2023-2024学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高一（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则的值等于( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，，，则( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.点为所在平面内的动点，满足，，则点的轨迹通过的( )
A. 外心 B. 重心 C. 垂心 D. 内心
7.已知，，且和均为钝角，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆上正方形内部，含边界，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知单位向量的夹角为，则下列结论正确的有( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 若，则
D. 若，则
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则
D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
11.数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简：
13.已知向量若非零实数，满足，则 ______．
14.已知函数其中，给出下列四个结论：
若，则是函数的一个零点：
若，函数的最小值是；
若，函数图象关于直线对称；
若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，中，，，是的中点，，与交于点．
Ⅰ用，表示；
Ⅱ设，求的值；
Ⅲ若，求的最大值．
16.本小题分
已知，，且、．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知向量，，且与的夹角为．
求及；
求在上的投影向量的坐标；
若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知向量，函数．
若，且，求的值；
将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式．
19.本小题分
已知向量，函数的最小值为．
求；
函数为定义在上的增函数，且对任意的，都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用两角和差正切公式直接求解即可．
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
平方可得，
解得．
故选：．
根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解．
本题考查同角函数关系，二倍角公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
根据两角差的余弦公式，化简求值．
本题主要考查了诱导公式及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，，，
因此，．
故选：．
先根据条件求出，再根据求向量夹角的坐标运算公式，代入计算即可．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以只需将函数的图象向左平移个单位长度．
故选：．
结合诱导公式，利用三角函数图象的平移和变换求解即可．
本题考查了函数的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
又，
与垂直，
即与，
点在的高线上，即的轨迹过的垂心，
故选：．
可先根据积为零得出与垂直，可得点在的高线上，从而得到结论．
本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，属于中档题
7.【答案】
【解析】解：和均为钝角，
，．
．
由和均为钝角，得，．
故选：．
根据同角三角函数的关系分别求解，，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可．
本题考查了诱导公式，两角和的余弦公式，余弦函数在各象限的符号，考查了计算能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形的边长为，
设：，，，，
取的中点，连接，所以的取值范围为，
即，
由于，
故．
故选：．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为、是单位向量，所以，所以，选项A正确；
对于，因为、是单位向量，所以在方向上的投影向量为，选项B正确；
对于，因为，所以，又因为，所以，选项C错误；
对于，因为，所以，所以，所以，选项D错误．
故选：．
选项A，计算，判断；
选项B，根据投影向量的定义计算即可；
选项C，根据平面向量数量积的定义求夹角即可；
选项D，根据平面向量数量积的运算求出，判断即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：向量，，，
则，解得，故A正确；
，则，解得，故B正确；
，，若与的夹角为，
则，
故，若与方向相反，
则在上的投影向量的坐标是：，故D正确．
故选：．
对于，结合向量平行的性质，即可求解；对于，结合向量垂直的性质，即可求解；对于，结合向量模公式，即可求解；对于，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，由题知，故，而，故A正确；
对于选项，由题知，，故B错误；
对于选项，，故C正确；
对于选项，因为，，；
故，故D正确．
故选：．
由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案．
本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数乘运算和向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的数乘运算和向量的加减运算法则计算即可．
【解答】解：
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：依题意，，
，
由，得，整理得，
因为，不为，所以．
故答案为：．
利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件列式计算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算、向量共线定理应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，时，，
则或，可得或或，，
显然是函数的零点，所以正确；
，时，，所以当时，函数的最小值为，所以正确；
，，函数，
以函数的对称轴方程满足，，解得，，
所以时图象的一条对称轴方程为，所以正确；
，图象向右平移个单位长度可得，所以不正确．
故答案为：．
中，可得函数的解析式，分别求出函数的零点和对称轴方程，判断出的真假；中，可得函数的解析式，判断出的真假．
本题考查函数的性质的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
15.【答案】解：因为是的中点，，
所以；
因为，，三点共线，
所以，
因为，所以，
由平面向量基本定理可得：，解得，
所以的值为；
由知，，
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以的最大值．
【解析】由平面向量的线性运算计算即可；
由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得；
由平面向量的数量积与夹角公式计算可得，再由基本不等式即可求最值．
本题考查平面向量的线性运算和数量积与夹角，平面向量基本定理等，属于中档题．
16.【答案】解：已知，，且、．
所以，
故，，
由于，解得．
所以
．
．
由、，，，
所以，
所以，
又，
所以．
【解析】利用同角三角函数关系式求出结果．
利用两角和的正切公式求出结果．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式和两角和的正切公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：由于与的夹角为，
所以，即，解得，
则，，，
所以；
由知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为；
由知，，则，
，
由于与所成的角是锐角，
所以，即：，
解得且，即实数的取值范围为．
【解析】由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算；
因在上的投影向量为，代入中求得的，，计算和即得；
根据两向量的数量积大于，且两向量不共线，列出不等式组求解即得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
18.【答案】解：分
分
，分
因为，即，所以，分
又，所以，
所以，分
所以，分
分
由题意知，，分
由，得，
所以，分
令，得，令，得，
又，所以，
故不等式，的解集为分
【解析】由向量的数量积运算及三角恒等变换化简解析式，利用同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式化简求解即可；
利用三角函数图象的平移变换求出，再由正弦函数的性质解不等式即可．
本题主要考查向量的数量积运算，三角恒等变换的应用，三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
设，则，
，，其对称轴为，
当，即时，；
当，即时，；
综上，；
假设存在符合条件的实数，
则依题意有，
对所有恒成立．
设，则
，恒成立
即，恒成立，
，恒成立
令
由在上单调递增
则
所以存在符合条件的实数，并且的取值范围为．
【解析】利用向量的乘积运算求出的解析式，求出最小值可得，根据对称轴，讨论参数的范围分段表示求；
假设存在符合条件的实数，则依题意有，对所有恒成立．设，则，利用三角函数的有界限转化为对勾函数的求最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围．
本题考查了函数恒成立问题，考查转化思想，解题的关键点是换元思想，利用最值和单调性是解题的关键，是难题．
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