第2课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
函数y＝f(g(x))的单调性
当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数y＝f(g(x))是增加的，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))是减少的，简称为同增异减．
与指数函数有关函数的定义域和值域
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝5.
[解] (1)要使函数y＝2有意义，只需x－4≠0，
即x≠4.
所以函数y＝2的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
因为x≠4，≠0，所以2≠1.
所以函数y＝2的值域为(0，1)∪(1，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为R.
因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以≥＝.
所以函数y＝的值域为.
(3)要使函数y＝5有意义，只需3x－2≥0，即x≥.
所以函数y＝5的定义域为.
令t＝，则t≥0，所以5t≥50＝1，
所以函数y＝5的值域为[1，＋∞)．
方法归纳
(1)y＝af(x)(a>0且a≠1)的定义域由f(x)有意义的范围确定；
(2)y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域一般用换元法．
先求出u＝f(x)的值域，再由y＝au的单调性确求y＝af(x)的值域．
1．(1)求y＝函数的定义域、值域．
(2)已知函数f(x)＝的最大值为3，求实数a的值．
(3)已知函数f(x)＝－9x＋3x＋1＋4，x∈[0，1]，求函数f(x)的值域．
解：(1)要使函数y＝有意义，必须1－6x2＋x－2≥0，即6x2＋x－2≤1＝60.
因为6>1，所以函数y＝6x在R上为增函数．
所以x2＋x－2≤0，(x＋2)(x－1)≤0解得－2≤x≤1.
所以所求函数的定义域为[－2，1]．
因为x2＋x－2＝－≥－，所以6x2＋x－2≥6－，所以－6x2＋x－2≤－6－，所以0≤1－6x2＋x－2≤1－6－＝1－.所以0≤≤，即0≤y≤.
所以函数的值域为.
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有，解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)f(x)＝－9x＋3x＋1＋4＝－(3x)2＋3·3x＋4，
令t＝3x，因为x∈[0，1]，所以t∈[1，3]，则y＝－t2＋3t＋4，
因为函数y＝－t2＋3t＋4的对称轴是t＝，
所以y∈[4，]，
即函数f(x)的值域为[4，]．
指数函数图像的对称变换及应用
画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
[解] 函数y＝|3x－1|的图像如图(图中实线部分)．
由图可知，当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程|3x－1|＝k无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解；
当0
方法归纳
图像的对称变换
(1)y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．
(2)y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称．
(3)y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
(4)y＝|f(x)|的图像是保留y ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(x)的图像中位于x轴上半平面内的图像及与x轴的交点，将y＝f(x)的图像中位于x轴下半平面内的图像以x轴为对称轴翻折到上半面中去而得到．
(5)y＝f(|x|)的图像 ( http: / / www.21cnjy.com )是保留y＝f(x)的图像中位于y轴右半平面内的图像及与y轴的交点，去掉y轴左半平面内的图像，利用偶函数的性质，将右半平面内的图像以y轴为对称轴翻折到左半平面中去而得到．
2．(1)当函数f(x)＝2－|x－1|－m的图像与x轴有公共点时，则实数m的取值范围是________．
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析：(1)f(x)＝－m.
画出f(x)＝的图像，如图．
由图像可知，0(2)当a>1时，在同一坐标系中作出y＝2a和y＝|ax－1|的图像，显然只有一个公共点，不合题意．
当1≤2a<2，即≤a<1时，两图像也只有一个交点，不合题意．
当0<2a<1，即0答案：(1)(0，1] (2)(0，)
函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性
已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．
[解] 设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，
则当x≥时，u是减函数，当x<时，u是增函数．
又当a>1时，y＝au是增函数，当0因此当a>1时，原函数f(x)＝a－x2＋3x＋2在上是减函数，在上是增函数；
当0方法归纳
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当03．求函数y＝2－x ＋2x的单调区间．
解：函数y＝2－x ＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x ＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x ＋2x在[1，＋∞)上是减函数，综上，函数y＝2－x ＋2x在[1，＋∞)上是减少的，在(－∞，1]上是增加的．
指数函数的综合应用
设f(x)＝(a，b为实常数)．
(1)当a＝b＝1时，证明：①f(x)不是奇函数；
②f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数．
(2)设f(x)是奇函数，求a与b的值．
[解] (1)证明：①f(x)＝，
其定义域为R，
f(1)＝＝－，f(－1)＝＝，
所以f(－1)≠－f(1)，即f(x)不是奇函数．
②在(－∞，＋∞)上任取x1，x2且x2>x1，则f(x2)＝，f(x1)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝＝.
因为x2>x1，所以2x1－2x2<0，又因为(1＋2x1＋1)(1＋2x2＋1)>0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数．
(2)f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，
即＝－对定义域中的任意实数x都成立，
化简整理得(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)＝0，这是关于x的恒等式，
所以所以或
方法归纳
指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．
4．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex.
所以＝0对一切x∈R成立．由此得到a－＝0，
即a2＝1.又a>0，所以a＝1.
(2)证明：设0则f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－＝(e x2－ex1)·＝(e－e )()．
因为0ex1，所以ex2－ex1>0.
又1－ex1＋x2<0，ex1＋x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0.
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
1．函数f(x)＝3·4x－2x在x∈[0，＋∞)上的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．10
解析：选C.因为x∈[0，＋∞)，所以t＝2x∈[1，＋∞)，y＝3t2－t＝3(t－)2－，当t＝1即x＝0时，y最小＝2.
2．定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x－2－x＋2，则f(2)等于( )
A．2 B.
C．4 D.
解析：选B.由题意知
所以f(x)＝2x－2－x，
故f(2)＝22－2－2＝.
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝()x－m，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即0≥()2－m，所以m≥.
答案：[，＋∞)
4．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
解析：由定义域关于原点对称得－2a＝1－3a<0，所以a＝1，
由f(0)＝＝0，得b＝1，故a＋b＝1＋1＝2.
答案：2
[A.基础达标]
1．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝5 B．y＝x＋(x>0)
C．y＝ D．y＝x－(x≥1)
解析：选C.对A，因为≠0，所以y＝5≠1；对B，y＝x＋在(0，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．
当x＝1时，y最小＝2；对D，y＝x－在[1，＋∞)上是增加的，y最小＝0，所以A、B、D排除．
2．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选D.f(x)定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，排除A、C；当x>0时，y＝为减函数，排除B.故选D.
3．函数y＝6x与y＝－6－x的图像( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析：选C.y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
4．函数y＝()x －2在下列哪个区间上是减少的( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，] D．[，＋∞)
解析：选B.设u＝x2－2，u在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y＝()u是减函数，
所以y＝()x －2在[0，＋∞)上是减少的．
5．下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝ 的图像只可能是( )
解析：选A.由指数函数图像可以看出0 ( http: / / www.21cnjy.com )<<1，抛物线方程是y＝a－，顶点坐标为.又由0<<1，可知－<－<0.四个选项的图像中，只有A选项中抛物线的顶点坐标在内．
6．已知函数f(x)＝2 x +1 (x∈R)，且对于任意的x恒有f(x)≥f(x0)，则x0＝________．
解析：由题意知f(x0)为f(x)的最小值，又因为当x＝0时，f(x)最小＝2，所以x0＝0.
答案：0
7．若函数f(x)＝eq \r(2 eq \s\up4(x ) ＋2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )R，所以2x＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，所以Δ＝4a2＋4a≤0，即－1≤a≤0.
答案：[－1，0]
8．若函数f(x)＝e|x|在区间[a，b]上的值域为[1，e]，则a－b的取值范围为________．
解析：由题意知0∈[a，b]，|x|≤1.当a取最大值0时，b＝1，a－b得最大值－1；
当a取最小值－1时，b∈[0，1]，a－b得最小值－2，
故a－b的取值范围是[－2，－1]．
答案：[－2，－1]
9．已知函数f(x)＝1－.
(1)证明：f(x)是R上的增函数；
(2)当x∈[－1，2)时，求函数f(x)的值域．
解：(1)证明：在R内任取x1, x2，且设x1因为f(x1)－f(x2)＝－＝，
又因为x1所以5x1－5x2<0，而5x1＋1>0，5x2＋1>0，
所以f(x1)所以f(x)是R上的增函数．
(2)因为f(－1)＝－，f(2)＝，
所以f(x)的值域为[－，)．
10．已知函数f(x)＝a·2x－2－x，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称．
(1)求g(x)的解析式；
(2)若对任意x∈R，不等式f(x)＋g(x)－1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)设P(x，y)为g(x)上任意一点，则P(x，y)关于y轴对称点为P′(－x，y)，
由题知P′(－x，y)在f(x)的图像上，所以y＝a·2－x－2x，
即g(x)＝a·2－x－2x.
(2)由f(x)＋g(x)－1≥0得a－－1≥0，
因为2x＋2－x>0，所以a≥1＋(x∈R)，
令u＝t＋，其中t＝2x>0，易知u在(0，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，
所以当t＝1，即x＝0时，umin＝2，所以＝，
所以a≥.
[B.能力提升]
1．若函数f(x)＝2x＋a×2－x，则对任意实数a，函数f(x)在R上不可能是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
解析：选B.当a＝0时，f(x)＝2x为增函 ( http: / / www.21cnjy.com )数；当a＝1时，f(x)＝2x＋2－x为偶函数；当a＝－1时，f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除A、C、D，故选B.
2．设g(x)为R上不恒等于0的奇函数，f(x)＝g(x)(a>0且a≠1)为偶函数，则常数b的值为( )
A．2 B．1
C. D．与a有关的值
解析：选A.由题意可知h(x)＝＋为奇函数，由h(－1)＝－h(1)得＝－－＝＝1.所以b＝2.
3．已知函数f(x)＝2|x|＋2|x|，当x∈[－1，1]时，有m≤f(x)≤n成立，则n－m的最小值为________．
解析：f(x)为[－1，1]上的偶函数且在[0，1]上是增加的，所以f(x)的最小值为f(0)＝1，即m≤1，
f(x)的最大值为f(1)＝4，即n≥4，故(n－m)min＝4－1＝3.
答案：3
4．已知x，y∈R，且3x＋3y>3－x＋3－y，则x＋y的值________(填“大于零”或“小于零”或“正负不定”)．
解析：构造函数f(t)＝3t－3－t＝3t－，易知f(t)在R上是增函数．
由题意知3x－3－x>3－y－3y，即f(x)>f(－y)，
所以x>－y，即x＋y>0.
答案：大于零
5．已知函数f(x)＝b·ax，(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图像经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式＋＋1－2m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得 a＝2，b＝3，
所以f(x)＝3·2x.
(2)设g(x)＝()x＋()x＝()x＋()x，则y＝g(x)在R上为减函数，
所以当x≤1时，g(x)min＝g(1)＝，
所以()x＋()x＋1－2m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，即2m－1≤ m≤，
所以m的取值范围为m≤.
6．(选做题)已知函数f(x)＝3－x ＋2x＋3，
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)请写出f(x)的单调区间，不需证明．
解：(1)f(x)的定义域为R.
设u＝－x2＋2x＋3
＝－(x－1)2＋4≤4，
又y＝3u在(－∞，4]上是增加的，
所以0(2)u＝－x2＋2x＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，
又y＝3u在u∈R上是增加的．
所以f(x)＝3－x ＋2x＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．1．2 利用二分法求方程的近似解
1．问题导航
(1)什么是二分法？
(2)用二分法求方程的近似解的过程是什么？
(3)用二分法求方程近似解(或函数零点)的条件是什么？
2．例题导读
P117例4.通过本例学习，掌握二分法求方程近似解的基本步骤．
1．二分法的概念
如果在区间[a，b]上，函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
2．二分法求方程近似解的过程
如图所示
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间．
“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号．
“N”的含义：方程解满足要求的精度；
“P”的含义：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)利用二分法能求出函数y＝f(x)的所有零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
解析：选C.C中函数的零点是变号零点，故选C.
3．用二分法求f(x)＝0的近似解，f ( http: / / www.21cnjy.com )(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________．
解析：因为f(1.375)＝－0.260＜0，f(1.5)＝0.625＞0，所以f(1.375)f(1.5)＜0，
所以m＝＝1.437 5.
答案：1.437 5
4．某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，且使所得近似值的精度达到0.1，则应将D至少等分________次．
解析：等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.062 5＜0.1.
答案：5
(1)二分法适用于求函数的变号零点的近似解，对于函数的不变号零点求近似解不适用．
(2)已知x0∈[a，b]为函数f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )零点，ε为精度，若满足|a－b|＜ε，则[a，b]内的任一个值都是函数f(x)的满足精度ε的近似零点．
二分法的适用条件
下列函数图像中，能用二分法求零点的是( )
[解析] A中函数无零点，B、D中函数具有零点且图像在零点附近连续但其零点均为不变号零点，不能用二分法求其近似零点．故选C.
[答案] C
方法归纳
(1)二分法的适用条件是：
①f(x)的图像在区间[a，b]上连续不断；
②f(a)·f(b)<0.
(2)根据图像用二分法求零点的关键是：看图像是否穿过x轴．
1．(1)下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的图像是( )
(2)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
解析：(1)选B.选项A，C，D中都是变号零点，选项B中的零点是不变号零点，故选B.
(2)选C.因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以该函数的零点为不变号零点．
故f(x)＝x2－2x＋1不能用二分法求零点．
求函数零点(或方程根)的近似值
求方程lg x＝－1的近似解(精度为0.1)．
(链接教材P117例4)
[解] 如图所示，由函数y＝lg x与y＝－1的图像可知，方程lg x＝－1有唯一实数解，且在区间(0，1)内．
设f(x)＝lg x－＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度
(0，1) 0.5 －0.008 1 1
(0.5，1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5，0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5，0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
由于区间(0.5，0.625)的长度为0. ( http: / / www.21cnjy.com )125<0.2，此时该区间中点0.562 5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562 5，即方程lg x＝－1的近似解为x≈0.562 5.
若本例方程近似解的初始区间为(0，1)，精度为0.01，则需把区间(0，1)几次“二等分”？
解：假设“二等分”n次，则＜0.01，
即2n＞100，
所以n＞log2100
＝≈≈7次．
故需把区间(0，1)7次“二等分”．
方法归纳
应用二分法需注意的问题
(1)精度：要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的．
(3)方程根的选取：当区间长度符合“精度ε”的要求后正确选取方程的根．
当区间[an，bn]的长度|an－bn|≤ε时，这个近似值可以是区间(an，bn)内任意一个数．
2．求方程3x＋＝0的近似解(精度为0.1)．
解：原方程可化为3x－＋1＝0，即3x＝－1.
在同一坐标系中，分别画出函数g(x)＝3x与h(x)＝－1的简图，如图所示：
因为g(x)与h(x)的图像交点的横坐标位于区间(－1，0)且只有一个交点，
所以原方程只有一解x＝x0.
令f(x)＝3x＋＝3x－＋1，
因为f(0)＝1－1＋1＝1>0，f(－0.5)＝－2＋1＝<0，
所以x0∈(－0.5，0)．
用二分法求解，列表如下
中点值 中点(端点)函数值 取值区间
f(－0.5)<0，f(0)>0 (－0.5，0)
－0.25 f(－0.25)≈0.426 5>0 (－0.5，－0.25)
－0.375 f(－0.375)≈0.062 3>0 (－0.5，－0.375)
－0.437 5 f(－0.437 5)≈－0.159 4<0 (－0.437 5，－0.375)
|－0.375－(－0.437 5)|＝0.062 5<0.1，
所以方程的近似解可取为－0.376.
易错警示 因对二分法的原理理解不到位而致误
已知连续函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a＞0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
[解析] 根据二分法原理，依次“二等分”区间后，零点将存在于更小的区间，因此，零点应在或中或f＝0.
[答案] D
[错因与防范] (1)本题受思维定式影响易错选A，或因忘记端点“”也可能为零点而错选B.
(2)运用二分法时要注意两 ( http: / / www.21cnjy.com )点：①二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近零点的方法．有时中点值会恰好为函数的零点．如本例中“f＝0”有可能成立．
②要注意区间的取舍．运用二分法把区间一分 ( http: / / www.21cnjy.com )为二，要保留端点值异号的区间，但需检验舍弃哪个区间，如本例中在检验之前并不知道区间和哪个会被舍弃．
3．设函数y＝f(x)在区间[a ( http: / / www.21cnjy.com )，b]上的图像是连续不间断曲线，且f(a)·f(b)＜0，取x0＝，若f(a)·f(x0)＜0，则利用二分法求方程根时方程f(x)＝0取有根区间为________．
解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，
由于f(a)·f(x0)＜0，
则[a，x0]为新的区间．
答案：[a，x0]
1．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|＜0.1 B．|a－b|＜0.001
C．|a－b|＞0.001 D．|a－b|＝0.001
解析：选B.据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精度ε时，便可结束计算．
2．函数y＝f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052
那么方程f(x)＝0的一个近似根(精度为0.05)为( )
A．1.275 B．1.375
C．1.415 D．1.5
解析：选C.f(1.438)＝0.165>0，
f(1.406 5)＝－0.052<0，
且|1.438－1.406 5|＝0.031 5<0.05，
由于1.275、1.375、1.5 [1.406 5，1.438]，故选C.
3．若函数f(x)在定义域{x|x∈R
且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有________个．
解析：因为f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝0.
因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0)上是增函数．
所以f(x)在(0，＋∞)内仅有x＝2一个零点，在(－∞，0)内仅有x＝－2一个零点．
答案：2
4．已知f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)内有唯一零点x0，用二分法求得一系列含零点x0的区间，这些区间满足：(a，b) (a1，b1) (a2，b2) … (ak，bk)，若f(a)＜0，f(b)＞0，则f(bk)的符号为________．(填“正”或“负”)
解析：由二分法求函数零点近似值的步骤可知f(bk)＞0.
答案：正
[A.基础达标]
1．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
解析：选D.D中函数的零点都是不变号零点．
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
解析：选A.易知f(x)只有一个零点．因为f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
3．在用二分法求函数f(x)在区间(a ( http: / / www.21cnjy.com )，b)内的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，b)内 D．等于
解析：选D.因为f(c)＝0，而c＝，
所以x0＝.
4．函数y＝与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是( )
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
解析：选D.设f(x)＝lg ( http: / / www.21cnjy.com )x－，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－＝0在[1，2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
5．用二分法求函数的零点，函数的零点总位 ( http: / / www.21cnjy.com )于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|＜m时，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过( )
A. B.
C．m D．2m
解析：选B.可知an≤a≤bn，an－≤a－x0≤bn－，
即：≤a－x0≤，|a－x0|≤|bn－an|＜.
6．用二分法求函数y＝f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )在区间[2，4]上的近似零点(精度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间是________．
解析：因为f(2)f(3)＜0，所以由零点存在定理得零点x0所在区间为(2，3)．
答案：(2，3)
7．用二分法求方程f(x)＝0的根的近似值 ( http: / / www.21cnjy.com )时，解出f(1.125)<0，f(1.187 5)>0，f(1.356 25)<0，则方程精度为0.1的近似解为________．
解析：因为f(1.125)· ( http: / / www.21cnjy.com )f(1.187 5)<0且f(1.187 5)·f(1.356 25)<0，又因为区间[1.125，1.187 5]的长度不大于0.1，区间[1.187 5，1.356 25]的长度大于0.1.故可取1.15作为此方程的一个近似解．
答案：1.15(答案不唯一)
8．已知函数f(x)满足：对任意的x1 ( http: / / www.21cnjy.com )，x2∈[a，b]，都有＜0，且f(a)·f(b)＜0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为________．
解析：由题意可得，因为对于任意的x1 ( http: / / www.21cnjy.com )，x2∈[a，b]都有＜0，即f(x)在[a，b]上为减函数，又因为f(a)f(b)＜0，则f(a)＞0，
f(b)＜0.所以即
因为f＝0，所以f(x)的零点为＝－.
答案：－
9．利用二分法，借助计算器，求方程lg x＝2－x的近似解．(精度为0.1)．
解：作出y1＝lg x，y2＝2－x的图像，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间[1，2]内．
设f(x)＝lg x＋x－2，x0为f(x)的零点．用计算器计算得
f(1)＜0，f(2)＞0 x0∈[1，2]；
f(1.5)＜0，f(2)＞0 x0∈[1.5，2]；
f(1.75)＜0，f(2)＞0 x0∈[1.75，2]；
f(1.75)＜0，f(1.875)＞0 ( http: / / www.21cnjy.com ) x0∈[1.75，1.875]；f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0 x0∈[1.75，1.812 5]．
由于1.812 5－1.75＝0.062 5＜0.1，
因此可以取[1.75，1.812 5]内的任意一个数作为函数零点的近似值，我们不妨取1.8作为方程lg x＝2－x的近似解．
10．中央电视台有一档娱乐 ( http: / / www.21cnjy.com )节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解：取价格区间[500，1 000]的中点7 ( http: / / www.21cnjy.com )50，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格．
[B.能力提升]
1．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
解析：选C.令f(x)＝ex－x－2 ( http: / / www.21cnjy.com )，由表格中数据可得：f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，f(3)>0，进一步可得f(1)f(2)<0，又因为f(x)为连续函数，
故由零点存在定理可知f(x)的一个零点所在区间为(1，2)．即方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1，2)．
2．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)
解析：选A.f(x)＝4x－1的零点为0.25，
f(x)＝(x－1)2的零点为1，
f(x)＝ex－1的零点为0，
f(x)＝ln(x－)的零点为.下面估算g(x)＝4x＋2x－2的零点，
因为g(0)＝－1<0，g()＝1>0，g()<0
所以函数g(x)在区间[，]内有零点．
又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合，故选A.
3．在10枚崭新的硬币中，有一枚外 ( http: / / www.21cnjy.com )表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
解析：先分2组，每组5枚，用天 ( http: / / www.21cnjy.com )平称出质量较小的一组，再把5枚分成一组2枚，另一组也2枚，把两组放入托盘中，要称量的次数最多，则假币应在2枚中，挑出轻的一组，然后用天平称出轻的一枚即可，故最多称3次即可．
答案：3
4．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图像如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
正确命题的序号为________．
解析：因为f(－2)＝－2×(－3)×(－1)＋0.01＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，
所以在(－2，－1)内有一个实根，结合图知，方程在(－∞，－1)上，恰有一个实根，所以②正确．
又因为f(0)＝0.01>0，结合图知f(x)＝0在(－1，0)上没有实数根，所以③不正确．
又因为f(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，
f(1)＝0.01>0，即f(0.5)·f ( http: / / www.21cnjy.com )(1)<0，所以f(x)＝0在(0.5，1)上必有一实根，且f(0)·f(0.5)<0，所以f(x)＝0在(0，0.5)上也有一个实根．所以f(x)＝0在(0，1)上有两个实根，④不正确．
由f(1)>0结合图知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根，
所以⑤不正确，并且由此可知①正确．
答案：①②
5．已知方程x3＋2x2－3x－6＝0.
(1)方程有几个实根？
(2)用二分法求出方程的最大根．(精度为0.1)
解：(1)令f(x)＝x3＋2x2－3x－6.
因为f(－3)＝(－3)3＋2×(－3)2－3×(－3)－6＝－6<0，
f(－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，
f(－1)＝(－1)3＋2×(－1)2－3×(－1)－6＝－2<0，
f(0)＝－6<0，
f(1)＝1＋2－3－6＝－6<0，
f(2)＝23＋2×22－3×2－6＝4>0，
又f(－1.9)＝(－1.9)3＋2×(－1.9)2－3×(－1.9)－6＝0.061>0，
所以方程有3个实根，一根为－2，另两根分别在区间(－1.9，－1)，(1，2)上．
(2)由(1)知方程最大的根在区间(1，2)内，用二分法逐次计算，列表如下：
中点的值 中点函数近似值 区间
x1＝＝1.5 f(1.5)＝－2.625<0 (1.5，2)
x2＝＝1.75 f(1.75)≈0.234 4>0 (1.5，1.75)
x3＝＝1.625 f(1.625) ≈－1.302 7<0 (1.625，1.75)
x4＝＝1.687 5 f(1.687 5) ≈－0.561 8<0 (1.687 5，1.75)
因为|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以所求方程的最大根可取1.75.
6．(选做题)求的近似值(精度为0.1)．
解：令＝x，则x3＝3，令f(x)＝x3－3，
则就是函数f(x)＝x3－3的零点．
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，
所以可取初始区间(1，2)，用二分法计算，列表如下：
中点的值 中点函数近似值 区间
x 1＝＝1.5 f(x1)＝0.375>0 (1，1.5)
x2＝＝1.25 f(x2)≈－1.047<0 (1.25，1.5)
x3＝＝1.375 f(x3)≈－0.400<0 (1.375，1.5)
x4＝＝1.437 5 f(x4)≈－0.030<0 (1.437 5，1.5)
因为|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，
所以的近似值可取1.437 5.§4 二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
1．问题导航
(1)二次函数图像左右平移的规律是什么？
(2)二次函数图像上下平移的规律是什么？
(3)y＝x2和y＝ax2(a≠0)的图像有什么关系？
(4)你能由y＝x2的图像变换出y＝2(x＋1)2－1的图像吗？
(5)二次函数的解析式有哪三种形式？
2．例题导读
P42例1.通过本例学习(1)体会 ( http: / / www.21cnjy.com )a确定二次函数y＝a(x＋h)2＋k的形状(开口方向和开口大小)，h和k确定在坐标系中的位置．(2)掌握待定系数法求二次函数解析式的设法技巧．
1．二次函数的解析式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标是(h，k)，则f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)两点式：设二次函数图像与x轴的两个交点分别是(x1，0)，(x2，0)，则f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图像变换及参数a，b，c，h，k对其图像的影响
(1)函数y＝x2和y＝ax2(a≠0)的图像之间的关系
二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x ( http: / / www.21cnjy.com )2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到，参数a的取值不同，函数及其图像也有区别，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a>0时，二次函数y＝ax2的图像开口向上，当a<0时，图像开口向下．而且，当a>0时，a的值越大，函数y＝ax2的图像开口越小，a的值越小，函数y＝ax2的图像开口越大；当a<0时，a的值越小，函数y＝ax2的图像开口越小，a的值越大，函数y＝ax2图像开口越大．也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大．
(2)函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间的关系
函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0)的图像可以由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到．h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像与函数y＝ax2(a≠0)的图像形状相同，只是位置不同．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数．( )
(2)在同一坐标系中，y＝x2图像的开口比y＝2x2图像的开口大．( )
(3)只通过左右平移可由y＝x2的图像变换出y＝2x2＋x＋1的图像．( )
(4)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像不一定与x轴有公共点．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．函数y＝2x(3－x)的图像可能是( )
解析：选B.由2x(3－x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝0得x＝0或x＝3，可知图像与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图像开口向下，故排除D，因此选B.
3．若二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为________．
解析：设f(x)＝a(x－2)(x＋2)，将(0，3)代入得a＝－，故y＝－(x－2)(x＋2)
＝(4－x2)．
答案：f(x)＝(4－x2)
4.已知y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则使y≥0的x的取值范围是________．
解析：观察图像易知使y≥0的x满足0≤x≤2.
答案：[0，2]
二次函数的图像变换规律
(1)左右平移：只改变x，如y＝2x2y＝2(x＋1)2.
规律：左加右减
(2)上下平移：只改变y，如y＝2x2y＝2x2＋1.
规律：上加下减
(3)纵向伸缩：只改变y，如y＝x2＋1y＝2(x2＋1)．
(4)横向伸缩：只改变x，如y＝f(x)＝ax2＋bx＋cy＝a＋b＋c.
二次函数图像的草图画法
[学生用书P32]
画出函数y＝2x2－4x－6的草图．
[解] y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6
＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x－1)2－1]－6
＝2(x－1)2－8.
函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.
令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，所以x＝－1或x＝3，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．
画法步骤：
(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)、(－1，0)、(3，0)，画出直线x＝1；
(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)， ( http: / / www.21cnjy.com )(－1，0)，(3，0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．
方法归纳
画二次函数的图像时，重点体现抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便、使图像更准确．
1．画出y＝x2＋x＋1的草图．
解：y＝x2＋x＋1
＝(x＋)2＋，
开口向上，顶点(－，)，
与x轴无公共点，令x＝0，则y＝1，图像如图所示．
二次函数图像的变换
将二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝________，c＝________．
[解析] y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
所以y＝x2－2x＋1的顶点为(1，0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得抛物线y＝x2＋bx＋c的图像．则点(1，0)(3，－3)，
所以抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为(3，－3)，
所以y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.
所以b＝－6，c＝6.
[答案] －6 6
你能把本例中的函数y＝x2－6x＋6变换为y＝x2吗？试指出变换过程．
解：因为y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，
所以y＝x2－6x＋6 y＝x2－3y＝x2.
方法归纳
(1)平移变换不改变图像的形状，只改变图像在坐标系中的位置．
①x轴上平移，即把x换成(x±k)(k＞0，左正右负)；
②y轴上平移，即把y换成(y±h)(h＞0，下负上正)．
(2)伸缩变换改变图像的形状．
①把横坐标变化到原来的ω(ω＞0且ω≠1)倍，即把x换成.
②把纵坐标变化到原来的λ(λ＞0且λ≠1)倍，即把y换成.
2．若把本例中的函数y＝x2－6x＋6图像 ( http: / / www.21cnjy.com )的横坐标缩小到原来的倍，得到图像C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C2，试写出图像C2的解析式．
解：y＝x2－6x＋6y＝(2x)2－12x＋6＝4x2－12x＋6＝4x2－12x＋6，即y＝8x2－24x＋12.
所以图像C2的解析式为y＝8x2－24x＋12.
待定系数法求二次函数的解析式
已知二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2，0)，求这个函数的解析式．
(链接教材P42例1)
[解] 法一：设所求函数的解析式为y＝a(x－1)2－3(a≠0)，由图像经过点P(2，0)，得a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.
所以所求函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.
法二：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得解得
所以所求函数的解析式为y＝3x2－6x.
法三：因为二次函数的图像的顶点坐标为(1，－3)，
所以其对称轴为直线x＝1.
又因为图像与x轴的一个交点坐标为P(2，0)，
所以由对称性可知，图像与x轴的另一个交点坐标为(0，0)．
所以可设所求函数的解析式为y＝a(x－0)(x－2)(a≠0)．
因为图像的顶点坐标是(1，－3)，
所以a(1－0)(1－2)＝－3，解得a＝3.
所以所求函数的解析式为y＝3x(x－2)，即y＝3x2－6x.
方法归纳
求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系数法求之．
(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，然后列出三元一次方程组求解．
(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或 ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋h)2＋k[其顶点是(－h，k)，a≠0]．
(3)当已知二次函数图像与x轴的两个交点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标为(x1，0)，(x2，0)时，则设所求二次函数为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝－1，f(x－1)－f(x)＝－2x，则f(x)＝________．
解析：设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝－1，
所以c＝－1，则f(x)＝ax2＋bx－1.
又因为f(x－1)－f(x)＝－2x对任意x∈R成立，
所以a(x－1)2＋b(x－1)－1－(ax2＋bx－1)＝－2x，
即－2ax＋a－b＝－2x.
由恒等式性质，得所以
所以所求二次函数为f(x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
规范解答 二次函数图像的应用
(本题满分12分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图像与x轴总有交点．
(1)求m的取值范围；
(2)当函数图像与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4时，求m的值．
[解] (1)当m＋6＝0时，m＝－6，①
函数y＝－14x－5与x轴有一个交点符合题意；
2分
当m＋6≠0时，m≠－6，①
Δ＝4×(－9m－5)≥0，解得m≤－，
即当m≤－且m≠－6时，抛物线与x轴有一个或两个交点.4分
综上可知，当m≤－时，此函数的图像与x轴总有交点.6分
(2)设x1，x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0(m＋6≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝.8分
因为＋＝－4，即＝－4，
所以－＝－4，
解得m＝－3.
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意．②11分
所以m的值是－3.12分
[规范与警示] (1)①处易忽略隐含条件二次项系数是否为零的讨论，是关键点也是失分点．
(2)②处易忽略对判别式的检验．
(3)此类题目注意要分类讨论．
1．已知二次函数f(x)＝x2－x，则其图像开口方向和与x轴交点的个数分别是( )
A．向上 2 B．向上 0
C．向下 1 D．向下 2
解析：选A.x2的系数为1，开口向上，令f(x)＝x2－x＝0得x＝0，1，故选A.
2．已知f(x)＝x2＋px＋q，满足f(1)＝0，f(2)＝0，则p·q等于( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
解析：选D.由题意知1，2是方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，所以pq＝－6.
3．函数y＝x2－2x＋1的图像可由函数y＝x2的图像平移得到，其方法是通过( )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
解析：选B.y＝x2y＝(x－1)2.
4．已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，则二次函数解析式为________．
解析：配方得y＝(x－2)2＋h－4，顶点为(2，h－4)，
代入直线y＝－4x－1，得h－4＝－9，所以h＝－5.
所以所求函数解析式为y＝x2－4x－5.
答案：y＝x2－4x－5
[A.基础达标]
1．用配方法将函数y＝x2－2x＋1写成y＝a(x－h)2＋k的形式是( )
A．y＝(x－2)2－1
B．y＝(x－1)2－1
C．y＝(x－2)2－3
D．y＝(x－1)2－3
解析：选A.y＝x2－2x＋1＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1.
2.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则此函数的解析式可能为( )
A．y＝x2－x－3
B．y＝x2－x＋3
C．y＝－x2＋x－3
D．y＝－x2－x＋3
解析：选A.由图像可知，抛物线开口向上，a＞0，顶点的横坐标为x＝－＞0，故b＜0，图像与y轴交于负半轴，故c＜0.
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0，11)，则( )
A．a＝1，b＝－4，c＝－11
B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝11
D．a＝3，b＝－12，c＝11
解析：选D.由题意c＝11，－＝2，＝－1，
所以a＝3，b＝－12.
4．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图像可能是( )
解析：选C.当a＞0时，y＝ax2＋bx＋c开口向上，y＝ax＋1递增且过(0，1)点，D不符合，C符合要求．
当a＜0时，y＝ax2＋bx＋c开口向下，y＝ax＋1递减且过(0，1)点，A、B不符合，故选C.
5.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示，有下列结论：
①a＋b＋c<0；
②a－b＋c>0；
③abc>0；
④b＝2a.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由题图可得f(1)＝a＋b＋c<0，f(－1)＝a－b＋c>0，顶点的横坐标为－＝－1，所以b＝2a，ab>0，
又f(0)＝c>0，所以abc>0.故选D.
6．如果函数f(x)＝(4－a2)x2＋4(a－2)x－4的图像恒在x轴下方，则实数a的取值范围是________．
解析：当4－a2＝0即a＝±2时，a＝2，f(x)＝－4，符合题意，a＝－2，f(x)＝－16x－4不合题意；
当4－a2≠0时，需解得a＞2.
答案：[2，＋∞)
7．把f(x)＝2x2＋x ( http: / / www.21cnjy.com )－1的图像向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为________．
解析：由题意有g(x)＝f(x－1)－1＝2(x－1)2＋(x－1)－1－1＝2x2－3x－1.
答案：g(x)＝2x2－3x－1
8．将抛物线y＝－3(x－1) ( http: / / www.21cnjy.com )2向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，如果x＋x＝，那么k＝________．
解析：将抛物线y＝－3(x－1) ( http: / / www.21cnjy.com )2向上平移k个单位，得抛物线y＝－3(x－1)2＋k＝－3x2＋6x－3＋k.可知x1，x2是方程－3x2＋6x－3＋k＝0的两实数解．所以，x1＋x2＝2，x1x2＝.又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝，解得k＝.
答案：
9．已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．求函数f(x)的解析式．
解：因为方程f(x)＝x有两个相等的实数根，且f(x)＝ax2＋bx，所以Δ＝(b－1)2＝0，所以b＝1，
又f(2)＝0，所以4a＋2＝0，所以a＝－，
所以f(x)＝－x2＋x.
10．画出函数y＝x2－2x－3的图像，并根据图像回答：
(1)方程x2－2x－3＝0的根是什么？
(2)x取何值时，函数值大于0？函数值小于0
解：由y＝x2－2x－3，得y＝(x－1)2－4.
显然开口向上，顶点(1，－4)，与x轴交点(3，0)，(－1，0)，与y轴交点为(0，－3)，图像如图．
(1)由图像知x2－2x－3＝0的根为x＝－1或x＝3.
(2)当y>0时，就是图中在x轴上方的部分，这时x>3或x<－1；当y<0时，即抛物线在x轴下方的部分，这时－1[B.能力提升]
1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
解析：选D.A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0.由图可知，f(0)＝c<0，故A错；
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.又因为abc>0，所以c<0.
由图可知，f(0)＝c>0，故B错；
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，所以c>0.
由图可知，f(0)＝c<0，故C错；
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0.
由图可知，f(0)＝c<0，故D正确．
2．已知x∈R，f(x)是函数y＝2－x2与y＝x中的较小者，则函数f(x)的最大值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C.在同一直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，画出函数y＝2－x2与y＝x的图像，两函数的交点坐标为(－2，－2)，(1，1)，f(x)的图像为图中实线部分，故其最大值为1，故选C.
3．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1(a≠0)的图像为如图所示的四个图像之一，则a的值为________．
解析：因为b>0，所以二次函数图像的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点的横坐标不为0，所以图像①②可以排除．又图像③④过原点，即a2－1＝0，所以a＝±1.又b>0，若a＝1，则有顶点的横坐标x＝－<0，与图像④矛盾，所以a＝－1，且该函数的图像为③.
答案：－1
4．直线y＝3与函数y＝x2－6|x|＋5图像的交点有________个．
解析：y＝x2－6|x|＋5＝
其图像如图，
所以与y＝3有4个交点．
答案：4
5．已知二次函数y＝ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3，0)，顶点的横坐标为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
解：因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为M(－1，2)或M′(－1，－2)，
故设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图像过点A(－3，0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝
－x2－x＋，或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
6．(选做题)已知函数g(x)＝kx＋b ( http: / / www.21cnjy.com )(k≠0)，当x∈[－1，1]时，g(x)的最大值比最小值大2，又f(x)＝2x＋3.是否存在常数k，b使得f(g(x))＝g(f(x))对任意的x恒成立？如果存在，求出k，b；如果不存在，请说明理由．
解：因为f(g(x))＝2(kx＋b)＋3，
g(f(x))＝k(2x＋3)＋b，
又f(g(x))＝g(f(x))，所以b＋3＝3k.
因为函数g(x)＝kx＋b(k≠0)，当x∈[－1，1]时，g(x)的最大值比最小值大2，
当k＞0时，g(1)－g(－1)＝2，即k＋b＋k－b＝2，又有b＋3＝3k，
所以k＝1，b＝0.
当k＜0时，g(－1)－g(1)＝2，即－k＋b－k－b＝2，又有b＋3＝3k，
所以k＝－1，b＝－6.
综上所述，存在或使得f(g(x))＝g(f(x))对任意的x恒成立．§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
1．问题导航
(1)A∩B可能为空集吗？
(2)若A∩B≠ ，A∩B中的元素与A、B有什么关系？
(3)若A∪B＝ ，则A、B都是空集吗？
(4)若A∪B≠ ，则A∪B中的任一元素一定属于集合A吗？
2．例题导读
P11例1、P12例2.通过这两例的学习，学会求交集、并集的方法．
试一试：教材P12练习T1，T3你会吗？
1．交集、并集的概念及表示
定义(自然语言) Venn图(图形语言)
交集 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集 一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
2.交集、并集的运算性质
交集 并集
A∩B＝B∩A A∩A＝A A∩ ＝ ∩A＝ A B等价于A∩B＝A(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) ＝A∩B∩C A∪B＝B∪AA∪A＝AA∪ ＝ ∪A＝A A B等价于A∪B＝B(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)＝A∪B∪C
A∩B A A∪B，A∩B B A∪B
1．已知集合A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{2，4}
C．{2，3，4，5，6} D．{3，5}
解析：选D.A∩B＝{2，3，4，5}∩{3，5，6}＝{3，5}．
2．已知集合M＝{a，0}，N＝{1，2}，且M∩N＝{2}，那么M∪N＝( )
A．{a，0，1，2} B．{1，0，1，2}
C．{2，0，1，2} D．{0，1，2}
解析：选D.由题意知a＝2，所以M∪N＝{2，0}∪{1，2}＝{0，1，2}．
3．若A＝{x|0解析：A∪B＝{x|0答案：{x|04．已知集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是________．
解析：利用数轴，如图所示，
由于A∩B≠ ，所以a≥1.
答案：a≥1
对并集概念的两点说明(关键词“或”)
(1)并集概念中的“或” ( http: / / www.21cnjy.com )字与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的，它是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的．
(2)x∈A或x∈B包含的三种情况：
①x∈A，但x B.
②x∈B，但x A.
③x∈A，且x∈B.
用Venn图表示如下：
集合的交集运算
(1)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )
A． B．{2}
C．{0} D．{－2}
(2)已知集合M＝{x|－1A．{x|－2C．{x|1[解析] (1)因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}．
(2)在数轴上表示出集合M，N，如图．
则M∩N＝{x|－1[答案] (1)B (2)B
方法归纳
解决此类问题首先应看清集合中元素的范围， ( http: / / www.21cnjy.com )简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
1．(1)若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于( )
A．{x|3≤x<4} B．{x|3C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}
(2)已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________．
解析：(1)在数轴上表示出集合P、Q，如图，则P∩Q＝{x|3≤x<4}．
(2)作出Venn图如图，故A∩B＝{3，4，5，12，13}∩{2，3，5，8，13}＝{3，5，13}．
答案：(1)A (2){3，5，13}
集合的并集运算
(1)设集合M＝{x|x2－3x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－4x＋4＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{－1，3，6} B．{0，3，6}
C．{－1，0，3，6} D．{0，2，3}
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2[解析] (1)因为M＝{0，3}，N＝{2}，
所以M∪N＝{0，3}∪{2}＝{0，2，3}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
[答案] (1)D (2)A
方法归纳
(1)两集合都用列举法表示，可用定义法或借助Venn图求并集，注意公共元素只能出现一次．
(2)不等式表示的无限集求并集时常借助数轴求解．但要注意端点用“实心点”还是“空心点”．
2．(1)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )
A．{0，1} B．{－1，0，2}
C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}
(2)设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，则A∪B＝________．
解析：(1)根据题意画出Venn图，如图所示．故M∪N＝{－1，0，1，2}．
(2)因为矩形是平行四边形，即BA，所以A∪B＝A＝{x|x是平行四边形}．
答案：(1)C (2){x|x是平行四边形}
已知集合交集、并集求参数的值或范围
已知集合A＝{x|a－1[解] ①A＝ 时，
a－1≥2a＋1，a≤－2.
②A≠ 时，
或解得a≥2或－2综上a≤－或a≥2.
方法归纳
(1)求参数的值问题，对不等式表示的无限集，归结为对端点值的确定，对于有限集，常列方程求解；
(2)求参数的范围问题，常借助数轴列不等式(组)求解．
3．已知集合A＝{x|－21}，B＝{x|a≤x－2}，A∩B＝{x|1解：因为A∩B＝{x|1又A∪B＝{x|x>－2}，
所以－2又A∩B＝{x|1所以－1≤a≤1，
所以a＝－1.
思想方法 转化思想在求参数范围问题中的应用
集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|2－m[解] 由A∩B＝B，得B A.
当B＝ 时，有：2－m≥3m＋1，解得m≤.
当B≠ 时，如图数轴所示，则
解得综上可知，实数m的取值范围是m≤2.
[感悟提高] 对于由A∩B＝A(A∪B＝B)求参数范围问题，常转化为利用集合的基本关系A B求解，但不能忽略考虑A＝ 的情况．
1．若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝( )
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}
C．{1，2} D．{3}
解析：选C.由交集的定义，得A∩B＝{1，2}．
2．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝( )
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
解析：选C.因为A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，
所以A∩B＝{x|2＜x＜3}．
3．已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∪B＝________．
解析：A∪B＝{－2，－1，3，4}∪{－1，2，3}＝{－2，－1，2，3，4}．
答案：{－2，－1，2，3，4}
4．若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>a}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是________．
解析：利用数轴(如图)，因为A∩B＝ ，
所以a≥2.
答案：a≥2
[A.基础达标]
1．满足{0}∪B＝{0，2}的集合B的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.B＝{2}或B＝{0，2}．
2．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1A．{0} B．{0，1}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
解析：选B.A∩B＝{－1，0，1}∩{x|－13．若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，7，8}，C＝{0，1，3，4，5}，则集合(A∪B)∩C等于( )
A．{2，4} B．{1，3，4}
C．{2，4，7，8} D．{0，1，2，3，4，5}
解析：选B.A∪B＝{1，2，3，4，7，8}，
(A∪B)∩C＝{1，3，4}．
4．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．{x＝3，y＝－1}
B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}
C．
D．{(3，－1)}
解析：选C.因为M为数集，N为点集，所以M∩N＝ .
5．已知{1，2}∪{x＋1，x2－4x＋6}＝{1，2，3}，则x＝( )
A．2 B．1
C．2或1 D．1或3
解析：选C.由题意3∈{x＋1，x2－ ( http: / / www.21cnjy.com )4x＋6}，若x＋1＝3，x＝2，则x2－4x＋6＝2，此时{1，2}∪{x＋1，x2－4x＋6}＝{1，2，3}，符合题意；
若x2－4x＋6＝3，则x＝1或x＝3，当x＝1时，x＋1＝2，符合题意；
当x＝3时，x＋1＝4 {1，2，3}，不合题意．
综上可知，x＝2或1.
6．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪B＝________．
解析：A∪B＝{1，2}∪{2，4}＝{1，2，4}．
答案：{1，2，4}
7．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析：由题意知3∈B＝{a＋2，a2＋4}，
因为a2＋4≥4，
所以a＋2＝3，所以a＝1，B＝{3，5}，满足A∩B＝{3}．
答案：1
8．已知集合A＝{x|x≤1}，集合B＝{x|a≤x}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：利用数轴如图，
因为A∪B＝R，
所以a≤1.
答案：a≤1
9．已知A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}．求p、q、r.
解：因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A，
所以－2是x2－px－2＝0的一根，设另一根为x2，
则－2·x2＝－2，所以x2＝1，所以A＝{－2，1}．
由根与系数的关系，－2＋1＝p，所以p＝－1.
又因为A∪B＝{－2，1，5}，所以B＝{－2，5}，
所以所以
所以p＝－1，q＝－3，r＝－10.
10．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|p－1≤x≤2p－3}，若A∩B＝B，求实数p的取值范围．
解：因为A∩B＝B，所以B A.
①当B＝ 时，p－1>2p－3，解得p<2；
②当B≠ 时，解得2≤p≤4.
综上知p的取值范围为{p|p≤4}．
[B.能力提升]
1．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系为( )
A．CA B．AC
C．C A D．A C
解析：选D.因为A∩B＝A，B∪C＝C，
所以A B，B C，所以A C.
2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－2≤x≤3}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|－1≤x≤3}
解析：选B.图中阴影可表示为A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|－1≤x≤3}＝{x|－1≤x≤2}．
3．设集合A＝{a，b}，集合B＝{a＋1，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．
解析：因为A∩B＝{2}，所以2∈B且2∈A.
因为B＝{a＋1，5}，所以a＋1＝2，即a＝1，
而A＝{a，b}，所以b＝2.故A∪B＝{1，2，5}．
答案：{1，2，5}
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}且B≠ ，A∪B＝A，则m的取值范围是________．
解析：因为B≠ ，所以m＋1<2m－1，即m>2，又A∪B＝A，所以B A，
所以即－3≤m≤4，又因为m>2，所以2答案：25．若集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a的值使得 A∩B与A∩C＝ 同时成立．
解：因为B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，
所以B∩C＝{2}．因为 A∩B，A∩C＝ ，所以3∈A.
将x＝3代入方程x2－ax＋a2－19＝0得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
若a＝5，则A＝{x|x2－5x ( http: / / www.21cnjy.com )＋6＝0}＝{2，3}，此时A∩C＝{2}≠ ，不符合要求，舍去；若a＝－2，则A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，满足要求．
综上知a的值为－2.
6．(选做题)设集合A＝{x|－1(1)若C＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若C (A∩B)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为C＝ ，所以1－2a≥2a，所以a≤，
即实数a的取值范围是.
(2)当C＝ 时，由(1)知a≤，
当C≠ 时，A∩B＝，
又C (A∩B)，
所以
解得综上实数a的取值范围是.3．2 全集与补集
1．问题导航
(1)什么是全集？
(2)什么是补集？
(3)A与 UA有公共元素吗？
2．例题导读
(1)P13例3.通过本例学习，学会用集合的运算表示Venn图中指定的区域．
(2)P13例4.通过本例学习，掌握补集的有关运算．
试一试：教材P14练习T3、T4你会吗？
1．全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
2．补集
文字表述 设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作 UA
符号表示 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形表示
3.补集的性质
(1) UU＝ ；(2) U ＝U；(3)A∪( UA)＝U；
(4)A∩( UA)＝ ；(5) U( UA)＝A；(6)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)；(7)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B).
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合 QN与 ZN相等．( )
(2)一个集合的补集一定含有元素．( )
(3)设集合S是全部的三角形，集合A是直角三角形，则 S A是斜三角形．( )
(4)已知U＝R，A＝{x|＞0}，则 UA＝{x|x＜1}．( )
解析：(1) ZN QN；(2)当子集等于全集时不成立；(3)正确，因为{直角三角形}∪{斜三角形}＝{三角形}；(4)A＝{x|x＞1}， UA＝{x|x≤1}．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么 UP＝( )
A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
解析：选D.因为P＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以 UP＝ RP＝{x|x＜－1或x＞1}．
3．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则 U(A∪B)＝( )
A．{1，3，4} B．{3，4}
C．{3} D．{4}
解析：选C.因为A∪B＝{1，2，4}，U＝{1，2，3，4}，所以 U(A∪B)＝{3}．
4．设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，集合A＝{2，|a＋1|}， UA＝{5}，则a＝________．
解析：由题意知所以a＝－4或2.
答案：－4或2
对“全集”“补集”的理解
(1)“全集”是一个相对概念 ( http: / / www.21cnjy.com )，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数内研究问题时，就把整数集Z看作全集．
(2)补集运算具有相对性，求集合A的补集时，要先清楚全集是什么，同一集合在不同全集中的补集也不同．
Venn图在补集中的应用
图中阴影部分所表示的集合是( )
A．B∩ U(A∪C)
B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩( UB)
D． U(A∩C)∪B
[解析] 阴影部分可表示为B∩ U(A∪C)．
[答案] A
方法归纳
(1)当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；
(2)当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；
(3)应用题常用Venn图分析求解．
1．(1)设全集U是实数集R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2}
(2)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，则集合B＝________．
解析：(1)阴影部分为M∩( UN)＝{x|x＞2或x＜－2}∩{x|1≤x＜3}＝{x|2＜x＜3}．
(2)借助Venn图，如图所示．
得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
因为 UB＝{1，4，6，8，9}，所以B＝{2，3，5，7}．
答案：(1)C (2){2，3，5，7}
补集的简单运算
(1)设全集U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则 U(M∩N)＝( )
A．{1，2} B．{2，3}
C．{2，4} D．{1，4}
(2)若集合A＝{y|0≤y＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∩( RB)＝( )
A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2}
C．{x|－1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}
[解析] (1)因为M∩N＝{2，3}，所以 U(M∩N)＝{1，4}．
(2)因为 RB＝{x|x≤－1或x≥1}，所以A∩( RB)＝{y|0≤y＜2}∩{x|x≤－1或x≥1}＝{x|1≤x＜2}．
[答案] (1)D (2)B
方法归纳
(1)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，这样处理比较形象直观，解答过程中注意端点问题．
(2)如果所给集合是有限集，则 ( http: / / www.21cnjy.com )先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．
2．(1)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，5}，则( UA)∩( UB)＝( )
A．{2} B．{2，3}
C．{4} D．{1，3}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－＜x＜2}，B＝{x|x2＜1}，则 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥2}
B．{x|x≤－或x≥1}
C．{x|x≤－1或x≥2}
D．{x|x≤－或x≥2}
解析：(1)选C.因为U＝{1，2，3，4，5}，A∪B＝{1，2，3，5}，所以( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{4}．
(2)选C.因为A＝{x|－＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜2}，
故 U(A∪B)＝ R(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥2}．
利用补集求参数
已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A RB，求a的取值范围．
[解] 因为B＝{x|1＜x＜2}，
所以 RB＝{x|x≤1或x≥2}．
因为A RB，
所以分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
(1)若A＝ ，
则有2a－2≥a，
所以a≥2.
(2)若A≠ ，如图所示：
则有或
所以a≤1.
综上可得：a≥2或a≤1.
故a的取值范围为{a|a≥2或a≤1}．
方法归纳
由集合补集求有关参数问题的方法
3．(1)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|2＜x＜3}，且A∪( RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
解析：(1) RB＝{x|x≤2或x≥3}，如图所示，
由于A∪( RB)＝R，所以a≥3.
(2)由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.
答案：(1)a≥3 (2)－3
思想方法 补集思想的应用
已知集合A＝{x|2m－1[解] 若A∩B＝ ，分A＝ 和A≠ 讨论：
(1)若A＝ ，则2m－1≥3m＋2，解得m≤－3，此时A∩B＝ .
(2)若A≠ ，要使A∩B＝ ，则应有
即所以－≤m≤1.
综上，当A∩B＝ 时，m≤－3或－≤m≤1.
所以当m>1或－3[感悟提高] 对于一些比较抽象复杂， ( http: / / www.21cnjy.com )条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．
1．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则 UA＝( )
A． B．{2}
C．{5} D．{2，5}
解析：选B.因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，
所以 UA＝{x∈N|2≤x＜}，故 UA＝{2}．
2．设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，c}，B＝{b}，则( UB)∩A＝( )
A． B．{a，c}
C．{a} D．{c}
解析：选B. UB＝{a，c，d}，( UB)∩A＝{a，c}．
3．已知全集U＝{1，2，3，5，6}， UA＝{1，3，6}，则集合A＝________．
解析：因为U＝{1，2，3，5，6}， UA＝{1，3，6}，所以A＝{2，5}．
答案：{2，5}
4．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∪( RB)＝________．
解析：由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
因为B＝{x|－1＜x≤5}，所以 RB＝{x|x≤－1或x＞5}．
所以A∪( RB)＝{x|－3＜x＜3}∪{x|x≤－1或x＞5}＝{x|x＜3或x＞5}．
答案：{x|x＜3或x＞5}
[A.基础达标]
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则 UA＝( )
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}
C．{2，4，7} D．{2，5，7}
解析：选C.因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，所以 UA＝{2，4，7}．
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
解析：选D.因为A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
所以A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．
所以 U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．
3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则( RA)∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1，0，1} D．{0，1}
解析：选A.因为集合A＝{x|x>－1}，所以 RA＝{x|x≤－1}，
则( RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}．
4．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5，7}，B＝{3，4，5}，则( UA)∪( UB)等于( )
A．{1，6} B．{4，5}
C．{2，3，4，5，7} D．{1，2，3，6，7}
解析：选D. UA＝{1，3，6}， UB＝{1，2，6，7}，
所以( UA)∪( UB)＝{1，2，3，6，7}．
5．设全集U＝{1，2，3，4}，且集合M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若 UM＝{2，3}，则实数p的值为( )
A．－4 B．4
C．－6 D．6
解析：选B.由全集U＝{1，2，3 ( http: / / www.21cnjy.com )，4}， UM＝{2，3}可知M＝{1，4}，而M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，所以1，4为方程x2－5x＋p＝0的两根，由一元二次方程中根与系数的关系可得p＝1×4＝4，故选B.
6．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则( UA)∩B＝________．
解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，
即( UA)∩B＝{7，9}．
答案：{7，9}
7．设全集U＝{不大于20的素数}，已知A ( http: / / www.21cnjy.com )∩( UB)＝{3，5}，( UA)∩B＝{7，11}，( UA)∩( UB)＝{2，17}，则集合A＝________，B＝________．
解析：U＝{2，3，5，7，11， ( http: / / www.21cnjy.com )13，17，19}，由( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{2，17}，知2，17 (A∪B)，由条件，画出Venn图，如图所示，
所以A＝{3，5，13，19}，B＝{7，11，13，19}．
答案：{3，5，13，19} {7，11，13，19}
8．如图，已知U＝{1，2，3，4，5 ( http: / / www.21cnjy.com )，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．
解析：因为A∩C＝{2，4，5，8}，
UB＝{2，6，8，9，10}，
所以(A∩C)∩( UB)＝{2，8}．
答案：{2，8}
9．已知全集U＝R，集合A＝{x ( http: / / www.21cnjy.com )|－1≤x－1≤2}，B＝{x|x－a≥0，a∈R}，若( UA)∩( UB)＝{x|x＜0}，( UA)∪( UB)＝{x|x＜1或x＞3}，求a的值．
解：如图所示，由( UA)∩( UB ( http: / / www.21cnjy.com ))＝ U(A∪B)＝{x|x＜0}，得A∪B＝{x|x≥0}，由( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)＝{x|x＜1或x＞3}，得A∩B＝{x|1≤x≤3}．因为A＝{x|－1≤x－1≤2}＝{x|0≤x≤3}，所以B＝{x|x≥a}＝{x|x≥1}，所以a＝1.
10．已知集合A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＜－5或x＞1}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}．
(1)求A∪B，A∩( RB)；
(2)若B∩C＝ ，求实数m的取值集合．
解：(1)A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＜－5或x＞1}，
所以A∪B＝{x|x＜－5或x＞－4}，又 RB＝{x|－5≤x≤1}，
所以A∩( RB)＝{x|－4＜x≤1}．
(2)若B∩C＝ ，则需解得
故实数m的取值集合是{m|－4≤m≤0}．
[B.能力提升]
1．设U＝{1，2，3，4，5}，且AU，BU，A∩B＝{2}，( UA)∩B＝{4}，( UA)∩( UB)＝{1，5}，则下列结论正确的是( )
A．3∈A，3∈B B．3∈ UA，3∈B
C．3∈A，3∈ UB D．3∈ UA，3∈ UB
解析：选C.由( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{1，5}知1，5 (A∪B)，画出Venn图，如图所示，所以3∈A，3∈ UB.
2．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M且x P}，则M－(M－P)＝( )
A．P B．M
C．M∩P D．M∪P
解析：选C.当M∩P≠ 时 ( http: / / www.21cnjy.com )，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝ 时，M－P＝M，此时有M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M且x M}＝ ＝M∩P.
综上所述，故选C.
3．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩( UB)＝________．
解析：因为U＝{1，2，3，4}， U(A∪B)＝{4}，
所以A∪B＝{1，2，3}．又因为B＝{1，2}，所以{3} A {1，2，3}．
又 UB＝{3，4}，所以A∩( UB)＝{3}．
答案：{3}
4．设非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A (A∩B)成立的a的集合是________．
解析：因为A (A∩B)，所以A B.
因为A≠ ，则2a＋1≤3a－5，所以a≥6.
所以由3≤2a＋1≤3a－5≤22，解得6≤a≤9.
答案：{a|6≤a≤9}
5．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}．
(1)求a的值及A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求( UA)∪( UB)；
(3)写出( UA)∪( UB)的所有子集．
解：(1)因为A∩B＝{2}，
所以2∈A，且2∈B.
所以2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的解．
所以8＋2a＋2＝0，且4＋6＋2a＝0，解得a＝－5.
所以A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝{，2}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}．
(2)U＝A∪B＝∪{－5，2}＝.
因为 UA＝{－5}， UB＝，
所以( UA)∪( UB)＝.
(3)集合( UA)∪( UB)的所有子集为 ，{－5}，，.
6．(选做题)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且 RA RB，求实数a的取值集合．
解：因为A＝{x|x2－4x＋3＝0}，所以A＝{1，3}．
又 RA RB，
所以B A，所以有B＝ ，B＝{1}，B＝{3}三种情形．
当B＝{3}时，有3a－6＝0，所以a＝2；
当B＝{1}时，有a－6＝0，所以a＝6；
当B＝ 时，有a＝0，
所以实数a的取值集合为{0，2，6}．§2 对函数的进一步认识
2．1 函数概念
1．问题导航
(1)从集合的观点出发，函数定义中的两个集合A，B必须满足哪两个条件？
(2)对应关系f一定能用解析式表示吗？
(3)区间是集合吗？符号“∞”是一个确定的数吗？
2．例题导读
P27例1.通过本例学习，(1)学会求实际问题的函数表达式；(2)理解实际问题的定义域既要使解析式有意义，又受到自变量实际意义的制约．
试一试：教材P28练习T2你会吗？
1．函数的定义
给定两个非空数集A和B，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A．此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
2．区间与无穷的概念
(1)区间
设a，b是两个实数，而且a定义 名称 符号 几何表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
(2)无穷概念及无穷区间
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(2)根据函数的定义，定义域内不同的x可以对应同一个y.( )
(3)对于函数f：A→B或y＝f(x)，x∈A，其值域{y|y＝f(x)，x∈A} B.( )
(4)区间是一种特殊的集合．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知F(u)＝u2，M(u)＝6u2－u－3，则F(3)＋M(2)＝( )
A．30 B．28
C．26 D．24
解析：选B.因为F(3)＝32＝9，M(2)＝6×22－2－3＝19，
所以F(3)＋M(2)＝9＋19＝28，故选B.
3．设全集为R, 函数f(x)＝的定义域为M, 则 RM为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：选B.函数f(x)的定义域M＝(－∞，1]，则 RM＝(1，＋∞)．
4．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：根据区间的规定应有a＜3a－1，即a＞.
答案：(，＋∞)
函数的三要素
(1)定义域
定义域是自变量x的取值范围，是构成函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不可缺少的组成部分．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，如果函数涉及实际问题，它的定义域还必须使实际问题有意义．
(2)对应关系
函数符号“y＝f(x)”是数学中的 ( http: / / www.21cnjy.com )抽象符号之一，对应关系f是函数核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”于不同形式的变量，如f(x)是对x实施“操作”，而f(x2)是对x2实施“操作”，f(2)是对2实施“操作”，f(a)是对a实施“操作”．
(3)值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定．
相等函数的判定
下列各组中的两个函数是否表示同一函数？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝·，y＝；
(4)f(x)＝，g(x)＝x＋2；
(5)f(x)＝，g(x)＝|x＋2|.
[解] (1)在定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝的对应关系完全相同，只是表示形式不同，所以它们表示同一函数．
(2)y＝·的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，它们的定义域不同，故它们不表示同一函数．
(3)在定义域[－1，1]上，y＝·与y＝表示同一函数．
(4)f(x)＝＝x＋2(x≠2)，它与g(x)＝x＋2的对应关系相同，但定义域不同，所以它们不表示同一函数．
(5)f(x)＝＝|x＋2|，它与g(x)＝|x＋2|的对应关系和定义域分别相同，所以它们表示同一函数．
方法归纳
判定两个函数是否表示同一函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，要看三要素的实质是否对应相同．由于函数的值域可由定义域及对应关系唯一确定，因而只需判断定义域及对应关系是否分别相同即可．
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝2x，g(x)＝
解析：选C.A、B中两函数的定义域不同，D中两函数的对应关系不同，故选C.
求函数的定义域
(1)函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0，1] B．[0，1)
C．[0，1)∪(1，4] D．(0，1)
(3)已知函数f(x＋2)的定义域为[－2，2]，则f(x－1)＋f(x＋1)的定义域为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[1，3] D．[－1，5]
[解析] (1)由得x∈[－1，1)∪(1，＋∞)．
(2)由得x∈[0，1)．
(3)因为－2≤x≤2，
所以0≤x＋2≤4，即f(x)的定义域为[0，4]．
由得x∈[1，3]．
[答案] (1)D (2)B (3)C
方法归纳
(1)求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．
①当f(x)是整式时，其定义域为R；
②当f(x)是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合；
③当f(x)是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
(2)已知函数f(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合．一般地，函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域．
2．(1)已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x2＋1)的定义域；
(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0，1)，求f(1－3x)的定义域．
解：(1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，所以－1≤x2≤0，所以x＝0，
所以f(x2＋1)的定义域为{0}．
(2)因为f(2x－1)的定义域为[0，1)，即0≤x＜1，
所以－1≤2x－1＜1，
所以f(x)的定义域为[－1，1)，即－1≤1－3x＜1，
所以0＜x≤，所以f(1－3x)的定义域为.
求函数值域问题
求下列函数的值域：
(1)y＝3x－1，x∈{1，3，5，7}；
(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；
(3)y＝x＋；
(4)y＝.
(链接教材P27例1)
[解] (1)(逐个求值法)将x＝1，3，5，7依次代入解析式，得y＝2，8，14，20，所以函数的值域是{2，8，14，20}．
(2)(配方法或公式法)
因为y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，
所以函数的值域是(－∞，2]．
(3)(换元法或配方法)令＝t，则x＝，且t≥0，
所以y＝＋t＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1≤1.
所以所求函数的值域是(－∞，1]．
(4)(分离常数法)因为y＝＝＝3＋，
又因为x≠2，所以y≠3，所以函数的值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)．
方法归纳
(1)求函数值域的方法
①对一些简单的函数，可用观察法直接求解；
②对于二次函数，常用配方法求值域；
③对于分式类型的函数，可采用分离常数法求解；
④对于带根号的函数，常用换元法求值域，要注意换元前后变量的取值范围．
(2)求函数值域的注意事项
求函数值域应首先确定定义域，由定义域及对应关系确定函数的值域．
3．(1)函数y＝－1的值域是________；
(2)函数y＝的值域是________；
(3)函数y＝x－2的值域是________．
解析：(1)(观察法)
因为≥0，所以－1≥－1.
所以y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(2)(分离常数法)
y＝＝
＝
＝－.
因为≠0，所以y≠.
所以函数的值域为.
(3)令＝t，则t∈[0，＋∞)，所以x＝1－t2≤1，
所以y＝1－t2－2t＝－(t＋1)2＋2≤1.
所以函数的值域为(－∞，1]．
答案：(1)[－1，＋∞) (2){y|y∈R且y≠}
(3)(－∞，1]
易错警示 求函数定义域时因考虑不全而致误
函数f(x)＝＋的定义域为________．
[解析] 要使函数有意义，必须
解得
即0故函数的定义域是(0，1)∪.
[答案] (0，1)∪
[错因与防范] (1)易忽略x－1≠0或x＋|x|≠0的限制致错．
(2)若函数y＝f(x)的解析式是由几部分数学式子组成，则函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合，即是使各部分有意义的集合的交集．
4．函数f(x)＝＋的定义域是________．
解析：由得x∈(－2，3)∪(3，＋∞)．
答案：(－2，3)∪(3，＋∞)
1．下列对应是集合M上的函数的有( )
①M＝R，N＝N＋，对应 ( http: / / www.21cnjy.com )关系f：对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应；②M＝{1，－1，2，－2}，N＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应关系f：对M中的三角形求面积与N中的元素对应．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选A.因为①中M内有的元素在N中无对应元素；③中M的元素不是数集，故只有②是函数．
2．函数y＝的定义域是( )
A.
B.∪(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选B.由得x≥且x≠2，所以定义域为∪(2，＋∞)．
3．已知f(x)＝3x－1，则f(1)＝________．
解析：f(1)＝3×1－1＝2.
答案：2
4．已知集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝________．
解析：因为M＝[－1，＋∞)，N＝[－，]，
所以M∩N＝[－1，]，
答案：[－1，]
[A.基础达标]
1．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝与y＝x(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：选C.A中两函数定义域不同，B、D中两函数对应关系不同，C中定义域与对应关系都相同，故选C.
2．如图所示的四个图像中，可以表示y＝f(x)的图像的只可能是( )
解析：选D.根据函数的定义，当自变量x取 ( http: / / www.21cnjy.com )一值时，y只有一个值与x对应，因此，作任一条直线垂直于x轴，只要这条直线与图像最多只有一个交点，就能判断这个图像是函数图像，否则就不是．A、B、C都有两个交点，只有D符合．
3．y＝的定义域为( )
A．{x|x≠0} B．{x|x≠－1}
C．{x|x≠0或x≠－1} D．{x|x≠0且x≠－1}
解析：选D.由题意可得x≠0且1＋≠0，即x≠0且x≠－1.
4．函数y＝－＋3的定义域是( )
A．{x|－2C．{－2，5} D．{x|－2≤x≤5}
解析：选D.由得－2≤x≤5，所以定义域为{x|－2≤x≤5}．
5．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( )
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：选A.因为函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，
所以自变量x取0，1，2，3四个实数，将x的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1，0，3，
故其值域为{－1，0，3}．
6．下表表示y是x的函数，则当x＝6时，对应的函数值是________.
x 0＜x≤1 1＜x≤5 5＜x≤10 x＞10
y 1 2 3 4
解析：因为5＜6≤10，
所以当x＝6时，对应的函数值是3.
答案：3
7．已知集合M＝{x|y＝2－x}，N＝{y|y＝x2}，则M∩N＝________．
解析：因为M＝R，N＝[0，＋∞)，
所以M∩N＝[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．已知函数f(x)＝，g(x)＝x2＋2，则f(g(2))＝________，g(f(2))＝________．
解析：g(2)＝22＋2＝6，f(g(2))＝f(6)＝＝，f(2)＝＝，g(f(2))＝g＝＋2＝.
答案：
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝－；
(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，所以函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，必须满足，即，
所以x<0且x≠－1，
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
10．求下列函数的值域．
(1)y＝2x－；
(2)y＝.
解：(1)令＝t，则t≥0，x＝t2＋1.
所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2＋.
因为t≥0，所以y≥.
所以函数y＝2x－的值域是.
(2)因为y＝＝＝(x≠1且x≠－)，
又因为＝＝－，
因为≠0，所以y≠.
当x＝1时，＝＝－.
所以函数的值域为.
[B.能力提升]
1．已知f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则f(2x－1)的定义域是( )
A．[－1，4] B.
C．[－5，5] D．[－3，7]
解析：选B.因为－2≤x≤3，
所以－1≤x＋1≤4，即f(x)的定义域为[－1，4]，所以－1≤2x－1≤4，所以0≤x≤.
2．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为( )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|0解析：选D.由题意可知0y，即2x>10－2x，x>.
综上可得3．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
答案：10
4．已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有______个．
解析：由函数f(x)＝－1的值域是 ( http: / / www.21cnjy.com )[0，1]，所以0≤－1≤1，即1≤≤2，得0≤|x|≤2，因此满足条件的整数数对有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．
答案：5
5．k为何值时，函数y＝的定义域为R
解：(1)当k＝0时，y＝＝＝－8，即x取任意实数时，y都有意义，所以定义域为R；
(2)当k≠0时，分母kx2＋2kx＋1对任意实数x均不等于0的条件是判别式Δ<0，即(2k)2－4k<0.
所以0综上所述，当0≤k<1时，原函数的定义域为R.
6．(选做题)已知集合A＝{1，2，3，k ( http: / / www.21cnjy.com )}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N＋，k∈N＋，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.
解：根据对应关系f，有：
1→4；2→7；3→10；k→3k＋1.
若a4＝10，则a N＋，不符合题意，舍去；
若a2＋3a＝10，
则a＝2(a＝－5不符合题意，舍去)．
故3k＋1＝a4＝16，得k＝5.
综上：a＝2，k＝5，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{4，7，10，16}．§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
1．问题导航
(1)函数的零点是如何定义的？
(2)函数的零点是函数的图像与x轴的交点吗？
(3)判定函数y＝f(x)在[a，b]上存在变号零点需要y＝f(x)满足哪些条件？
(4)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图像是连续曲线，且f(a)f(b)＞0，那么y＝f(x)在(a，b)上一定无零点吗？
2．例题导读
(1)P115例1.通过本例学习，理解判别式在判定二次函数零点(或二次方程根)中的应用．
(2)P116例2.通过本例学习，掌握函数y＝f(x)在(a，b)内零点存在的方法．
(3)P116例3.通过本例学习，了解二次函数零点(二次方程根)的分布．
1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的解．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b] ( http: / / www.21cnjy.com )上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．此法亦称“零点存在定理”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x－1的零点是(1，0)．( )
(2)任何函数都有零点．( )
(3)函数f(x)＝x2－2x的零点是0和2.( )
(4)有些函数的零点不能用零点判定定理来判定．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 4.5 －2.9 －3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选B.因为f(x)的图像连续不断，且f(1)f(2)＝4.5×(－2.9)<0，
所以在(1，2)内必存在零点．
3．函数f(x)＝x3－x的零点是________．
解析：函数y＝f(x)的零点 ( http: / / www.21cnjy.com )就是方程f(x)＝0的实数解，由x3－x＝0得x(x＋1)(x－1)＝0，故x＝0或x＝－1或x＝1.因此，函数f(x)＝x3－x有3个零点，分别是0，－1，1.
答案：0，－1，1
4．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的根的个数为________．
解析：因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．
答案：3
(1)当函数y＝f(x)同 ( http: / / www.21cnjy.com )时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0时，才能判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解，这两个条件缺一不可．
(2)当函数y＝f(x)的图像在闭 ( http: / / www.21cnjy.com )区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]上可能存在零点，也可能不存在零点，相应的方程f(x)＝0在区间[a，b]上可能有实数解，也可能没有实数解．
(3)函数零点的判定定理指出了函数零点和相应方程实数解的存在，并不能判断具体有多少个零点，多少个实数解．
求函数的零点
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6.
故函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1.
故函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26.
故函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，
故函数的零点是－6.
方法归纳
求函数的零点就是求相应的方程的根，反之也成立．一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点．
1．求下列函数的零点．
(1)y＝；
(2)y＝x2＋2x＋1；
(3)y＝－3x3－7x2＋6x；
(4)y＝4x－2x；
(5)y＝loga(x2－x＋1)(a>0且a≠1)．
解：(1)令y＝0，得＝0，所以此函数无零点．
(2)令y＝0，得x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，
所以此函数的零点为－1.
(3)令y＝0，得－3x3－7x2＋6x＝0，
即x(3x2＋7x－6)＝0，
即x(x＋3)(3x－2)＝0，所以x＝0或x＝－3或x＝，
所以此函数的零点是－3，0，.
(4)令y＝0，得(2x)2－2x＝0，
即2x(2x－1)＝0，又2x>0，
所以2x－1＝0，x＝0，此函数的零点为0.
(5)令y＝0，得x2－x＋1＝1，
即x(x－1)＝0，所以x＝0或x＝1，
所以此函数的零点为0和1.
函数零点个数的判定
求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解] 法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0，
所以f(x)在(0，2)上必定存在零点．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一直角坐标系内作出h(x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像，如图所示．由图像知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
方法归纳
判断函数零点个数的三种常用方法
(1)直接法：直接求出函数的零点(解方程)．
(2)单调性法：利用f(a)f(b)＜0及函数的单调性，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(3)转化法：由f(x)＝g( ( http: / / www.21cnjy.com )x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)在f(x)的定义域内的图像，利用图像判定方程根的个数．
2．(1)函数f(x)＝x3－的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．
解析：(1)因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝1－＝＞0，所以f(x)在(0，1)上必定存在零点，
又因为f(x)＝x3－在R上是递增的，所以f(x)有且只有一个零点．
(2)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，因为f(x)是R上的奇函数，
所以当x＜0时f(x)＝－x2－3x，所以g(x)＝
当x≥0时，令x2－4x＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0，得x＝1或x＝3，均符合题意；当x＜0时，令－x2－4x＋3＝0，得x＝－2＋(舍)或x＝－2－，故g(x)的零点的集合为{1，3，－2－}．
答案：(1)B (2){1，3，－2－}
判定函数的零点所在区间
(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
(2)函数f(x)＝ln(x＋1)－(x＞0)的零点所在的大致区间是( )
A．(3，4) B．(2，e)
C．(1，2) D．(0，1)
[解析] (1)因为f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，
所以f(0)·f(1)＜0.
由零点存在定理，f(x)的零点所在的一个区间为(0，1)．
(2)由题意可得f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为(0，＋∞)，可知f(x)在(0，＋∞)上是递增的．f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln(2＋1)－1＝ln 3－1＞0，
可得f(1)·f(2)＜0，由零点存在定理，可知f(x)零点所在大致区间是(1，2)．
[答案] (1)C (2)C
方法归纳
函数零点所在区间的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.
3．(1)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0在下列哪个区间内( )
A．(3，4) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
(2)设函数y＝x3与y＝的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：(1)选D.x0是ln ( http: / / www.21cnjy.com )x＋x＝4的解，即x0是f(x)＝ln x＋x－4的零点．易知f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以f(x)最多有一个零点．
所以f(2)＝ln 2－2＜0，
f(3)＝ln 3－1＞0，可得f(2)f(3)＜0，
由零点存在定理，可知x0∈(2，3)．
(2)选B.y＝x3与y＝的图像的交点的 ( http: / / www.21cnjy.com )横坐标即为x3＝的根，即f(x)＝x3－的零点，可知f(x)只有一个零点，f(1)＝1－＝－1＜0，f(2)＝23－＝7＞0，
所以f(x)的零点在(1，2)内．
思想方法 函数思想、数形结合思想在求解有关
函数零点(方程根)中的应用
(1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1]
(2)若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)
f(x)＝k有两个不等的实根等价于y ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(x)和y＝k的图像有2个交点，由f(x)的图像可知，y＝f(x)和y＝k有两个交点，可知k∈(0，1]．
(2)因为函数f(x)＝x2－2 ( http: / / www.21cnjy.com )ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，①当函数在该区间内只有一个零点时，f(0)·f(4)<0或Δ＝4a2－8＝0，即2(18－8a)<0或a2＝2，解得a>或a＝.②当函数在该区间内有两个不同零点时，
有
解得综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥}．
[答案] (1)D (2)[，＋∞)
[感悟提高] 对于利用方 ( http: / / www.21cnjy.com )程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图像求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图像的交点问题，作出两个函数的图像，就可以判断其零点个数．
1．已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点有( )
A．2个 B．3个
C．至多2个 D．至少3个
解析：选D.由x，f(x)对应值表可知f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0.
由零点存在定理，可知f(x)在(2，3)、(3，4)、(4，5)区间内均存在零点，
故f(x)在区间[1，6]上零点至少有3个．
2．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.可知f(x)＝πx＋l ( http: / / www.21cnjy.com )og2x在(0，＋∞)内是递增的，因为f＝＋log2＝－2＜0，f＝＋log2＝－1＞0，所以由零点存在定理得，f(x)零点所在区间为.
3．如果函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，易知f(x)＝1不存在零点 ( http: / / www.21cnjy.com )，当a≠0时，可知f(－1)f(1)＝(－5a＋1)(a＋1)＜0，解得a∈(－∞，－1)∪.
答案：(－∞，－1)∪
4．若函数f(x)＝lg|x－1|－m有两个零点x1和x2，则x1＋x2＝________．
解析：令f(x)＝0，即：m＝lg|x－1|＝
f(x)的两个零点x1、x2是y＝m和y＝lg|x－1|图像交点的横坐标．
因为y＝lg(x－1)和y＝lg(1－x)关于直线x＝1对称．
所以x1＋x2＝2.
答案：2
[A.基础达标]
1．方程x3＋3x－1＝0在以下哪个区间内一定存在实根( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
解析：选B.令f(x)＝x3＋3x－1，其图像在R上连续且是递增的，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝3>0，故选B.
2．在区间(0，1)上不存在零点的函数是( )
A．f(x)＝－2 B．f(x)＝x3－2x
C．f(x)＝ex－2 D．f(x)＝ln x＋2
解析：选B.令f(x)＝0得x3－2x＝0，即x(x2－2)＝0，所以x＝0，x＝±，故选B.
3．如果函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，2 B．0，－
C．0， D．2，
解析：选B.因为函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，即2a＋b＝0，所以b＝－2a.
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
故函数g(x)有两个零点0，－.
4．函数y＝ax2－4x＋2只有一个零点，则实数a的值为( )
A．0 B．2
C．0或2 D．1
解析：选C.当a＝0时，y＝－4x＋2，
由－4x＋2＝0得x＝，
故函数有唯一零点，a＝0成立；
当a≠0时，二次函数y＝ax2－4x＋2有唯一零点，
则有Δ＝16－8a＝0，得a＝2.
综上，a＝0或a＝2.
5．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f＜0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C.由f·f＜0，可知f(x)在内存在零点，
又因为f(x)在[－1，1]上是递增的，所以f(x)在[－1，1]内有唯一零点，即f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实根．
6．函数f(x)＝的零点是________．
解析：令f(x)＝0，即＝0，可得x－1＝0或ln x＝0，解得x＝1，故f(x)的零点是1.
答案：1
7．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x实数解的个数为________．
解析：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得：b＝4，c＝2，故f(x)＝
当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2；
当x＞0时，2＝x，即x＝2.以上3解均满足要求．
答案：3
8．若方程ax－x－a＝0有两个实数解，则a的取值范围是________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )与函数y＝x＋a的图像，由图像可知当a>1时，它们有2个交点，即方程ax－x－a＝0有两个实数解．当0答案：(1，＋∞)
9．(1)求函数y＝4x＋3·2x－4的零点．
(2)已知函数f(x)＝x2－|x|＋3＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)令y＝0，得4x＋3·2x－4＝0，即(2x)2＋3·2x－4＝0，
所以(2x－1)(2x＋4)＝0 2x＝1或2x＝－4，
因为2x＞0，所以2x＝1 x＝0，
即函数y＝4x＋3·2x－4的零点是0.
(2)设g(x)＝x2－|x|＋3，则g(x)＝
画出其图像如图：
f(x)有4个零点，即方程g(x)＋a＝0有4个实根，即y＝g(x)与y＝－a有4个交点，由图知<－a<3，解得－310．当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数k的取值范围．
(1)方程x2－4x＋k＋2＝0的两根都在区间[－1，3]上；
(2)方程x2＋kx＋1＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上；
(3)方程x2＋kx＋2＝0至少有一个实根小于－1.
解：(1)设f(x)＝x2－4x＋k＋2，则方程两个根都在[－1，3]上等价于
所以1≤k≤2.
(2)设f(x)＝x2＋kx＋1，则方程一个根在(0，1)上，另一根在(1，2)上等价于 －(3)设f(x)＝x2＋kx＋2，若方程的两个实根都小于－1，
则有 2≤k<3；
若方程的两个根一个大于－1，另一个小于－1，则有f(－1)＝3－k<0，所以k>3；
若方程的两个根中有一个等于－1，由根与系数关系知另一根必为－2，
所以－k＝－1－2，所以k＝3.
综上，方程至少有一实根小于－1时，k≥2.
[B.能力提升]
1．已知a是函数f(x)＝3x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＜0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＝0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选A.因为f(x)＝3x－logx＝3x＋log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的．
又因为0＜x0＜a，所以f(x0)＜f(a)＝0.故选A.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)]＝xf(x)＋1，则方程f(x)＝0的实根个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选A.假设x0是f(x)的零点，则f(x0)＝0，
当x＝x0时，f[f(x0)]＝f(0)＝x0f(x0)＋1＝x0·0＋1，可得f(0)＝1；
当x＝0时，f[f(0)]＝f(1)＝0×f(0)＋1＝1，即f(1)＝1；
当x＝1时，f[f(1)]＝f(1)＝1×f(1)＋1，即f(1)＝f(1)＋1，0＝1矛盾．
故假设错误，因此该函数无零点．
3．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点有________个．
解析：由符号函数知f(x)＝其图像如图，由图像可知f(x)有3个零点．
答案：3
4．已知函数f(x)＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )gax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋.则n＝________．
解析：由条件知f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )(0，＋∞)上是递增的，在(n，n＋1)上图像连续，若在(n，n＋1)上存在零点，则有f(n)f(n＋1)＜0，而f(n)＜f(n＋1)，所以f(n)＜0，f(n＋1)＞0.
又n∈N＋时，logan≥0，所以n－b＜0，又3＜b＜4，所以n＜4.
当n＝1时，f(n)＝1－b＜0，f(n＋1)＝loga2＋2－b，loga2∈(log32，1)，2－b∈(－2，－1)．
所以f(n＋1)＜0，不合题意；
当n＝2时，f(n)＝loga2＋2－b＜0，f(n＋1)＝loga3＋3－b，loga3∈(1，log23)，3－b∈(－1，0)，
所以f(n＋1)＞0，
所以f(x)在(2，3)内有零点；
当n＝3时，f(n)＝loga3＋3－b＞0，不合题意．
综上，n＝2.
答案：2
5．已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
解：(1)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有两个相等实根时，有此时m无解；
(2)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根时，分以下三种情况讨论：
①有且只有一根在[0，1]上时，有f(0)·f(1)<0，即2m(m＋2)<0，得－2②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程化为x2＋3x－4＝0，根为x1＝1，x2＝－4.满足题意．
综上所述，实数m的取值范围是[－2，0]．
6．(选做题)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
所以log4－log4(4x＋1)＝2kx，
所以(2k＋1)x＝0，所以k＝－.
(2)依题意知：log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)．
整理得log4(4x＋1)＝log4[(a·2x－a)2x]，
所以4x＋1＝(a·2x－a)·2x，(*)
令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0(**)只需其仅有一正根．
①当a＝1时，t＝－1不合题意；
②当(**)式有一正一负根时，所以得a＞1.
③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，
所以a＝±2－2，且＞0，
所以a＝－2－2，
综上所述可知a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－2}．章末优化总结
判定函数零点(方程根)的区间
常用方法：(1)零点判定定理；
(2)数形结合利用函数的图像与x轴的交点；
(3)化为两函数图像交点的判断．
若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[解析] 因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
因为a0，f(b)<0，f(c)>0，
所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
[答案] A
函数零点个数(方程根个数)的判定[学生用书P79]
常用方法：(1)直接求出零点，与二次函数有关的零点个数常利用Δ判定．
(2)利用零点判定定理结合函数性质(如单调性、对称性等)判定零点的个数，把方程f(x)＝0根的个数转化为函数y＝f(x)零点个数的判定．
(3)函数f(x)＝g(x) ( http: / / www.21cnjy.com )－h(x)的零点或方程g(x)－h(x)＝0(其中g(x)，h(x)为常见易画图像)根的个数转化为函数y＝g(x)、y＝h(x)图像交点个数进行判定．
(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]上的图像如下图所示：
给出下列四个命题：
①方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；
②方程g[f(x)]＝0有且仅有3个根；
③方程f[f(x)]＝0有且仅有7个根；
④方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．
其中正确命题的序号为________．
[解析] (1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x ( http: / / www.21cnjy.com )|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
(2)函数f(x)的三个零点为a，b和0且a函数g(x)的两个零点为c，d且c(ⅰ)由f[g(x)]＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0知g(x)＝a或g(x)＝b或g(x)＝0，其中a∈(－2，－1)，b∈(1，2)，由g(x)的图像与y＝a有2个交点，与y＝b和y＝0都有2个交点，所以y＝f[g(x)]有6个零点，故①正确．
(ⅱ)由g[f(x)]＝0知f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝c或f(x)＝d，其中c∈(－2，－1)，d∈(0，1)，y＝f(x)的图像与直线y＝c有1个交点与直线y＝d有3个交点，
所以函数y＝g[f(x)]有4个零点，故②不对．
同理可以判断③不对，④正确．
故正确的说法为①④.
[答案] (1)B (2)①④
根据函数的零点(方程根)求参数的范围
常用方法：(1)二次函数零点(或二次方程根)的分布问题用函数思想求解．
(2)利用函数图像数形结合求解．
(3)利用分类讨论思想求解．
已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1，2) D．(2，＋∞)
[解析] 先作出函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.
[答案] B
函数模型的应用
常用方法：(1)利用所给定的函数模型或图像，用待定系数法求出解析式进而解决实际问题．
(2)构造函数模型：一是由题意直接确定模 ( http: / / www.21cnjy.com )型，进行解决其他问题，二是由题目提供的数据，利用图形确定函数模型．从而解决一些实际问题或预测一些结果．
我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p(x)＝2(1－kt)(x－b) (其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b、k为正的常数)，t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图像，求b、k的值；
(2)记市场需求量为a， ( http: / / www.21cnjy.com )它近似满足a(x)＝211－，当p＝a时的市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格控制在不低于9时，求关税税率的最小值．
[解] (1)由图像知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)))（5－b），,2＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)))（7－b），))
即
解得
(2)当p＝a时，有2(1－6t)(x－5) ＝211－，
即(1－6t)(x－5)2＝11－，
即2(1－6t)＝－.
由x≥9，得x－5≥4，即0<≤.
则[2(1－6t)]max＝－＝.
即1－6t≤，t≥.
故关税税率的最小值为.
1．若x0是方程()x＝x的解，则x0属于区间( )
A．(，1) B．(，)
C．(0，) D．(，)
解析：选D.令f(x)＝()x－x，由y＝x，y＝()x的单调性可知，f(x)是单调函数，且f()＝()－()>0，f()＝()－()<0.故由零点存在定理可知f(x)在(，)内有零点．
2．已知函数f(x)＝若函数f(x)在R上有两个不同零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－1，0) D．[－1，0)
解析：选D.当x＝时，f()＝2×－1＝0，故是f(x)的一个零点，故当x≤0时也应有一个零点，当x≤0时，ex＋a＝0，即ex＝－a，可得：ex∈(0，1]，故0<－a≤1, 即－1≤a<0.
3．中国政府在哥本哈根气候变化会议上 ( http: / / www.21cnjy.com )做出庄严承诺：2005年至2020年，中国单位国内生产总值二氧化碳排放强度下降到40%，则2005年至2020年二氧化碳排放强度平均每年降低的百分数为________．(参考数据：0.94115≈0.4)
解析：设平均每年降低的百分数为x ( http: / / www.21cnjy.com )，由题意得：(1－x)15＝0.4，1－x＝0.4，x＝1－0.4≈1－0.941＝0.059＝5.9%.
答案：5.9%
4．已知函数f(x)＝m ( http: / / www.21cnjy.com )x2－2(m＋n)x＋n，(m≠0)满足f(0)·f(1)>0，设x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则|x1－x2|的取值范围是________．
解析：由f(0)·f(1)>0可得n ( http: / / www.21cnjy.com )(m＋n)<0，()2＋<0.设t＝即t2＋t<0，得t∈(－1，0)．因为m≠0，所以Δ＝[－2(m＋n)]2－4mn＝4(m＋)2＋3n2>0.
则|x1－x2|＝＝2＝2，令g(t)＝t2＋t＋1，t∈(－1，0)，可得g(t)∈[，1)，故|x1－x2|∈[，2)．
答案：[，2)
5．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为：
480－40(x－1)＝520－40x(桶)．
因为x>0，520－40x>0，所以0y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200(0所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．
6．某电脑公司生产A种型号的笔记 ( http: / / www.21cnjy.com )本电脑，2011年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2012年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2015年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2011年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
(1)求2015年每台电脑的生产成本；
(2)以2011年的生产成本为基数，用二分法求2011～2015年生产成本平均每年降低的百分率(精度为0.01)．
解：(1)设2015年每台电脑的生产成本为P ( http: / / www.21cnjy.com )元，根据题意，得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P＝3 200(元)．
故2015年每台电脑的生产成本为3 200元．
(2)设2011～201 ( http: / / www.21cnjy.com )5年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0x 0 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45
f(x) 1 800 80.5 －590 －1 152 －2 000 －2 742
观察上表，可知f(0.1)·f(0.15)<0，说明此函数在区间(0.1，0.15)内有零点x0.
取区间(0.1，0.15)的中点x1＝0.125，可得f(0.125)≈－269.
因为f(0.125)·f(0.1)<0，
所以x0∈(0.1，0.125)．
再取区间(0.1，0.125)的中点x2＝0.112 5，可得f(0.112 5)≈－98.
因为f(0.1)·f(0.112 5)<0，
所以x0∈(0.1，0.112 5)．
同理可得，x0∈(0.1，0.106 ( http: / / www.21cnjy.com )25)，x0∈(0.103 125，0.106 25)，x0∈(0.104 687 5，0.106 25)，x0∈(0.105 468 75，0.106 25)，
由于|0.105 468 75－0.106 25|<0.01，
所以生产成本平均每年降低的百分率约为0.106 25，即10.625%.
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，可能求不出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：选C.x3为不变号零点．
2．设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C.函数的图像在定义域上连续且增加，
又f(2)＝ln 2＋2－40，
所以f(2)·f(3)<0，故此函数的唯一零点x0∈(2，3)．
3.如图，△ABC为等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图像大致为四个选项中的( )
解析：选C.设|AB|＝a(a>0)，则f(x)＝a2－x2 (a≥x≥0)．故f(x)的大致图像是开口向下的抛物线．故选C.
4．下列关于函数f(x)的图像中，可以直观判断方程f(x)－2＝0在(－∞，0)上有解的是( )
解析：选C.f(x)－2＝0在(－∞，0)上有解，即函数y＝f(x)与y＝2在(－∞，0)上有交点，观察可知选C.
5．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
解析：选A.画出散点图可知选A.
6．洗衣服时，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.设要洗x次，则≤，
所以x≥≈3.32，因此至少要洗4次，故选B.
7．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，得到如下参考数据：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.438)≈0.165 f(1.406 5)≈－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析：选C.因为f(1.438)>0，f(1.375)<0，
但|1.438－1.375|＝0.063>0.05，
又f(1.406 5)＝－0 ( http: / / www.21cnjy.com ).052<0，|1.438－1.406 5|＝0.031 5<0.05，有解区间为[1.406 5，1.438]，
故选C.
8．若函数f(x)＝2x－mx在区间(－1，0)内有一个零点，则实数m的取值可以是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
解析：选A.由题意k(x)＝2x，h(x)＝mx在(－1，0)内有一个交点(如图)，
当f(x)零点为－1时，有2－1＝m(－1)，m＝－，所以符合题意的m的取值范围是.故选A.
9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．2 015
解析：选C.因为函数f(x)为R上的奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间内存在一个零点．又f(x)为增函数，因此函数在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上的零点的个数为3，故选C.
10．设函数f(x)＝若有f(x1)＝f(x2)＝a(x1≠x2)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(0，2e) B．[1，2e)
C．[1，＋∞) D．[2e，＋∞)
解析：选B.由函数解析式知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)在(－∞，2)上是增函数，在[2，＋∞)上也是增函数．由于f(x1)＝f(x2)＝a(x1≠x2)，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上不是增函数．当x<2时，f(x)∈(0，2e)；当x≥2时，f(x)≥f(2)＝1，即f(x)∈[1，＋∞)．由题意可得直线y＝a和函数f(x)的图像有2个交点，故有1≤a<2e.所以实数a的取值范围是[1，2e)．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11.某加油机接到指令，给附近空中一运输 ( http: / / www.21cnjy.com )机加油．运输机的余油量为Q2(吨)，加油机加油箱内余油Q1(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图像如图所示．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，则运输机的油量________(填“够用”或“不够用”)．
解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为 ( http: / / www.21cnjy.com )0.Q2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油40＋30－69＝1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油量够用．
答案：够用
12．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升， ( http: / / www.21cnjy.com )然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．
解析：所倒次数1次，则y＝19，所倒次数2次，则y＝19×，所倒次数x次，则y＝19＝20，
所以y＝20.
答案：y＝20
13．若关于x的方程logx＝在区间(0，1)上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：要使方程有解，只要在函数y＝logx(0因为x∈(0，1)，所以logx>0.
所以>0.所以0答案：014．函数y＝lg(3－ ( http: / / www.21cnjy.com )4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，关于x的方程4x－2x＋1＝b(b∈R)有两不等实数根，则b的取值范围为________．
解析：由3－4x＋x2>0，解得x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )(－∞，1)∪(3，＋∞)．令t＝2x，t∈(0，2)∪(8，＋∞)，方程4x－2x＋1＝b可化为t2－2t＝b，令f(t)＝t2－2t，t∈(0，2)∪(8，＋∞)，其图像如图．由图像可知，要使方程有两不等实根，需y＝f(t)和y＝b图像有两个交点，可得b∈(－1，0)．
答案：(－1，0)
15．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，则a＋b＝________．
解析：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，
b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log ( http: / / www.21cnjy.com )2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A，B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，a＝－b＋3，故a＋b＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知函数f(x)图像是连续的，有如下表格：
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
f(x) －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.77 3.45 4.89
判断函数在哪几个区间上一定有零点．
解：因为函数的图像是连续不断的，
由对应值表可知f(－2)·f(－1. ( http: / / www.21cnjy.com )5)<0，f(－0.5)·f(0)<0，f(0)·f(0.5)<0.所以函数f(x)在区间(－2，－1.5)，(－0.5，0)以及(0，0.5)内一定有零点．
17．(本小题满分10分)我们知道，燕子每 ( http: / / www.21cnjy.com )年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
18．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，
所以函数图像过点(－3，0)，(2，0)，
所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
因为a≠0，所以a＝－3.
所以b＝a＋8＝5.
所以f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18.
＝－3＋＋18，
图像的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
所以函数f(x)的值域是[12，18]．
19．(本小题满分12分) ( http: / / www.21cnjy.com )某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%，若未赠礼品时的销售量为m(m>0)件．
(1)写出礼品的价值为n元时，利润yn(元)与n(元)的函数关系式；
(2)请你设计礼品的价值，以使商店获得最大利润．
解：(1)当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n；
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)·m·1.1n(0(2)令yn＋1－yn≥0，即( ( http: / / www.21cnjy.com )19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.所以y1所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19，
所以当礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝|x|＋－1(x≠0)．
(1)若对任意x∈R，不等式f(2x)>0恒成立，求m的取值范围；
(2)讨论函数f(x)零点的个数．
解：(1)由f(2x)>0得|2x|＋－1>0，
变形为(2x)2－2x＋m>0，即m>2x－(2x)2，
而2x－(2x)2＝－(2x－)2＋，
当2x＝即x＝－1时(2x－(2x)2)max＝，
所以m>.
(2)由f(x)＝0可得x|x|－x＋m＝0(x≠0)，变形为m＝－x|x|＋x(x≠0)，
令g(x)＝x－x|x|＝
作y＝g(x)的图像及直线y＝m，由图像可得：
当m>或m<－时，f(x)有1个零点．
当m＝或m＝0或m＝－时，f(x)有2个零点；
当0模块综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．{2，3，4}
解析：选A.因为A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则A∩B＝{1，3，5}∩{3，4}＝{3}．
2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C.要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x＞0，
解得x＞1或x＜0.
所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝则f[f(－2)]的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选D.因为f(x)＝所以f(－2)＝(－2)2＝4，f[f(－2)]＝f(4)＝4＋1＝5.
4．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
解析：选B.A项，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求；
B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；
C项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；
D项，函数定义域为R，但在(－∞，0]上是递减的，在[0，＋∞)上是递增的，不符合要求．
5．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选C.0log＝1，
即01，所以c>a>b.
6．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选C.f(x)的图像是一 ( http: / / www.21cnjy.com )条连续的曲线且是递增的，f(0)＝－1，f(1)＝，即f(0)f(1)<0，所以f(x)的唯一零点在(0，1)内．
7．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
解析：选B.因为log5b＝a，lg b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )c，所以5a＝b，b＝10c.又5d＝10，所以5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，所以a＝cd.
8．已知f(＋1)＝x＋2，且f(a)＝3，则实数a的值是( )
A．±2 B．2
C．－2 D．4
解析：选B.法一：令x＋2＝3，即x＋2－3＝0，所以＝1，故a＝＋1＝2.
法二：因为f(＋1)＝(＋1)2－1，设t＝＋1，所以f(t)＝t2－1(t≥1)，
由f(a)＝a2－1＝3(a≥1)得a＝2.
9．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
10．已知函数f(x)＝3x－b(2 ( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2，1)，设f－1(x)是f(x)的反函数，则F(x)＝[f－1(x)]2－f－1(x2)的值域为( )
A．[2，5] B．[1，＋∞)
C．[2，10] D．[2，13]
解析：选A.把(2，1)代入f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)，得1＝32－b，2－b＝0，b＝2.
所以f(x)＝3x－2(2≤x≤4)，又f(x)在[2，4]上递增，所以f(x)∈[1，9]．
而f－1(x)＝log3x＋2(1≤x≤9)，又对f－1(x2)有意义，需1≤x2≤9，所以1≤x≤3.
所以F(x)的定义域为[1，3]，令t＝ ( http: / / www.21cnjy.com )log3x(1≤x≤3)，则t∈[0，1]，F(x)＝(log3x＋2)2－(2log3x＋2)＝logx＋2log3x＋2＝(t＋1)2＋1∈[2，5]．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)
11．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
解析：4a＝2，a＝，lg x＝a，x＝10a＝.
答案：
12．我国2010年底的 ( http: / / www.21cnjy.com )人口总数为M，要实现到2020年底我国人口总数不超过N(其中M解析：由题意知M(1＋p)10≤N，所以(1＋p)10≤，p≤()－1.
答案：()－1
13．定义集合运算：A⊙B＝{ ( http: / / www.21cnjy.com )z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
解析：因为A⊙B＝{0，6，12}，
所以A⊙B的所有元素之和为0＋6＋12＝18.
答案：18
14．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得
解得4≤a<8.
答案：[4，8)
15．若偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是递减的，则满足f(ln x)>f(1)的x的取值范围是________．
解析：利用偶函数的性质，由f(ln x)>f(1)，
得f(|ln x|)>f(1)，
因为f(x)在[0，＋∞)上是递减的，所以|ln x|<1，
即－1所以e－1答案：(e－1，e)
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知集合U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，
(1)若 UA＝{1，2}，求实数m的值；
(2)若集合A是单元素集(即集合内元素只有一个)，求实数m的值．
解：(1)因为U＝{0，1，2，3}， UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，即0，3是x2＋mx＝0的两根，所以m＝－(0＋3)＝－3.
(2)因为A为单元素集，所以x2＋mx＝0有两个相等的实数根，由Δ＝m2＝0得m＝0，此时A＝{0}．
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)log2－log3＋3log32－5log53；
(2)()－＋10()×()－ .
解：(1)原式＝2log32＋3log32－log332＋log39－3
＝5log32－log325＋2－3＝5log32－5log32－1＝－1.
(2)原式＝300＋10××－10(2＋)
＝3×100＋10×－20－10
＝×10＋10×－20－10＝－5.
18．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(log3)·(log33x)．
(1)若x∈[，]，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若方程f(x)＋m＝0有两根α，β，试求αβ的值．
解：(1)f(x)＝(log3x－3)·(log3x＋1)
令log3x＝t，t∈[－3，－2]，
所以g(t)＝t2－2t－3，t∈[－3，－2]，
所以g(t)的对称轴t＝1，
所以f(x)max＝g(－3)＝12，f(x)min＝g(－2)＝5.
(2)由题意可得方程(log3x)2－2log3x－3＋m＝0的两解为α，β，
所以log3α＋log3β＝2，所以log3(αβ)＝2，所以αβ＝9.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x(＋)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)>0；
(3)若f(x)·f(－x)＝x2，求x的值．
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，其关于原点对称，
即对定义域内的每一个x都有：
f(－x)＝－x(＋)＝－x(＋)
＝x(＋)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)证明：当x>0时，有2x>1，即2x－1>0，
所以f(x)＝x(＋)>0.
当x<0时，则－x>0，
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)>0，
综上所述，均有f(x)>0.
(3)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以(f(x))2＝x2，
即x2(＋)2＝x2，
因为x≠0，所以＋＝±，
由＋＝得，2x－1＝3，所以2x＝4，所以x＝2，
由＋＝－得，
2x－1＝－，所以2x＝，所以x＝－2，所以x的值是2或－2.
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝log[x2－2(2a－1)x＋8]，a∈R.
(1)若f(x)在[a，＋∞)上为减函数，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)＝log(x＋3)－1在(1，3)内有两个不等实根，求a的取值范围．
解：(1)要使f(x)在[a ( http: / / www.21cnjy.com )，＋∞)上为减函数，一方面g(x)＝x2－2(2a－1)x＋8是递增的，另一方面g(x)>0，所以2a－1≤a且g(a)＝a2－2a(2a－1)＋8>0，解得－(2)由已知得x2－4ax＋2＝0在(1，3)内有两个不等实根，令F(x)＝x2－4ax＋2，则
即
解之得1．问题导航
(1)换底公式的条件是什么？
(2)换底公式的作用是什么？
(3)换底公式有哪些常用推论？
2．例题导读
(1)P84例7.通过本例学习，掌握换底公式在计算中的应用．
(2)P84例8、P85例9.通过这两例学习，掌握换底公式在近似计算和实际问题中的应用．
试一试：教材P86练习T1、T2你会吗？
1．对数换底公式
logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
2．常用推论
(1)logab·logba＝1(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1)．
(2)logab·logbc·logca＝1(其中a，b，c均大于0且不等于1)．
(3)logambn＝logab(其中a>0且a≠1，b>0)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为＝，所以lg 2可以写成ln 2.( )
(2)log32不可以表示成log32＝.( )
(3)ln N＝是对ln N通过换底公式以10为底得到的．( )
(4)logambn＝logab.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．log713等于( )
A．log137 B.
C. D.
解析：选B.log713换为常用对数为.
3.＝________．
解析：＝·＝·＝1.
答案：1
4．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________．
解析：因为log34·log48·log8m＝2，
所以··＝2，化简得lg m＝2lg 3＝lg 9.
所以m＝9.
答案：9
对换底公式的两点说明
(1)成立的条件：公式在左右两边对数式都有意义的情况下才能成立．
(2)作用：换底公式可以将对数化成以10或e为底的对数，可以将不同底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建起了一座桥梁．
利用换底公式求值
计算：(1)log1627log8132；
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)．
[解] (1)原式＝×＝×＝×＝.
(2)原式＝
＝×·＝.
若将本例(2)改为“(log43＋log83)·”，则结果如何？
解：(log43＋log83)＝
＝··＝.
方法归纳
(1)在求对数式的值时，若底数不同，运用换底公式化为同底的对数，再利用对数运算性质计算．
(2)要注意换底公式的正用、逆用及常用推论的应用．
1．计算下列各式的值：
(1)27－(lg 2＋lg 5)×log2＋log23×log34；
(2)log2·log3·log5.
解：(1)原式＝33×－lg 10×log22－3＋log23×log322＝9＋3＋2＝14.
(2)原式＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－15log25·log53·log32＝－15.
用已知对数表示其他对数
已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.
[解] 由18b＝5，得log185＝b.又log189＝a，
则log3645＝＝
＝＝＝
＝.
方法归纳
若已知对数与要表示的对数底相同可用运算性质直接表示，否则需用换底公式使底相同后再表示．
2．(1)已知log142＝a，试用a表示log 7.
(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.
解：(1)法一：因为log142＝a，所以log214＝.
所以1＋log27＝.所以log27＝－1.
由对数换底公式，得log27＝＝.
所以log 7＝2log27＝2(－1)＝.
法二：由对数换底公式，
得log 142＝＝＝a.
所以2＝a(log 7＋2)，即log 7＝.
(2)因为log245＝log2 ( http: / / www.21cnjy.com )(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝，所以log245＝2a＋＝.
对数运算的实际应用
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(链接教材P85例9)
[解] 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.依题意，得＝0.75x，
即x＝log0.75＝
＝＝
＝≈4.
所以估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
方法归纳
此类问题一般由题意建立指数型函数模型，按题中要求建立方程，然后利用对数解方程．
3．2014年我国国民生 ( http: / / www.21cnjy.com )产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2014年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
解：设经过x年后国民生产总值为2014年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
所以1.08x＝2，
所以x＝log1.082＝＝≈9，
故约经过9年后国民生产总值是2014年的2倍．
规范解答 与方程有关的对数运算
(本题满分12分)已知a、b、x为正数，且lg(bx)·lg(ax)＋1＝0，求lg a－lg b的取值范围．
[解] 因为lg(bx)lg(ax)＋1＝0，
所以(lg b＋lg x)(lg a＋lg x)＋1＝0，
所以(lg x)2＋(lg a＋lg b)lg x＋lg a·lg b＋1＝0.①4分
因为x>0，所以上述关于lg x的方程有实根，
所以(lg a＋lg b)2－4(lg a·lg b＋1)≥0，②8分
所以(lg a－lg b)2≥4，
所以lg a－lg b≥2或lg a－lg b≤－2.12分
[规范与警示] (1)①处易出现(l ( http: / / www.21cnjy.com )g x)2与lg x2混淆不清而失分，②处注意抓住已知条件x为正数，转化为lg x存在，再转化为方程①有实根 Δ≥0.
(2)对含参数的对数方程(不等式)的求解，应利用对数的定义，与指数式的转化及运算性质综合解答．
1．若ab>0，则下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg＝lg a－lg b；
③lg＝lg；④lg(ab)＝中，正确等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：选D.当a<0，b<0时①②不正确，排除A、B；当ab＝1时④不正确，排除C.故选D.
2．已知a＝log23，则用a的代数式表示log38－log26＝( )
A.－1－a B．2a－1
C.－1＋a D．4a－1
解析：选A.log38－log26＝3log32－log23－1＝－a－1.
3．计算(log23)(log34)＋16log43＝________．
解析：原式＝log23·(2log32)＋42log43＝2log23·log32＋4log432＝2＋32＝11.
答案：11
4．计算(log2＋log83)(log3＋log94)的结果为________．
解析：原式＝(log2＋log2)(log3＋log32)
＝log23·log32＝×log23·log32＝.
答案：
[A.基础达标]
1．式子log916·log881的值为( )
A．18 B.
C. D.
解析：选C.原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.故选C.
2．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为( )
A．a－b B.
C．ab D．a＋b
解析：选B.因为ln 2＝a，ln 3＝b，所以log32＝＝.
3．已知2x＝3y≠1，则＝( )
A．lg B．lg
C．log32 D．log23
解析：选D.令2x＝3y＝k(k>0且k≠1)，
所以x≠y≠0，x＝log2k，y＝log3k，
故＝＝＝log23.
4．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是( )
A．20 B．2
C．±2 D．400
解析：选B.因为2a＝5b＝M>0，所以a＝ ( http: / / www.21cnjy.com )log2M，b＝log5M，由＋＝2得＋＝2，即2logM2＋logM5＝2，所以logM20＝2，M2＝20，所以M＝2.
5．若2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，则－＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选A.因为x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
所以＝＝log1 0002.5，
同理＝log1 0000.25，所以－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝＝.
6．计算：27－2log23×log2＋log23×log34＝________．
解析：原式＝33×－3×log22－3＋log23(2log32)＝9＋9＋2＝20.
答案：20
7．设2a＝3b＝6，则＋＝________．
解析：因为2a＝3b＝6，
所以a＝log26，b＝log36，
所以＋＝＋＝log62＋log63＝log66＝1.
答案：1
8．若lg x－lg y＝a，则lg－lg＝________．
解析：因为lg x－lg y＝a，所以lg＝a，所以lg－lg＝10＝10lg＝10a.
答案：10a
9．常用对数lg N和自然对数ln ( http: / / www.21cnjy.com )N之间可以互相转换，即存在实数A，B使得lg N＝A·ln N，ln N＝B·lg N．试求A、B的值．
解：因为lg N＝，所以A＝＝lg e，
因为ln N＝，所以B＝＝ln 10.
10．解不等式9log3x－7log49 x －12>0.
解：因为9log3x＝(32)log3x＝32log3x＝3log3x＝x2，
又log49x2＝＝log7x，所以7log49x＝7log7x＝x.
所以原不等式可化为x2－x－12>0.
解得x>4或x<－3.
因为真数大于0，故原不等式的解集为{x|x>4}．
[B.能力提升]
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：选B.对A，logab·logcb ( http: / / www.21cnjy.com )＝·≠logca，A不恒成立；对B，logab·logca＝·＝＝logcb，B恒成立；对C，loga(bc)＝logab＋logac≠logab·logac，C不恒成立；对D，logab＋logac＝loga(bc)≠loga(b＋c)．故选B.
2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为( )
A．3 B．8
C．4 D．log48
解析：选A.因为2x＝3，所以x＝log23，又log4＝y，
所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2log2()
＝log23＋(3log22－log23)＝3.
3．若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，则＋＝________．
解析：因为2x1＝10，x1＝log210，5x2＝10，x2＝log510，
所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1.
答案：1
4．已知a，b，c都是大于1的正数，m>0，且logam＝24，logbm＝40，logabcm＝12，则logcm＝________．
解析：因为logam＝24，logbm＝40，logabcm＝12，
所以logma＝，logmb＝，logm(abc)＝.
因为logm(abc)＝logma＋logmb＋logmc，所以logmc＝－－＝.所以logcm＝＝60.
答案：60
5．已知x>0，y>0，z>0，xa＝yb＝zc且＋＝，
求证：z＝xy.
证明：当x＝y＝z＝1时，适合z＝xy.
当x≠1，y≠1，z≠1时，
由x>0，y>0，z>0，
令xa＝yb＝zc＝t(t>0且t≠1)，
则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt.
由＋＝得＋＝，
由换底公式可得logtx＋logty＝logtz.
即logtxy＝logtz，所以xy＝z即z＝xy.
综上，z＝xy.
6．(选做题)设a>0且a≠1，x、y满足 ( http: / / www.21cnjy.com )logax＋3logxa－logxy＝3，试用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取最小值．
解：因为logax＋3logxa－logxy＝3，
所以logax＋－＝3.
即logx＋3－logay＝3logax，
即logay＝logx－3logax＋3＝＋.
所以当logax＝，即x＝a时，logay取最小值.章末优化总结
集合的概念与表示
集合的概念与表示是集合运算的基础，主要有两类问题：一是集合元素的三大特性，二是用适当的方法表示集合．
(1)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是( )
A．0∈A B．1.5 A
C．－1 A D．6∈A
(2)集合A＝{(x，y)|x＋y＝10，x∈N＋，y∈N＋}的元素个数为( )
A．8 B．9
C．10 D．100
[解析] (1)A＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}，6 A.
(2)A＝{(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3)，(8，2)，(9，1)}，
所以A中共9个元素．
[答案] (1)D (2)B
集合的基本关系
集合的基本关系指集合间的包含关系，相等、不相等关系，非包含关系，所用符号有： ， ( ，)，＝，≠，，主要题型有：一是判定两集合的关系，二是根据集合关系求参数的值或范围．
(1)若集合A＝{x|x>－1}，则下列关系式中成立的为( )
A．0 A B．{0}∈A
C． ∈A D．{0} A
(2)已知集合P＝{x|x<－1或x>4}，Q＝{x|a＋1≤x≤2a－1}．若QP，求a的取值范围．
[解] (1)选D.根据元素与集合关系的使用符号及集合与集合间关系的使用符号知选D.
(2)①当a＋1>2a－1，即a<2时，Q＝ ，满足QP；
②当a＋1＝2a－1，即a＝2时，Q＝{3}，不满足QP；
③当a＋1<2a－1，即a>2时，利用数轴如图．
则有2a－1<－1或a＋1>4，即a<0或a>3，结合a>2，所以a>3，
综上，a的取值范围是a<2或a>3.
集合的基本运算
集合的基本运算有交集、并集和补集，进行集合 ( http: / / www.21cnjy.com )的运算时，首先关注集合的表示方法，对于用描述法表示的集合，认清元素一般符号的意义；一般地，有限数集的运算可以用观察法或Venn图法，无限数集的运算可以借助数轴，点集的运算可以借助图像，当然对集合的交、并、补运算也可直接用定义求解．
已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2(1)求A∪B；( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
[解] (1)A∪B＝{x|2 RA＝{x|x<4或x≥8}，
( RA)∩B＝{x|2(2)若A∩C≠ ，由数轴知a>4.
创新型集合问题
创新型集合问题主要有新定义、新性质和新运算等问题，关键是准确理解新定义、新性质和新运算，转化为运用集合的有关知识求解．
(1)设符号“@”是数集A中的一种运算．如果对于任意的x，y∈A，都有x@y∈A，则称运算@对集合A是封闭的．设A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭．
(2)集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则 ( http: / / www.21cnjy.com )称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b，c}的不同分拆种数为多少？
[解] (1)在集合A中任取两个元素x，y ( http: / / www.21cnjy.com )，不妨设x＝m1＋n1，y＝m2＋n2，m1，n1，m2，n2∈Z，那么x×y＝(m1＋n1)×(m2＋n2)＝(m1n2＋m2n1)＋m1m2＋2n1n2，
令m＝m1m2＋2n1n2，n＝m1n2＋m2n1，
则x×y＝m＋n.
由于m1，n1，m2，n2∈Z，所以m，n∈Z.
故A对通常的实数的乘法运算是封闭的．
(2)当A1＝ 时，A2＝A，此时只有1种分拆；
当A1为单元素集时，A2＝ AA1或A，此时A1有三种情况，故分拆为6种；
当A1为双元素集时，如A1＝{a，b}，A2＝{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，此时A1有三种情况，故分拆为12种；
当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故分拆为8种，综上所述共27种分拆．
1．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D.由A、B集合元素的互异性知a≠0，a≠1，a≠2，故选D.
2．设P，Q是两个非空集合，定义P× ( http: / / www.21cnjy.com )Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，则P×Q中元素的个数是( )
A．3 B．4
C．7 D．12
解析：选D.a有3种取值，b有4种取 ( http: / / www.21cnjy.com )值，P×Q中元素(a，b)有(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)；(4，4)，(4，5)，(4，6)，(4，7)；(5，4)，(5，5)，(5，6)，(5，7)．共12个．
3．设集合A＝{－1，0，3}，B＝{a＋3，2a＋1}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析：由题意知3∈B，所以a＋3＝3或2a＋1＝3，所以a＝0或a＝1.
答案：0或1
4．集合A＝{1，2，3， ( http: / / www.21cnjy.com )5}，当x∈A时，若x－1 A，且x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．
解析：因为x＝5时，x－1＝4 A，x＋1＝6 A，
所以A中的孤立元素为5.
答案：1
5．已知集合M＝{x|x2－3x≤10}，N＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}．
(1)若a＝2，求M∩( RN)；
(2)若M∪N＝M，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝2，所以N＝{x|3≤x≤5}， RN＝{x|x<3或x>5}．
又M＝{x|－2≤x≤5}，
所以M∩( RN)＝
{x|－2≤x≤5}∩{x|x<3或x>5}＝{x|－2≤x<3}．
(2)若N≠ ，由M∪N＝M，得N M，所以解得0≤a≤2.
若N＝ ，则2a＋1综上，实数a的取值范围是a≤2.
6．已知集合A＝{x|0(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝A，求a的取值范围．
解：A＝{x|a(1)由A∩B＝A知A B，故所以得0≤a≤1，即实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．
(2)由A∪B＝A知B A，故－≥6或
解得a≤－12，或 故a≤－12.
所以实数a的取值范围是{a|a≤－12}．
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x(x＋1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A B．1∈A
C．－1 A D．0 A
解析：选A.由于A＝{0，－1}，故选A.
2．下列四种说法：①“所有很小的正数” ( http: / / www.21cnjy.com )能构成一个集合；②方程(x－1)2＝0的解的集合是{1，1}；③{1，3，5，7}与{3，7，5，1}表示同一个集合；④集合{(x，y)|y＝x2－1}与{y|y＝x2－1}表示同一个集合，其中正确的是( )
A．①④ B．②③
C．③ D．③④
解析：选C.对①，“很小的正数”无客观标准 ( http: / / www.21cnjy.com )，不能构成集合，②不满足互异性，③中两集合所含元素完全相同，是同一个集合，④中一个集合为点集，一个为数集，两集合不同．
3．设集合U＝{1，2，3，4}，S＝{1，3}，则 US＝( )
A． B．R
C．U D．{2，4}
解析：选D.因为U＝{1，2，3，4}，S＝{1，3}，所以 US＝{2，4}．
4．方程组的解集是( )
A．{2，－1} B．{x＝2，y＝－1}
C．{(x，y)|(2，－1)} D．{(2，－1)}
解析：选D.由得所以方程组的解集为{(2，－1)}．
5．若集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析：选B.因为P＝M∩N＝{1，3}，
所以P的子集有22＝4个．
6.下列表示图形中的阴影部分的是( )
A．(A∪C)∩(B∪C)
B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C)
D．(A∪B)∩C
解析：选A.阴影部分可表示为(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)．
7．如果S＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，那么( SM)∩( SN)等于( )
A． B．{1，3}
C．{4} D．{2，5}
解析：选A.法一： SM＝{2，5}， SN＝{1，3}，
( SM)∩( SN)＝{2，5}∩{1，3}＝ .
法二：M∪N＝{1，2，3，4，5}，( SM)∩( SN)＝ S(M∪N)＝ .
8．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么d (a c)＝( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：选A.由 定义知a c＝c，
由 定义知d c＝a，
即d (a c)＝d c＝a.
9．已知全集为U，集合M，N是U的子集，若M∩N＝N，则( )
A．( UM) ( UN) B．M ( UN)
C．( UM) ( UN) D．M ( UN)
解析：选C.因为M∩N＝N，所以N M，借助Venn图易知 UN UM.
10．已知全集U＝A∪B中有m个元素，( UA)∪( UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：选D.画出Venn图(图略)．
因为U＝A∪B中有m个元素．
( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有n个元素，所以A∩B中有m－n个元素，故选D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知A＝{x|－4≤x≤4}，B＝{0，2，4，6}，则A∪B＝________．
解析：A∪B＝{x|－4≤x≤4或x＝6}．
答案：{x|－4≤x≤4或x＝6}
12．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩( UB)等于________．
解析：因为 UB＝{1，4}，所以A∩( UB)＝{1}．
答案：{1}
13．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________．
解析：由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，共4个元素．
答案：4
14．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}， ( http: / / www.21cnjy.com )P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________(填M，P，Q中的一个)．
解析：依据题意设a＝3k，b＝3t＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )，c＝3m－1(k，t，m∈Z)，则a＋b－c＝3(k＋t－m)＋2，所以该元素具有集合Q中元素的特征性质，应属于集合Q.
答案：Q
15．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为________．
解析：由题意知－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5·a－5＝0，解得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，
即为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．
即所有元素之和为1＋3＝4.
答案：4
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩ A(B∪C)．
解：因为A＝{x∈Z|－6≤x≤6}＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6}，
B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}，
所以B∩C＝{3}，B∪C＝{1，2，3，4，5，6}．
(1)A∪(B∩C)＝A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6}．
(2) A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0}，
所以A∩ A(B∪C)＝ A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0}．
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{3，4，4a2－6a－1}，B＝{4a，－3}，A∩B＝{－3}，求实数a的值及此时的A∪B.
解：由题意得4a2－6a－1＝－3，解得a＝1或a＝，
当a＝时，A＝{3，4，－3}，B＝{2，－3}，满足要求，此时A∪B＝{2，3，4，－3}；
当a＝1时，A＝{3，4，－3}，B＝{4，－3}，不满足要求，
综上得，a＝，A∪B＝{2，3，4，－3}．
18．(本小题满分10分)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求( IM)∩N；
(2)记集合A＝( IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
所以 IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
所以( IM)∩N＝{2}．
(2)A＝( IM)∩N＝{2}，
因为A∪B＝A，所以B A，
所以B＝ 或B＝{2}，
当B＝ 时，a－1>5－a，得a>3；
当B＝{2}时，，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x是小于6的正整数}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，C＝{x|(m－1)x－1＝0}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若B∩C＝C，求由实数m为元素所构成的集合M.
解：(1)A＝{x|x是小于6的正整数}＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2}，
A∩B＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3，4，5}．
(2)因为B∩C＝C，所以C B，
当C＝ 时，此时m＝1，符合题意；
当C≠ 时，m≠1，此时C＝{x|x＝}，因为C B，所以＝1或2，
解得m＝2或.
综上所述：由实数m为元素所构成的集合M＝{1，2，}．
20．(本小题满分13分)已知全集U＝R，A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M；
(2)集合A，B是否能满足( UB)∩A＝ ？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
解：(1)易知A＝ 且B＝{－4，1，2}，由已知M应该是一个非空集合，且是B的一个真子集，
所以用列举法可得这样的M共有如下6个：
{－4}、{1}、{2}、{－4，1}、{－4，2}、{1，2}．
(2)由( UB)∩A＝ 得A B，
当A＝ 时，A是B的一个子集，此时Δ＝9－4b<0，
所以b>；
当A≠ 时，因为B＝{－4，1，2}，
当－4∈A时，b＝－28，则得到A＝{－4，7}，不可能为B的一个子集．
当1∈A时，b＝2，此时A＝{1，2}，是B的子集；
当2∈A时，b＝2，此时A＝{1，2}，是B的子集．
综上可知：当且仅当A＝ 或A＝{1，2}时，( UB)∩A＝ ，所以实数b的取值范围是.第2课时 对数的运算性质
1．问题导航
(1)对数有哪些运算性质？
(2)对数运算性质的适用条件是什么？
(3)与指数的运算法则加以对比，它们有什么区别与联系？
2．例题导读
(1)P81例4.通过本例学习，掌握对数的运算方法．
(2)P82例5.通过本例学习，学会用已知对数表示相关的对数式．
试一试：教材P83练习2 T1、T3你会吗？
对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN．
1．若a>0，a≠1，x>y>0，下列式子中正确的个数是( )
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④loga(xy)＝logax·logay.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.令x＝2，y＝1知①②③④均不正确．
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg的值为( )
A．a－b2 B．a－2b
C. D.
解析：选B.因为lg 3＝a，lg 7＝b，
所以lg ＝lg 3－2lg 7＝a－2b.
3．计算27＋lg 0.01－ln ＋3log32＝____________．
解析：原式＝33×(－)＋lg 0.12－ln e＋2
＝3－1＋2×(－1)－＋2＝－.
答案：－
4．计算2log510＋log50.25的值为________．
解析：原式＝log5102＋log50.25＝log525＝log552＝2.
答案：2
在对数的运算性质中，各个字母都有一定的取 ( http: / / www.21cnjy.com )值范围：M>0，N>0，a>0，a≠1，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，离开上述条件，公式就不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)不存在，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．再如log3(－2)4≠4log3(－2)．
对数的运算
计算下列各式的值．
(1)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(2)2(lg )2＋lg ·lg 5＋.
[解] (1)原式＝2lg ( http: / / www.21cnjy.com )5＋×3lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.
(2)原式＝2·＋lg 2·lg ＋
＝＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2＝(lg 2)2＋lg 2－(lg 2)2＋1－lg 2＝1.
方法归纳
解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：
(1)将真数化为幂的积，再展开；
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并；
(3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
1．计算：(1)log3.19.61＋lg ＋ln(e2)＋log3(log327)；
(2).
解：(1)原式＝log3.13.12＋lg 10－3＋ln e2＋＋log3(log333)＝2－3＋2＋＋1＝.
(2)原式＝＝＝＝＝1.
对数式的表示[学生用书P56]
设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为lg 2＝a，lg 3＝b，
所以＝＝.
[答案] C
在本例条件下，试用a，b表示.
解：因为a＝lg 2，b＝lg 3，
所以＝＝＝＝.
方法归纳
对数式表示的两种方式
(1)
(2)
2．(1)已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A．5a－2 B．a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
(2)若log72＝a，log73＝b，则log76＝( )
A．a＋b B．ab
C. D.
解析：(1)选B.因为a＝log32，
所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝3log32－2log32－2＝log32－2＝a－2.
(2)选A.因为log72＝a，log73＝b，所以log76＝log72＋log73＝a＋b.
易错警示 因忽略对数运算性质的适用条件而致误
若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )
A．4 B．1或
C．1或4 D.
[解析] 由已知得lg(xy)＝lg (x－2y)2，
从而有xy＝(x－2y)2，整理得，
x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，
所以x＝y或x＝4y. 但由x>0，y>0，x－2y>0，
得x>2y>0.所以x＝y应舍去，故＝.
[答案] D
[错因与防范] (1)本题在运用对数运算性质变形过程后，忽略变形的条件“x>0，y>0，x－2y>0”导致未舍去＝1，从而误选B.
(2)在对含字母的对数式化简时，最好先列出有意义的条件以免出错．
3．解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6.
解：因为lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6，
所以x(x＋1)＝6，解得x＝2，或x＝－3，经检验x＝－3不符合题意，所以x＝2.
1．若a>0且a≠1，x>0，y>0，n∈N＋，且n>1，下列等式成立的个数为( )
①(logax)2＝2logax；②(logax)n＝logaxn；
③＝loga(x－y)；④＝loga.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由对数的运算法则可知，
①2logax＝logax2，而(logax)2＝logax·logax，
所以(logax)2＝2logax不一定成立；
②(logax)n＝logaxn不一定成立；
③log2(16－8)≠，故loga(x－y)＝不一定成立；
④＝logax＝logax＝loga，故等式成立．所以只有④成立．
2．若log10m＝b－log10n，则m为( )
A. B．10b·n
C．b－10n D.
解析：选D.因为log10m＝b－log10n＝log1010b－log10n
＝log10，所以m＝，故选D.
3．计算＋log123＋2log122的结果是________．
解析：原式＝＋log123＋log124＝＋log1212＝＋1＝.
答案：
4．已知幂函数y＝f(x)的图像过点(3，)，则log4f(2)的值为________．
解析：令y＝f(x)＝xα，把(3，)代入得＝3α，即3＝3α，
所以α＝，所以f(x)＝x，f(2)＝2＝，
所以log4f(2)＝log4＝log44＝.
答案：
[A.基础达标]
1．若10a＝5，10b＝2，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C.法一：因为10a＝5，10b＝2，所以10a＋b＝10，所以a＋b＝1.
法二：因为10a＝5，10b＝2，所以a＝lg 5，b＝lg 2，所以a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
2．如果lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x等于( )
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
C. D.
解析：选C.因为lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg ，所以x＝.
3．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
解析：选C.原式＝log6－log62＝log6＝log6.
4．化简：＋log2的结果为( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：选B.＝＝2－log23.
所以原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.
5．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝( )
A．3t B.t
C．t D.
解析：选A.因为lg x－lg y＝t，
所以lg－lg ＝3
＝3
＝3(lg x－lg y)＝3t.
6．计算3log32＋lg－lg 5的结果为________．
解析：3log32＋lg－lg 5
＝2－(lg 2＋lg 5)＝2－lg 10
＝1.
答案：1
7．化简＝________．
解析：＝＝＝6.
答案：6
8．若3x＝4y＝36，则＋＝________．
解析：因为3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，
得xlog63＝ylog64＝2，
所以＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
答案：1
9．已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg .
解：lg ＝lg 45＝lg
＝(lg 9＋lg 10－lg 2)
＝(2lg 3＋1－lg 2)
＝lg 3＋－lg 2
＝0.477 1＋0.5－0.150 5
＝0.826 6.
10．计算下列各式的值．
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2).
解：(1)2log32－log3＋log38－5log53
＝2log32－(log332－log39)＋log323－3
＝2log32－log325＋log332＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
＝－1.
(2)
＝
＝＝.
[B.能力提升]
1．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc
C．ab>c
解析：选B.由a＝log23，b＝log23，则a＝b>1.又c＝log32<1，所以a＝b>c.
2．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由根与系数的关系，
得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b
＝22－4×＝2.
3．已知2x＝9，log2＝y，则x＋2y的值为________．
解析：因为2x＝9，所以x＝log29＝2log23，又y＝log2＝log28－log23＝3－log23，
所以x＋2y＝2log23＋2(3－log23)＝6.
答案：6
4．对于a>0，且a≠1，下列说法正确的是________．
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
解析：对①当M＝N≤0时不正确；
对②由logaM＝logaN可得M＝N正确；
对③由logaM2＝logaN2可得M2＝N2>0，则M＝±N，所以③不正确．
对④当M＝N＝0时，不正确．
答案：②
5．里氏震级M的计算方式 ( http: / / www.21cnjy.com )为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为几级？9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？
解：由M＝lg A－lg ( http: / / www.21cnjy.com ) A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A1，5级地震的最大振幅为A2，则lg＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．
6．(选做题)已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log2的值．
解：由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
所以(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
所以所以＝.
所以log2＝log2＝log22－1＝－log22＝－1.§2 指数扩充及其运算性质
2．1 指数概念的扩充
1．问题导航
(1)分数指数幂是如何定义的？
(2)分数指数幂与根式有什么关系？
(3)若a为常数(a>0且a≠1)，a是一个确定的实数吗？
2．例题导读
(1)P64例1.通过本例学习，体会根据定义表示分数指数幂．
(2)P64例2.通过本例学习，体会分数指数幂的计算方法．
1．分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n ( http: / / www.21cnjy.com )(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，就把b叫作 a的次幂，记作b＝a．它就是分数指数幂．
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：a－＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2．无理数指数幂
(1)对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它．
(2)一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个无理数)是一个确定的实数．
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实数了．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)()n＝a.( )
(2)＝a.( )
(3)＝a.( )
(4)若0α＝0，则α>0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－
C. D．±
解析：选D.因为m10＝2，所以m是2的10次方根．
又因为10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数．所以m＝±.
3．化简＝________．
解析：因为π>3，所以＝|3－π|＝π－3.
答案：π－3
4．化简的结果为________．
解析：＝＝＝24＝16.
答案：16
对分数指数幂概念的说明
(1)分数指数幂a不是个相同因式a相乘，它实质上是关于b的方程bn＝am的解．
(2)与()n的区别：
①是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式 ( http: / / www.21cnjy.com )子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|.
②()n是实数a的n次方根的n次 ( http: / / www.21cnjy.com )幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，
由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a.
分数指数幂的概念
把下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式：
(1)a8＝3；(2)a3＝25；(3)a－2n＝e3m(m，n∈N＋)．
(链接教材P64例1)
[解] 由分数指数幂的概念知：
(1)a＝3.(2)a＝2.(3)a＝e－(m，n∈N＋)．
方法归纳
在应用分数指数幂的定义时，要弄清该定义的应用范围(即定义的条件)：
(1)底数a必须为正数，即a>0；(2)a及a－中的m，n均为整数，且n>1.
1．把下列各式中的b(b>0)写成负分数指数幂的形式：
(1)b－5＝32；(2)b－4＝35.
解：根据分数指数幂的定义
(1)b＝32－＝(25)－＝2－1.
(2)b＝3－.
分数指数幂的求值
求值：(1)625；(2)4－；(3).
[解] (1)625＝[(25)2]＝54×＝53＝125.
(2)4－＝(22)－＝2－3＝＝.
(3)＝＝.
方法归纳
把a±(m，n互素且n>1)化为(cn)±形式再计算求值．
2．求值：(1)64－；(2)8；(3)125－.
解：(1)64－＝82×＝8－1＝.
(2)8＝23×＝22＝4.
(3)125－＝53×＝5－1＝.
分数指数幂与根式的转化
(1)将各式化为根式：①x－；②a；③xy－.
(2)将各式化为分数指数幂：①；②；③.
[解] (1)①x－＝＝ .
②a＝.
③xy－＝＝ .
(2)①＝＝a－.
②＝x＝x2.
③＝＝ab－.
试指出本例中各字母的取值范围．
解：(1)①x≠0且x∈R；②a∈R；③x≥0，y>0.
(2)①a>0；②x∈R；③a∈R，b>0.
方法归纳
分数指数幂与根式互化的易错点：
(1)分不清分子、分母的位置，易出现如下错误＝a；
(2)负分数指数幂化简时不注意负号的位置，易出现如下错误a－＝－a或a－＝.
3．(1)化简(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
(2)若 ＝1－a，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)因为x<0，y<0，所以＝＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
(2)因为＝|1－a|＝1－a，所以1－a≥0，a≤1.
答案：(1)D (2)(－∞，1]
易错警示 因忽略分数指数幂中的限制条件而致误
化简：＋.
[解] ＋＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
[错因与防范] 本题易出现＝1－而致误失分，此类问题要注意分数指数幂定义中两个限制条件．
4．化简(x<π，n∈N＋且n≥2)．
解：因为x<π，所以x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
1．若x5＝7，则x＝( )
A．－ B.
C．± D．不确定
解析：选B.由分数指数幂的定义x＝7＝.
2．式子9－70的值等于( )
A．－4 B．－10
C．2 D．3
解析：选C.9－70＝32×－1＝3－1＝2.
3．若a＝，b＝，则a＋b的值为( )
A．1 B．5
C．－1 D．2π－5
解析：选A.因为a＝3－π，b＝|2－π|＝π－2，所以a＋b＝1，故选A.
4．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A．a与a B．0与0
C．2和4 D．4－和
解析：选C.在A中，对a没有限制条件．
在B中，0与0，虽然值相等，但不符合分数指数幂的定义．
对于C，4＝＝2，
对于D，4－＝，＝，
故不相等，所以选C.
[A.基础达标]
1．下列各式是分数指数幂的是( )
A．a0 B.
C．()－2 D．(1－m2)
解析：选B.A、D底数有限制条件，C中()－2＝，排除A、C、D；对B，＝.
2.的值是( )
A．2 B．－2
C．8 D．－8
解析：选B.因为(－2)3＝－8，
所以(－8)＝－2，即＝－2.
3．要使a－有意义，则a可能取的值为( )
A．0 B．－2
C．－ D.
解析：选D.因为a－＝的条件为a>0，所以选D.
4．把根式(a>b)改写成分数指数幂的形式是( )
A．(a－b)－ B．(a－b)－
C．a－－b－ D．a－－b－
解析：选A.因为a>b，所以a－b>0，故＝(a－b)－.
5．化简的结果是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.因为a<0，
所以＝(－a)，
所以＝＝－(－a)
＝－.
6．若a＝(a>0，b>0)，则b＝________(用a的分数指数幂表示)．
解析：由于a＝＝b，所以a5＝b3，因此b＝a.
答案：a
7．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则＝________.
解析：由题意得α＋β＝－，所以＝(2－2)－＝23＝8.
答案：8
8．在式子(3－2x)－中，x的取值范围是________．
解析：由于(3－2x)－＝＝，
因此应有3－2x>0，即x<.
答案：x<
9．求值：(1)81；(2)0.008 1－.
解：(1)因为813＝274，所以81＝27.
(2)令0.008 1－＝b，
所以＝b4，
即b4＝，所以b＝.
所以0.008 1－＝.
10．化简＋.
解：原式＝＋
＝|＋|＋|－|
＝＋＋－
＝2.
[B.能力提升]
1．－＋ 等于( )
A．2 B．－2
C．0 D．1
解析：选C.原式＝－3＋＝－3＋3＝0.
2．若(a2)3＝π2，则a＝( )
A．π B．－π
C．±π D．π
解析：选C.(a2)3＝(a3)2＝π2，所以a3＝±π，所以a＝±π.
3．若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是________．
解析：(1－2x)－＝，所以1－2x>0，x<.
答案：
4．在，2－，，2－1中，最大的数是________．
解析：因为＝－2，2－＝＝＝，＝2＝，2－1＝.
答案：
5．求函数y＝(2x＋3)－－(6x－5)0的定义域．
解：因为y＝－(6x－5)0，所以由得
所以函数y的定义域是∪.
6．(选做题)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解：因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a>b>0，
所以>>0.
所以>0.
因为＝＝＝＝，
所以＝＝.§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
问题导航
(1)集合的含义是什么？
(2)元素与集合有哪两种关系？
(3)符号N、N＋、Z、Q、R分别表示什么数集？
(4)集合中的元素具有哪三大特性？
1．集合、元素的含义及标记方法
(1)集合：指定的某些对象的全体，常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象，常用小写字母a，b，c，d，…标记．
2．元素与集合间的关系
关系
3．常用的数集及其记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋ Z Q R
4.集合中元素的三大特性
元素的特性 理解 作用
确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否在这个集合中就确定了 判定对象能否构成集合；确定元素与集合的关系
互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不能重复出现的 判定集合是否正确；求集合中字母的值时需检验互异性
无序性 集合中的元素是没有顺序的．也就是说，集合中的元素没有前后之分 判定两个集合是否为同一个集合
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我国发射的“嫦娥”系列探月卫星构成一个集合．( )
(2)某校高中一年级所有的漂亮女生可构成一个集合．( )
(3)由方程x2－4x＋4＝0的实数解构成的集合有两个元素．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知集合A由小于1的数组成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
解析：选C.因为3，1不满足小于1，－1，0满足小于1，所以选C.
3．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
解析：选C.由集合元素的确定性知，A、B、D均能组成集合，C不能组成集合．
4．下列所给关系正确的是________．
①π∈R；② Q；③0∈N＋；④|－4| N＋.
解析：根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．
答案：①②
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为 ( http: / / www.21cnjy.com )集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的，其本质特征是指定的确定元素的总体．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围 ( http: / / www.21cnjy.com )非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
集合的概念与集合的判定
下列各组对象：
①接近于1的数的全体；②比较小的实数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．1
[解析] 因为①中“接近于1”、②中“比较小”标准不明确，所以①②不能构成集合，③④能构成集合，故选A.
[答案] A
方法归纳
判断一组对象能否构成集合的关 ( http: / / www.21cnjy.com )键在于是否能找到一个明确的判断标准，来判断这组对象中的任一个对象是否在所描述的范围内，如果能找到，则可构成一个集合，否则不能．
1．(1)下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．无限接近2的数
C．聪明的人
D．方程x2＝－2的实数根
(2)下列各组对象中不能构成集合的是( )
A．某教育集团的全体员工
B．2012年伦敦奥运会的所有参赛国家
C．北京大学建校以来毕业的所有学生
D．美国NBA的篮球明星
解析：(1)选D.A项中“ ( http: / / www.21cnjy.com )很大”、B项中“无限接近2”、C项中“聪明”都没有确定的标准来衡量，所以不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，故选D.
(2)选D.根据集合中元 ( http: / / www.21cnjy.com )素的确定性来判断涉及对象是否构成集合．因为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA篮球运动员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
元素与集合的关系[学生用书P6]
集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中元素有________．
[解析] 当x＝0时，＝2；
当x＝1时，＝3；
当x＝2时，＝6；
当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0，1，2.
[答案] 0，1，2
方法归纳
(1)若集合中的元素是直接给出的，直接观察判断元素与集合的关系；
(2)若集合中的元素是用性质表达的，则需推断所给对象是否具备集合中元素的性质，才能判定对象与集合的关系．
2．(1)给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3 Z；④－ N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A的元素形式为x＝2k， ( http: / / www.21cnjy.com )k∈Z，B的元素形式为x＝2k＋1，k∈Z.若a∈A，b∈B，则a＋b________A，a＋b________B(用“∈”或“ ”填空)．
解析：(1)由特定数集符号的含义知①④正确，②③错误．
(2)因为a∈A，所以a＝2k1(k1∈Z)．
因为b∈B，所以b＝2k2＋1(k2∈Z)．
所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又因为k1＋k2∈Z，
所以a＋b∈B，从而a＋b A.
答案：(1)B (2) ∈
集合中元素的特性及其应用
已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．
[解] 因为－3∈B，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(1)若把本例中的条件“－3∈B”去掉，求实数a的值．
(2)若把本例中的条件“－3∈B”改为“－3 B”，求实数a的值．
解：(1)由题意知a－3≠2a－1，所以a≠－2，即a的取值为不等于－2的实数．
(2)由本例及(1)知a≠－2，且a≠－1和a≠0，即a的取值为不等于－2，－1，0的实数．
方法归纳
对于含有参数的集合问题：
(1)根据已知元素与集合的关系，以集合中元素的性质为切入点，由确定性解出字母参数的所有可能值，再由集合中元素的互异性进行检验．
(2)注意分类讨论的数学思想在解题中的应用．
3．已知集合A含有三个元素a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，则实数a的值为________．
解析：因为1∈A，
所以若a＋2＝1，则a＝－1，
所以集合A的元素为1，0，1，与元素的互异性矛盾，舍去．
若(a＋1)2＝1，
则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A的元素为2，1，3，满足条件．
当a＝－2时，A的元素为0，1，1，与元素的互异性矛盾，舍去．
若a2＋3a＋3＝1，
则a＝－1或a＝－2，舍去．
故符合条件的a的值为0.
答案：0
规范解答 集合的探究型问题
(本题满分12分)数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
[解] (1)若2∈A，则∈A，①1分
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他元素为－1，.4分
(2)如：若3∈A，则A中其他元素为－，.6分
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.8分
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.10分
又因为a≠，②
因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解．
故≠，②
所以A中只能有3个元素，它们分别是a，，且三个数的乘积是－1.12分
[规范与警示] ①抓住a∈A，∈A(a≠1)是正确解答本题的关键．
②注明a≠≠是易漏点．
本题属于结论开放型问题，需要认真分析条件，在解决第(1)(2)题的基础上，探求结论，对分析问题，解决问题的能力要求较高．
1．下列说法正确的是( )
A．若a∈N，b∈N，则a－b∈N
B．若x∈N＋，则x∈Q
C．若x≥0，则x∈N
D．若x Z，则x Q
解析：选B.因为a，b均为非负整 ( http: / / www.21cnjy.com )数，所以a－b可能小于0，故A不正确．x≥0时不一定为整数，所以C不正确．D也不正确，例如 Z，但∈Q.
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的是( )
A．0∈M，2∈M
B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 M
D．0 M，2 M
解析：选B.本题是判断0和2与集 ( http: / / www.21cnjy.com )合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
3．已知a∈N，且a N＋，则a＝________．
解析：由N与N＋的差别可知a＝0.
答案：0
4．已知集合P有三个元素：1，m，m2－3m－1，若3∈P，且－1 P，则实数m的值为________．
解析：因为3∈P，且－1 P，
所以当m＝3时，P含有三个元素：1，3，－1，与－1 P矛盾．
当m2－3m－1＝3时，m＝4或m＝－1(舍去)，
此时P含有三个元素：1，4，3，符合题意．
所以m＝4.
答案：4
[A.基础达标]
1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )
①某校高一年级成绩优秀的同学；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2014年太平洋保险公司的投保人数．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
解析：选B.对①“成绩优秀”无客观标准，不能构成集合，②③④中的对象具有确定性，能构成集合．
2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D.根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
3．给出下列关系：
①∈R；② Q；③|－3| N；④－ Q.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题意知，|－3|＝3∈N，故③错误.为实数，，－均为无理数．故①②④正确．
4．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这2个元素，则下列说法中正确的是( )
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
解析：选D.由集合元素的互异性知2a≠a2－a，即a2－3a≠0，所以a≠0，3.
5．已知集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．6
解析：选B.若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0 A，故选B.
6．方程1＋x－2＝0的全体实数解组成的集合元素的个数为________．
解析：由1＋＝0知，此方程无实数解．
答案：0
7．已知集合P是由大于2且小于a的自然数构成，且P中恰有3个元素，则整数a的值为________．
解析：根据题意并结合数轴知a＝6.
答案：6
8．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
解析：由a2≠1，得a≠±1.
答案：±1
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)辽宁号航空母舰上的所有舰载飞机构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)sin 30°，1，，2 0150，0.5构成一个三元素集；
(4)方程x2＋x－1＝0的实数根构成一个集合；
(5)全国著名的企业家构成一个集合；
(6)在平面直角坐标系中，第一象限内的点构成一个集合．
解：(1)正确．因为航母上的舰载飞机是确定的，所以能构成集合．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定，所以不能构成集合．
(3)不正确．因为sin 30°＝＝0.5，2 0150＝1，故这个集合只有2个元素．
(4)正确．一元二次方程，无论是有实根还是无实根，都是确定的，所以能构成集合．
(5)不正确．因为“著名”没有明确的标准和界定，具有不确定性，故不能构成集合．
(6)正确．第一象限内的点虽有无限个，但条件明确，即横、纵坐标均为正，故可构成集合．
10．已知集合A中的元素x∈R且满足条件ax2＋x＋2＝0，若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，A含有一个元素为－2，符合题意；当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上可知，a的取值范围是a≤.
[B.能力提升]
1．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于等于1
解析：选C.由y＝－x2＋1可得y≤1，又因为y∈N，所以集合A的元素为0，1，所以t的值为0或1.
2．集合A的元素y满足y＝x2＋1， ( http: / / www.21cnjy.com )集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
解析：选C.对A中元素y，因为x∈R， ( http: / / www.21cnjy.com )所以y＝x2＋1≥1，所以2∈A；对B中元素(x，y)，当x＝3时，y＝x2＋1＝10，所以(3，10)∈B.
3．由实数x，－x，|x|，，组成的集合中，元素最多有________个．
解析：因为＝|x|，＝x，所以当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，x；当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x，均最多表示两个不同的数．故集合中元素最多有2个．
答案：2
4．满足“a∈A且4－a∈A”，a∈N且4－a∈N的有且只有2个元素的集合A的个数是________．
解析：当a＝0时，4－a＝4；
当a＝1时，4－a＝3；
当a＝2时，4－a＝2；
当a＝3时，4－a＝1；
当a＝4时，4－a＝0；
当a∈N且a≥5时4－a N.
所以A中只有2个元素的集合有2个．
答案：2
5．设集合M，b、c∈Z，b2－c2∈M.试问：
(1)8，9，10是否属于M
(2)是否奇数都属于M？为什么？
解：(1)因为8＝32－12，9＝52－42，
所以8∈M，9∈M；
设10＝b2－c2，b，c∈Z.
则(b＋c)(b－c)＝2×5，
由于b＋c与b－c奇偶性相同，
该方程无整数解，所以10 M.
(2)设2n－1(n∈Z)为任一奇数．
因为2n－1＝n2－(n－1)2，
所以2n－1∈M，即所有奇数都属于M.
6．(选做题)集合A中的元素a满足a＝3n ( http: / / www.21cnjy.com )＋1，n∈Z；集合B中的元素b满足b＝3n＋2，n∈Z；集合C中的元素c满足c＝6n＋3，n∈Z.
(1)若c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b.
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．
解：(1)令c＝6m＋3，
则c＝3m＋1＋3m＋2(m∈Z)，
令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c＝a＋b.
故若c∈C，一定存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．
(2)不一定有a＋b∈C.
证明如下：设a＝3m＋1，b＝3n＋2，m，n∈Z，
则a＋b＝3(m＋n)＋3.
因为m，n∈Z，所以m＋n∈Z，
不妨设m＋n＝k，
则a＋b＝3k＋3不一定在C内．§1 生活中的变量关系
问题导航
(1)什么是常量？什么是变量？
(2)具有依赖关系的两个变量有什么联系？
(3)两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗？
(4)什么是非依赖关系？
1．常量与变量
在研究某一问题的变化过程中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量．
2．两变量之间的关系
(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量， ( http: / / www.21cnjy.com )如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．特别地，如果对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么就称这两个变量之间有函数关系．
(2)非依赖关系：在某变化过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不会发生任何变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常量与变量不能构成函数关系．( )
(2)变量与变量一定是依赖关系．( )
(3)满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝x2＋3x－1 D．y2＝x2＋5
解析：选D.D中，当x＝2时 ( http: / / www.21cnjy.com )，y＝±3，即给定了一个x的值，有两个y值与之对应，因此y不是x的函数；当y＝3时，x＝±2，即给定了一个y的值，有两个x值与之对应，因此x也不是y的函数．
3．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )
A．x，y之间有依赖关系
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
解析：选A.小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系．
4．(1)球的半径与表面积之间的关系是________关系．
(2)家庭收入与支出之间的关系是________关系．
解析：(1)球的表面积随半径的变化而变化，且由半径唯一确定，所以是函数关系．
(2)一般情况下，家庭支出随家庭收入的变化而变化，但收入一定时，支出并不唯一确定，所以是依赖关系．
答案：(1)函数 (2)依赖
1．依赖关系与函数关系的联系与区别
函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系．
2．表示变量间的关系的两种方法
(1)图像法：它是一种常用的表示两变量关系的方法．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．
(2)表格法：两变量之间 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量和自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．
常量与变量的区分
一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t，在这里，常量是________，变量是________．
(链接教材P24实例分析2)
[解析] 判断常量与变量的关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是看它们是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.
[答案] 300，－100 s，t
方法归纳
(1)常量是相对某个过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的，也就是说常量是有条件的、相对的；
(2)要从数值有无变化来确定常量和变量．
1．向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点 ( http: / / www.21cnjy.com )为圆心的一系列同心圆，则在这一过程中湖的形状Q，圆的面积S、半径r、周长l中的常量是________，变量是________．
解析：在变化过程中Q不发生变化，是常量；S、r、l发生变化，是变量．
答案：Q S、r、l
两变量关系的判断
下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；
(2)商品的销售额与广告费之间的关系；
(3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系．
[解] (1)科学家通过实 ( http: / / www.21cnjy.com )验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；
(2)商品的销售额与广告费这 ( http: / / www.21cnjy.com )两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；
(3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系．
综上可知，(1)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量间不存在依赖关系．
方法归纳
依赖关系与函数关系的判断方法与步骤
2．下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)圆的面积和它的半径长；
(2)商品的价格与销售量；
(3)一个人的身高与体重；
(4)某同学的学习时间与其学习成绩．
解：(1)因为圆的面积S与半径r存在S＝πr2的关系，因此圆的面积与其半径长存在依赖关系，也是函数关系．
(2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关系，不是函数关系．
(3)一个人的身高与体重有一定的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，但体重并不完全由身高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系．
(4)某同学的学习成绩与学习时 ( http: / / www.21cnjy.com )间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系．
综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)是函数关系．
变量关系的表示
如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图像回答下列问题．
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？
(4)变量Q是关于变量t的函数吗？
[解] 观察图像可知：
(1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到．
(2)大约在8时和22时，气温为0 ℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．
(4)由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数．
对于本例中的两个变量Q和t，t是关于Q的函数吗？为什么？
解：不是．因为对于气温Q的一个值可能有两个时间t和它对应，所以时间t不是气温Q的函数．
方法归纳
(1)表达两变量关系的常用方法是图像法和表格法．
(2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据，充分挖掘图像以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决．
3．以下是某电视台的广告价格表(2015年1月报价，单位：元)
播出时长价格播出时间段 10 s 15 s 20 s 30 s 40 s 50 s 60 s
19：30～22：00 900 950 1 000 1 500 2 000 2 500 4 000
试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？
解：是函数关系，因为x，y的取值范围分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{10，15，20，30，40，50，60}，B＝{900，950，1 000，1 500，2 000，2 500，4 000}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系．
思想方法 转化思想在探究两变量间关系中的应用
口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了除去糖分的口香糖在不同温度下与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
次序项目 1 2 3 4 5 6 7 8
温度t/℃ 15 25 30 35 37 40 45 50
黏附力F/N 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.5
请回答下列问题：
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；
(2)根据上述数据以及得到的图像，你得到怎样的实验结论？
[解] (1)根据表中数据的范围绘制出F随t变化的图像如图．
(2)根据图像可得实验结论：
①随着温度的升高，口香糖的黏附 ( http: / / www.21cnjy.com )力先增大后减小；②当温度在约37 ℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50 ℃时，口香糖的黏附力最小．所以可通过加热的办法除去磁砖上的口香糖残留物．
[感悟提高] 对于表格信息类问题，常转化为图像问题，更能直观反映两变量之间的关系和性质．
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A．生活质量与人的身体状况间的关系
B．某人的体重与饮食状况
C．一只60瓦的白炽灯的耗电量W与时间t
D．蔬菜的价格与供应量
解析：选C.A、B、D是依赖关系，对C，W是关于t的函数．
2．下面哪幅图能表示切土豆片的过程( )
解析：选D.把土豆理解为球，切面理解为圆面，切面关于时间先增后减．
3．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数 含金量(%)
24K 99以上
22K 91.7
21K 87.5
18K 75
14K 58.5
12K 50
10K 41.66
9K 37.5
8K 33.34
6K 25
饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．
解析：通过表格可知，饰用K金的含金量随着 ( http: / / www.21cnjy.com )K数的减小而减小，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是K数的函数，饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．
答案：函数 越高
4．某电器商店以2 000元一台的价 ( http: / / www.21cnjy.com )格进了一批电视机，然后以2 100元一台的价格售出，随着售出台数n的变化，商店获得的收入y也在变化，则y关于n的函数关系式为________．
解析：销售一台的收入为2 100－2 000＝100，所以销售n台时的收入为y＝100n.
答案：y＝100n
[A.基础达标]
1．下列说法不正确的是( )
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
解析：选C.由依赖关系及函数关系的定义知A、B正确；对于C、D，如m＝n2，则n＝±，不是函数关系，故C错误，D正确．
2．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是( )
A．明明 B．电话费
C．时间 D．爷爷
解析：选B.拨通时间为自变量，电话费为因变量．
3．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝3x2＋ D．y2＝x2
解析：选D.选项D中，当x＝1时，y＝±1；当y＝2时，x＝±2，不符合函数的定义．故选D.
4．某学生从家去学校，由于怕迟到，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )一开始跑步，等跑累了再走余下的路程，如图所示，纵轴表示该生离学校的距离(用d表示)，横轴表示出发后的时间(用t表示)，则四个图中符合题意的是( )
解析：选D.因为该生离学校越来越近，所以只有B，D符合，又先跑再走，故选D.
5．变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：
x 1 2 3 1 5 6
y －1 －2 －3 －4 －1 －6
w 2 0 1 2 4 8
z 0 0 0 0 0 0
下列说法正确的是( )
A．y是x的函数 B．w不是x的函数
C．z是x的函数 D．z不是x的函数
解析：选C.观察表格可以看出，当x＝1时，y＝－1，－4，则y不是x的函数；很明显w是x的函数，z是x的函数．
6．某公司生产某种产品的成本为 1 000元 ( http: / / www.21cnjy.com )，并以1 100元的价格批发出去，公司收入随生产产品数量的增加而________(填“增加”或“减少”)，它们之间________(填“是”或“不是”)函数关系．
答案：增加 是
7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．
(2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s.
解析：(1)由图像可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s，12.5 s，故甲先到达终点．
(2)v乙＝＝8(m/s)．
答案：(1)甲 (2)8
8．如图所示是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图像，根据图像回答下列问题：
(1)在这个月中，日最低营业额是在4月________日，到达________万元．
(2)在这个月中，日最高营业额是在4月________日，到达________万元．
(3)这个月从________日到________日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．
答案：(1)9 2 (2)21 6 (3)9 21
9．如图所示是某地某天气温随时间变化的函数图像，根据图像，回答下列问题：
(1)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？
(2)20时的气温是多少？
(3)什么时间气温为6 ℃？
(4)哪段时间内气温不断下降？
(5)哪段时间内气温保持不变？
解：(1)16时的气温最高，气温是10 ℃；4时的气温最低，气温是－4 ℃.
(2)20时的气温是8 ℃.
(3)10时和22时的气温都是6 ℃.
(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降．
(5)12时到14时这段时间内气温保持不变．
10．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
提出概念所用时间x 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？
解：(1)学生的接受能力y与提出概念所用的时间x之间的关系，x为自变量，y是因变量．
(2)由表格知当x＝10时，y＝59.
(3)当x＝13时，y最大＝59.9.
(4)当2≤x≤13时，y逐渐增大；
当13[B.能力提升]
1．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量 ( http: / / www.21cnjy.com )一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是( )
解析：选B.开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h＝0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢．
2．星期天，王刚从家出发去散步，下图 ( http: / / www.21cnjy.com )描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合王刚散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏看了一会报，接着回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏看了一会报后，继续向前走了一段路，接着回家了
C．从家出发，散了一会步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会步，就找同学去了，18 min后才回家
解析：选B.B中叙述与图像相符．
3．“龟兔赛跑”故事中有这么一 ( http: / / www.21cnjy.com )个情节：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．如果用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图中与该故事情节相吻合的是________．
解析：由题意可得，s1始终是匀速增长， ( http: / / www.21cnjy.com )开始时s2增长比较快，但中间有一段时间s2停止增长，在最后一段时间里，s2的增长较快，但s2的值没有超过s1的值，只有②与故事情节相符．
答案：②
4．长途汽车客运公司规定旅 ( http: / / www.21cnjy.com )客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y(元)与行李重量x(千克)之间的关系图像如图所示，当最多携带________千克的行李时不收费用．
解析：由行李费用y(元)与行李重量x(千克)之间的图像可知，变量y与x成一次函数关系，设y＝kx＋b，则解得k＝，b＝－6.
即y＝x－6.由x－6＝0得x＝30.
即当最多携带30千克的行李时不收费用．
答案：30
5．如图1是一辆汽车的速度随时间变化的示意图．
(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？
(4)如果纵轴换成路程s( ( http: / / www.21cnjy.com )千米)，横轴表示时间t(时)，如图2是一个骑摩托车者离家距离与时间的关系图像．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑摩托车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？
解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时．
(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时．
(3)出发后8分钟到10分钟之间汽车速度为0千米/时，重新启动后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车、加油等．
(4)在出发后8时到10时之间骑摩 ( http: / / www.21cnjy.com )托车者可能回家吃饭、休息等．骑摩托车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为＝15(千米/时)；在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为＝15(千米/时)；在出发后10小时到18小时时间段内匀速运动，车速为＝10(千米/时)；在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速为＝40(千米/时)．
6．(选做题)如图所示是一骑自行车者 ( http: / / www.21cnjy.com )和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像，两地间的距离是80 km.请你根据图像解决下面的问题：
(1)谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式．
(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式，并求解．
①自行车行驶在摩托车前面；
②自行车与摩托车相遇；
③自行车行驶在摩托车后面．
解：(1)由图可以看出：骑自行车者出发较早，早3 h；骑摩托车者到达乙地较早，早3 h.
(2)对骑自行车者而言：行驶的距离是80 ( http: / / www.21cnjy.com )km，耗时8 h，所以其速度是：80÷8＝10(km/h)；对骑摩托车者而言：行驶的距离是80 km，耗时2 h，所以其速度是：80÷2＝40(km/h)．
(3)由自行车行驶过程的函数图像设y＝kx＋b，
把(0，0)，(8，80)代入y＝kx＋b，
得所以k＝10，
所以y＝10x(0≤x≤8)．
由摩托车行驶过程中的函数图像设y＝ax＋d，
因为x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80；
所以解得
所以表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120(3≤x≤5)．
(4)在3①自行车行驶在摩托车前面：10x>40x－120，
所以3②由题意得，10x＝40x－120，
得x＝4.
③自行车行驶在摩托车后面：10x<40x－120，
得41．问题导航
(1)什么是正整数指数函数？其定义域是什么？
(2)正整数指数函数的图像有什么特征？
(3)正整数指数函数是单调函数吗？其图像的升降与底数a(a>0且a≠1)有什么关系？
2．例题导读
P62例题．通过本例学习，理解指数型函数的特点；会用指数型函数解决简单的实际问题．
1．正整数指数函数的概念、图像和性质
(1)一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
(2)正整数指数函数的图像和性质
①图像特征
共同特征：正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的；
分类特征：a.当底数a＞1时，正整数指数函数的图像是上升的；
b．当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的图像是下降的．
②单调性
a．当底数a＞1时，正整数指数函数是增函数；
b．当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是减函数．
2．指数型函数
把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若y＝ax为正整数指数函数，则a为大于零且不等于1的常数，x∈N＋.( )
(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点．( )
(3)正整数指数函数的图像与直线x＝T(T为常数且T>0)最多只有一个交点．( )
(4)指数型函数y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)，当k＝1且x∈N时即为正整数指数函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．下列函数是正整数指数函数的是( )
A．y＝－4x(x∈N) B．y＝(x∈N)
C．y＝2x(x∈R) D．y＝x3(x∈N)
解析：选B.y＝－4x(x∈N)和y＝x3(x∈N)不是正整数指数函数，排除A、D；y＝2x(x∈R)的定义域不是N，故选B.
3．函数f(x)＝(x∈N＋)，则f(2)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.f(2)＝＝.
4．一种产品的年产量原来是10 000件，今后计划使年产量每年比上一年增加p%，则年产量随经过年数x变化的函数关系式为________．
解析：经过1年的年产量为10 000(1＋ ( http: / / www.21cnjy.com )p%)，经过2年的年产量为10 000(1＋p%)2，…，经过x(x∈N＋)年的年产量为10 000(1＋p%)x，x∈N＋.
答案：y＝10 000(1＋p%)x(x∈N＋)
正整数指数函数的特征
(1)ax的系数为1；(2)底数a>0且a≠1；
(3)指数为自变量x；(4)x∈N＋.
正整数指数函数的概念
若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－)x；(2)y＝；(3)y＝(π－3)x.
[解] (1)不是．因为y＝(－)x的底数－<0，所以y＝(－)x不是正整数指数函数．
(2)不是．y＝＝·4x，因为4x前的系数不是1，所以y＝不是正整数指数函数．
(3)是．因为y＝(π－3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以函数y＝(π－3)x是正整数指数函数且是减函数．
方法归纳
(1)按正整数指数函数的4个特征来判定；
(2)注意与幂函数的区别．
1．(1)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
(2)正整数指数函数的图像经过点，则此函数的解析式为y＝________，定义域为________．
解析：(1)若函数y＝(a2－ ( http: / / www.21cnjy.com )3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数a＞0且a≠1.由此可知，实数a的值为2.
(2)把代入y＝ax(a>0且a≠1)，得＝a2，所以a＝，y＝，N＋.
答案：(1)2 (2) N＋
正整数指数函数的图像与性质
画出函数y＝(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性和值域．
[解] (1)列表：
x 1 2 3 4 …
y …
(2)描点：图像如图所示．
根据图像知y＝(x∈N＋)在其定义域上是增函数，其值域为.
方法归纳
(1)正整数指数函数的图像和性质 ( http: / / www.21cnjy.com )分别从形、数两个方面对正整数指数函数加以剖析，因此在处理与正整数指数函数有关的问题时应注意数形结合思想的运用；
(2)由于底数大于1时与底数大于零小于1时的单调性不同，所以也应注意分类讨论思想的运用．
2．(1)函数y＝，x∈N的图像是( )
A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
(2)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N)在[1，3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a＝________．
解析：(1)由于x∈N且底数为，所以函数y＝，x∈N的图像是一系列下降的点．
(2)因为f(x)在[1，3]上是增加的，
所以a>1，所以f(x)min＝f(1)＝a，
f(x)max＝f(3)＝a3.所以a3－a＝a，
即a(a2－2)＝0.又因为a>0，且a≠1，所以a＝.
答案：(1)D (2)
正整数指数函数的实际应用
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份t(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数．
[解] (1)1年后该城市的人口总数为x＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )00＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，2年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(万人)，
那么t年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)t(万人)，t∈N.
(2)10年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210(万人)．
若今年为2015年，本例中的年份t用公元纪年法，你能写出x关于t的解析式吗？
解：x＝100(1＋1.2%)t－2 015(t∈N＋且t≥2 015)．
方法归纳
实际生活中与指数函数有关的函数模型
(1)指数增长模型：在y＝N(1＋p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间．
(2)复利计算公式：y＝a(1＋r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算．
3．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.
(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化的函数关系式；
(2)画出该函数的图像；
(3)说明该函数的单调性．
解：(1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
…
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
x 1 2 3 4 5 …
y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 …
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和观察图像可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
思想方法 数形结合思想在正整数
指数函数图像中的应用
在同一坐标系中画出y1＝2x(x∈N＋)，y2＝3x(x∈N＋)的图像，试观察哪个函数增加得更快？
[解] (1)列表：
x 1 2 3 …
y1 2 4 8 …
y2 3 9 27 …
(2)描点得图像如图所示，由图像知两个函数的图像都是增加的，y2＝3x增加得更快．
[感悟提高] 对于正整数指数函数y＝ax(x∈N＋，a>0，且a≠1)．
(1)当a1>a2>1时，y1＝a(x∈N＋)比y2＝a(x∈N＋)增加得快；
(2)当01．若x∈N＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝－2x
C．y＝(－3)x D．y＝πx
解析：选D.根据正整数指数函数的定义知A、B、C不符合定义，故选D.
2．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)且f(5)＝32，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(2)>f(1) D．f(－2)>f(2)
解析：选C.由题意a5＝32(a>0，且a≠1)，所以a＝2，f(x)＝2x(x∈N＋)为增函数，
又－2、－1 N＋，排除A、B、D，对C，因为2>1(2，1∈N＋)，所以f(2)>f(1)．
3．正整数指数函数y＝(a－1)x，在x∈N＋上是增加的，则a的取值范围是________．
解析：由题意知a－1>1，所以a>2.
答案：(2，＋∞)
4．光线通过一块玻璃板时，其强度要 ( http: / / www.21cnjy.com )损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为________．
解析：当x＝1时，y＝1×(1－0.2)＝0.8；
当x＝2时，y＝0.8×(1－0.2)＝0.82；
当x＝3时，y＝0.82×(1－0.2)＝0.83；
…
所以y＝0.8x(x∈N＋)．
答案：y＝0.8x(x∈N＋)
[A.基础达标]
1．下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域内是减少的是( )
A．y＝1.2x(x∈N＋) B．y＝3x(x∈N＋)
C．y＝0.99x(x∈N＋) D．y＝πx(x∈N＋)
解析：选C.A、B、D中底数均大于1，对应函数均为增函数，C中底数0.99∈(0，1)，所以y＝0.99x(x∈N＋)是减少的．
2．函数y＝5x，x∈N＋的值域是( )
A．R B．N＋
C．N D．{5，52，53，54，…}
解析：选D.因为函数y＝5x，x∈N＋的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为正整数集N＋.所以当自变量x取1，2，3，4，…时，其相应的函数值y依次是5，52，53，54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5，52，53，54，…}．
3．若函数f(x)＝(a2－5a－5)ax为正整数指数函数，则a的值为( )
A．－1 B．6
C．－1或6 D．－6
解析：选B.由得a＝6.
4．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2014年该企业全年总产值为1 000万元，则2017年该企业全年总产值为( )
A．1 331万元 B．1 320万元
C．1 310万元 D．1 300万元
解析：选A.易知1 000(1＋10%)3＝1 331(万元)．
5．正整数指数函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值之和为6，则a等于( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．以上均不对
解析：选B.因为正整数指数函数y＝ax在[1，2]上单调，由题意得a＋a2＝6(a>0且a≠1)，解得a＝2.
6．已知0解析：因为0答案：四
7．若集合{3，|x|，x}＝{－2，2，y}，则2x＋2y＝________．
解析：因为{3，|x|，x}＝{－2，2，y}，所以y＝3，x＝－2，
所以2x＋2y＝2－2＋23＝.
答案：
8．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过________小时．
解析：细菌个数y与分裂次数x的关系为y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2x，由题意知2x＝4 096，即2x＝212，所以x＝12，所需时间为12×15＝180分钟，即3个小时．
答案：3
9．求不等式<32x(x∈N＋)的解集．
解：由<32x得3x2－3<32x.
因为函数y＝3x，x∈N＋为增函数，
所以x2－3<2x，即x2－2x－3<0，
所以(x－3)(x＋1)<0，解得－1又因为x∈N＋，所以x＝1或x＝2.故不等式的解集为{1，2}．
10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3，27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．
解：(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax( ( http: / / www.21cnjy.com )a＞0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3，27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上是增加的，
所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．
[B.能力提升]
1．有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有 ( http: / / www.21cnjy.com )a升水，桶B中无水．现把桶A的水注入到桶B中，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数．假设5分钟时，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有升，必须再经过( )
A．7分钟 B．8分钟
C．9分钟 D．10分钟
解析：选D.因为y1＝amt，
所以即m5＝，mt2＝，
所以t2＝15，所以t2－5＝10.
2．已知函数f(x)＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )(a>1，x∈N＋)，g(x)＝bx(b>1，x∈N＋)，当f(x1)＝g(x2)＝4时，有x1>x2，则a，b的大小关系是( )
A．aC．a>b D．不能确定a、b的关系
解析：选A.由f(x1)＝g(x2)＝4，x ( http: / / www.21cnjy.com )1>x2，且a>1，b>1，可知f(x)＝ax比g(x)＝bx增加得慢，故a3．若函数y＝(a2－5a＋7)(2a－4)x，x∈N＋是正整数指数函数，则a等于________．
解析：由题意知解得a＝3.
答案：3
4．已知集合A＝{x|1<2x<16，x∈N＋}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B＝________．
解析：由1<2x<16(x∈N＋)得 ( http: / / www.21cnjy.com )x＝1，2，3，即A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1，2，3}∩{0，1，2}＝{1，2}．
答案：{1，2}
5．设f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．若f(2x－3)>f(1＋x)，求x的取值范围．
解：因为f(x)＝ax，所以由f(2x－3)>f(1＋x)得a2x－3>a1＋x.
当a>1时，y＝ax在x∈N＋上是增函数，
所以2x－3>1＋x，即x>4，
所以x∈(4，＋∞)，x∈N＋.
当0所以x<4，又x∈N＋，且2x－3∈N＋，
所以x＝{2，3}．
综上所述，当a>1时，x的取值范围是(4，＋∞)，x∈N＋.
当06．(选做题)如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0，且a≠1)是x∈N＋上的增函数，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝ax(ax－3a2－1)＝(ax)2－(3a2＋1)ax＝－.
因为函数f(x)在x∈N＋上是增函数．
所以当a>1时，ax>1，此时应有<1，
该不等式无解．
当01，
即a2>.
解得a>或a<－，
所以综上可知，实数a的取值范围是.第2课时 集合的表示
1．问题导航
(1)什么是列举法？
(2)什么是描述法？
(3)按集合中元素的个数，集合可分为哪几类？
2．例题导读
(1)P4例1.通过本例学习，掌握列举法表示集合的一般形式，学会用列举法表示集合．
(2)P5例2.通过本例学习，掌握描述法表示集合的一般形式，学会用描述法表示集合．
试一试：教材P5练习T2你会吗？
1．集合的表示方法
表示方法 定义
自然语言表述法 用文字叙述的形式描述集合的方法，如：所有圆组成的集合
列举法 把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法，一般形式：{a1，a2，a3，…，an}
描述法 用确定的条件表示某些对象属于一个集 ( http: / / www.21cnjy.com )合并写在大括号内的方法，一般格式：{x∈A|P(x)}，其中x是集合中元素的一般符号，A是x的取值范围，P(x)是x满足的共同特征，竖线不可省略
2.集合的分类
按照集合中元素个数的多少，集合分为有限集、无限集和空集.
类别 意义
有限集 含有限个元素的集合叫有限集
无限集 含无限个元素的集合叫无限集
空集 不含有任何元素的集合叫作空集，记作
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1，2，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，2，2，3}．( )
(2)集合{x|x－1＝0}与集合{1}是同一个集合．( )
(3)全体实数组成的集合可表示为{R}，空集可表示为{ }．( )
(4)集合{x|x>4}与集合{t|t>4}表示的是同一个集合．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．集合{x∈N|x<5}的另一种表示法是( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
解析：选A.因为x∈N且x<5，
所以x＝0，1，2，3，4，用列举法可表示为{0，1，2，3，4}．
3．已知A＝，则集合A用列举法表示为____________．
解析：由得 所以A＝.
答案：
4．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是____________．
解析：由集合中元素的互异性得m＋1≠1，所以m≠0.
答案：m≠0
(1)当集合中元素个数较 ( http: / / www.21cnjy.com )少时，常用列举法；若集合中的元素较多但构成该集合的元素具有明显的规律时，也可用列举法表示，但是必须把元素间的规律表示清楚后，才能用省略号表示，如N＋＝{1，2，3，…}，所有正偶数组成的集合可写成{2，4，6，8，…}．
(2)使用描述法时，一要关注元素的 ( http: / / www.21cnjy.com )一般符号所代表的意义，二要把元素的性质准确表达；另外，在不导致引起歧义的情况下，元素的一般符号及短竖线可省略，如所有正方形构成的集合可用描述法表示为{x|x为正方形}或{正方形}．
用列举法表示集合
用列举法表示下列集合：
(1)由大于3且小于10的奇数组成的集合；
(2)由大于3且小于10的素数组成的集合；
(3)方程x2－7＝0的实数解集．
(链接教材P4例1)
[解] (1){5，7，9}．
(2){5，7}．
(3)由x2－7＝0，得x＝±，用列举法表示为{－，}．
方法归纳
用列举法表示集合时，必须注意以下 ( http: / / www.21cnjy.com )几点：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合的元素必须是明确的；(3)不必考虑元素出现的先后顺序；(4)集合的元素不能重复；(5)集合的元素可以表示任何事物，如人、物、地点、数等.
1．(1)方程组的解集是( )
A．{5，－4} B．(5，－4)
C．{(－5，4)} D．{(5，－4)}
(2)已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________．
解析：(1)对把①代入x2－y2＝9即(x＋y)·(x－y)＝9得x－y＝9，③
由①③联立易得出所以方程组的解集为{(5，－4)}．
(2)因为2∈M，所以3x2＋3x ( http: / / www.21cnjy.com )－4＝2或x2＋x－4＝2，解得x＝－2，1或－3，2.经检验知，只有－3，2符合元素的互异性，故集合为{－3，2}．
答案：(1)D (2){－3，2}
用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有无理数组成的集合；
(2)所有奇数组成的集合；
(3)图中阴影部分(含边界)的点的坐标组成的集合．
(链接教材P5例2)
[解] (1)由于小于10的实数中除去有理数，即为小于10的无理数，故用描述法表示为{x|x＜10且x Q}．
(2)奇数可以写成2n＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )(n∈Z)的形式，所以奇数的集合用描述法表示为{x|x＝2n＋1，n∈Z}(也可写成{x|x＝2n－1，n∈Z})．
(3)设阴影部分的所有点构成集 ( http: / / www.21cnjy.com )合B，则集合B中的元素是点，设为(x，y)．由图形知：－1≤x≤1，y∈R，所以B＝{(x，y)|－1≤x≤1，y∈R}．
方法归纳
(1)写清楚集合中元素的一般符号：是数，是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式；
(2)准确说明集合中元素的共同特征；
(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；
(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系词；
(5)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如{直角三角形}等．
2．用描述法表示下列集合：
(1)直角坐标平面内第二象限内的点集；
(2)抛物线y＝－x2－x＋1上的点组成的集合．
解：(1)设直角坐标平面内的点的坐标为(x，y)，
则x＜0，y＞0，
故用描述法表示为{(x，y)|x＜0且y＞0}．
(2)设(x，y)为抛物线y＝－x2－x＋1上的点，
则x，y满足方程y＝－x2－x＋1，
故用描述法表示为{(x，y)|y＝－x2－x＋1，x∈R}．
集合与方程的综合应用
已知A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解] (1)由题意知，A中有且只有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．
当a＝0时，对应方程为一次方程，
此时A＝{－}，符合题意；
当a≠0时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝4－4a＝0，a＝1时也符合题意．
综上所述，a的取值集合为{0，1}．
(2)由题意知，A中至多有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根，
由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
即A中无元素，符合题意．
综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
在本例条件下，若A中至少有一个元素，如何求解．
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．
由本例可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素．
当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.
所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为a≤1.
方法归纳
对于含参数的多项式方程的解集问题
(1)要讨论最高次项的系数以确定方程的类型；
(2)对于二次方程，注意利用判别式判定方程根的个数．
3．(1)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，若A中的元素最多只有一个，则a的取值范围为____________．
(2)已知集合A＝{x|ax＋b＝0}，
当集合A是有限集时，a，b满足的条件是_________________________________；
当集合A是无限集时，a，b满足的条件是_______________________________；
当集合A是空集时，a，b满足的条件是________________________________．
解析：(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋1＝0的根为x＝，A＝，符合题意；
当a≠0时，因为A中的元素最多只有一个，所以Δ＝(－3)2－4a≤0，得a≥；
综上所述，若A中的元素最多只有一个，则a≥或a＝0.
(2)当a≠0时，方程有一解，此时集合是有限 ( http: / / www.21cnjy.com )集；当a＝0，b＝0时，方程有无数组解，此时集合是无限集；当a＝0，b≠0时，方程无解，此时集合是空集．
答案：(1)a≥或a＝0
(2)a≠0，b∈R a＝0，b＝0 a＝0，b≠0
思想方法 列举法在新定义集合问题中的应用
(1)定义集合A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
(2)设 是R上的一个运算，A是某些 ( http: / / www.21cnjy.com )实数组成的集合．若对任意a，b∈A，有a b∈A，则称A对运算 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
[解析] (1)由x∈A，y∈B，可知有以下几种情况：
所以A*B＝{2，4，0}，A*B中所有元素之和为2＋4＋0＝6.
(2)该题以信息给予的形 ( http: / / www.21cnjy.com )式辨别运算．自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如3－4＝－1 N；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如2÷4＝0.5 Z；无理数集中乘法运算的结果可能是有理数，如×＝2∈Q，故选C.
[答案] (1)D (2)C
[感悟提高] 本例(1)运用了列举法，体现了分类讨论思想的应用；本例(2)通过举反例，进行分析判断，这是解决新定义集合问题的两种常用方法．
1．下列集合中，空集是( )
A．{0} B．{x|x＞8且x≤5}
C．{x∈N＋|x2－1＝0} D．{x|x≥4}
解析：选B.由于大于8且小于5或等于5的实数不存在，所以B项中的集合不含任何元素．
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
解析：选B.由x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0得x1＝x2＝1.
3．若集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则－3____________A(填“∈”或“ ”)．
解析：因为若－3＝3k＋1，则k＝－ Z，所以－3 A.
答案：
4．下列集合：
①小于20的素数组成的集合；
②方程x2－4＝0的解的集合；
③由大于3且小于9的实数组成的集合；
④所有菱形组成的集合．
能用列举法表示的是________，能用描述法表示的是________，只能用描述法表示的是________．
解析：①可用列举法表示为{2，3，5，7，11，13，17，19}；
可用描述法表示为{小于20的素数}或{x|x为小于20的素数}；
②可用列举法表示为{－2，2}，可用描述法表示为{x∈R|x2－4＝0}；
③只能用描述法表示为{x|3＜x＜9}；
④只能用描述法表示为{x|x为菱形}或{菱形}．
答案：①② ①②③④ ③④
[A.基础达标]
1．已知集合A＝{x|x(x－2)＝0}，那么( )
A．0∈A B．2 A
C．－2∈A D．0 A
解析：选A.A＝{x|x(x－2)＝0}＝{0，2}，所以0∈A，2∈A，－2 A.
2．设集合A＝{x∈Z|－1A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}
C．{0，1} D．{0，1，2}
解析：选C.A＝{x∈Z|－13．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}
解析：选D.因为A中含有3，7，11，15，A不正确，B中含有无穷多个元素，不正确．对C，当t＝0时，x＝－3，不正确，故选D.
4．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )
A．第一象限内的点集
B．第二象限内的点集
C．第三象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
解析：选D.当x>0，y<0时，(x，y)为第四象限内点的坐标；
当x<0，y>0时，(x，y)为第二象限内点的坐标．
5．已知A＝{1，0，－1，2}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝( )
A．{0，2} B．{1，0，2}
C．{1，2} D．{1，0}
解析：选B.因为x∈A＝{1，0，－1，2}．
所以|x|＝0，1，2，即B＝{1，0，2}．
6．方程ax2＋5x＋c＝0的解集是，则a＝____________，c＝____________．
解析：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是，那么，是方程的两根，即有解得
答案： －6 －1
7．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为____________．
解析：题图中阴影部分点的横坐标－1≤x≤3，纵坐标0≤y≤3，故用描述法可表示为.
答案：
8．已知集合A＝，则用列举法表示为____________．
解析：因为x∈N，∈N，
所以5－x＝4，3，2，1，所以x＝1，2，3，4，故A＝{1，2，3，4}．
答案：{1，2，3，4}
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)所有能被12整除的两位正整数构成的集合；
(2)满足方程x＝|x|的所有x的值构成的集合B.
解：(1)所有能被12整 ( http: / / www.21cnjy.com )除的两位正整数可以写成12的倍数的形式，且仅有有限个，故选择列举法表示为{12，24，36，48，60，72，84，96}．
(2)满足方程x＝|x|的x满足x≥0，故选择描述法表示集合B为{x|x≥0}．
10．已知集合A＝{5，|a＋1|，2a＋1}，若3∈A，求实数a的值．
解：因为3∈A，所以|a＋1|＝3或2a＋1＝3，解得a＝2或－4或1，
若a＝2，元素有5，3，5不合题意，舍去；若a＝－4，元素有5，3，－7，符合题意；若a＝1，元素有5，2，3，符合题意．
综上知a＝1或－4.
[B.能力提升]
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a的值为( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
解析：选A.当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
2．现定义一种运算 ，当m，n都是正 ( http: / / www.21cnjy.com )偶数或都是正奇数时，m n＝m＋n，当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n＝mn.则集合M＝{(a，b)|a b＝16，a∈N＋，b∈N＋}中元素的个数为( )
A．22 B．20
C．17 D．15
解析：选C.①当a，b都是正偶数时，( ( http: / / www.21cnjy.com )a，b)可以是(2，14)，(4，12)，(6，10)，(8，8)，(14，2)，(12，4)，(10，6)，共7个；
当a，b都是正奇数时，(a，b)可以是( ( http: / / www.21cnjy.com )1，15)，(3，13)，(5，11)，(7，9)，(9，7)，(11，5)，(13，3)，(15，1)，共8个；
②当a，b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1，16)，(16，1)，共2个．
因此满足题意的元素个数为17.
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集 ( http: / / www.21cnjy.com )合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为____________．
解析：由P＋Q的含义可知，当P＝{0，2，5 ( http: / / www.21cnjy.com )}，Q＝{1，2，6}时，元素和有：0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，而0＋6＝5＋1，重复，只计一次．
所以P＋Q中共有8个不同的元素1，2，3，4，6，7，8，11.
答案：8
4．已知集合M＝{x|(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0}中各元素之和为3，则实数a的值为____________．
解析：由题知x－a＝0得x＝a，设x1，x2为方程x2－ax＋a－1＝0的两根，则x1＋x2＝a，由题意a＋a＝3，a＝.
答案：
5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们所表示的集合相同吗？试说明理由．
解：因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．
理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中的y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{(x，y)|y＝x2＋3，x∈R}．
6．(选做题)集合M的元素为自然数，且满足：如果x∈M，则8－x∈M，试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
解：(1)M中只有一个元素，
根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.
故含有一个元素的集合M＝{4}．
(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而含两个元素的集合M应为{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}．
(3)满足条件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：
①由以上1个集合中元素组成的集合有
{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}共5个；
②由2个组成的有{4，0，8} ( http: / / www.21cnjy.com )，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}共10个；
③由3个组成的有{4，0，8，1， ( http: / / www.21cnjy.com )7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}共10个；
④由4个组成的有{4，0，8 ( http: / / www.21cnjy.com )，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}共5个；
⑤由5个组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，共1个．
综上可知，满足题设条件的集合M共有31个．§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
问题导航
(1)集合的含义是什么？
(2)元素与集合有哪两种关系？
(3)符号N、N＋、Z、Q、R分别表示什么数集？
(4)集合中的元素具有哪三大特性？
1．集合、元素的含义及标记方法
(1)集合：指定的某些对象的全体，常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象，常用小写字母a，b，c，d，…标记．
2．元素与集合间的关系
关系
3．常用的数集及其记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋ Z Q R
4.集合中元素的三大特性
元素的特性 理解 作用
确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否在这个集合中就确定了 判定对象能否构成集合；确定元素与集合的关系
互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不能重复出现的 判定集合是否正确；求集合中字母的值时需检验互异性
无序性 集合中的元素是没有顺序的．也就是说，集合中的元素没有前后之分 判定两个集合是否为同一个集合
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我国发射的“嫦娥”系列探月卫星构成一个集合．( )
(2)某校高中一年级所有的漂亮女生可构成一个集合．( )
(3)由方程x2－4x＋4＝0的实数解构成的集合有两个元素．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知集合A由小于1的数组成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
解析：选C.因为3，1不满足小于1，－1，0满足小于1，所以选C.
3．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
解析：选C.由集合元素的确定性知，A、B、D均能组成集合，C不能组成集合．
4．下列所给关系正确的是________．
①π∈R；② Q；③0∈N＋；④|－4| N＋.
解析：根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．
答案：①②
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合 ( http: / / www.21cnjy.com )是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的，其本质特征是指定的确定元素的总体．
(2)集合含义中的“元素”所 ( http: / / www.21cnjy.com )指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
集合的概念与集合的判定
下列各组对象：
①接近于1的数的全体；②比较小的实数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．1
[解析] 因为①中“接近于1”、②中“比较小”标准不明确，所以①②不能构成集合，③④能构成集合，故选A.
[答案] A
方法归纳
判断一组对象能否构成集合的关键在于是否 ( http: / / www.21cnjy.com )能找到一个明确的判断标准，来判断这组对象中的任一个对象是否在所描述的范围内，如果能找到，则可构成一个集合，否则不能．
1．(1)下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．无限接近2的数
C．聪明的人
D．方程x2＝－2的实数根
(2)下列各组对象中不能构成集合的是( )
A．某教育集团的全体员工
B．2012年伦敦奥运会的所有参赛国家
C．北京大学建校以来毕业的所有学生
D．美国NBA的篮球明星
解析：(1)选D.A项中“很大”、B项 ( http: / / www.21cnjy.com )中“无限接近2”、C项中“聪明”都没有确定的标准来衡量，所以不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，故选D.
(2)选D.根据集合中元素的确定性来判断 ( http: / / www.21cnjy.com )涉及对象是否构成集合．因为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA篮球运动员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
元素与集合的关系[学生用书P6]
集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中元素有________．
[解析] 当x＝0时，＝2；
当x＝1时，＝3；
当x＝2时，＝6；
当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0，1，2.
[答案] 0，1，2
方法归纳
(1)若集合中的元素是直接给出的，直接观察判断元素与集合的关系；
(2)若集合中的元素是用性质表达的，则需推断所给对象是否具备集合中元素的性质，才能判定对象与集合的关系．
2．(1)给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3 Z；④－ N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A的元素形式为x＝2k，k∈Z ( http: / / www.21cnjy.com )，B的元素形式为x＝2k＋1，k∈Z.若a∈A，b∈B，则a＋b________A，a＋b________B(用“∈”或“ ”填空)．
解析：(1)由特定数集符号的含义知①④正确，②③错误．
(2)因为a∈A，所以a＝2k1(k1∈Z)．
因为b∈B，所以b＝2k2＋1(k2∈Z)．
所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又因为k1＋k2∈Z，
所以a＋b∈B，从而a＋b A.
答案：(1)B (2) ∈
集合中元素的特性及其应用
已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．
[解] 因为－3∈B，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(1)若把本例中的条件“－3∈B”去掉，求实数a的值．
(2)若把本例中的条件“－3∈B”改为“－3 B”，求实数a的值．
解：(1)由题意知a－3≠2a－1，所以a≠－2，即a的取值为不等于－2的实数．
(2)由本例及(1)知a≠－2，且a≠－1和a≠0，即a的取值为不等于－2，－1，0的实数．
方法归纳
对于含有参数的集合问题：
(1)根据已知元素与集合的关系，以集合中元素的性质为切入点，由确定性解出字母参数的所有可能值，再由集合中元素的互异性进行检验．
(2)注意分类讨论的数学思想在解题中的应用．
3．已知集合A含有三个元素a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，则实数a的值为________．
解析：因为1∈A，
所以若a＋2＝1，则a＝－1，
所以集合A的元素为1，0，1，与元素的互异性矛盾，舍去．
若(a＋1)2＝1，
则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A的元素为2，1，3，满足条件．
当a＝－2时，A的元素为0，1，1，与元素的互异性矛盾，舍去．
若a2＋3a＋3＝1，
则a＝－1或a＝－2，舍去．
故符合条件的a的值为0.
答案：0
规范解答 集合的探究型问题
(本题满分12分)数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
[解] (1)若2∈A，则∈A，①1分
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他元素为－1，.4分
(2)如：若3∈A，则A中其他元素为－，.6分
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.8分
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.10分
又因为a≠，②
因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解．
故≠，②
所以A中只能有3个元素，它们分别是a，，且三个数的乘积是－1.12分
[规范与警示] ①抓住a∈A，∈A(a≠1)是正确解答本题的关键．
②注明a≠≠是易漏点．
本题属于结论开放型问题，需要认真分析条件，在解决第(1)(2)题的基础上，探求结论，对分析问题，解决问题的能力要求较高．
1．下列说法正确的是( )
A．若a∈N，b∈N，则a－b∈N
B．若x∈N＋，则x∈Q
C．若x≥0，则x∈N
D．若x Z，则x Q
解析：选B.因为a，b均为非负整数， ( http: / / www.21cnjy.com )所以a－b可能小于0，故A不正确．x≥0时不一定为整数，所以C不正确．D也不正确，例如 Z，但∈Q.
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的是( )
A．0∈M，2∈M
B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 M
D．0 M，2 M
解析：选B.本题是判断0和2与集合M间 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
3．已知a∈N，且a N＋，则a＝________．
解析：由N与N＋的差别可知a＝0.
答案：0
4．已知集合P有三个元素：1，m，m2－3m－1，若3∈P，且－1 P，则实数m的值为________．
解析：因为3∈P，且－1 P，
所以当m＝3时，P含有三个元素：1，3，－1，与－1 P矛盾．
当m2－3m－1＝3时，m＝4或m＝－1(舍去)，
此时P含有三个元素：1，4，3，符合题意．
所以m＝4.
答案：4
[A.基础达标]
1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )
①某校高一年级成绩优秀的同学；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2014年太平洋保险公司的投保人数．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
解析：选B.对①“成绩优秀”无客观标准，不能构成集合，②③④中的对象具有确定性，能构成集合．
2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D.根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
3．给出下列关系：
①∈R；② Q；③|－3| N；④－ Q.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题意知，|－3|＝3∈N，故③错误.为实数，，－均为无理数．故①②④正确．
4．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这2个元素，则下列说法中正确的是( )
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
解析：选D.由集合元素的互异性知2a≠a2－a，即a2－3a≠0，所以a≠0，3.
5．已知集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．6
解析：选B.若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0 A，故选B.
6．方程1＋x－2＝0的全体实数解组成的集合元素的个数为________．
解析：由1＋＝0知，此方程无实数解．
答案：0
7．已知集合P是由大于2且小于a的自然数构成，且P中恰有3个元素，则整数a的值为________．
解析：根据题意并结合数轴知a＝6.
答案：6
8．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
解析：由a2≠1，得a≠±1.
答案：±1
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)辽宁号航空母舰上的所有舰载飞机构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)sin 30°，1，，2 0150，0.5构成一个三元素集；
(4)方程x2＋x－1＝0的实数根构成一个集合；
(5)全国著名的企业家构成一个集合；
(6)在平面直角坐标系中，第一象限内的点构成一个集合．
解：(1)正确．因为航母上的舰载飞机是确定的，所以能构成集合．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定，所以不能构成集合．
(3)不正确．因为sin 30°＝＝0.5，2 0150＝1，故这个集合只有2个元素．
(4)正确．一元二次方程，无论是有实根还是无实根，都是确定的，所以能构成集合．
(5)不正确．因为“著名”没有明确的标准和界定，具有不确定性，故不能构成集合．
(6)正确．第一象限内的点虽有无限个，但条件明确，即横、纵坐标均为正，故可构成集合．
10．已知集合A中的元素x∈R且满足条件ax2＋x＋2＝0，若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，A含有一个元素为－2，符合题意；当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上可知，a的取值范围是a≤.
[B.能力提升]
1．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于等于1
解析：选C.由y＝－x2＋1可得y≤1，又因为y∈N，所以集合A的元素为0，1，所以t的值为0或1.
2．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合 ( http: / / www.21cnjy.com )B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
解析：选C.对A中元素y，因为x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R，所以y＝x2＋1≥1，所以2∈A；对B中元素(x，y)，当x＝3时，y＝x2＋1＝10，所以(3，10)∈B.
3．由实数x，－x，|x|，，组成的集合中，元素最多有________个．
解析：因为＝|x|，＝x，所以当 ( http: / / www.21cnjy.com )x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，x；当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x，均最多表示两个不同的数．故集合中元素最多有2个．
答案：2
4．满足“a∈A且4－a∈A”，a∈N且4－a∈N的有且只有2个元素的集合A的个数是________．
解析：当a＝0时，4－a＝4；
当a＝1时，4－a＝3；
当a＝2时，4－a＝2；
当a＝3时，4－a＝1；
当a＝4时，4－a＝0；
当a∈N且a≥5时4－a N.
所以A中只有2个元素的集合有2个．
答案：2
5．设集合M，b、c∈Z，b2－c2∈M.试问：
(1)8，9，10是否属于M
(2)是否奇数都属于M？为什么？
解：(1)因为8＝32－12，9＝52－42，
所以8∈M，9∈M；
设10＝b2－c2，b，c∈Z.
则(b＋c)(b－c)＝2×5，
由于b＋c与b－c奇偶性相同，
该方程无整数解，所以10 M.
(2)设2n－1(n∈Z)为任一奇数．
因为2n－1＝n2－(n－1)2，
所以2n－1∈M，即所有奇数都属于M.
6．(选做题)集合A中的元素a满足a＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3n＋1，n∈Z；集合B中的元素b满足b＝3n＋2，n∈Z；集合C中的元素c满足c＝6n＋3，n∈Z.
(1)若c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b.
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．
解：(1)令c＝6m＋3，
则c＝3m＋1＋3m＋2(m∈Z)，
令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c＝a＋b.
故若c∈C，一定存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．
(2)不一定有a＋b∈C.
证明如下：设a＝3m＋1，b＝3n＋2，m，n∈Z，
则a＋b＝3(m＋n)＋3.
因为m，n∈Z，所以m＋n∈Z，
不妨设m＋n＝k，
则a＋b＝3k＋3不一定在C内．§3 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图像和性质
1．问题导航
(1)指数函数满足哪三个条件？
(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像一定过哪一个定点？
(3)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的增减性与a有什么关系？
(4)指数函数y＝ax与y＝()x的图像有什么关系？
2．例题导读
(1)P72例1.通过本例学习，体会如何利用指数函数的单调性比较大小；
(2)P72例2.通过本例学习，体会如何利用指数函数的性质解不等式及求参数的范围；
(3)P73例3.通过本例学习，体会数形结合思想的应用．
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0且a≠1，x∈R) ( http: / / www.21cnjy.com )叫作指数函数，在这个函数中，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域 (－∞，＋∞)
值域 (0，＋∞)
定点 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
性质 函数值的变化 x＞0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
奇偶性 非奇非偶函数
3.y＝ax与y＝a－x(其中a>0且a≠1)图像间的关系
函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)与函数y＝()x(即y＝a－x)二者的图像关于y轴对称．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的图像一定在x轴上方．( )
(2)在同一平面直角坐标系下，y＝2x的图像比y＝3x的图像低．( )
(3)底数a>1时，指数函数的函数值大于1.( )
(4)y＝ax(x∈N＋)的图像是y＝ax(x∈R)图像上的一些孤立点．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝()x图像之间的关系是( )
A．关于原点对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
解析：选C.因为y＝()x＝2－x，则－x代x得y＝2x，所以y＝2x与y＝()x图像关于y轴对称．
3．函数y＝的定义域是________．
解析：由3x－1≥0得3x≥1＝30，由于y＝3x在R上为增函数，所以x≥0.即y＝的定义域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
4．函数y＝ax＋1＋2(a>0，a≠1)过定点________．
解析：当x＝－1时，y＝a0＋2＝3(a>0且a≠1)，所以函数y＝ax＋1＋2(a>0且a≠1)过定点(－1，3)．
答案：(－1，3)
1．指数函数与正整数指数函数的类比
(1)解析式的特征：①ax，x的系数均为1；
②自变量x均在指数位置上；
③底数均为大于0且不等于1的常数．
(2)①正整数指数函数y＝ax定义域为N＋，指数函数y＝ax定义域为R.
②y＝ax，x∈N＋的函数图像是离散的点．
y＝ax，x∈R的函数图像是连续的曲线．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)图像的分布规律
在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
指数函数的概念
下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝；④y＝xx；
⑤y＝3－；⑥y＝x.
[解析]
序号 是否 理由
① 否 ()x的系数不是1
② 否 2x－1的指数不是自变量x
③ 是 满足指数函数的概念
④ 否 底数是x，不是常数
⑤ 否 指数不是自变量x
⑥ 否 底数不是常数且指数不是自变量x
[答案] ③
方法归纳
判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征．
1．指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(－π)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
因为y＝f(x)的图像过点(π，e)，所以aπ＝e.所以a＝.所以f(x)＝()x.所以f(－π)＝()－π＝e－1＝.
答案：
指数函数的图像及应用
(1)设a，b，c，d>0，且不等于1，y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图像如图，则a，b，c，d的大小顺序为( )
A．aC．b(2)用min{a，b，c}表示a，b，c三 ( http: / / www.21cnjy.com )个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] (1)作直线x＝1与y＝ax，y＝bx，
y＝cx，y＝dx的交点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b(2)画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图像，如图，观察图像可知，f(x)＝f(x)在x＝4时取得最大值为6，故选C.
[答案] (1)C (2)C
若本例(2)改为“f(x)＝max{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)有最小值吗？”如何求解．
解：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图像，如图，观察图像可知
f(x)＝
当x＝x0时，f(x)取得最小值.
方法归纳
(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数a>1还是0(2)在第一象限内，底越大越靠近y轴．
(3)掌握y＝ax(a>0且a≠1)的左右、上下平移的规律．
2．(1)函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图像如图所示，则g(x)＝ax＋b的图像是( )
解析：(1)选D.由图像知函数为减函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以00，所以b<0，故选D.
(2)选A.由f(x)的图像可知，0又因为0 指数函数的性质及应用
比较下列各组数的大小．
(1)2.12.5与2.13；
(2)0.8－0.1与1.250.2；
(3)1.50.4与0.32.1；
(4)0.70.8与0.80.7.
(链接教材P72例1、P74例4、P75例5)
[解] (1)因为y＝2.1x在x∈R上是增函数，2.5<3.
所以2.12.5<2.13.
(2)1.250.2＝0.8－0.2.
因为0<0.8<1，
所以指数函数y＝0.8x在x∈R上为减函数，
所以0.8－0.1<0.8－0.2，即0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数性质，得
1．50.4>1.50＝1，0.32.1<0.30＝1.
所以1.50.4>0.32.1.
(4)y＝0.8x在x∈R上为减函数，
所以0.80.8<0.80.7.
又y＝x0.8在[0，＋∞)上是增函数，
所以0.70.8<0.80.8，
故0.70.8<0.80.8<0.80.7，
所以0.70.8<0.80.7.
方法归纳
比较幂大小的方法
(1)构造函数法
①若底数相同指数不同时，可构造指数函数，利用其单调性比较大小，
②若底数不同指数相同时，可构造幂函数，利用其单调性比较大小．
(2)搭桥比较法：数的特征是既不同底又不同指数的，此时可通过用特殊的数，一般情况下为1或0，进行判断比较.
3．比较下列各组数的大小．
(1)1.50.3与0.81.2；
(2)与(a>0且a≠1，n∈N＋，n>2)．
解：(1)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
而0.81.2<0.80＝1，所以1.50.3>0.81.2.
(2)＝a，＝a.
因为n∈N＋，且n>2，
所以－＝>0，即>.
所以当a>1时，a>a，即>；
当0易错警示 对分段函数在用单调性解题时易漏掉
衔接点而致误
已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是________．
[解析] 要使f(x)在R上为增函数，需所以－1≤a<0.
[答案] [－1，0)
[错因与防范] 本题易忽略衔接 ( http: / / www.21cnjy.com )点处x＝1时(1－2a)x的值不大于＋4的值这个条件，错因是对函数的单调性理解不深刻，此类问题可通过作示意图来解决．
4. 已知函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有>0成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意知f(x)在R上为增函数，故需要
所以a≥.
答案：[，＋∞)
1．已知集合M＝{－1，1}，N＝，则M∩N＝( )
A．{－1，1} B．{0}
C．{－1} D．{－1，0}
解析：选C.因为N＝{－1，0}，M＝{－1，1}，所以M∩N＝{－1}．
2．函数y＝的图像大致是( )
解析：选B.因为当x<0时，y＝x2，排除C、D；对A，当x＝0时，y＝2x－1＝0，排除A，故选B.
3．若2a＞1，则a的取值范围是________．
解析：y＝2x在R上为增函数，因为2a>1＝20.
所以a>0.
答案：(0，＋∞)
4．若将函数y＝f(x)的图 ( http: / / www.21cnjy.com )像先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到的图像恰好与y＝2x的图像重合， 则y＝f(x)的解析式是________．
解析：把y＝2x向上平移两个单位，得y＝2x＋2，把y＝2x＋2向右平移两个单位得y＝2x－2＋2.
答案：f(x)＝2x－2＋2
[A.基础达标]
1．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对于任意的实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：选C.因为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)f(y)．
2．若集合M＝{y|y＝2－x}，N＝{x|y＝}，则M∩N等于( )
A．{y|y>1} B．{y|y≥1}
C．{y|y>0} D．{y|y≥0}
解析：选B.y＝2－x＝()x>0，所以M＝(0，＋∞)，由x－1≥0得x≥1，即N＝[1，＋∞)，故M∩N＝[1，＋∞)．
3．函数y＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.函数y＝定义域为R，令f(x)＝，则f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
4．函数y＝(0解析：选C.y＝又因为00时，y＝ax是减少的，排除A、D；当x<0时，y＝－ax是增加的，排除B，故选C.
5．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－1，0)时，有f(x)＝2x，则当x∈(－3，－2)时，f(x)等于( )
A．2x B．－2x
C．2x＋2 D．－2－(x＋2)
解析：选C.因为x∈(－3，－2)，所以x＋2∈(－1，0)，又f(x)＝f(x＋2)
所以f(x)＝f(x＋2)＝2x＋2.
6．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是________．
解析：因为当x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，所以a2－1>1，所以a2>2，解得a>或a<－.
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
7．要使y＝＋m的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知当x＝0时，y＝2＋m≤0，所以m≤－2.即实数m的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
8．已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则常数a＝________．
解析：函数f(x)的定义域为R，又f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即＋a＝0，所以a＝－.
答案：－
9．求满足下列条件的x的取值范围．
(1)3x－1>9x；
(2)2x2－3x>；
(3)ax2－x>a3＋x(a>0且a≠1)．
解：(1)因为3x－1>9x，所以3x－1>32x.
又因为y＝3x在定义域上是增函数，
所以x－1>2x.所以x<－1.
(2)因为2x2－3x>，所以2x2－3x>2－2.
又因为y＝2x在定义域上是增函数，
所以x2－3x>－2，即x2－3x＋2>0.
所以x>2或x<1.
(3)当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，
所以x2－x>3＋x，即x2－2x－3>0.所以x>3或x<－1；
当0所以x2－x<3＋x，即x2－2x－3<0.所以－1综上可知，当a>1时，x>3或x<－1；
当010．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：(1)若a>1，则f(x)在定义域上是增函数，
所以f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)．
所以f(2)－f(1)＝，即a2－a＝.
解得a＝.
(2)若0所以f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
所以f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝，
综上所述，a＝或a＝.
[B.能力提升]
1．函数y＝的图像大致为( )
解析：选A.y＝＝1＋，当x>0时，e ( http: / / www.21cnjy.com )2x－1>0且随着x的增大而增大，故y＝1＋>1且随着x的增大而减小，即函数y＝在(0，＋∞)上恒大于1且是减少的，又函数y＝是奇函数，故选A.
2．设f(x)是定义在实数集R上的函数， ( http: / / www.21cnjy.com )满足条件：y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝5x，则f()，f()，f()的大小关系是( )
A．f()B．f()C．f()D．f()解析：选D.因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，
即满足f(x)＝f(2－x)，
所以f()＝f(2－)＝f()，
又当x≥1时，f(x)＝5x是增加的，
所以当x<1时，f(x)是减少的，
又<<<1，所以f()>f()>f()，
即f()>f()>f()．
3．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析：由题意知f(x)在R上为减函数，所以所以0答案：(0，]
4．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝2，则不等式f(2x)>2的解集为________．
解析：因为f(x)为偶函数，在(－∞，0]上是减少的，
所以f(x)在[0，＋∞)上是增加的，f()＝2，
由f(2x)>2＝f()，所以2x>＝2－1，所以x>－1.
答案：(－1，＋∞)
5．已知3a＝4b＝6c，试比较a、b、c的大小．
解：设3a＝4b＝6c＝m.
在同一坐标系中画出函数y＝3x，y＝4x，y＝6x的图像，如图所示．
当m>1时，由图像可知a>b>c>0；
当m＝1时，由图像可知a＝b＝c＝0；
当06．(选做题)已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0，且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1，1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
解：(1)由题意知函数定义域为R，关于原点对称．
因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数；
当0故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内是增加的．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
所以f(x)在区间[－1，1]上为增函数．
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，
所以f(x)min＝f(－1)
＝(a－1－a)
＝·＝－1.
所以要使f(x)≥b在[－1，1]上恒成立，则只需b≤－1.
故b的取值范围是(－∞，－1]．章末优化总结
指数、对数的运算
指数、对数的计算、化简是本章的重要题型 ( http: / / www.21cnjy.com )．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；对数的运算要灵活运用对数的运算性质、基本性质、换底公式和对数恒等式，并注意变形过程中字母范围的变化，前后要等价．
计算下列各式：
(1)0.027 eq \s\up5(－) ＋()－4×()－－×80.25；
(2)log3×log5[4 eq \s\up5() log210－(3)－7log72]．
[解] (1)原式＝(0.3)－＋(2)－4×()2×(－)－2×2
＝＋2－7－2＝－.
(2)原式＝log33(－1)×log5[10－()3×－2]
＝－×log5(8－3)
＝－×1＝－.
指数函数、对数函数的图像及性质
指数函数、对数函数是中学数学中 ( http: / / www.21cnjy.com )重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的形状特征及画法，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．
是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
[解] 设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．
当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax ( http: / / www.21cnjy.com )2－x)在区间[2，4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2，4]上是增函数，故应满足解得a>，所以a>1；
当01时，f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上为增函数．
已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0有解，求k的取值范围．
[解] (1)因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝＝0，b＝1.
(2)函数f(x)为增函数，
证明如下，任取x1，x2∈R，x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1又(2－x1＋1＋2)(2－x2＋1＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，
所以函数f(x)为增函数．
(3)因为f(x)为奇函数，由f(t2－ ( http: / / www.21cnjy.com )2t)＋f(2t2－k)<0得f(t2－2t)<－f(2t2－k)，f(t2－2t)又因为f(x)为增函数，t2－2t当t＝时，3t2－2t有最小值－，所以k>－.
比较两数(式)的大小
比较两数(式)或几个数(式)大小 ( http: / / www.21cnjy.com )问题是一个重要题型，它主要是考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用，常用的方法有单调性法、图像法、中间量搭桥法、作差法、作商法、分析转化法等．
(1)三个数a＝0.67，b＝70.6，c＝log0.76的大小关系为( )
A．bC．c(2)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c(3)已知0A．3b<3a B．loga3>logb3
C．(lg a)2<(lg b)2 D．()a<()b
[解析] (1)结合y＝0.6x，y＝7x和y＝log0.7x，可知01，c<0，故c(2)结合y＝log3x，y＝ln x和y＝5x，可知c>1，0又因为a＝log32＝，b＝ln 2＝，所以a(3)结合y＝3x，可得3b>3a，排除A；lg a(lg b)2，排除C；
结合y＝()x，可得()a>()b，排除D；故选B.
[答案] (1)C (2)A (3)B
分类讨论
分类讨论问题不仅是高考的重点 ( http: / / www.21cnjy.com )与热点，也是高考的难点．解决这类题目的关键是找出为什么分类，即分类的标准是什么．就本章而言，引起分类讨论的原因很多，如指数、对数函数(或不等式)的底数为字母、幂函数的指数为字母、二次函数中二次项的系数为字母以及带有绝对值的函数、方程、不等式等．在分类讨论时，要明确讨论对象，确定分类标准，逐步进行讨论．
已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)<2，求实数x的取值范围；
(2)若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a>1时，f(x)<2，得0<8－ax所以－a当0a2，所以x<－a.
因此a>1时，x的取值范围是－a当0(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得1当0由f(x)>1恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1且8－2a>0，所以a>4且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
1．设实数m满足条件3m＝2－3，则下列关于m的范围的判断正确的是( )
A．－4C．－2解析：选C.因为3m＝2－3，m＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－3log32，又3<8<9，所以3<2<3，所以2．已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
解析：选C.点(3，1)在y＝logax上 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得a＝3，y＝a－x＝()x，此函数是递减的，排除A；y＝(－x)3＝－x3，此函数是递减的，排除B；y＝log3(－x)，此函数在(－∞，0)上是递减的，排除D，故选C.
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝()x，则f(－2＋log35)＝________．
解析：因为－2＋log35<0且 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)在R上为奇函数，所以f(－2＋log35)＝－f(2－log35)＝－()2－log35＝－＝－＝－.
答案：－
4．定义在R上的偶函数f(x)满足 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(－2，0)时，f(x)＝()x，则f(log28)＝________．
解析：f(log28)＝f(3)＝f(2＋1 ( http: / / www.21cnjy.com ))＝－f(2)＝－f(1＋1)＝f(1)，因为f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝()－1＝2，故f(log28)＝2.
答案：2
5．计算：(1)(2) eq \s\up5() －9.60－(3) eq \s\up5() ＋1.5－2；(2)－5log94＋log3－5log53－() eq \s\up5() .
解：(1)原式＝()－1－() eq \s\up5() ＋()－2＝()2×－1－()3×(－)＋()2＝－1－＋＝.
(2)原式＝－5×＋log3－3－()3×(－)
＝log32－5＋log3－3－16＝log32－5×－19＝－21.
6．已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f()＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．
解：因为f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，又f()＝0，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(－)＝0.
故若f(logax)>0，则有logax>或logax<－.
(1)当a>1时，由logax>或logax<－，得x>或0(2)当0或logax<－，
得0.
综上可知，当a>1时，f(logax) ( http: / / www.21cnjy.com )>0的解集为(0，)∪(，＋∞)；当00的解集为(0，)∪(，＋∞)．
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝2x2 B．y＝x3＋x
C．y＝3x D．y＝x
答案：D
2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f()的值为( )
A．－log23 B．－log32
C. D.
解析：选B.因为y＝f(x)与y＝3x互为反函数，所以f(x)＝log3x，所以f()＝log3＝－log32.
3．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝2－ B．y＝
C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3
解析：选A.由A、B、C、D选项中函数的值域分别为(0，＋∞)、[0，1)、[，＋∞)和(0，1)∪(1，＋∞)，可知应选A.
4．已知a>0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )
A．y＝logax与y＝(logxa)－1
B．y＝2x与y＝logaa2x
C．y＝alogax与y＝x
D．y＝logax2与y＝2logax
解析：选B.对于A：y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )logax、y＝(logxa)－1的定义域分别为(0，＋∞)、(0，1)∪(1，＋∞)，排除A；对于C：y＝alogax、y＝x的定义域分别为(0，＋∞)、R，排除C；对于D：y＝logax2、y＝2logax定义域分别为(－∞，0)∪(0，＋∞)、(0，＋∞)，排除D，故选B.
5．三个数e－，log0.23，ln π的大小关系为( )
A．log0.23C．e－解析：选A.由y＝ex、y＝log0.2x和y＝ln x可知01，故选A.
6．已知0解析：选D.因为07．已知f(x)＝则f(log23)＝( )
A. B．－
C. D.
解析：选A.因为18．函数f(x)＝log2的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选A.由>0，解得x ( http: / / www.21cnjy.com )∈(－2，2)，f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故f(x)为奇函数，因此f(x)的图像关于原点对称．
9．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[，) B．(0，)
C．(0，) D．(，)
解析：选A.由题意可得：
解得a∈[，)．
10．若函数f(x)＝是奇函数，当0A. B．－
C. D．－
解析：选C.当x∈(0，2]时，－x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )[－2，0)，f(－x)＝2－x，又因为f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以当x∈(0，2]时，f(x)＝－2－x.
故g(x)＝log5(x＋)－()x，易知在(0，2]上，g(x)是递增的，g(x)max＝g(2)＝1－＝.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)的图像恒过定点________．
解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝2a0＋1＝3，故该函数图像恒过定点(1，3)．
答案：(1，3)
12．若f(lg x)＝x，则f(3)＝________．
解析：lg x＝3，解得x＝103＝1 000.
答案：1 000
13．已知函数f(x)的图像如图，试写出一个可能的解析式为________．
解析：由函数图像随着x增加， ( http: / / www.21cnjy.com )函数值增加越来越慢，当x趋近0时，y趋近于－∞，故该函数可为对数函数，设f(x)＝logax，loga10＝3，a＝，故f(x)＝logx.
答案：f(x)＝logx
14．若2a＝5b＝10，则＋＝________．
解析：由已知可得：a＝log210，b＝log510，故＋＝log102＋log105＝log1010＝1.
答案：1
15．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：令g(x)＝x2－ax＋ ( http: / / www.21cnjy.com )3a，由题意可得，要使f(x)在区间[2，＋∞)上为减函数，g(x)必为增函数，且g(x)>0，即a∈(－4，4]．
答案：(－4，4]
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)计算下列各式：(要求写出必要的运算步骤)
(1)0.027－－(－)－2＋2560.75－3－1＋()0；
(2)(log3)2＋[log3(1＋＋)＋log3(1＋－)]·log43.
解：(1)原式＝[()3]－－36＋26－＋1
＝＋28－＋1
＝32.
(2)原式＝(log33)2＋log32·log43
＝＋log32·log23
＝＋＝1.
17．(本小题满分10分)已知函数y＝a x －3x＋3在x∈[1，3]时有最小值，求a的值．
解：令t＝x2－3x＋3＝(x－)2＋，
当x∈[1，3]时，t∈[，3]．
①若a>1时，则ymin＝a＝，解得a＝，与a>1矛盾．
②若0解得a＝，满足题意．综合①，②知，a＝.
18．(本小题满分10分)设函数f(x)＝lg，其中a∈R，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求a的取值范围．
解：由题意知，当x∈(－∞，1]时，>0成立，
即a>－()x－()x成立，
令t＝()x，因为x≤1，所以t≥.有a>－t2－t，(t≥)成立，只需a>(－t2－t)max，
而y＝－t2－t(t≥)是减函数，当t＝时，(－t2－t)max＝－.
因此取a>－，a的取值范围是(－，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设a，b同号，且a2＋2ab－3b2＝0，求log3(a2＋ab＋b2)－log3(a2－ab＋b2)的值．
解：因为a，b同号，所以b≠0.
把方程a2＋2ab－3b2＝0两边同除以b2，
得()2＋2·－3＝0，
所以(＋3)(－1)＝0，
解得＝1或＝－3(舍去)，
所以a＝b.
所以log3(a2＋ab＋b2)－log3(a2－ab＋b2)＝log3(3a2)－log3a2＝log33＝1.
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝log3(m≠1)是奇函数．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝，用函数单调性的定义证明：函数y＝g(x)在区间(－1，1)上是递减的；
(3)解不等式f(t＋3)<0.
解：(1)由题意得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x都成立，
所以log3＋log3＝0，即·＝1，
所以1－x2＝1－m2x2对定义域中的x都成立，
所以m2＝1，又m≠1，所以m＝－1.
所以f(x)＝log3.
(2)证明：由(1)得g(x)＝.
设x1、x2∈(－1，1)，且x10，x2＋1>0，x2－x1>0.
因为g(x1)－g(x2)＝>0，所以g(x1)>g(x2)，
所以函数y＝g(x)在区间(－1，1)上是递减的．
(3)函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)．
设x1、x2∈( －1，1)，且x1g(x2)，
所以log3g(x1)>log3g(x2)，即f(x1)>f(x2)，
所以y＝f(x)在区间(－1，1)上是递减的．
因为f(t＋3)<0＝f(0)，所以
解得－3故不等式的解集为{t|－31．问题导航
(1)函数有哪三种表示方法？
(2)任一函数都能用解析法表示吗？
(3)分段函数是如何定义的？
(4)分段函数是一个函数吗？
2．例题导读
(1)P29例2.通过本例学习，理解画绝对值函数的图像的方法和步骤．
(2)P29例3、P30例4.通过这两例的学习，掌握求分段函数的解析式．
试一试：教材P31－32练习T1，T4你会吗？
1．函数的三种表示法
表达形式 定义 优点 缺点
列表法 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法 不必计算就能直观看出两变量之间的对应关系 只能表示有限个元素间的函数关系
图像法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 直观地表示函数的局部变化规律进而预测它的整体趋势 不能表示函数的整体的变化
解析法 用自变量的解析式表示两个变量的对应关系的方法 能较便利地通过计算等手段研究函数的性质 一些实际问题很难找到它的解析式
2．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；任意两段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图像时，应分别作出每一段的图像．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于x轴的直线与函数的图像至多有一个交点．( )
(2)任何一个函数都可用解析法表示．( )
(3)把几个函数合在一起就是分段函数．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列图像中不能作为函数y＝f(x)的图像的是( )
解析：选B.对于B，当x取[0，＋∞)中的一个非零值时，对应的y值不唯一，故选B.
3．已知f(x)＝2x－1，则f(x＋1)＝________．
解析：因为f(x)＝2x－1，
所以f(x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1.
答案：2x＋1
4．函数f(x)的图像如图所示．
则此函数的定义域为________；值域为________．
解析：观察图像知此函数是一个分段函数，
定义域为[a1，a2]∪[a3，a4]，
值域为[b2，b3]∪[b4，b5]＝[b4，b3]．
答案：[a1，a2]∪[a3，a4] [b4，b3]
对分段函数的五点说明
(1)一个函数：分段函数在其解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．
(2)标准形式：分段函数的标准形式是
f(x)＝
写分段函数时，注意其定义域的端点应不重不漏．
(3) 定义域、值域：分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，值域也是各段上函数值组成的集合的并集．
(4)图像：分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．
(5)求值关键：求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．
列表法表示函数[学生用书P25]
设函数f(x)和g(x)的自变量和函数值的对应关系分别如下表：
x 1 2 3 4
f(x) 3 4 2 1
x 1 2 3 4
g(x) 4 3 1 2
则f(g(f(3)))＝________．
[解析] 由上表可知：f(3)＝2，g(2)＝3，
所以f(g(f(3)))＝f(g(2))＝f(3)＝2.
[答案] 2
方法归纳
列表法能直观地表示函数的自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量和函数值之间的关系，使用列表法表示函数时，将自变量和其对应的函数值一一列在表格中，比如例题的表格可以直观地看到函数的定义域与值域．
1．小明同学计划买x(x∈{1，2，3，4，5})支2B铅笔，每支铅笔的价格为0.5元，试用列表法表示购买铅笔支数x与钱数y的关系．
解：列表法：
铅笔数x(支) 1 2 3 4 5
钱数y(元) 0.5 1 1.5 2 2.5
图像法表示函数
作出下列函数的图像并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)．
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[解] (1)因为x∈Z且|x|≤2，
所以x∈{－2，－1，0，1，2}．
所以图像为一直线上的孤立点(如图①)．
由图像知，值域为{－1，0，1，2，3}．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，
所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5.
当y＝0时，x＝.
因为x∈[0，3)，故图像是一段抛物线(如图②)．
由图像可知，值域为[－5，3)．
方法归纳
(1)作函数图像的基本步骤为：列表、描点、连线．
(2)画函数图像的三个关注点
①在定义域内作图．
②图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
③要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
2．作出函数y＝的图像，并求出它的值域．
解：函数定义域为{x|x≠－1}，列表如下：
x －3 －2 － － 0 1
y － －1 －2 2 1
描点、连线得到图．
由图像可知，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
解析法表示函数
(1)若f(x＋1)＝x2＋x，则f(x)＝________．
(2)若f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________．
(3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x(x∈R且x≠0)，则f(x)＝________．
[解析] (1)因为x∈R，
所以令t＝x＋1∈R，则x＝t－1，
代入f(x＋1)＝x2＋x，
得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t，t∈R，
即f(x)＝x2－x.
(2)由f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(3)由2f(x)＋f＝2x，①
将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝，②
①×2－②，得3f(x)＝4x－，
所以f(x)＝x－.
[答案] (1)x2－x (2)2x－或－2x＋1 (3)x－
对本例(3)若把“2f(x)＋f()＝2x(x∈R且x≠0)”改为“2f(x)＋f(－x)＝2x”，如何求f(x)
解：对2f(x)＋f(－x)＝2x，①
以－x代替x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②可得f(x)＝2x.
方法归纳
求解析式的常用方法
(1)直接法(代入法)：知道f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，直接将g(x)代入即可．
(2)待定系数法：若已知函数的类型， ( http: / / www.21cnjy.com )可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(3)换元法(有时可用“配凑法”)： ( http: / / www.21cnjy.com )已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
(4)解方程组法或消元法：在 ( http: / / www.21cnjy.com )已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫作解方程组法或消元法．
3．(1)设函数g(x)＝2x－1，则g(x＋2)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x＋3 D．2x－3
(2)设f(x)＝2x－3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x＋3
C．2x－7 D．2x－3
解析：(1)选C.因为g(x)＝2x－1，所以g(x＋2)＝2(x＋2)－1＝2x＋3.
(2)选C.g(x＋2)＝f(x)＝2x－3，令t＝x＋2，则x＝t－2.
所以g(t)＝2(t－2)－3＝2t－7，即g(x)＝2x－7.
分段函数
某市住宅电话通话费为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．
(1)在平面直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y(元)关于通话时间t(分钟)(t>0)的函数图像；
(2)如果一次通话t(t>0)分钟，写出通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用〈t〉表示不小于t的最小整数)．
[解] (1)函数图像如图所示．
(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当03时，话费应为(0.2＋〈t－3〉×0.1)元．
故y＝
方法归纳
(1)求分段函数的解析式一般应“先分后合”，注意各段上的自变量取值范围无公共部分．
(2)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．
(3)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段假设用不同的函数解析式，最后检验所求结果是否适合条件．
4．(1)f(x)＝|x－1|的图像是( )
(2)设f(x)＝h(x)＝
则f(h(e))等于( )
A．1 B．0
C．－1 D．e
(3)已知f(x)＝则f(2)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：(1)选B.因为f(x)＝|x－1|＝其图像为B.
(2)选B.h(e)＝0，f(h(e))＝f(0)＝0.
(3)选C.f(2)＝f(2＋3)＝f(5)＝f(8)＝8－4＝4.
思想方法 分类讨论思想在分段函数中的应用
(1)设函数f(x)＝若f(α)＝1，则实数α的值为( )
A．－1或0 B．2或－1
C．0或2 D．2
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[解析] (1)当α<1时，f(α)＝－α＝1，α＝－1；
当α≥1时，f(α)＝(α－1)2＝1，
α－1＝±1，α＝2或α＝0(舍去)．
所以α＝2或－1.
(2)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，
所以a＝－(舍去)；
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，所以a＝－.
[答案] (1)B (2)－
[感悟提高] 解与分段函数有关的方程、不等式及分段函数的值域，一般用分类讨论思想解决．
1．已知函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－
C. D．18
解析：选A.f(3)＝32－3－3＝3，＝，
所以f()＝f()＝1－()2＝.
2．已知f(x－1)＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B.令t＝x－1，
则x＝2t＋2，
所以f(t)＝4t－1，
因为f(a)＝6，即4a－1＝6，所以a＝.
3.如图，函数f(x)的图 ( http: / / www.21cnjy.com )像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f()的值等于________．
解析：由f(x)的图像知f(3)＝1，所以＝1，故f()＝f(1)＝2.
答案：2
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝42，则x＝________．
解析：若x≤3，由8－2x＝42，得x＝－17；
若x>3，由x2－7＝42，得x＝7或x＝－7(舍去)．
综上得x＝7或－17.
答案：7或－17
[A.基础达标]
1．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选B.由表可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
2．已知函数f(x)＝若f(α)＋f(1)＝0，则实数α的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A.因为f(1)＝2，所以f(α)＝－f(1)＝－2，由于x>0时，2x>0，所以α (0，＋∞)．
所以α≤0，α＋1＝－2，得α＝－3.
3．若f＝x2＋，则f(x)＝( )
A．x2＋2 B．x2－2
C．(x＋1)2 D．(x－1)2
解析：选A.因为f＝x2＋＝＋2，
所以f(x)＝x2＋2.
4．已知函数f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x2＋1(x≥1)
C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)
D．f(x)＝x2－2x(x≥1)
解析：选C.因为x≥0，令＋1＝t，则t≥1，x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2(t≥1)，
即f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)．
5．如图所示的图像表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
解析：选B.当x＝1时，y＝，排除A，D.当x＝0，时y＝0，排除C.
6.如图，函数f(x)的图像是 ( http: / / www.21cnjy.com )折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝________．
解析：由图像可得f(0)＝4，f(4)＝2.
答案：2
7．若函数f(x)满足f(x＋1)＝3x－1，则f(x)的解析式为________．
解析：法一：f(x＋1)＝3x－1＝3(x＋1)－4，所以f(x)＝3x－4.
法二：令x＋1＝t∈R，则x＝t－1，所以f(t)＝3(t－1)－1＝3t－4，即f(x)＝3x－4.
答案：f(x)＝3x－4
8．如果f()＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________．
解析：法一：因为x≠0且x≠1，所以f()＝，即f(x)＝.
法二：令＝t，因为x≠0且x≠1，所以t≠0且t≠1，x＝，则f(t)＝＝，即f(x)＝.
答案：
9．已知函数y＝f(x)的图像如图所示．
(1)根据图像确定函数的定义域和值域；
(2)根据图像求函数解析式．
解：(1)由图像可知函数的定义域为R，值域为[0，＋∞)．
(2)当－1≤x≤1时，设y＝ax2.
将点(1，1)或(－1，1)代入，可得a＝1.
当x>1时，设y＝kx＋b.
将点(1，1)，(2，2)代入，得
解得k＝1，b＝0.所以y＝x.
故y＝f(x)＝
10．将一条长为10 cm的铁丝剪 ( http: / / www.21cnjy.com )成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积和S与其中一段铁丝长x的函数关系．(x属于正整数)
解：这个函数的定义域为{x|1≤x＜10，x∈N＋}．
①解析法：S＝＋，
整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x＜10，x∈N＋}．
②列表法：
一段铁丝长x(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正方形的面积和S(cm2)
③图像法：
[B.能力提升]
1．根据统计，一名工人组 ( http: / / www.21cnjy.com )装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
解析：选D.由函数解析式可以看出， ( http: / / www.21cnjy.com )组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16.
2．定义两种运算：a b＝，a b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]
B．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．f(x)＝－，x∈[－2，0)∪(0，2]
解析：选D.f(x)＝＝.
由得
所以x∈[－2，0)∪(0，2]，
所以f(x)＝＝－，x∈[－2，0)∪(0，2]．
3．定义在R上的函数f(x)满足f ( http: / / www.21cnjy.com )(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
解析：当－1≤x≤0，则0≤x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝＝－.
答案：－
4．设集合A＝[0，)，集合B＝[，1]，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是________．
解析：因为x0∈[0，)，所以f(x0)＝x0＋∈[，1)，即f(x0)∈B，
所以f(f(x0))＝2(1－f(x0))＝2－2f(x0)＝2－2(x0＋)＝－2x0＋1，由题意知0≤－2x0＋1<，
所以答案：(，)
5．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式．
解：因为f(2)＝1，所以＝1，
即2a＋b＝2.①
又因为f(x)＝x有唯一解，
即＝x有唯一解，
所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(b－1)2＝0，
即b＝1.代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
6．(选做题)设f(x)是 ( http: / / www.21cnjy.com )R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解：因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)，又f(0)＝1，
所以f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1，
即f(x)＝x2＋x＋1.2．2 指数运算的性质
1．问题导航
(1)正整数指数幂的运算性质有哪5条？
(2)(1)中的性质对无理数指数幂成立吗？
(3)(1)中的性质对实数指数幂成立吗？
(4)(1)中的性质可归纳为哪三条？其适用条件是什么？
2．例题导读
(1)P67例4.通过本例学习，体会指数幂性质的正用；
(2)P67例5.通过本例学习，体会指数幂性质的逆用和整体代入思想的应用．
1．正整数指数幂的运算性质
(1)aman＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
(4)当a≠0时，有＝
(5)()n＝(b≠0)．
(其中m，n∈N＋)
2．实数指数幂的运算性质
(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn．
(其中a>0，b>0，m，n∈R)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝.( )
(2)当a>0时，am＋n＝am·an.( )
(3)[(－3)2]＝(－3)3＝－27.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．下列各式中恒成立的是( )
A.＝a5b B.＝
C.＝(x＋y) D.＝
解析：选D.对A，＝a－5b5；对B，＝＝；对C，令x＝y＝1知不成立；对D，＝4＝2＝，故选D.
3．计算＋160.75＝________．
解析：原式＝＋24×＝36＋8＝44.
答案：44
4．设10m＝2，10n＝3，则10＝________．
解析：因为10m＝2，10n＝3，所以10＝(10m)·(10n)－＝2·3－＝.
答案：
在运算性质中，特别要注意幂的底 ( http: / / www.21cnjy.com )数是正数的规定，如果改变等式成立的条件，则有可能不成立，如a＝－2，b＝－4时，(ab)＝[(－2)×(－4)]＝(－2)×(－4)则无意义．
指数幂的化简
化简：(1) (a，b>0)；
(2)÷×.
[解] (1)原式＝{ab2[(ab)]3}＝(a1＋·b2＋)＝a×b×＝ab.
(2)÷×
＝÷×a
＝××a
＝××a
＝a×a×a＝a.
本例(2)添加括号变为÷，结果如何？
解：÷
＝÷
＝×
＝×
＝a.
方法归纳
(1)把根式化为分数指数幂，再化简；
(2)把分式的分子、分母分解因式，能约分的应先约分．
1．(1)＝( )
A．1 B．m
C．m D．m
(2)化简(ab)(－3ab)÷(a>0，b>0)的结果是( )
A．6a B．－a
C．－9a D．9a
解析：(1)选A.原式＝m＋＋－－＝m0＝1.
(2)选C.原式＝－3a＋b＋÷(ab)
＝－9a－b－＝－9a.
指数幂的运算
计算：(×)6＋()－4－×80.25－(－2 015)0的值．
[解] 原式＝＋－4－2＋－1
＝4×27＋2－7－2－1
＝100.
方法归纳
(1)数的转化：①对幂底数是小数的先将小数化为分数，②分数化最简，带分数化为假分数，③根式化分数指数幂，④幂底数为负数的先确定幂的符号．
(2)运算顺序：有括号先算括号内的，无括号先算指数运算．
2．(1)计算： －＋＝________．
(2)计算：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＝________．
解析：(1)原式＝－＋＝－＋＝.
(2)原式＝－1－＋
＝－1－＋
＝－1－＋
＝.
答案：(1) (2)
条件求值
(1)已知a＝，b＝2，
求(a－b)－的值．
(2)已知x＋x－1＝3，求的值．
[解] (1)因为a＝，b＝2，原式＝(＋)2－(a＋b)＝a＋b＋2－a－b＝2
＝2＝2＝4.
(2)(x＋x－)2＝x＋x－1＋2＝5，又x＋x－>0.所以x＋x－＝，
(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝5.所以x－x－1＝±，
所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±×3＝±3，
所以原式＝＝±.
在本例(1)的条件下，求的值．
解：因为a＝，b＝2，
所以原式＝
＝＝a－b－
＝ab－1
＝(2)－1＝.
方法归纳
(1)先化简再求值；(2)寻找条件式和待求式之间的内在联系；(3)注意整体代入技巧的应用．
3．(1)已知10α＝3，10β＝4，求10，10－，10－的值．
(2)已知10α＝2，10β＝3，试把24和写成以10为底数的幂的形式．
解：(1)因为10α＝3，10β＝4，
所以10＝(10α)＝3，
10－＝(10β)－＝4－＝(22)－＝2－1＝，
10－＝10·10－＝·3.
(2)24＝3×23＝10β·(10α)3＝103α＋β，
＝＝10β－α.
易错警示 因忽略隐含条件而致误
化简：(1－a)[(a－1)－2·(－a)].
[解] 由(－a)＝知－a≥0，所以a－1<0.
所以原式＝(1－a)[(1－a)－2·(－a)]＝(1－a)·[(1－a)－2]·[(－a)]
＝(1－a)(1－a)－2×·(－a)×
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)
＝(－a).
[错因与防范] 错解在于忽视底数(a－1)的 ( http: / / www.21cnjy.com )符号，出现[(a－1)－2]＝(a－1)－1的错误．导致出错的原因是忽略了由(－a)可以得到－a≥0，从而a－1<0的隐含条件．分数指数幂可转化为根式，当根指数是偶数时，要注意被开方数为非负数，不能出现“＝－5”这样的错误．
4.·＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A.因为中－a≥0，
所以a≤0，
所以·＝a·(－a)
＝－(－a)·(－a)＝－(－a) eq \s\up5 (＋) ＝－(－a)＝－.
1．()4()4等于( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：选C.原式＝(a)4(a)4＝a2·a2＝a4.
2．化简·＝( )
A．－ B.
C．(a－1)4 D.
解析：选B.要使原式有意义，则a－1>0.
·
＝|1－a|·(a－1)－
＝(a－1)·(a－1)－
＝(a－1)＝.
3．化简：÷＝________．
解析：原式＝·＝－6a eq \s\up5 (＋) b eq \s\up5 (－) ＝－6ab.
答案：－6ab
4．已知a＝8－，则＝________．
解析：＝＝a2＋－－＝a.
因为a＝8－＝(23)－＝2－5，
所以上式＝(2－5)＝2－7＝.
答案：
[A.基础达标]
1．[(－1)－2]等于( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选B.[(－1)－2]＝1＝1.
2．计算：(－2)101＋(－2)100所得的结果是( )
A．2100 B．－1
C．2101 D．－2100
解析：选D.原式＝－2101＋2100＝－2100.
3．计算：×＝( )
A. B.
C．15 D.
解析：选C.原式＝·＝＝15.
4.用分数指数幂表示为( )
A．a B．a3
C．a D．都不对
解析：选C.原式＝[a·(a·a)]＝a.
5．下列各式中成立的是( )
A．()7＝n7m B.＝
C.＝(x＋y) D.＝
解析：选D.＝n7·m－7，A不正确；＝＝，B不正确；令x＝y＝1，＝，
(x＋y)＝，C不正确；故选D.
6.(n∈N＋)的结果为________．
解析：原式＝＝22(n＋1)－(2n＋1)－2n＋6＝27－2n.
答案：27－2n
7．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________．
解析：因为10x＝3，10y＝4，所以102x－y＝＝＝.
答案：
8．计算2××的结果为________．
解析：2××＝2×3×3×2－×3×2＝3＋＋×21－＋＝3×2＝6.
答案：6
9．(1)若a>0，b>0，化简：－(4a－1)；
(2)0.064－＋()0＋16－(·)6.
解：(1)－(4a－1)＝·－(4a－1)
＝4·－(4a－1)＝4a－(4a－1)＝1.
(2)0.064－＋()0＋16－(·)6
＝＋1＋8－23×32
＝－60.5.
10．已知a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，求(a－1)－2＋(b＋1)－2.
解：因为a＝(2＋)－1＝＝2－，
b＝(2－)－1＝＝2＋，
所以(a－1)－2＋(b＋1)－2＝(1－)－2＋(3＋)－2
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝
＝＝.
[B.能力提升]
1．若a2x＝－1，则＝( )
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D.＋1
解析：选A.因为a2x＝－1，所以＝
＝a2x－ax－x＋a－2x＝－1－1＋＝－2＋＋1＝2－1.
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．bC．b>c>a D．a解析：选D.a＝＝＝，b＝＝＝，c＝＝＝，所以a3．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为________．
解析：因为2x＝8y＋1＝23y＋3，9y＝32y＝3x－9，
所以x＝3y＋3，①
2y＝x－9，②
由①②解得所以x＋y＝27.
答案：27
4．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为________．
解析：x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，所以x9＝9x，所以x8＝9，
所以x＝＝.
答案：
5．已知x＋y＝12，xy＝9且x解：因为x＋y＝12，xy＝9且x6．(选做题)若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，求ab－a－b的值．
解：因为ab＋a－b＝(a＋a－)2－2，
所以(a＋a－)2＝ab＋a－b＋2
＝2(＋1)，
又a＋a－>0，
所以a＋a－＝，①
由于a>1，b>0，则a>a－，即a－a－>0，同理可得a－a－＝，②
①×②得ab－a－b＝2.§5 对数函数
5．1 对数函数的概念
5．2 :对数函数y＝log2x的图像和性质
1．问题导航
(1)对数函数满足哪三个条件？
(2)对数函数的定义域、值域各是什么？
(3)你能写出对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的反函数吗？
(4)指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x图像关于哪一条直线对称？
2．例题导读
(1)P90例1.通过本例学习，理解对数函数的概念．
(2)P90例2、P91例3.通过这两例学习，了解对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．
试一试：教材P91练习T3、T4你会吗？
1．对数函数的概念
2．反函数的概念
在指数函数y＝ax中，x是自变量， ( http: / / www.21cnjy.com )y是x的函数，其定义域是R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数．
通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
3．函数y＝log2x的图像与性质
图像特征 函数性质
过点(1，0) 当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧 定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延展 值域是R
在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0
函数图像从左到右是上升的 是(0，＋∞)上的增函数
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0且a≠1，x＝logay和y＝logax都是对数函数．( )
(2)已知a>0且a≠1，则y＝ax的图像与x＝logay的图像相同；与y＝logax的图像关于直线y＝x对称．( )
(3)函数y＝log2x与y＝logx的图像关于x轴对称．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则( )
A．RC．Q解析：选C.因为P＝3，Q＝log23R＝log25log24＝2，
所以Q3．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由log2x≥0，即log2x≥log21，
因为y＝log2x在(0，＋∞)上是递增的，
所以x≥1，故f(x)＝的定义域为{x|x≥1}．
答案：{x|x≥1}
4．对数函数f(x)的图像经过点，则f(3)＝________．
解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为对数函数f(x)的图像经过点，
所以f＝loga＝2.所以a2＝.
所以a＝＝＝.
所以f(x)＝logx.所以f(3)＝log3＝log＝－1.
答案：－1
对数函数必需满足三个条件
(1)logax前面的系数必须是1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
对数函数的概念
下列函数是对数函数的序号是________．
①y＝logx2；②y＝－log3x；③y＝log0.4；④y＝log(2a－1)x；⑤y＝log2(x＋1)．
[解析] ①式中的自变量在对数的底 ( http: / / www.21cnjy.com )数的位置，不是对数函数；②式中y＝－log3x＝logx是对数函数；③式中y＝log0.4＝log0.42x是对数函数；④式中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；⑤式中函数在对数的真数处不只是自变量x，而是关于x的表达式x＋1，故不是对数函数．由此可知只有②③④是对数函数．
[答案] ②③④
方法归纳
(1)判定对数函数的标准要满足三个条件；
(2)有些函数要在变形后进行判断，观察问题的实质．
1．下列函数是对数函数的有________．
①y＝3log21x；
②y＝log2；
③y＝logaxx(a>0且a≠1)；
④y＝logxx(x>0且x≠1)．
解析：①y＝log21x3＝logx是对数函数；
②y＝log2＝log4x是对数函数；
③由于真数为xx，且无论怎样变形均不符合对数函数的三个条件，所以不是对数函数；
④由于底数和真数都是变量，不是对数函数．
答案：①②
反函数
写出下列函数的反函数：
(1)y＝ln x；(2)y＝logx；
(3)y＝πx；(4)y＝.
[解] (1)对数函数y＝ln x，它的底数是无理数e，它的反函数是y＝ex.
(2)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是y＝.
(3)指数函数y＝πx，它的底数是π，它的反函数为y＝logπx.
(4)指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是y＝logx.
方法归纳
(1)求一个函数的反函数的步骤：
①由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)．
②将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)．
③由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．
(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．
2．(1)已知函数y＝g(x)的图像与函数y＝log3x的图像关于直线y＝x对称，则g(2)的值为( )
A．9 B.
C. D．log32
(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B．logx
C．2－x D．x2
解析：(1)选A.y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，
故g(x)＝3x，
故g(2)＝32＝9.
(2)选B.由题意知(a，)在y＝ax上，可得aa＝＝a，即a＝.
因为y＝()x的反函数为y＝logx，
所以f(x)＝logx.
函数y＝log2x的图像与性质
根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．
[解] 函数y＝log2x的图像如图所示．
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，
所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23.
所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23.
借助本例f(x)＝log2x的图像，试判断方程－log2x＝0解的个数．
解：在同一坐标系中画出函数y＝与y＝log2x的图像，如图所示．
由图知它们的图像有一个交点，即方程＝log2x仅有一个解，也就是方程－log2x＝0有一个解．
方法归纳
与对数函数有关的图像的画法
(1)列表描点法：列表，描点，连线．
(2)平移变换法：左加右减，上加下减．
(3)对称变换法：y＝f(x)与y＝f(－ ( http: / / www.21cnjy.com )x)关于y轴对称；y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
3．(1)函数f(x)＝|logx|在下列哪个区间上是增加的( )
A. B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：(1)选D.f(x)＝其图像如图．
所以f(x)在[1，＋∞)上是增加的．
(2)选D.因为f(x)≤2，所以有或，解得x≥0，故选D.
思想方法 数形结合思想的应用
已知f(x)＝|log2x|，若>a>b>1，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(c)>f(b)>f(a)
C．f(c)>f(a)>f(b)
D．f(b)>f(a)>f(c)
[解析] 先作出函数y＝log2 ( http: / / www.21cnjy.com )x的图像，再将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|log2x|的图像，如图．由图可知，f(x)＝|log2x|在(0，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，于是f>f(a)>f(b)，又f＝|log2|＝|－log2c|＝|log2c|＝f(c)．所以f(c)>f(a)>f(b)．
[答案] C
[感悟提高] (1)作绝对值函数|f(x)|的图像是正确求解的关键，作图时充分利用f(x)与|f(x)|之间的关系．
(2)利用函数单调性来比较大小，必须使自变量在同一单调区间上．
(3)利用对数的运算性质来寻找f()与f(c)的关系．
1．下列各项中表示同一个函数的是( )
A．y＝2log2x与y＝log2x2 B．y＝10lg x与y＝lg 10x
C．y＝x与y＝xlogxx D．y＝x与y＝ln ex
解析：选D.对于A中两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数．同样B、C中两个函数的定义域也都不同，故不是同一个函数．
2．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是( )
解析：选C.f(x)与y＝l ( http: / / www.21cnjy.com )og2x互为反函数，因此f(x)＝2x，故y＝f(1－x)＝21－x＝()x－1，该函数图像是由y＝()x的图像向右平移1个单位得到的，故选C.
3．已知函数f(x)＝则f(1)＋f(2)＝( )
A．1 B．4
C．9 D．12
解析：选B.由题意知，f(1)＝31＝3；f(2)＝log22＝1，
所以f(1)＋f(2)＝3＋1＝4.
4．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由题意得：可得：x∈(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
[A.基础达标]
1．与函数y＝2log2(x－2)表示同一个函数的是( )
A．y＝x－2 B．y＝
C．y＝|x－2| D．y＝()2
解析：选D.y＝2log2( ( http: / / www.21cnjy.com )x－2)＝x－2(x>2)，对于A：x∈R，排除A；对于B：y＝x－2(x≠－2)，排除B；对于C：y＝|x－2|＝排除C；故选D.
2．在同一坐标系中，函数y＝3－x与函数y＝log3x的图像可能是( )
解析：选C.y＝3－x＝()x是减函数，y＝log3x是增函数．
3．函数f(x)＝的图像与函数g(x)＝log2x图像交点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图像，如图，由图像可知f(x)与g(x)的交点个数为3.
4．设函数f(x)＝
则f(f(－1))＝( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：选D.因为－1<0，所以f(－1)＝2－1＝；因为>0，所以f()＝log2＝log22－1＝－1.
故f(f(－1))＝－1.
5．已知函数f(x)＝log2x，其中|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是( )
A. B.∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
解析：选B.因为|f(x)|≥1 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以log2x≥1或log2x≤－1.由于log2x在(0，＋∞)上是增函数，故x≥2或x≤.所以，x的取值范围是∪[2，＋∞)．
6．若函数y＝f(x)是函数y＝5x的反函数，则f(f(5))＝________．
解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x.
所以f(f(5))＝f(log55)＝f(1)＝log51＝0.
答案：0
7．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝________．
解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )g2(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝log2(－x)，故当x<0时，f(x)＝－log2(－x)．
答案：－log2(－x)
8．设函数f(x)＝若f(f(a))＝－1，则a＝________．
解析：由x≤1时4x∈(0，4]，x>1时，log0.5x<0可知f(a)>1，且a≤1.
故f(f(a))＝f(4a)＝log0.54a＝－2a＝－1，可得a＝.
答案：
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|log2(x－a)<1，a∈R}．
(1)若a＝2，求A∩( UB)；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：B＝{x|log2(x－a)<1，a∈R}＝{x|a(1)当a＝2时，B＝{x|2(2)由A∪B＝A，得B A，所以得－1≤a≤1.
10．已知函数f(x)＝log2的图像关于原点对称，求m的值．
解：因为f(x)＝log2的图像关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以log2＝－log2＝log2，
所以＝，
所以1－m2x2＝－x2＋1，
所以m2＝1，所以m＝1或m＝－1.
当m＝1时不满足题意，舍去，故m＝－1.
[B.能力提升]
1．已知函数y＝f(logx)的定义域为[，]，则函数y＝f(2x)的定义域为( )
A．[－1，0] B．[0，2]
C．[－1，2] D．[0，1]
解析：选D.当x∈[，]时，logx∈[1，2]，故1≤2x≤2，可得x∈[0，1]．
2．定义在R上的函数f(x)＝则f(3)的值为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：选B.由题意知，因为3>0，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)．
又f(0)＝log2(4－0)＝2.故f(3)＝－f(0)＝－2.
3．已知函数f(x)＝|log ( http: / / www.21cnjy.com )2x|，正实数m，n满足f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为________．
解析：由f(x)＝|lo ( http: / / www.21cnjy.com )g2x|＝的图像(图略)及f(m)＝f(n)，可知01)，所以log2n＝1，所以n＝2.
答案：，2
4．已知函数f(x)是定 ( http: / / www.21cnjy.com )义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)是减少的，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是________．
解析：因为f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)≥2f(1)，
所以f(log2a)≥f(1)．
由f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是减少的，
所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，所以≤a≤2.
答案：
5．已知f(x)＝log2.
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
解：(1)由题可得：>0，解得：x<－1或x>1；
所以定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
设u＝＝1＋，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，u∈(0，1)∪(1，＋∞)，
所以y＝log2u∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f(x)值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(x)的定义域关于原点对称，
f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log2＋log2
＝log2＝log21＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
6．(选做题)设f(x)＝2(log2x)2＋2alog2＋b，已知x＝时，f(x)有最小值－8.
(1)求a与b的值；
(2)求f(x)>0的解集A.
解：(1)因为x>0，log2x∈R，令u＝log2x，则
f(x)＝2(log2x)2－2alog2x＋b
＝2－＋b
＝2－＋b.
由题意得u＝－1时，f(x)最小＝－8，
所以
所以
(2)由(1)得，f(x)＝2(log2x)2＋4log2x－6，f(x)>0，即2u2＋4u－6>0，即u2＋2u－3>0，
所以u<－3或u>1，
所以log2x<－3或log2x>1，故02，
即f(x)>0的解集为A＝∪(2，＋∞)．§2 实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画
2．2 用函数模型解决实际问题
2．3 函数建模案例
1．问题导航
(1)根据实际问题，选用适当函数模型刻画变量间的关系；
(2)根据所给函数模型，解决实际问题；
(3)根据散点图，确定拟合函数．
2．例题导读
(1)P123例1.通过本例学习，掌握构造函数模型，解决实际优化问题．
(2)P123例2.通过本例学习，掌握利用散点图确定拟合函数，并用待定系数法求出拟合函数．
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画，用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．
1．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由f(m ( http: / / www.21cnjy.com ))＝给出，其中[m]是不超过m的最大整数，如：[3.74]＝3，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(单位：元)( )
A．3.71 B．4.24
C．4.77 D．7.95
解析：选C.f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝4.77.
2．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )
x －2 －1 0 1 2 3
y 1 4 16 64
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．对数函数模型
D．指数函数模型
解析：选D.y＝4x.
3．一个体户有一种货，如果月初 ( http: / / www.21cnjy.com )售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户要获利最大，则这种货( )
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
解析：选D.设这种货物成本费为x元，
若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%，
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)，
则100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
所以当成本费大于525元时，月初售出好；
当成本费小于525元时，月末售出好；
当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．故选D.
4．某移动公司采用分段计费的方法来 ( http: / / www.21cnjy.com )计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图像如图所示．则y与x之间的函数关系式为________．
解析：当x>100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则
有
解得所以解析式为y＝x＋20，
故所求函数关系式为y＝
答案：y＝
常见的函数模型
(1)直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过画图可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b>1，a>0)，通常形象地称为指数爆炸．
(3)对数函数模型：y＝m ( http: / / www.21cnjy.com )logax＋n(m≠0，a>0，a≠1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a>1，m>0)．
(4)幂函数模型：y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)．
(5)反比例函数模型：y＝(k>0)型，增长特点是y随x的增大而减小(x>0)．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等．
表格信息类建模问题
某国2011年至2014年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年 份 2011 2012 2013 2014
x(年) 0 1 2 3
生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2015年该国的国内生产总值．
(链接教材P120问题1、P123例2)
[解] (1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.
把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
所以它的一个函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677 7x＋8.206 7，计算出2012年和2013年的国内生产总值分别为
f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，
f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2015年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5，
即预测2015年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元．
方法归纳
(1)根据表格信息，画出图像；
(2)根据图像特征，选定函数模型；
(3)用待定系数法求出函数解析式；
(4)检验模型．
1．(1)今有一组数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 1.2 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
(2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段 ( http: / / www.21cnjy.com )用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)
解析：(1)取t＝1.99≈2，代 ( http: / / www.21cnjy.com )入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B得v＝log2＝－1≠1.5；代入C得v＝＝1.5；代入D得v＝2×2－2＝2≠1.5.故选C.
(2)高峰时间段200千瓦时的电费 ( http: / / www.21cnjy.com )为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，因为这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．
答案：(1)C (2)148.4
图像信息解读问题
如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解] (1)点A表示无 ( http: / / www.21cnjy.com )人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．
方法归纳
(1)这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．
(2)挖掘图像中的信息是关键．
2．电信局为了配合客户的不同需 ( http: / / www.21cnjy.com )要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
解：由图可知M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3(元)(n>500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图知，当0≤x≤60时，有fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)，
当60fB(x)，得x>，
因此当通话时间大于分钟时，方案B比方案A优惠．
实际生活中的优化问题
A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？
(链接教材P123例1)
[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，y1＝λ×20x2，
设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
所以甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
因为λ＝0.25，
所以y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000
＝(x－)2＋.
则当x＝ km时，y最小．
故当核电站建在距A城 km时，才能使供电总费用最小．
在本例(2)中“若要求供电总费用不得超过2万元，试求核电站距A城距离的范围”，该如何求解．
解：由本例(1)得5x2＋(100－x)2≤20 000(10≤x≤90)，
即≤，
解得0≤x≤，
又10≤x≤90，
所以x∈[10，]，
故核电站距A城距离的范围是[10，]．
方法归纳
函数模型在实际问题中应用的三种常见情形：
(1)利用给定的函数模型解决实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题．其关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系，最后结合其实际意义作出解答．
(2)建立确定性函数模型解决问题．其关键是抓 ( http: / / www.21cnjy.com )住几个步骤：一是读懂题意；二是正确建立函数关系；三是转化为函数问题解决；四是做好最后结论的回答．
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．大多数 ( http: / / www.21cnjy.com )实际问题都不能事先知道函数模型，需要通过科学观察和测试得出一些数据，画出散点图，根据散点图的形状通过函数拟合的方法确定．
3．在经济学中，函数f(x)的边 ( http: / / www.21cnjy.com )际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N＋)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)的解析式，并指出它们的定义域；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？说明理由．
解：(1)由题意知，P(x)＝R(x)－C(x)
＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，
其定义域为{x|x∈[1，100]，且x∈N＋}；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x，
其定义域为{x|x∈[1，99]，x∈N＋}．
(2)P(x)＝－20＋74 125，
所以当x＝62或x＝63时，P(x)取得最大值为74 120.
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)取得最大值为2 440.
所以利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值．
思想方法 分类讨论思想在分段函数最值中的应用
根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系如图所示(折线部分)，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的对应关系如表所示．
t/天 5 15 20 30
Q/件 35 25 20 10
(1)求出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；
(2)直接写出日销售量Q与时间t的一个函数解析式；
(3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？
注：日销售金额＝每件产品销售价格×日销售量．
[解] (1)由图像可知，当0≤t≤20时，价格P与时间t的关系为一次函数．
设P＝at＋b，
则
解得
所以P＝t＋30.
当20所以，销售价格P与时间t的函数解析式为
P＝
(2)日销售量Q与时间t的一个函数解析式为
Q＝－t＋40(0≤t≤30)．
(3)设日销售金额为y，
则y＝
当0≤t≤20时，
y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
当t＝5时，ymax＝1 225；
当20综上可知，当t＝5时，ymax＝1 225，即第五天日销售金额最大为1 225元．
[感悟提高] (1)分段函数是实际问题中经常遇到的一类函数，在处理分段函数时需注意值域是各段上值域的并集．
(2)分段函数的最值，一般应分类讨论各段上的最值再比较．
1．据报道，青海的湖水在最近50年内减少了 ( http: / / www.21cnjy.com )10%，如果按此规律，设2014年的湖水量为m，从2014年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
解析：选C.设每年湖水量为上一年的q%，则 ( http: / / www.21cnjy.com )(q%)50＝0.9，解得q%＝0.9，因此过x年后湖水量y与x的函数关系是y＝0.9m，选C.
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
解析：选D.对于A：当x＝2时，y＝log23≠2，排除A；对于B：当x＝2时，y＝3≠2，排除B；
对于C：当x＝2时，y＝3≠2，排除C；只有D满足要求，故选D.
3．工业城市空气污染对人的身体健康的 ( http: / / www.21cnjy.com )危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多．据统计，某地从2005年到2014年的10年间平均每两年上升2%，2014年有1 100人患呼吸道疾病，则2004年患呼吸道疾病的人数约为________(参考数据：1.023≈1.06，1.025≈1.1)．
解：设2004年患呼吸道疾 ( http: / / www.21cnjy.com )病的人数为a，则2006年的人数为a(1＋0.02)，2008年的人数为a(1＋0.02)2，2010年的人数为a(1＋0.02)3，2012年的人数为a(1＋0.02)4，2014年的人数为a(1＋0.02)5，依题意，得a(1＋0.02)5＝1 100，即1.1a＝1 100，
解得a＝1 000.
答案：1 000
4．某工厂生产某种产品的固定 ( http: / / www.21cnjy.com )成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．
解析：总利润＝总收入－成本，
L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)
＝－(Q－300)2＋250.
所以当Q＝300时，L(Q)最大为250(万元)．
答案：250 300
[A.基础达标]
1．某厂日生产文具盒的总成本y( ( http: / / www.21cnjy.com )元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
解析：选D.因利润z＝12x－(6x＋30 000)，
所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．
2．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1 000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )
A．1 535.5元 B．1 440元
C．1 620元 D．1 562.5元
解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1 000，解得a＝1 562.5元．
3．国家规定出版印刷行业税收如下：年收入 ( http: / / www.21cnjy.com )在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比率为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
解析：选D.由题意可知该公司年收入大于280万元，设为x万元．
＝(p＋0.25)%，解得x＝320.
4．某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P1、P2、P3，则这三年的年平均增长率为( )
A.(P1＋P2＋P3)
B.
C.－1
D．1＋(P1＋P2＋P3)
解析：选C.设这三年的年平均增长率为x，企业产值的基数为a，则a(1＋x)3＝a(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)．所以x＝－1.
5．某生产厂家生产某种产品的总成本y(万元) ( http: / / www.21cnjy.com )与产量x(件)之间的关系为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )
A．52 B．52.5
C．53 D．52或53
解析：选D.因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，
所以f(x)＝105x－x2＝－＋，
所以x＝52或53时，f(x)有最大值．
6．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．
解析：由题意有解得
所以y＝－2×0.5x＋2，所以当x＝3时，y＝－2×0.53＋2＝1.75，即3月份此厂的产量为1.75万件．
答案：1.75
7．有一段长为40 m的篱笆，如果利用 ( http: / / www.21cnjy.com )已有的一面墙作为一边，围成一块矩形的菜地，已知墙的长度为16 m，当菜地的长宽各为________时，菜地的面积最大．
解析：设矩形与墙所对的边为x m，则其邻边为 m，且0≤x≤16，
所以面积S＝x×＝－(x2－40x)
＝－(x－20)2＋200，
因为0≤x≤16，所以x＝16时，菜地面积最大．
即矩形的长为16 m，宽为12 m时，菜地面积最大．
答案：16 m，12 m
8．一个旅社有100间客房， ( http: / / www.21cnjy.com )经过一段时间的经营实践，旅社经理发现了这样一个规律：如果客房定价为每天每间160元时，入住率为55%；每间定价为140元时，入住率为65%；每间定价为120元时，入住率为75%；每间定价为100元时，入住率为85%.要使每天收入达到最高，每间每天应定价为________．
解析：每间每天定价为160元时，收入为
160×100×55%＝8 800元；
每间每天定价为140元时，收入为140×100×65%＝9 100元；
每间每天定价为120元时，收入为120×100×75%＝9 000元；
每间每天定价为100元时，收入为100×100×85%＝8 500元；
所以当每间每天定价为140元时，收入最高．
答案：140元
9．十八世纪七十年代，德国科学 ( http: / / www.21cnjy.com )家提丢斯(Johann Daniel Titius，1729～1796)发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )
距离 0.7 1.0 1.6 5.2 10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该 ( http: / / www.21cnjy.com )有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．
解：把表中的数据写成坐标为：(1，0 ( http: / / www.21cnjy.com ).7)，(2，1.0)，(3，1.6)，(5，5.2)，(6，10.0)，画出散点图，图像大致如图所示，根据散点图，知宜采用指数函数作模型，设f(x)＝abx＋c，代入前三个数据点，得
解得
所以f(x)＝×2x＋.
把x＝5和x＝6代入检验得f(5)＝＝5.2，f(6)＝10.0，与实际相符合，所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，即谷神星在离太阳2.8个天文单位的位置上．
10．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境 ( http: / / www.21cnjy.com )要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg得
10lg＝0，
所以＝1，即I＝10－12 W/m2，则最低声强为10－12 W/m2.
(3)当声强为5×10－7 W/m2时，声强级为
Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5(分贝)，
因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．
[B.能力提升]
1．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量(1 000 kg) 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.4 2
需求量(1 000 kg) 50 60 65 70 75 80
根据上面提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内( )
A．(2.3，2.4) B．(2.4，2.6)
C．(2.6，2.8) D．(2.8，2.9)
解析：选C.当供给量与需求量均为7 ( http: / / www.21cnjy.com )0时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6，2.8)时最有可能达到供需平衡，故选C.
2．某学校要召开学生代表 ( http: / / www.21cnjy.com )大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：选B.当x＝6时，y＝0排除C、D；当x＝7时，y＝1，排除A.故选B.
3．某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．
解析：设去年年末生产总值为a，则今年年末生产总值为a(1＋p)12，所以年平均增长率为＝(1＋p)12－1.
答案：(1＋p)12－1
4．在测量某物理量的过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小，则a＝________.(用a1，a2，…，an表示)
解析：据题意y＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(a＋a＋…＋a)
所以当x＝－＝(a1＋a2＋…＋an)，
即a＝(a1＋a2＋…＋an)时，y最小．
答案：(a1＋a2＋…＋an)
5．某种特色水果每年的上市时间从4 ( http: / / www.21cnjy.com )月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)，其中p，q均为常数且q>1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推，x∈[0，5]．)
(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f( ( http: / / www.21cnjy.com )2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？
解：(1)据题意，该种水果的价格变化趋势是先增加后减少，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.
(2)由f(2)＝11，f(3)＝10，解得f(x)＝－x2＋4x＋7.
g(x)＝＝＝－.
所以g(x)＝－，此函数在[0，2]上是增加的，在[2，5]上是减少的，
所以当x＝2时，g(x)最大．
所以明年拓展外销市场的时间应为6月1号．
6．(选做题)某地新建了一个服 ( http: / / www.21cnjy.com )装厂，从2014年7月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件．由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好，为了推销产品时接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法．
解：设月产量为y万件，月份为x，建立直角坐标系，可得A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)．
①对于直线f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代
入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.
将A，D两点的坐标代入，得f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.
②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，有
g(1)＝a＋b＋c＝1，
g(2)＝4a＋2b＋c＝1.2，
g(3)＝9a＋3b＋c＝1.3.
解得a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7，
故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
将D点的坐标代入，得g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07，
③对于幂函数h(x)＝ax＋b(a≠0)，将A，B两点的坐标代入，有h(1)＝a＋b＝1，h(2)＝a＋b＝1.2.
解得a≈0.48，b≈0.52.
故h(x)＝0.48x＋0.52.
将C，D两点的坐标代入，得h(3)＝0.48×＋0.52≈1.35，与实际误差为0.05；
h(4)＝0.48×2＋0.52＝1.48，与实际误差为0.11.
④对于指数函数l(x)＝abx＋c(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com )，将A，B，C三点的坐标代入，得l(1)＝ab＋c＝1，l(2)＝ab2＋c＝1.2，l(3)＝ab3＋c＝1.3，解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.
故l(x)＝－0.8·(0.5)x＋1.4.
将D点的坐标代入，得l(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.
比较上述四个模型函数的优势，既要考虑 ( http: / / www.21cnjy.com )到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为l(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而l(x)恰好反映了这种趋势，因此选用l(x)＝－0.8·(0.5)x＋1.4比较接近客观实际．§4 对 数
4．1 对数及其运算
第1课时 对 数
1．问题导航
(1)对数是如何定义的？
(2)什么是常用对数？
(3)什么是自然对数？
(4)对数的基本性质有哪些？
2．例题导读
(1)P79例1.通过本例学习，掌握指数式化对数式的方法．
(2)P79例2.通过本例学习，掌握对数式化指数式的方法．
(3)P79例3.通过本例学习，掌握利用对数的性质计算对数值．
试一试：教材P80练习1T1、T2你会吗？
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)指数式与对数式的关系
式子 名称
a b N
指数式 ab＝N 底数 指数 幂
对数式 logaN＝b 底数 对数 真数
2.两种特殊的对数
(1)以10为底的对数叫作常用对数，简记为lg N.
(2)以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫作自然对数，简记为ln N.
3．对数的基本性质
(1)零和负数没有对数；
(2) alogaN＝N(a＞0，a≠1，N>0)；(对数恒等式)
(3)loga1＝0(a＞0，a≠1)；
(4)logaa＝1(a＞0，a≠1)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样．( )
(2)(－2)3＝－8可化成log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
(4)lg x可以写成log x．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．2x＝3化为对数式是( )
A．x＝log32 B．x＝log23
C．2＝log3x D．2＝logx3
解析：选B.对于2x＝3，由对数的定义得x＝log23.
3．若log3x＝3，则x的值为________．
解析：因为log3x＝3，所以x＝33＝27.
答案：27
4．3log3π＝________．
解析：利用对数恒等式得3 log3π＝π.
答案：π
对数的定义中规定a>0，a≠1的原因
(1)若a<0，则N为某些值时，b值不存在 ( http: / / www.21cnjy.com )，如a＝－2，N＝8时，(－2)b＝8，b不存在，故b＝log(－2)8不存在；或者b为某些值时，N值不存在(无意义)，如a＝－2，b＝时，N＝无意义．
(2)若a＝0，当N≠0时，不存在实数b使ab＝N，无法定义logaN.当N＝0时，对任意非零实数b，有ab＝N成立，故logaN不确定．
(3)若a＝1，当N≠1时，logaN不存在．当N＝1时，loga1有无数个值，不能确定．
指数式与对数式的互化
[学生用书P54]
(1)把下列指数式化为对数式．
①10m＝n；②3a＝81；③ex＝π.
(2)把下列对数式化为指数式．
①log8＝－3；②logx81＝2；③log4.2＝m.
(链接教材P79例1、例2)
[解] (1)①因为10m＝n，
所以lg n＝m.
②因为3a＝81，
所以log381＝a.
③因为ex＝π，
所以ln π＝x.
(2)①因为log8＝－3，
所以＝8.
②因为logx81＝2，
所以x2＝81(x>0且x≠1)．
③因为log4.2＝m，
所以＝4.2.
方法归纳
指数式与对数式互化的两个步骤
第一步：指数式与对数式的底数相同；
第二步：将对数式的对数作为指数式的指数(或将指数式的指数作为对数式的对数)．
1．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)(－2)4＝16；(2)ln x＝10；
(3)loga10＝2；(4)e0＝1.
解：(1)因为(－2)4＝16，
所以24＝16，故log216＝4.
(2)因为ln x＝10，
所以e10＝x.
(3)因为loga10＝2，
所以a2＝10(a>0且a≠1)．
(4)因为e0＝1，所以ln 1＝0.
对数基本性质的应用
求下列各式中x的值：
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log(－1)＝x.
[解] (1)因为log2(log4x)＝0，所以log4x＝20＝1，
所以x＝41＝4.
(2)因为＝＝－1，
所以x＝log(－1)＝log(－1)(－1)＝1.
本例(1)中把右端“0”改为“1”，如何求解．
解：因为log2(log4x)＝1，
所以log4x＝2，
所以x＝42＝16.
方法归纳
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0且a≠1)．
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2．(1)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，则x＋y的值为________．
解析：(1)由log2(α＋1)＝1，得α＋1＝2，解得α＝1.
(2)因为log2[log3(l ( http: / / www.21cnjy.com )og4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，所以x＝43＝64.又因为log3[log4(log2y)]＝0，所以log4(log2y)＝1，所以log2y＝4，所以y＝24＝16，所以x＋y＝80.
答案：(1)B (2)80
对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，
N>0)的应用
计算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋12log25.
[解] 31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋
＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1
＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.
方法归纳
对于对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．
3．求值：(1)9log34；(2)51＋log52.
解：(1)9log34＝(32) log34＝3log34＝4.
(2)51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10.
易错警示 因忽视对数式有意义的条件致误
对数式y＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2 B．2C．2[解析] 由对数式的定义得
即
所以2[答案] C
[错因与防范] (1)本例易忽略真数大于零或忽略底数大于0且不等于1产生错误．
(2)求形如logf(x)g(x)的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足进而求得x的取值范围．
4．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( )
A.≤x<2 B.C.2 D．2≤x≤3
解析：选C.使此函数有意义，需且只需即x>且x≠2.
1．已知logx16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4
C．256 D．2
解析：选A.把对数式化为指数式得x2＝16(x>0且x≠1)，所以x＝4.
2．若logx＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
解析：选B.由logx＝z，得xz＝，所以xz＝y，所以y＝x7z.
3．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于________．
解析：因为log7[log3 ( http: / / www.21cnjy.com )(log2x)]＝0，所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝23.故x＝＝2＝.
答案：
4．如果log3(2x＋1)＝log3(x2－2)，那么x＝________．
解析：因为log3(2x＋1)＝log3(x2－2)，
所以2x＋1＝x2－2，
解得：x＝－1或x＝3，
又因为2x＋1>0，x2－2>0.
所以x＝－1时，2x＋1<0舍去．
x＝3时，2x＋1>0，x2－2>0.
所以x＝3.
答案：3
[A.基础达标]
1．下列说法中，错误的是( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做常用对数
D．以e为底的对数叫做自然对数
解析：选B.A是对数的性质，C是 ( http: / / www.21cnjy.com )常用对数定义，D是自然对数定义，显然正确．对于B，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2.
2．已知3m＝7，则有( )
A．3＝log7m B．7＝log3m
C．m＝log73 D．m＝log37
解析：选D.由对数的定义得m＝log37.
3．若log8x＝－，则x的值为( )
A. B．4
C．2 D.
解析：选A.把log8x＝－化为指数式得x＝8－＝＝2－2＝.
4．若log(x＋1)(x＋1)＝1，则x的取值范围是( )
A．x>－1 B．x>－1且x≠0
C．x≠0 D．x∈R
解析：选B.由x＋1>0且x＋1≠1，得x>－1且x≠0.
5．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为a＝log310，b＝log37，3a－b＝3log310－log37＝3log310÷3log37＝.
6．若a>0，a＝，则loga等于________．
解析：因为a>0，a＝，所以a＝＝，由对数定义得loga＝3.
答案：3
7．若log2[lg(ln x)]＝0，则x＝________．
解析：由log2[lg(ln x)]＝0得lg(ln x)＝1，所以ln x＝10，故x＝e10.
答案：e10
8．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．
解析：设3x＝t(t>0)，
则原方程可化为t2－6t－7＝0，
解得t＝7或t＝－1(舍去)，所以t＝7，即3x＝7.
所以x＝log37.
答案：x＝log37
9．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：由logx＝m得x＝，
由logy＝m＋2得y＝，
所以＝＝＝24＝16.
10．设M＝{0，1}，N＝{lg a，2a，a，11－a}，是否存在a的值，使M∩N＝{1}
解：不存在a的值，使M∩N＝{1}．
若lg a＝1，则a＝10，此时11－a＝1，
从而11－a＝lg a＝1，
与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；
若a＝1，此时lg a＝0，从而M∩N＝{0，1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾．
综上，不存在a的值，使M∩N＝{1}．
[B.能力提升]
1．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
解析：选B.因为x2＋y2－4x－2y＋5＝0，所以(x－2)2＋(y－1)2＝0，即x＝2且y＝1，故logx(yx)＝log21＝0.
2．32＋log32的值等于( )
A．9＋ B．9＋
C．9 D．10
解析：选C.32＋log32＝9·3log32＝9·＝9·＝9.
3．已知f(10x)＝x，则f(3)＝________．
解析：令10x＝t，则x＝lg t，所以f(t)＝lg t，故f(3)＝lg 3.
答案：lg 3
4．若loga(2a)＝2，则loga(2＋a)＝________．
解析：由loga(2a)＝2，得a2＝2a，因为a>0，a≠1，所以a＝2，所以loga(2＋a)＝log24＝2.
答案：2
5．(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
(2)已知x＝log23，求的值．
解：(1)因为loga2＝m，loga3＝n，
所以aloga2＝am，即2＝am，aloga3＝an，即3＝an，
所以a2m＋n＝am·am·an＝2×2×3＝12.
(2)由x＝log23，得2x＝3，2－x＝，
所以＝＝32＋3×＋＝.
6．(选做题)已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.
证明：设logab＝logba＝k，
则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2，
因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，
即k＝±1.当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝，命题得证．模块综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．{2，3，4}
解析：选A.因为A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则A∩B＝{1，3，5}∩{3，4}＝{3}．
2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C.要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x＞0，
解得x＞1或x＜0.
所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝则f[f(－2)]的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选D.因为f(x)＝所以f(－2)＝(－2)2＝4，f[f(－2)]＝f(4)＝4＋1＝5.
4．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
解析：选B.A项，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求；
B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；
C项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；
D项，函数定义域为R，但在(－∞，0]上是递减的，在[0，＋∞)上是递增的，不符合要求．
5．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选C.0log＝1，
即01，所以c>a>b.
6．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选C.f(x)的图像是一条连续的曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线且是递增的，f(0)＝－1，f(1)＝，即f(0)f(1)<0，所以f(x)的唯一零点在(0，1)内．
7．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
解析：选B.因为log5b＝a，lg b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )c，所以5a＝b，b＝10c.又5d＝10，所以5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，所以a＝cd.
8．已知f(＋1)＝x＋2，且f(a)＝3，则实数a的值是( )
A．±2 B．2
C．－2 D．4
解析：选B.法一：令x＋2＝3，即x＋2－3＝0，所以＝1，故a＝＋1＝2.
法二：因为f(＋1)＝(＋1)2－1，设t＝＋1，所以f(t)＝t2－1(t≥1)，
由f(a)＝a2－1＝3(a≥1)得a＝2.
9．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
10．已知函数f(x)＝3x－b(2≤x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )4，b为常数)的图像经过点(2，1)，设f－1(x)是f(x)的反函数，则F(x)＝[f－1(x)]2－f－1(x2)的值域为( )
A．[2，5] B．[1，＋∞)
C．[2，10] D．[2，13]
解析：选A.把(2，1)代入f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)，得1＝32－b，2－b＝0，b＝2.
所以f(x)＝3x－2(2≤x≤4)，又f(x)在[2，4]上递增，所以f(x)∈[1，9]．
而f－1(x)＝log3x＋2(1≤x≤9)，又对f－1(x2)有意义，需1≤x2≤9，所以1≤x≤3.
所以F(x)的定义域为[1 ( http: / / www.21cnjy.com )，3]，令t＝log3x(1≤x≤3)，则t∈[0，1]，F(x)＝(log3x＋2)2－(2log3x＋2)＝logx＋2log3x＋2＝(t＋1)2＋1∈[2，5]．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)
11．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
解析：4a＝2，a＝，lg x＝a，x＝10a＝.
答案：
12．我国2010年底的人口总数为M， ( http: / / www.21cnjy.com )要实现到2020年底我国人口总数不超过N(其中M解析：由题意知M(1＋p)10≤N，所以(1＋p)10≤，p≤()－1.
答案：()－1
13．定义集合运算：A⊙B＝{z| ( http: / / www.21cnjy.com )z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
解析：因为A⊙B＝{0，6，12}，
所以A⊙B的所有元素之和为0＋6＋12＝18.
答案：18
14．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得
解得4≤a<8.
答案：[4，8)
15．若偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是递减的，则满足f(ln x)>f(1)的x的取值范围是________．
解析：利用偶函数的性质，由f(ln x)>f(1)，
得f(|ln x|)>f(1)，
因为f(x)在[0，＋∞)上是递减的，所以|ln x|<1，
即－1所以e－1答案：(e－1，e)
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知集合U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，
(1)若 UA＝{1，2}，求实数m的值；
(2)若集合A是单元素集(即集合内元素只有一个)，求实数m的值．
解：(1)因为U＝{0，1，2，3}， UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，即0，3是x2＋mx＝0的两根，所以m＝－(0＋3)＝－3.
(2)因为A为单元素集，所以x2＋mx＝0有两个相等的实数根，由Δ＝m2＝0得m＝0，此时A＝{0}．
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)log2－log3＋3log32－5log53；
(2)()－＋10()×()－ .
解：(1)原式＝2log32＋3log32－log332＋log39－3
＝5log32－log325＋2－3＝5log32－5log32－1＝－1.
(2)原式＝300＋10××－10(2＋)
＝3×100＋10×－20－10
＝×10＋10×－20－10＝－5.
18．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(log3)·(log33x)．
(1)若x∈[，]，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若方程f(x)＋m＝0有两根α，β，试求αβ的值．
解：(1)f(x)＝(log3x－3)·(log3x＋1)
令log3x＝t，t∈[－3，－2]，
所以g(t)＝t2－2t－3，t∈[－3，－2]，
所以g(t)的对称轴t＝1，
所以f(x)max＝g(－3)＝12，f(x)min＝g(－2)＝5.
(2)由题意可得方程(log3x)2－2log3x－3＋m＝0的两解为α，β，
所以log3α＋log3β＝2，所以log3(αβ)＝2，所以αβ＝9.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x(＋)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)>0；
(3)若f(x)·f(－x)＝x2，求x的值．
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，其关于原点对称，
即对定义域内的每一个x都有：
f(－x)＝－x(＋)＝－x(＋)
＝x(＋)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)证明：当x>0时，有2x>1，即2x－1>0，
所以f(x)＝x(＋)>0.
当x<0时，则－x>0，
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)>0，
综上所述，均有f(x)>0.
(3)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以(f(x))2＝x2，
即x2(＋)2＝x2，
因为x≠0，所以＋＝±，
由＋＝得，2x－1＝3，所以2x＝4，所以x＝2，
由＋＝－得，
2x－1＝－，所以2x＝，所以x＝－2，所以x的值是2或－2.
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝log[x2－2(2a－1)x＋8]，a∈R.
(1)若f(x)在[a，＋∞)上为减函数，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)＝log(x＋3)－1在(1，3)内有两个不等实根，求a的取值范围．
解：(1)要使f(x)在[a，＋∞ ( http: / / www.21cnjy.com ))上为减函数，一方面g(x)＝x2－2(2a－1)x＋8是递增的，另一方面g(x)>0，所以2a－1≤a且g(a)＝a2－2a(2a－1)＋8>0，解得－(2)由已知得x2－4ax＋2＝0在(1，3)内有两个不等实根，令F(x)＝x2－4ax＋2，则
即
解之得1．问题导航
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向、开口大小由哪个量确定？
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是什么？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性由哪两个量确定？
(4)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值与y＝ax2＋bx＋c(a≠0，m≤x≤n)的最值一定相同吗？
2．例题导读
(1)P45例2.通过本例学习，掌握配方法在研究二次函数性质中的应用．
(2)P45例3.通过本例学习，掌握二次函数的实际应用．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
a的符号性质 a>0 a<0
函数图像
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 (－，) (－，)
对称轴 x＝－ x＝－
单调性 在区间(－∞，－]上是减少的，在区间[－，＋∞)上是增加的 在区间(－∞，－]上是增加的，在区间[－，＋∞)上是减少的
最值 当x＝－时，函数取得最小值 当x＝－时，函数取得最大值
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴共同确定．( )
(2)函数y＝－2x2＋2x＋1的对称轴为x＝－1.( )
(3)所有的二次函数一定存在最大、最小值．( )
(4)二次函数在闭区间上既有最大值又有最小值．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．函数f(x)＝－x2－2x＋3在[－5，2]上的最小值和最大值分别为( )
A．－12，－5 B．－12，4
C．－13，4 D．－10，6
解析：选B.f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x＝－1.
当x＝－1时，f(x)最大＝4，
当x＝－5时，f(x)最小＝－12.
3．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，则实数a＝________．
解析：由题意知，对称轴x＝a＝5.
答案：5
4．函数y＝x2＋1，x∈[－1，2]的值域为________．
解析：y＝x2＋1的图像开口向上，
对称轴为y轴，当x＝0时，y最小＝1，
当x＝2时，y最大＝5.
所以函数y的值域为[1，5]．
答案：[1，5]
二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值
hh>n f(m) f(n)
m≤h≤n m≤h< f(n) f(h)
h＝ f(m)或f(n) f(h)
二次函数的单调性和对称性
(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1，2]上是单调的，则实数m的取值范围是________．
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)的值分别为________．
(链接教材P45例2)
[解析] (1)函数f(x)＝x2＋2m ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其对称轴为x＝－m，若函数在[－1，2]上是单调的，说明对称轴不在区间[－1，2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2.
(2)由题意知，函数关于x＝2对称，
故－＝2，得b＝－4，
所以f(x)＝x2－4x＋1，
所以f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.
[答案] (1)(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)－2，－3
方法归纳
(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定；
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)，则f(x)的对称轴为x＝a；
(3)若函数f(x)满足f(a－x)＝f(b＋x)，则f(x)的对称轴为x＝.
1．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，a]上是减函数，则实数a的最大值为________．
(2)若函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1是(1，2)上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)函数f(x)的对称轴为x＝－1，f(x)在(－∞，－1]上为减函数，由题意(－∞，a] (－∞，－1]，
故a≤－1，即a的最大值为－1.
(2)函数f(x)的对称轴为x＝＝a－，
因为函数在(1，2)上单调，所以a－≥2或a－≤1，即a≥或a≤.
答案：(1)－1 (2)∪
二次函数的最值(值域)
f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a＞0)，f(x)在[2，3]上最大值是5，最小值是2，若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．
[解] 因为f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a＞0)在[2，3]上是递增的，
所以所以
所以f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－(m＋2)x＋2，对称轴x0＝≤2或x0＝≥4.
所以m≤2或m≥6.
方法归纳
(1)二次函数最值问题关键是与图像结合，主要讨论对称轴在区间左、在区间内、在区间右这三种情况．
(2)对于已给出最值的问题，求解的关键是借助单调性确定最值点．
2．(1)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[2，4]
(2)函数f(x)＝，x∈[0，3]的最大值为________．
解析：(1)f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1在[0，＋∞)上的图像如图，
由题意得2≤m≤4.
(2)令g(x)＝x2－2x＋3，则g(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2在[0，3]上的最小值为2，最大值为6.
故f(x)＝的最大值为.
答案：(1)D (2)
二次函数在实际问题中的应用
公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解] (1)当0≤x≤400时，
f(x)＝400x－x2－100x－20 000
＝－x2＋300x－20 000；
当x>400时，
f(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x，
所以所求f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－x2＋300x－20 000
＝－(x－300)2＋25 000，
当x＝300时，f(x)max＝25 000，
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x所以当x＝300时，f(x)max＝25 000.
所以当月产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25 000元．
本例中为保证公司利润不少于5 000元，每月至少生产多少台？
解：由题意，当0≤x≤400时，
f(x)＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000≥5 000，
即(x－300)2≤40 000，
所以100≤x≤400，
故每月至少生产100台，才能保证公司利润不少于5 000元．
方法归纳
(1)解应用题要弄清题意，从实际出发，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．实际问题要注意确定定义域．
(2)分段函数求最值，应先分别求出各段上的最值再比较．
3．某银行准备新设一种定 ( http: / / www.21cnjy.com )期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．
(1)若存款利率为x，x∈(0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；
(2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？
解：(1)由题意知，存款量g(x)＝kx，银行应该支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0，0.048)．
(2)设银行可获得的收益为y，
则y＝0.048kx－kx2＝－k(x－0.024)2＋0.0242·k，
当x＝0.024时，y有最大值．
所以存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益．
思想方法 转化思想在解决恒成立问题中的应用
已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解] 法一：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，则y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上是递增的，所以当x＝1时，ymin＝3＋a，
所以当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，
所以a＞－3.
法二：f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)，
当a≥0时，函数f(x)在[1，＋∞)上的值恒为正；
当a＜0时，函数f(x)在[1，＋∞)上是递增的，
则当x＝1时，f(x)min＝3＋a，
所以当且仅当f(x)min＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，所以a＞－3.
法三：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立，即a＞－x2－2x恒成立．
又因为x∈[1，＋∞)，
所以a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．
因为u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
所以当x＝1时，u取得最大值－3，所以a＞－3.
[感悟提高] 转化是解决恒 ( http: / / www.21cnjy.com )成立问题的基本思想，我们常从函数最值的角度和分离参变量的角度来处理不等式恒成立问题．需要指出的是，在分离参变量这个角度里使用到了以下重要结论：a＞f(x)(a＜f(x))恒成立等价于a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
1．函数y＝2－的值域是( )
A．[－2，2] B．[1，2]
C．[0，2] D．[－， ]
解析：选C.因为＝∈[0，2]，
所以y＝2－的值域为[0，2]．
2．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设g(x)＝1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋∈，
所以f(x)＝的最大值为.
3．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知mx2＋4mx＋3≠0在R上恒成立，
当m＝0时，3≠0符合题意，当m≠0时，需Δ＝16m2－12m＝4m(4m－3)<0，所以0综上，m的取值范围是.
答案：
4．若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R均成立，
当a＝2时，－4<0符合题意；
当a≠2时，需满足
所以－2综上，实数a的取值范围是(－2，2]．
答案：(－2，2]
[A.基础达标]
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋5(0≤x<5)的值域为( )
A．(0，5] B．[0，5]
C．[5，9] D．(0，9]
解析：选D.f(x)＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9(0≤x<5)，当x＝2时，f(x)最大＝9；当x>0且x接近5时，f(x)接近0，故f(x)的值域为(0，9]．
2．已知函数y＝x2－6x＋8在[1，a)上为减函数，则a的取值范围是( )
A．a≤3 B．0≤a≤3
C．a≥3 D．1解析：选D.函数y＝x2－6x＋8的对称轴为x＝3，故函数在(－∞，3]上为减函数，由题意[1，a) (－∞，3]，所以13．已知函数f(x)＝ax2－x＋a＋1在(－∞，2)上是递减的，则a的取值范围是( )
A．(0，] B．[0，]
C．[2，＋∞) D．[0，4]
解析：选B.当a＝0时，f(x)＝－x＋1在R上是递减的，符合题意；当a<0时，不符合题意；
当a>0时，f(x)的对称轴为x＝，在(－∞，]上是递减的，由题意(－∞，2) (－∞，]，
所以2≤，即a≤，综上，a的取值范围是[0，]．
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)＜f(0)＜f(2)
B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(2)＜f(0)＜f(－2)
D．f(0)＜f(2)＜f(－2)
解析：选D.函数f(x)＝x2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图像的对称轴为x＝，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.
5．设二次函数f(x)＝－x2＋x＋a(a<0)，若f(m)>0，则f(m＋1)的值为( )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．正数、负数或零都有可能
解析：选B.由题意可得，f(x)＝－x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋x＋a的函数图像开口向下，对称轴为x＝，又a<0，则函数f(x)的图像与y轴的交点在y轴负半轴上，如图所示．
设使f(m)>0的m的取值范围为－k所以1<－k6．函数y＝ 在区间________上是减少的．
解析：令y＝，u＝－x2＋2x＋3≥0，则x∈[－1，3]，
当x∈[－1，1]时，u＝－x2＋2x＋3增加，y＝增加；
当x∈[1，3]时，u＝－x2＋2x＋3减小，y＝减小．
答案：[1，3]
7．若函数y＝在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：设u＝x2－ax＋4，则函数u(x)在(，＋∞)上是增函数，y＝在(，＋∞)上是减函数，
所以≤2即a≤4，又u(x)在[2，＋∞)应满足u(x)>0，
因此u(2)>0即4－2a＋4>0，所以a<4.
答案：(－∞，4)
8．已知二次函数f(x)的二次 ( http: / / www.21cnjy.com )项系数a＜0，且不等式f(x)＞－x的解集为(1，2)，若f(x)的最大值为正数，则a的取值范围是________．
解析：由不等式f(x)＞－x的解集为(1，2)，
可设f(x)＋x＝a(x－1)(x－2)(a＜0)，
所以f(x)＝a(x－1)(x－2)－x＝ax2－(3a＋1)x＋2a
＝a(x－)2－＋2a，
其最大值为－＋2a，
若－＋2a＞0，可得8a2＜(3a＋1)2，
即a2＋6a＋1＞0，
解得a＜－3－2或a＞－3＋2.
答案：(－∞，－3－2)∪(－3＋2，0)
9．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)在 [2，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，
所以Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，
即2a2－a－3＝0，
所以a＝－1或a＝.
(2)函数f(x)＝x2＋4ax＋2a ( http: / / www.21cnjy.com )＋6在[－2a，＋∞)上是增加的，要使函数f(x)在[2，＋∞)上是增加的，只需－2a≤2，所以a≥－1，故a的取值范围是[－1，＋∞)．
10．即将开工的上海与周边城市的 ( http: / / www.21cnjy.com )城际列车路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次．每天来回次数t是每次拖挂车厢个数n的一次函数．
(1)写出n与t的函数关系式；
(2)每节车厢一次能载客1 ( http: / / www.21cnjy.com )10人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数y最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)
解：(1)这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，
则设t＝kn＋b.由解得
所以t＝－2n＋24.
(2)每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，
则y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)，
当n＝＝6时，总人数最多，最多为15 840人．
故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多，最多为15 840人．
[B.能力提升]
1．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若x1A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：选B.因为x10，
所以f(x1)－f(x2)＝ax＋2ax1＋4－(ax＋2ax2＋4)
＝a(x－x)＋2a(x1－x2)
＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)
＝2a(x1－x2)<0，
所以f(x1)2．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，)
C．(－1，0) D．(－，0)
解析：选D.由题意知
即
所以－3．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m＋2)与1的大小关系为________．
解析：二次函数的对称轴为x＝－1，因为f ( http: / / www.21cnjy.com )(m)＝f(－2－m)＜0，且f(0)＝1＞0，所以－2－m＜0，所以2＋m＞0.因为二次函数在区间(0，＋∞)上为增函数，故f(2＋m)＞f(0)＝1.
答案：f(2＋m)＞1
4．已知t为常数，函数y＝|x2－4x－t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t＝________．
解析：Δ＝(－4)2＋4t＝4(t＋4)，
当t≤－4时Δ≤0，y＝x2－4x－t＝(x－2)2－4－t，x∈[0，6]，当x＝6时，y最大＝12－t＝10，t＝2(舍去)．
当t>－4时，Δ>0，y＝
当x＝2时，y最大＝t＋8－4＝10，t＝6；
当x＝6时，y最大＝36－24－t＝10，t＝2.
答案：2或6
5．已知函数f(x)＝x2－x＋a＋1.
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在区间[a，a＋1]上是单调函数，求a的取值范围．
解：因为f(x)＝x2－x＋a＋1＝＋a＋，
所以f(x)min＝a＋.
(1)若f(x)≥0对一切x∈R恒成立，
所以a＋≥0，所以a≥－.
(2)f(x)在区间[a，a＋1]上是单调函数，
所以a≥或a＋1≤，
即a≥或a≤－.
6．(选做题)定义：已知函数f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )[m，n](m(1)判断函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由；
(2)若f(x)＝x2－ax＋2在[a，a＋1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋2，x∈[1，2]，
所以f(x)min＝1≤1，
所以函数f(x)在[1，2]上具有“DK”性质．
(2)f(x)＝x2－ax＋2，x∈[a，a＋1]，
其对称轴为x＝.
①当≤a，即a≥0时，函数f(x)min＝f(a)＝a2－a2＋2＝2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.
②当a<若函数f(x)具有“DK”性质，则有－＋2≤a总成立，解得a∈ .
③当≥a＋1，即a≤－2时，函数f(x)的最小值为f(a＋1)＝a＋3.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有a＋3≤a，解得a∈ .
综上所述，若f(x)在[a，a＋1]上具有“DK”性质，则a的取值范围为[2，＋∞)．§3 函数的单调性
1．问题导航
(1)若区间A是函数y＝f(x)的定义域内的一个子区间，当满足什么条件时，y＝f(x)在区间A上是增加的(递增的)；
当满足什么条件时，y＝f(x)在区间A上是减少的(递减的)．
(2)函数的单调区间是如何定义的？
(3)已知A是函数y＝f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )内的一个子集，且y＝f(x)在A上是增加的(或减少的)，当x1、x2∈A，f(x1)＜f(x2)时，x1，x2有什么样的大小关系？
(4)什么是增函数(减函数)？什么是单调函数？
2．例题导读
(1)P37例1.通过本例学习，理解求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)P37例2.通过本例学习，理解函数的图像在判断函数单调性中的作用，掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．
试一试：教材P38练习T2你会吗？
1．函数单调性的定义
在函数y＝f(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1类似地，在函数y＝f(x)的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．相应的子集叫作单调区间．
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
2．最大值与最小值
(1)最大值
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．
(2)最小值
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．
函数的最大值和最小值统称为最值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )区间A上，如果存在x1，x2∈A，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数y＝f(x)在A上是增加的．( )
(2)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间 ( http: / / www.21cnjy.com )A上，如果函数y＝f(x)，对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有＜0，则y＝f(x)在A上是减少的．( )
(3)若函数y＝f(x)在闭区间A上单调，则函数y＝f(x)在区间A上存在最大值和最小值．( )
(4)若函数y＝f(x)的最大值和最小值分别为M，m，则函数y＝f(x)的最大值(最小值)点是唯一的．( )
(5)由于函数的单调性是一个局部性概念，所以叙述函数的单调性要指出对应的区间．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0成立，则必有( )
A．函数f(x)是先增加后减少的
B．f(x)在R上是增函数
C．函数f(x)是先减少后增加的
D．f(x)在R上是减函数
解析：选B.由题意知对任意a，b∈R，若a＜b，f(a)＜f(b)；若a＞b，f(a)＞f(b)，所以f(x)在R上是增函数．
3．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C.A中函数在(0，＋∞)上是递减的，B中函数在(0，)上是递减的，D中函数在(0，＋∞)上是递减的，故选C.
4．函数y＝在单调区间[0，1]上的最大值、最小值分别为________．
解析：令0≤x1＜x2≤1，则y1－y2＝－＝＞0，
所以y＝在[0，1]上是递减的，当x＝0时，y最大＝1，当x＝1时，y最小＝.
答案：1，
1．增(减)函数概念中x1，x2的三个特征
(1)属于同一区间：判断“函数f(x)在区间M上是增(减)函数”，x1，x2必须同属于“区间M”(区间M A)．
(2)任意性：“x1，x2是区间M中的任意两个值”．
(3)有大小：“Δx＝x2－x1＞0”这是固定的．
2．对函数的单调区间的两点说明
(1)若函数的单调增(或减)区间有多个，区间之间一般不能用“∪”来表示，可以用“，”“和”等来连接两个区间．
(2)区间端点的书写，对于 ( http: / / www.21cnjy.com )单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但是对于某些点无意义时，即不在定义域范围内的点，单调区间就不包括这些点，只能用开区间．
函数单调性的证明与判断
已知函数f(x)＝，x∈[3，5]，判断函数f(x)的单调性，并利用单调性的定义证明．
(链接教材P37例2)
[解] 函数f(x)在[3，5]上为增函数．证明如下：
设任意x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，则x2－x1＞0，
所以f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为3≤x1＜x2≤5，
所以x2－x1＞0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，
所以f(x)在[3，5]上为增函数．
方法归纳
一般地，证明函数的单调性需运用定义法．其基本步骤为：“作差、变形、定号”．变形一般要变形成因式的“积、商、平方和”等易于“定号”的形式．
1．求证函数f(x)＝在(－∞，1]上是递减的．
证明：设x1＜x2≤1，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝，由假设可知
x1－x2＜0, ＋＞0，
所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，
故函数f(x)＝在(－∞，1]上是递减的．
用图像法确定函数的单调区间
画出函数f(x)＝|x＋1|的图像并指出函数的单调区间．
[解] 因为f(x)＝的图像如图所示：
由图像可知f(x)在(－∞，－1)上是下降的，在[－1，＋∞)上是上升的．
所以f(x)在区间(－∞，－1)上是递减的，在区间[－1，＋∞)上是递增的．
方法归纳
利用函数图像确定函数的单调区间，具体的做 ( http: / / www.21cnjy.com )法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．
注意单调区间不能随便合并，如y＝的单调区间不可写为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．画出函数f(x)＝|x－3|＋|x＋3|的图像，并指出函数的单调区间．
解：因为f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝图像如图所示．
由图像知，函数在区间(－∞，－3]上是递减的，在区间[3，＋∞)上是递增的．
函数单调性的应用
(1)求函数f(x)＝x＋在[1，3]上的最小值和最大值．
(2)已知函数f(x)＝x－在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)设1≤x1＜x2≤3，
则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)(1－)．
又因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
当1≤x1＜x2≤2时，1－＜0.
所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x)在[1，2]上是减函数．
当2＜x1＜x2≤3时，1－＞0，f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在(2，3]上是增函数．
所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.
又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋＝＜f(1)，
所以f(x)的最大值为5.
(2)任取x1，x2，且1因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)
＝(x1－x2)(1＋)<0.
又因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，－x1x2<－1.
所以a≥－1，即a的取值范围是[－1，＋∞)．
若把本例(2)中的区间改为[2，＋∞)，如何求a的取值范围？
解：任取2≤x1＜x2，
因为函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)
＝(x1－x2)(1＋)＜0.
又因为x1－x2＜0，所以1＋＞0，即a＞－x1x2.
因为2≤x1＜x2，所以x1x2＞4，－x1x2＜－4，所以a≥－4.
方法归纳
函数单调性的常见应用
(1)比较大小：利用函数的单调性可以把函数值的大小比较转化为自变量的大小比较．
(2)求函数的值域：根据单调性可求出函数在定义域上的最值，进而求出值域．
(3)求解析式中的参数(或其范围)：根据单调性的定义可列出参数满足的等式(或不等式)，进而可求出参数(或其范围)．
3．(1)已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)＜f(3a－1)，则实数a的取值范围是________．
(2)函数f(x)＝－的最小值为________．
解析：(1)由题意已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)＜f(3a－1)，所以
解得0＜a＜，
所以a的取值范围是(0，)．
(2)f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )[－1，1]，由于和－在[－1，1]上均是递增的，所以f(x)在[－1，1]上是递增的，故当x＝－1时，f(x)最小＝－.
答案：(1)(0，) (2)－
易错警示 忽视分段点处的函数值要求致误
若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，0) B．[－2，0)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)
[解析] 由x≥1时，
f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1，
由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0，
分段点1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，
解得a≥－2，
所以－2≤a＜0.
[答案] B
[错因与防范] (1)因忽略分段点x＝1处函数值应满足的条件而出现错误，造成失分．
(2)应注意列出的条件符合单调函数的定义．
4．已知函数f(x)＝在R上单调，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[2，4]
解析：选D.由题意知需x2－ax＋5在(－∞，1)上是递减的，且12－a＋5≥1＋1.
即所以2≤a≤4.
1．函数y＝在下列哪个区间上是增加的( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：选C.y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，描点法画出y＝的简图易知在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递增的．
2．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)( )
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
解析：选D.因为f(x)＝x|x|
＝
其函数图像如图所示，所以f(x)在R上既无最大值，也无最小值．
3．若f(x)是R上的增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1与x2的大小关系是________．
解析：由增函数的定义知x1＞x2.
答案：x1＞x2
4．已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是减少的，若f(x)＞f(1)，则x的取值范围是________．
解析：由于f(x)在定义域(0，＋∞)上是减少的且f(x)＞f(1)，所以0＜x＜1.
答案：(0，1)
[A.基础达标]
1．函数y＝在下列区间上增加的是( )
A．(－∞，－3] B.
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
解析：选B.因为函数y＝的定义域为，故选B.
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．a＞ B．a＜
C．a≥ D．a≤
解析：选B.根据题意可知函数f(x)必是一次函数，而且x的系数应该为负数，故2a－1＜0，解得a＜，故选B.
3．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f(a)＞f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)
D．f(a2＋1)＜f(a)
解析：选D.因为a2＋1－a＝＋≥，
所以a2＋1＞a，又f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)＜f(a)．
4．函数f(x)＝＋的值域是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)
解析：选C.因为f(x)＝＋在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(0)＝1.
5．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图像上的两点，那么|f(x＋1)|＜1的解集是( )
A．(1，4)
B．(－1，2)
C．(－∞，1)∪(4，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选B.因为|f(x＋1)|＜1，
所以－1＜f(x＋1)＜1，由题意知，0＜x＋1＜3，
所以－1＜x＜2.
6．函数f(x)＝ax＋1在区间[－1，3]上的最小值为－1，则a＝________．
解析：当a＝0时，f(x)＝1不合题意；
当a＞0时，f(x)在[－1，3]上是递增的，f(－1)＝－a＋1＝－1，所以a＝2.
当a＜0时，f(x)在[－1，3]上是递减的，f(3)＝3a＋1＝－1，所以a＝－.
答案：2或－
7．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{x＋1，3－x}(x∈R)的最小值是________．
解析：函数f(x)的图像如图(实线部分)，故f(x)的最小值为2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝
是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：因为当x≤1时，f(x)是减少的，
所以a－3＜0，所以a＜3.
当x＞1时，f(x)是减少的，
故2a＞0，所以a＞0.
分段点1处的值应满足(a－3)＋5≥2a，
所以a≤2.故0＜a≤2.
答案：(0，2]
9．已知函数f(x)满足f()＝x＋2.
(1)求f(x)的解析式及其定义域；
(2)写出f(x)的单调区间并证明．
解：(1)令＝t(t≠0)，
则x＝，所以f(t)＝＋2(t≠0)，
所以f(x)＝＋2(x≠0)．可知其定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的．
证明如下：设x1，x2∈(－∞，0)，x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝＋2－－2＝＝，
当x1＜x2＜0时，x1x2＞0，又Δx＞0，
所以Δy＜0，即f(x)在(－∞，0)上是递减的；
同理，f(x)在(0，＋∞)上是递减的，
所以函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的．
10．已知函数f(x)＝(a≠0)．
(1)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(2)若a＝1，求函数f(x)在上的值域．
解：(1)当a>0时，函数f(x)在(－1 ( http: / / www.21cnjy.com )，1)上是减函数，当a<0时，函数f(x)在(－1，1)上是增函数．证明如下：当a＞0时，任取－1＜x1＜x2＜1，f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1＜0，x2－1＜0，a(x2－x1)＞0，所以＞0，
得f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)在(－1，1)上是减函数．
同理可得：当a＜0时，函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
(2)当a＝1时，由(1)得f(x)＝在(－1，1)上是减函数，
从而函数f(x)＝在上也是减函数，其最小值为f＝－1，
最大值为f＝.
由此可得，函数f(x)在上的值域为.
[B.能力提升]
1．若函数f(x)＝在(－∞，0)上是减少的，则k的取值范围是( )
A．k＝0 B．k＞0
C．k＜0 D．k≥0
解析：选B.f(x)＝－1，当k＝0时，f(x)＝－1不合题意，排除A、D；
当k＜0时，f(x)＝－1在(－∞，0)上是增加的，不合题意，故选B.
2．已知函数f(x)＝x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )(a＞0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，若函数f(x)＝x＋在[m，＋∞)(m＞0)上的最小值为10，则m的取值范围是( )
A．(0，5] B．(0，5)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
解析：选A.由题意f(x)＝x＋在(0，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，所以当x＝5时，f(x)最小＝10，故m∈(0，5]．
3．已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的实数x的取值范围是________．
解析：f(x)的图像如图，
因为f(1－x2)＞f(2x)，
所以解得－1＜x＜－1.
答案：(－1，－1)
4．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：设任取x1，x2且－2＜x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝－
＝＝.
因为－2＜x1＜x2，
所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x1－x2＜0，
由f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，
得f(x1)－f(x2)＜0，
所以2a－1＞0.所以a＞.
故a的取值范围是.
答案：
5．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，且对于任意0＜α＜β，都有f(α)＞f(β)．
(1)求f(1)；
(2)若f(2x)－f(2－x)≥－1，求实数x的取值范围．
解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)
所以f(1)＝0.
(2)由f(2x)－f(2－x)≥－1得f(2x)＋f≥f(2－x)，即f(x)≥f(2－x)，
又由题意知，f(x)在(0，＋∞)上递减，
所以，解得0＜x≤1，
所以x的取值范围为(0，1]．
6．(选做题)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，0＜f(x)＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)＞0恒成立；
(3)判断并证明函数f(x)在R上的单调性．
解：(1)令y＝0，x＝－1，
得f(－1)＝f(－1)f(0)，
因为x＜0时，0＜f(x)＜1，
所以f(－1)＞0，
所以f(0)＝1.
(2)证明：因为当x＜0时，0＜f(x)＜1，
所以若x＞0，则－x＜0，令y＝－x，
得f(0)＝f(x)f(－x)，
得f(x)＝＞0，
故对于任意x∈R，都有f(x)＞0.
(3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x1－x2＜0，所以0＜f(x1－x2)＜1，
所以f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)＜f(x2)，
所以函数f(x)在R上是增加的．章末优化总结
求函数的定义域、值域和解析式
[学生用书P40]
(1)求定义域主要题型有：①已知函数表达 ( http: / / www.21cnjy.com )式求定义域；②已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域或由f(g(x))的定义域求f(x)的定义域；③实际问题函数的定义域；④根据定义域求参数的值或范围．
(2)求函数值域的主要方法有：①配方法；②换元法；③单调性法；④数形结合法；⑤判别式法．
(3)求解析式的常用方法主要有：①换元法；②待定系数法．
(1)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，则f(x)＝________．
(2)函数y＝6x－的值域是________．
[解析] (1)f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，①
由于f(x)为偶函数，g(x)为 ( http: / / www.21cnjy.com )奇函数，对①以－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝2x2＋2x＋1，即f(x)－g(x)＝2x2＋2x＋1，②
由①②解得f(x)＝2x2＋1.
(2)因为函数y＝6x－在其定义域上是递增的，且x趋近于－∞时，y趋近于－∞，故其值域为(－∞，3]．
[答案] (1)2x2＋1 (2)(－∞，3]
函数的图像及其应用
(1)作函数的图像常用描点法或变换法．(平移、伸缩、对称三种变换)
(2)应用：①通过函数的图像能够掌握函 ( http: / / www.21cnjy.com )数重要的性质，如单调性、奇偶性等，反之，掌握好函数的性质，有助于图像的正确画出．②数形结合解决有关函数问题．
已知函数y＝|x－1|＋1.
(1)将函数写成分段函数并在指定坐标系中画出图像(不需要列表)；
(2)写出这个函数的单调区间；
(3)写出这个函数的值域．
[解] (1)当x≥1时，y＝(x－1)＋1＝x，当x＜1时，y＝(1－x)＋1＝2－x，故y＝
其图像如图．
(2)函数在区间(－∞，1]上是减少的，在区间[1，＋∞)上是增加的．
(3)由图知当x＝1时，ymin＝1，
所以函数的值域为[1，＋∞)．
已知函数f(x)＝x2－2|x|－3.
(1)若方程f(x)－k＝0有4个不同的实数根，求k的取值范围；
(2)写出不等式f(x)＞0的解集．
[解] (1)因为f(－x)＝x2－2|x|－3＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x－3，
先画出f(x)＝x2－2x－3(x≥0)的图像，再利用偶函数图像的性质，作出其关于y轴对称的图像就得到整个函数的图像．如图所示．
欲使方程f(x)－k＝0有4个不同的实数根，即y＝f(x)的图像与直线y＝k有四个交点，由图像可知－4＜k＜－3.
(2)由图像可知，不等式f(x)＞0的解集是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
函数的性质及其应用
(1)单调性是函数的重要 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．
(2)奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝.
(1)求m，n的值；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上为增函数；
(3)若f(x)≤对x∈恒成立，求a的取值范围．
[解] 因为x∈R，所以f(0)＝0，得m＝0.
(1)f(x)＝，f(－1)＝－f(1)可得n＝0，
所以m＝n＝0，
所以f(x)＝.
(2)证明：任取－1f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x＋1)－eq \f(x2,x＋1)
＝eq \f(x1（x＋1）－x2（x＋1）,（x＋1）（x＋1）)
＝eq \f(（x1x－x2x）＋（x1－x2）,（x＋1）（x＋1）)
＝eq \f(（x1－x2）（1－x1x2）,（x＋1）（x＋1）)
因为－1所以－1所以1－x1x2>0.
又x1所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)在(－1，1)上为增函数．
(3)因为f(x)在上的最大值为f()＝，
所以≥即可，所以a≥
.
1．函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，2] B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．[0，2]
解析：选D.因为f(x)的定义域为[－3，1]，所以f(x)max＝2，f(x)min＝0，所以f(x)＝∈[0，2]．
2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选D.f(－1)＝－f(1)＝－(12＋1)＝－2.
3．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)解析：选D.因为－2<－<－1，偶函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，
所以f(2)＝f(－2)4．已知f(x)＝m2·xm－1是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值为________．
解析：因为f(x)为幂函数，所以m2＝1，即m＝±1，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以m－1<0，所以m＝－1.
答案：－1
5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|的图像关于y轴对称，则实数a＝________．
解析：因为函数y＝x2－|x＋a|的图像关于y轴对称，
所以y＝x2－|x＋a|为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
即x2－|a－x|＝x2－|x＋a|，
所以|a－x|＝|x＋a|，
所以a＝0.
答案：0
6．函数f(x)对任意实数x满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________．
解析：因为f(5)＝＝f(1)＝－5，
所以f(－5)＝＝f(－1)＝＝－.
答案：－
[A.基础达标]
1．已知f(x)＝则f的值是( )
A. B．－
C. D．8
解析：选C.f(2)＝－2，＝－，
所以f＝f＝1－＝.
2．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图像是( )
解析：选A.S随h的增大而减少，且减少的速度越来越慢，当h＝H时S＝0，故选A.
3．设f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( )
A．f(0)f(3)
C．f(2)>f(0) D．f(－1)解析：选D.因为f(x)为[－6，6]上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)4．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于( )
A．－b＋4 B．－b＋2
C．b－2 D．b＋2
解析：选A.因为F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2，
所以F(－x)＝－3f(x)－5g(x)＋2，
所以F(x)＋F(－x)＝4，
所以F(－a)＝4－F(a)＝4－b.
5．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图所示，则y＝f(x)·g(x)的图像可能是( )
解析：选A.由题意知x＝0不在y＝f(x)·g(x)的定义域中，排除C、D.又y＝f(x)·g(x)为奇函数，故选A.
6．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，则函数f(x)的解析式为________．
解析：令f(x)＝ax＋b(a≠0)，由3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9得3[a(x＋1)＋b]－(ax＋b)＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，所以所以故f(x)＝x＋3.
答案：f(x)＝x＋3
7．已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2－2x－3，则f(x)在区间________上是减少的．
解析：当x>0时，f(x)＝(x－1)2－4在(0，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，又f(x)为奇函数，
所以f(x)在(－1，0)上是减少的，在(－∞，－1)上是增加的，故f(x)减少的区间为(－1，0)和(0，1)．
答案：(－1，0)和(0，1)
8．函数y＝x－的最小值为________．
解析：因为函数的定义域为x≥－1，令＝t(t≥0)，则x＝t2－1，y＝t2－1－t＝(t－)2－.
当t＝即x＝－时，y最小＝－.
答案：－
9．已知函数f(x)＝，
(1)当k＝2时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，求实数k的取值范围．
解：(1)当k＝2时，由题意得2x2－12x＋10≥0，
即(x－1)(x－5)≥0，即x≥5或x≤1，
所以定义域为{x|x≥5或x≤1}．
(2)由题意得不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对一切x∈R都成立．
当k＝0时，f(x)＝2，满足要求；
当k≠0时，解得0综上可得，实数k的取值范围是[0，1]．
10．设f(x)为定义在R上的偶函数， ( http: / / www.21cnjy.com )当x≤－1时，f(x)＝x＋b，且f(x)的图像经过点(－2，0)，又在y＝f(x)的图像中，有一部分是顶点为(0，2)，且过(－1，1)的一段抛物线．
(1)试求出f(x)的解析式；
(2)求出f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)的图像经过点(－2，0)，所以0＝－2＋b，即b＝2，
所以当x≤－1时，f(x)＝x＋2.
又因为f(x)为偶函数，
所以当x≥1时，f(x)＝f(－x)＝－x＋2.
当－1则1＝a(－1)2＋2，所以a＝－1，
所以当－1综上f(x)＝
(2)当x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]；
当－1当x≥1时，f(x)＝－x＋2∈(－∞，1]．
综上所述，f(x)的值域为(－∞，2]．
[B.能力提升]
1．若f(x)是R上的减函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且f(x)的图像经过点A(0，4)和点B(3，－2)，则当不等式|f(x＋t)－1|<3的解集为(－1，2)时，t的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选C.由|f(x＋t)－1|< ( http: / / www.21cnjy.com )3得－32．定义在R上的函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，且函数F(x)＝f(x＋1)的图像关于y轴对称，则( )
A．f(－1)>f(2) B．f(0)>f(2)
C．f(－2)＝f(2) D．f(－4)＝f(2)
解析：选A.因为F(x)＝f(x＋1)的图像关于y轴对称，所以f(x)的图像关于直线x＝1对称．
由于f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，
所以f(－1)＝f(3)>f(2)．
3．设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＝－且当x∈[－3，－2]时f(x)＝4x，则f(119.5)＝________．
解析：由题意f(x)＝－＝－＝f(x－6)，119.5＝6×19＋5.5，
所以f(119.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝x2－a|x－2|在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝
当a＝0时，f(x)＝x2，符合题意；
当a<0时，f(x)＝x2＋ax－2a的对称轴－>0，此函数在(0，2]上不是增加的，不合题意；
当a>0时，f(x)＝x2＋ax－2a ( http: / / www.21cnjy.com )的对称轴－<0，在(0，2)上是增加的，需f(x)＝x2－ax＋2a的对称轴≤2且需满足22＋2a－2a≤22－2a＋2a，故0综上a的取值范围是[0，4]．
答案：[0，4]
5．已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的 ( http: / / www.21cnjy.com )一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)解不等式f(2x－1)<2.
解：(1)证明：设x2>x1>0，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
因为x2>x1>0，所以>1，所以f>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)因为f(2)＝1，所以f(4) ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(2)＋f(2)＝2，因为f(x)是偶函数，所以不等式f(2x－1)<2可化为f(|2x－1|)6．(选做题)设a∈R，f(x)＝x2＋a|x－a|＋2.
(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即x2＋a|x＋a|＋2＝x2＋a|x－a|＋2，所以a＝0.
(2)当x≥a时，f(x)＝x2＋ax＋2－a2，
对称轴为x＝－.
若a≤－，即a≤0时，f(x)min＝f＝－＋2－a2＝2－a2；
若a>－，即a>0时，f(x)min＝f(a)＝a2＋2.
当x若a≤即a≤0时，f(x)>f(a)＝a2＋2；
若a>即a>0时，f(x)min＝f＝a2＋2.
a≤0时，(a2＋2)－＝a2≥0，所以f(x)min＝2－a2，
a>0时，(a2＋2)－＝≥0，所以f(x)min＝a2＋2.
所以g(a)＝
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－4，＋∞)
C．(－4，0)∪(0，＋∞)
D．[－4，0)∪(0，＋∞)
解析：选D.由得x∈[－4，0)∪(0，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝，则f(x)在( )
A．(－∞，0)上是增加的
B．[0，＋∞)上是增加的
C．(－∞，0)上是减少的
D．[0，＋∞)上是减少的
解析：选B.f(x)＝的定义域为x≥0，且在[0，＋∞)上是增加的，故选B.
3．函数f(x)＝2x－x2(x∈[0，3])的最大值M与最小值m的和等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D.由于函数f(x)＝2x－x2(x ( http: / / www.21cnjy.com )∈[0，3])在区间[0，1]上是增函数，在区间(1，3]上是减函数，故当x＝1时，函数取最大值M＝1，当x＝3时，函数取最小值m＝－3，所以M＋m＝－2.
4．函数f(x)在区间(－4，7)上是增函数，则使得y＝f(x－3)为增函数的区间为( )
A．(－2，3) B．(－1，7)
C．(－1，10) D．(－10，－4)
解析：选C.令y＝f(u)，
u＝x－3∈(－4，7)，
则y＝f(u)在(－4，7)上是增加的，
u＝x－3在(－1，10)上是增加的，
故y＝f(x－3)在(－1，10)上是增加的．
5．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2－2x＋2.若对实数k∈B，在集合A中不存在原像，则k的取值范围是( )
A．k≤1 B．k<1
C．k≥1 D．k>1
解析：选B.由题意得y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，所以k<1.
6．下列函数中，既是偶函数又在(0，3)上是递减的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1
C．y＝|x|＋1 D．y＝
解析：选B.A中y＝x3为奇函数，不是偶函数；D中y＝不具奇偶性；C中y＝|x|＋1在(0，3)上为增函数，故选B.
7．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减少的，则a的取值范围是( )
A．a≥－3 B．a≤－3
C．a≤5 D．a≥3
解析：选B.由题意f(x)的对称轴x＝1－a需满足1－a≥4，所以a≤－3.
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，且函数y＝f(x－2)在[0，2]上是减函数，则( )
A．f(－1)B．f(－1)C．f(0)