2023-2024学年天津五中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年天津五中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数等于( )
A. B. 或 C. D.
2.下列各式化简正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，，且，则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
4.在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，正确命题的个数是( )
单位向量都共线；
长度相等的向量都相等；
共线的单位向量必相等；
与非零向量共线的单位向量是．
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. A、、三点共线 B. A、、三点共线
C. B、、三点共线 D. A、、三点共线
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则角( )
A. B. C. 或 D.
8.若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
9.若向量，满足，，，则
( )
A. B. C. D.
10.在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则等于
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知向量，则 ______．
12.已知，则 ______．
13.已知，，，且，则 ______．
14.在中，已知，，，则 ______．
15.已知，是夹角为的两个单位向量，，若，则实数的值为______．
16.如图，在中，是的中点，点在边上，且，与相交于点，设，则 ______； ______注：用和来表示
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知，，．
求和的值；
Ⅱ求的值．
18.本小题分
设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，．
求的值；
若，求实数的值；
在的条件下，若，是线段上的动点，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，，若，
则，
解得或．
故选：．
直接利用共线向量的坐标运算求解即可．
本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．
直接根据向量的加减及数乘逐个进行判断即可求解结论．
【解答】
解：因为，故A错；
，故B对；
，故C错；
，故D错；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，且，
．
向量与夹角的大小为．
故选：．
利用向量的夹角公式即可得出．
本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题给出三角形边的平方关系，求角的大小．考查了余弦定理和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
由余弦定理的式子与题中等式加以比较，可得，结合是三角形的内角，可得的大小．
【解答】
解：由余弦定理，得
结合题意，得
又是三角形的内角，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：向量既有大小也有方向，
单位向量的方向不相同或相反便不共线，命题错误；
长度相等而方向不同的向量不相等，命题错误；
共线的单位向量方向不相同的也不相等，命题错误；
与非零向量共线的单位向量是：，命题正确．
故选：．
根据向量的定义即可判断命题都错误，与非零向量共线的单位向量是，从而判断命题正确，这样即可得出正确的选项．
本题考查了向量的定义，单位向量的定义，相等向量和共线向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
与共线，
、、三点共线．
故选：．
根据平面向量的线性运算与共线定理，证明与共线，即可得出结论．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．
7.【答案】
【解析】解：，，，
则，
，，
角或．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：在上的投影向量为．
故选：．
根据投影向量定义计算即可．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质：两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于中档题．
由条件利用两个向量垂直的性质，可得，，由此求得
【解答】
解：由题意可得，
，
；
，，
则，
故选B．
10.【答案】
【解析】解：由，由正弦定理可知：，代入，
可得，
由余弦定理可得：，
，
．
故选：．
利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．
本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据向量线性运算的坐标表示求解即可．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，，
所以．
故答案为：．
根据向量数量积的坐标公式计算即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
因为，所以，
解得．
故答案为：．
先得到，根据垂直得到方程，求出答案．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由三角形面积公式可得：．
故答案为：．
直接由三角形面积公式计算．
本题考查三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律，属于基础题．
利用向量的数量积公式求出，利用向量的运算律求出，列出方程求出．
【解答】
解：是夹角为的两个单位向量，
，
，
，
，
解得，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：因为是的中点，，
所以，
设，
则
，
设，则，
所以，解得，
所以．
故答案为：；．
根据中线的向量表示求出，设，，再由平面向量基本定理列出方程即可求出，得解．
本题主要考查了向量的线性运算及向量共线定理，属于中档题．
17.【答案】解：在中，由余弦定理，
得，
所以；
又，
由正弦定理得；
Ⅱ，可得为锐角，且，
，
．
【解析】由余弦定理和正弦定理求得、的值；
Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解的值．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数求值的计算问题，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ，，
由正弦定理得，
；
Ⅱ由，
，
，
，
．
【解析】利用正弦定理，可得，即求出的值；
求出，，即可求的值．
本题考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：已知四边形中，，，．
则；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
即；
以所在直线为轴正方向，过作垂线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，，
所以，
则，
设，
则，
因为，是线段上的两个动点，
所以，
解得，
所以，
所以，
所以当时，有最小值．
【解析】根据数量积公式求解；
根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得的长，分析即可得答案；
如图建系，求得点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合的范围，即可得答案．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属中档题．
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