－i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，
∴|z－i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D．
13、【答案】B
【解析】由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的坐标为
(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈，
所以cos θ＋sin θ＝sin<0，sin θ－cos θ＝sin(θ－)>0，
所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
14、【解】(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，
则
(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)由|z2|＜，得＜，
即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ＜，
所以kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．
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