2023-2024学年陕西省西安中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下列量：角度；温度；海拔；弹力；风速；加速度其中是向量的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知复数，则对应的点在复平面的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，点在边上，且点满足若，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知：向量与的夹角为锐角若是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
10.若复数，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的虚部是
C.
D. 在复数范围内，是方程的根
11.已知是夹角为的单位向量，且，则( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为
12.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知平面向量，，且，则 ______．
14.若复数满足，则的取值范围是______．
15.在中，角，，的对边分别是，，，若：：：：，则：：______．
16.瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，瑞云塔顶部的仰角分别为和，在处测得瑞云塔顶部的仰角为，瑞云塔的高度为______．
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
求的坐标与；
求向量与的夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系中完成下列问题：
若，，求；
若，求．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求的面积．
20.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若，求周长的取值范围．
21.本小题分
在海岸处，发现北偏东方向，距离的处有一艘走私船，在处北偏西的方向，距离的处的缉私船奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以的速度从处向北偏东方向逃窜．
求线段的长度；
求的大小；
参考数值：
问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，在角度、温度、海拔、弹力、风速、加速度中，
是向量的有弹力、风速、加速度，有个，
故选：．
根据题意，由向量的定义分析给出的量，即可得答案．
本题考查向量的定义，注意向量是既有大小又有方向的量，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
所以，显然位于第四象限．
故选：．
利用复数的乘法运算及几何意义判定选项即可．
本题主要考查复数的乘法运算及几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
先对化简，再结合共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为在中，，
所以由余弦定理可得．
故选：．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，
，
所以
，
所以．
故选：．
利用平面向量的线性运算结合数量积公式计算即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以由正弦定理，可得，为锐角，
又，
所以，
所以由余弦定理，可得，
所以解得．
故选：．
由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式可求得，可得，为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用余弦定理即可求解的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当向量向量与的夹角为锐角时，
有且与方向不相同，即，解得且，
因为是假命题，所以实数的取值范围是．
故选：．
利用向量夹角为锐角得到关于的不等式组，进而求得的取值范围，再结合为假命题取的取值范围的补集即可得解．
本题考查的知识点：向量的夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，以点为坐标原点，
分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为，
则，
所以，，设，
则，，
则，
所以，当点在线段上时，取最小值．
故选：．
以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，由即可求得的最小值．
本题考查平面向量的数量积运算，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由余弦定理，
即，
即，
故，即或．
故选：．
根据余弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，因为，所以虚部是，故B不正确；
对于，，，所以不正确；
对于，因为，所以D正确．
故选：．
对，根据共轭复数与模长的计算判断即可；对，根据虚部的定义判断即可；对，根据复数的模长与乘法判断即可；对，代入计算是否满足即可．
本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：已知是夹角为的单位向量，
则，，
设与的夹角为，
对于选项B，因为，
所以，
即选项B正确；
对于选项A，，
即选项A正确；
对于选项C，，
所以，
即选项C错误；
对于选项D，在方向上的投影为，
即选项D正确．
故选：．
利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，结合投影的定义求解．
本题考查了向量数量积运算，模、夹角公式，重点考查了投影的定义，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于，则，由于，所以，不一定说明为锐角三角形，故A错误；
对于：为锐角三角形，则，所以，故，整理得，故B正确；
对于：若，且、，则或，则整理得：或，为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于：若，利用正弦定理：，化简得：，所以，故A，则是等腰三角形，故D正确．
故选：．
直接利用三角函数关系的变换，正弦定理和余弦定理判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由可得，解得．
故答案为：．
根据向量平行的坐标公式求解即可．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，，，
则，，
则．
故答案为：．
设，，由复数的几何意义得，，进而利用的范围可得的取值范围．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出、、的比即可
本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．
【解答】
解：，：：：：，
，，，
：：：：，，，
由正弦定理可知：
：：：：．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：在中，，由题意可得，
由图知，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
即，解得
在中，如图可得．
故答案为：．
由题意，由直角三角形的性质，可得的大小，在中，由正弦定理可得的大小，进而在中，求出的大小．
本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，，
则，，
所以；
，，
则，，
故．
【解析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题设，，
所以．
由已知，则，
所以．
【解析】由题意，应用向量数量积的运算律求；
由，结合即可求结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
19.【答案】解：由．
得，
得．
所以，所以，因为，所以．
由余弦定理得，得，所以，
故的面积为．
【解析】由正弦定理得，可求，可求；
由余弦定理，可求，可求的面积．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：在中，由已知结合正弦定理角化边可得，
整理可得，
所以．
又，
所以．
由知，
所以，，
记的周长为，
则，
由，，得，
所以，
又，所以，
则
故．
【解析】由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据的范围，即可得出答案；
根据正弦定理得出，设周长为，表示出周长．然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出
，然后根据的范围，即可得出答案．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
21.【答案】解：在中，，分
由余弦定理，得分
，分
所以，分
在中，由正弦定理，得，
所以，分
分
又，
分
设缉私船用在处追上走私船，如图，
则有，．
在中，
又，
在中，由正弦定理，得
分
分
，
又因为分
所以
即缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船．分
【解析】在中，由余弦定理可求得线段的长度；
在中，由正弦定理，可求得；
设缉私船用在处追上走私船，，，在中，可求得，再在中，由正弦定理可求得，从而可求得答案．
本题考查余弦定理与正弦定理，考查解三角形，考查综合分析与运算能力，属于难题．
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