2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高一（下）自主练习数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高一（下）自主练习数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，那么向量可以是( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知点是边长为的正的内部不包括边界的一个点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.在中，，点是的中点，记，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位，得到的函数解析式为( )
A. B. C. D.
6.如图，在边长为的等边中，点为中线的三等分点接近点，点为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，，则( )
A. B. C. D. 或
8.已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 已知向量，，若，则
B. 已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件
C. 若向量，则在方向上的投影向量坐标为
D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
11.已知函数，则( )
A. 的图象关于点中心对称
B. 的值域为
C. 满足在区间上单调递增的的最大值为
D. 在区间上的所有实根之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为______．
13.已知为锐角且，则的值是______．
14.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
试分别解答下列两个小题：
已知，设与的夹角为，求；
已知，若与共线，且，求的坐标．
16.本小题分
求的值；
已知，求的值．
17.本小题分
已知为实数，．
若，求关于的方程在上的解；
若，求函数，的单调减区间；
已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，且，是线段上一点，且，为线段上一动点．
求的大小；
若为线段的中点，直线与相交于点，求；
求的取值范围．
19.本小题分
已知向量，，函数．
若，且，求的值；
已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设向量，
由，得，
，
向量可以是．
故选：．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，属于基础题．
利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
【解答】
解：，，
，，
则
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图所示：
因为点是边长为的正的内部不包括边界的一个点，
由图象知：，
所以．
故选：．
利用平面向量的数量积的几何意义求解．
本题主要考查了平面向量的数量积得几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
由平面向量的线性运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，可得
再把所得图象向左平移个单位，可得
故选：．
按照左加右减以及伸缩变换，逐步求出变换后的函数的解析式即可．
本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时的系数，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：边长为的等边中，点为中线的三等分点接近点，点为的中点，
则，，
则．
故选：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，或，，
当，时，则，，不符合题意，
当，时，则，，符合题意，
，，
，，
，，
，
，，，
，
故选：．
利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系式求出，即可．
本题考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：均为单位向量，且，设，，
，且，设，，
，且，
的最大值为．
故选：．
根据题意可设，，从而得出，且设，，从而可得出，然后根据辅助角公式即可求出最大值．
本题考查了设出向量的坐标，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘、数量积的运算，辅助角公式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确．
故选：．
根据两角和差的正弦公式，两角和的正切公式即可得解．
本题考查了两角和差的正弦和正切公式，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，向量，，
若，则，
即有，故A正确；
对于，向量，，，的夹角为锐角且，不共线
且且，“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于，若向量，，则在方向上的投影向量为，故C正确；
对于，在中，向量与满足，可得的平分线垂直于线段，即中，，
又，可得，即有，则为等边三角形，故D正确．
故选：．
由向量垂直的条件和同角的基本关系式可判断；由向量夹角为锐角的等价条件可判断；由一个向量在另一个向量上的投影向量的定义可判断；由向量垂直和向量的平行四边形法则、数量积的定义可判断．
本题考查向量的垂直和数量积的定义和性质，以及向量的夹角，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由已知，
，
对于，当时，，此时，
的图象关于点中心对称，故A正确；
对于，，
的值域为，故B错误；
对于，若在上单调递增，
则，，
解得：，，
又，，解得：，
，，则的最大值为，C正确；
对于，令，则，
当时，，
作出与的图象如下图所示，
则与的交点，，，即为方程的根，
由对称性可知：，，
，故D正确．
故选：．
利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到，利用代入检验法可知A正确；根据正弦型函数值域可知B错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得范围，知C正确；将问题转化为与交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D正确．
本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解，本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，是与向量方向相同的单位向量，
所以向量在向量上的投影向量为，
解得，又，
所以与的夹角．
故答案为：．
根据平面向量与投影向量的定义，列式计算即可求出两向量夹角的大小．
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
，且为锐角，，解得，
，
，，
．
故答案为：．
根据两角和的正切公式化简即可求出的值，然后即可求出的值，然后根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式即可得解．
本题考查了两角和的正切公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据，，求得，代入即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
15.【答案】解：，
，解得，
结合，可得，；
设，
，，解得，，即，
根据与共线，设，则，
，，或．
【解析】由，利用向量的运算律求得，进而利用二倍角公式算出的值；
设，求得，然后根据与共线，结合算出的坐标．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．
16.【答案】解：，
；
，
，
，
又，则，
，
，，
．
【解析】利用两角和与差的正切公式，即可得出答案；
利用两角和与差的三角函数公式可得，，可得，，即可得出答案．
本题考查两角和与差的三角函数公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为
，
当时，由，则，
所以，，解得，
所以方程在上的解为或或．
当时，
令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
当时，
关于的不等式在时恒成立，
关于的不等式在时恒成立，
由，则，所以，
则，所以，解得，
即的取值范围为．
【解析】利用二倍角公式及诱导公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
依题意可得在时恒成立，求出在上的值域，即可得到不等式组，解得即可．
本题考查三角函数图象性质，属于中档题．
18.【答案】解：连接，，
由，，，
则，，
，，，，又，，
，
又，，，
又，，．
如图，过点作于，
则，，
建系如图，则根据题意可得：
，，，，，，
，，
；
根据得，设，，
，解得，，
，，
，
又，当时，；
当时，，
的取值范围为．
【解析】连接，，根据与的夹角和与的夹角相同，并设为，，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解，进而得到的大小；
如图，过点作于，先求得，的值，则以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解；
结合，设，，得到点的坐标，从而得到，，进而得到表示为关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到的取值范围．
本题考查平面向量的数量积的运算，向量数量积的性质，向量夹角公式的应用，数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
19.【答案】解：，
，因为，所以，
而，所以，
所以，
所以；
由题意得，
假设的图象上存在点使得，
因为，，
因为，
所以，
令，
因为，
所以，
当且仅当时取等，
所以存唯一解，此时，点，
综上，符合条件的点坐标为．
【解析】利用向量数量积公式计算出，从而得到，结合角的范围得到，从而利用凑角法求出答案；
求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标．
本题考查向量的数量积的运算，三角恒等变换，化归转化思想，属中档题．
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