2023-2024学年福建省龙岩市长汀一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省龙岩市长汀一中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量和的夹角为，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
6.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D. 若，则的最大值为
10.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若，则
D. 若在方向上的投影为，则
11.在中，内角，，所对的边分别为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 当时，最小值为
C. 当有两个解时，的取值范围是
D. 当为锐角三角形时，的取值范围是
12.已知，若点满足，则下列说法正确的是( )
A. 点一定在内部 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，若，则 ______．
14.三角形中，，，边的长为，则边的长为______
15.如图，在等腰梯形中，，则 ______．
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点已知，，的平分线与相交于点．
边上的中线长为
与面积之比为：
到的距离为
内切圆的面积为
上述四个结论，其中所以正确的序号为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角的余弦值；
求．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，．
求边的长；
求的面积．
19.本小题分
某海域的东西方向上分别有，两个观测点如图，它们相距海里现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里小时．
求点到点的距离；
若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．
20.本小题分
如图，在中，，为边上一点且，．
若，求的面积；
求的取值范围．
21.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角；
已知，，点为的中点，点在线段上且，点为与的交点，求的余弦值．
22.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，为边上的中线，点，分别为边，上动点，交于已知，且．
求边的长度；
若，求的余弦值；
在的条件下，若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
故的共轭复数为．
故选：．
根据复数的乘法运算可得出，进而根据共轭复数的概念可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
所以，则的虚部为．
故选：．
根据复数运算法则与共轭复数概念直接求解即可．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量和的夹角为，，，
．
故选：．
由向量的运算法则及数量积公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
．
故选：．
先根据余弦定理求出夹角，再根据三角形的面积公式即可求出．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，，三点共线，
，即，
，解得．
故选：．
由，表示出向量，再根据平面向量共线的条件知，从而列得关于和的方程组，解之即可．
本题考查平面向量的基本定理，平面向量共线的条件，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，即，为锐角，
，
又，，
根据余弦定理得：，即，
解得：或舍去，
则．
故选：．
利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出的值，再由与的值，利用余弦定理即可求出的值．
此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意且，而，，
所以，
又是的重心，故，
所以，可得，即．
故选：．
由向量共线的推论知且，结合已知有，再由重心的性质有，根据平面向量基本定理列方程组即可求值．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：点是半径为的扇形圆弧上一点，，
则，
即，
即，
不妨设，，，，
又，
则，
则，，
则，，
当时，取最大值，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式求三角函数的最值即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：若复数，，满足，但这两个虚数不能比大小，A错误；
若，则，即，
得或，所以，B正确；
设，，
则，
，
，
所以，C正确；
若，则对应的点为单位圆上点，
则的最大值为圆心到点的距离加上半径，即为，
则的最大值为，D正确．
故选：．
利用特殊值判断选项；由复数的运算判断．
本题考查复数的运算，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，若，则，所以，即A正确；
选项B，与的夹角为钝角，则且，，
即且，故B不正确；
选项C，若，可得，可得，解得，即不正确；
选项D设与的夹角为，则，，
所以，解得，故D正确．
故选：．
，根据两个向量平行的条件，即可得解；
，根据夹角为钝角得到关于的不等式，解之即可；
，根据条件得到模长相等，进而求解；
，设与的夹角为，则由数量积公式求解得到在方向上的投影，从而可得关于的方程，解方程即可判定结果
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的数量积，平行的条件，模长的计算等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：中，内角，，所对的边分别为，
若，则，选项错误；
当时，
，当时等号成立，
所以最小值为，选项正确；
由正弦定理，可得，
当有两个解时，且，
则的取值范围是，选项错误；
，，
当为锐角三角形时，，
解得，则，，
，所以的取值范围是，选项正确．
故选：．
定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求有两个解时需要的条件判断选项C；由为锐角三角形求角的范围，结合正弦定理求的取值范围判断选项D．
本题考查解三角形与平面向量数量积的综合应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，
设、分别是、的中点，则，
所以点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；
对于，又因为，所以，则，故B正确；
对于，由选项可知：，，且，
所以，，即，故C正确；
所以，故D错误．
故选：．
设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断，再根据面积关系判断、，又平面向量线性运算法则判断．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
又，，
，
，
．
故答案为：．
根据得出，然后根据向量的坐标即可得出关于的方程，解出的值即可．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
由正弦定理：，可知：．
故答案为：．
利用三角形内角和定理可求的值，进而根据正弦定理求得得值．
本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在等腰梯形中，，，
过作的垂线，垂足为，，，
以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得，
由，得，
所以，
则．
故答案为：．
建立平面直角坐标系，坐标法求向量数量积．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于，如图，取，，边上的中点，，，则边上的中线为，则，
即，又因为，
则，则，故不正确；
对于，由角平分线定理知：，所以正确；
对于，因为，在三角形和三角形中，，
则，解得，所以，
所以，所以，
所以到的距离为，故正确；
对于，因为，，设内切圆的为，
所以，则，解得，
所以内切圆的面积为：，故正确．
故答案为：．
如图，取、、边上的中点、、，则边上的中线为，两边同时平方结合向量数量积即可判断；由角平分线定理，，可判断；到的距离为，求出，代入可判断；设内切圆的为，由，求出即可判断．
本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，，，
，
，
；
由知，
，
．
【解析】根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
18.【答案】解：在中，，
由正弦定理得．
在中，由余弦定理得．
．
．
【解析】在中利用正弦定理可得解；
在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题可知，，，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以海里；
在中，，，，
由余弦定理可得，
，
所以海里，
所以所需时间为小时，
所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时．
【解析】根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；
求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的时间．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：，，，
在中，，解得：，，
，
；
在中，，得：，
在中，，得：，，，，
，
，，，
故的取值范围为．
【解析】在中，由正弦定理求得的值，进而求得，再由，即可得解；
在和中，分别利用正弦定理推出和，再结合两角差的正弦公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正余弦定理、两角差的正弦公式和辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
，
化简得：，
，
求得，
，即．
点为的中点，
，
，
，
，
，，
，，
，．
即的余弦值为．
【解析】根据正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得角；
根据向量的线性运算表示，，根据向量数量积与模长求得夹角的余弦值．
本题考查正弦定理边角互化的应用，属于中档题．
22.【答案】解：中，，由正弦定理得，，
由余弦定理得，，化简得，又因为，所以．
因为为的中点，所以，设、的夹角为，
所以，
，，
又，
所以，
化简得，解得或，
又因为，所以，
即的余弦值为．
因为的余弦值为，所以，
所以的面积为，
设，，因为，所以，即，
设，则，又，，三点共线，
可设，则，
由向量相等得，解得，所以，
又，所以，
又，化简得，
又，所以，所以，当时等号成立．
，当时等号成立，
综上，的取值范围是
【解析】根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，即可得出．
根据中线的向量表示，设、的夹角为，求出，再利用与夹角的余弦值求出的值即可．
求出的面积，设，，利用求出，得出，再设，利用，，三点共线设，由向量相等得出，再计算的值，化简求它的取值范围即可．
本题考查了平面向量的数量积及解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与方程转化思想，是难题．
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