2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
2.从甲、乙、丙、丁、戊个人中选名组长名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
3.等差数列中，，公差，为其前项和，对任意自然数，若点在以下条曲线中的某一条上则这条曲线应是( )
A. B. C. D.
4.已知数列的通项公式，则数列的前项中最大值和最小值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知两变量和的一组观测值如表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
6.若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
7.若等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，的对立事件存在如下关系：若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数数列：，，成等差数列，则圆锥曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10.下列有关说法正确的是( )
A. 设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，
B. 甲、乙、丙、丁个人到个国家做学术交流，每人只去一个国家，设事件为“个人去的国家各不相同”，事件为“甲独自去一个国家”，则
C. 的展开式中含项的系数为
D. 事件为不可能事件，则事件与是对立事件
11.已知数列的前项和为，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最小值为
C. 若，则数列的前项和为
D. 若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据．
13.已知列联表如下：
温度低于 温度高于 总计
高产量
低产量
总计
若，则______附：，其中
14.在等差数列中，已知公差，，，则数列的前项和 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，；
设证明：数列是等差数列；
求数列的通项公式．
16.本小题分
在中，角，，所对应的边为，，，已知角，，成等差数列．
求值；
若，，成等比数列，求值
17.本小题分
某农科所培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗株，株长均介于，从中随机抽取株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图．
Ⅰ求样本平均株长和样本方差
同一组数据用该区间的中点值代替；
Ⅱ假设幼苗的株长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试估计株幼苗的株长位于区间的株数；
Ⅲ在第Ⅱ问的条件下，选取株长在区间内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为，开花后结穗的概率为设最终结穗的幼苗株数为，求的数学期望．
附：；若，则；；
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为．
求点的轨迹的方程；
过作不平行于坐标轴的直线交于，两点，若轴于点，轴于点，直线与交于点．
求证：点在一条定直线上，并求此定直线；
求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了通过观察分析猜想归纳即可得出数列的通项公式，属于基础题．
利用由数列，，，，可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”，其分母为奇数，分子为即可得出．
【解答】
解：由数列，，，，
可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”，
其分母为奇数，分子为．
此数列的一个通项公式为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题
首先不考虑限制条件有，
若甲偏要当副组长有，
用所有的结果减去不合题意的得到为所求．
故选C．
本题是一个分类计数问题首先不考虑限制条件从个人中选两个安排两个组长有，若甲当副组长只有从个人中选一个做组长，共有，用所有的结果减去不合题意的得到结果．
本题考查分类计数原理，考查有限制条件的元素的排列，是一个基础题，解题时使用所有的排列减去不合题意的排列，本题也可以从正面来考虑．
3.【答案】
【解析】解：由等差数列前项和公式得，，
因为，，所以函数的图象开口向上，排除，．
令，得，排除．
故选：．
由已知结合等差数列的求和公式及数列的函数特性检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
当时，，为正值且随减小而减小，则越大；
数列的前项中最大值是，
当时，，为负值且随减小而减小，则越大；
数列的前项中最小值是，
数列的前项中最大值和最小值分别是，；
故选：．
将数列的通项看成关于的函数，将通项分离常数，利用反比例函数的单调性判断出数列的单调性，根据数列自变量的特殊性，求出数列的最大值及最小值．
解决数列问题时，常将数列看成关于项数的函数，处理函数的方法在数列中都能使用．注意数列是特殊的函数：自变量是正整数．
5.【答案】
【解析】解：，，
因为回归直线经过样本中心，所以，
解得，
故选：．
求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．
本题考查回归直线方程的求法与应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列中的求和公式以及性质的应用，属于中档题．
设该等差数列为，根据题意求出的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数．
【解答】
解：设该等差数列为，
依题意，，
，
又，
，
前项和，
，则这个数列有项，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出，由此能求出结果．
【解答】
解：等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查条件概率的应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，考查运算能力，属于基础题．
利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】
解：设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：实数数列：，，成等差数列，故，解得或，
当时，即为，是椭圆，则的离心率为；
当时，即为，是椭圆，则的离心率为．
故选：．
根据等差中项性质可得或，再分别代入椭圆判断即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，等比数列的性质的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：设随机变量服从正态分布，
若，则曲线关于对称，则与的值分别为，，故A正确；
设事件为“个人去的国家不相同”，事件为“甲独自去一个国家”，
则，则，故B正确；
由二项式定理得的展开式中含项的系数为，故C正确．
事件为不可能事件，事件、可能为对立事件，也可能为互斥不对立事件，故D错误．
故选：．
利用正态分布的性质可判定，根据条件概率可判定，利用二项式定理可判定，利用对立事件、不可能事件的定义可判定．
本题考查命题真假的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，在中，令，得，
由，知，即A错误；
选项B，令，则，所以，，
所以当时，取得最小值，为，即B正确；
选项C，设数列的前项和为，
则，即C正确；
选项D，因为数列为等差数列，且，，
所以，，
所以，
所以当时，的最大值为，即D错误．
故选：．
选项A，令两个式子中的，求得对应的值后，即可排除；
选项B，由，可得，，再求得的值，即可；
选项C，所求的和为，再观察规律，根据分组求和法，得解；
选项D，结合等差中项与等差数列的前项和公式，推出，，得解．
本题考查数列的综合问题，熟练掌握等差中项的性质及其推广，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】甲
【解析】解：相关系数的绝对值越接近于，则数据的线性相关性越强，
，
这四组数据中线性相关性最强的是甲组数据．
故答案为：甲．
根据相关系数的绝对值越接近于，数据的线性相关性越强判断即可．
本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合独立性检验的公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，公差，，
所以，
所以或舍，
所以，
所以时，；时，，
设数列的前项和为，
所以时，，
时，
，
所以．
故答案为：．
由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，然后结合项的正负特点对进行分类讨论，结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：证明：，
．
，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
由可知：．
，
．
【解析】本题考查了可化为等差数列的数列的通项公式的求法、等差数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
由于，可得由于，于是得到，因此数列是等差数列．
由利用等差数列的通项公式可得：，进而得到．
16.【答案】解：因角，，成等差数列，则，又，
故，则；
由，，三边成等比数列可得：，
由余弦定理，化简得：，
即得：，故有：，再由正弦定理可得．
【解析】根据角，，成等差数列和三角形内角和易求得角，再借助于三角降幂公式即得；利用，，三边成等比数列得到，代入余弦定理推得，最后由正弦定理即得．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图可得，．
；
Ⅱ由Ⅰ知，，
，
则，
株幼苗的株长位于区间的株数大约是；
Ⅲ由Ⅱ知，进入育种试验阶段的幼苗数，
每株幼苗最终结穗的概率，
则，
．
【解析】本题考查了频率分布直方图，服从正态分布随机变量的期望，属于中档题．
Ⅰ使用加权平均数公式求，再由方差公式求方差；
Ⅱ求出及的值，得到，乘以得答案；
Ⅲ求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望．
18.【答案】证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
平面平面，且平面平面，
且平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，设，，
由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得．
综上，存在点，即当时，点即为所求．
【解析】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属拔高题．
由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，由线面垂直的判定得到平面；
取中点为，连接，，由已知可得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值；
假设存在点使得平面，设，，由可得，，由平面，可得，由此列式求得当时，点即为所求．
19.【答案】解：因为为的重心，且边，上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以，为焦点的椭圆不包括长轴的端点，
且，所以，
所以的轨迹的方程为．
证明：依题意，设直线方程为．
联立，得，
易知
设，，则，．
因为轴，轴，
所以，．
所以直线：，
直线：，
联立解得．
从而点在定直线上．
解：因为
，
又，则，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为．
【解析】根据椭圆的定义求解即可；
求出直线与方程，得到点坐标，即可判定；将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值．
本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的综合问题，属于难题．
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