2023-2024学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
2.设等差数列的前项和为，满足，，数列中最大的项为第项．( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.一个边长为的正方形被等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图；再将剩余的每个正方形都等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图，如此继续操作下去，到第次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
6.设，若函数有极值点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，是数列的前项和，则( )
A. 是定值，是定值 B. 不是定值，是定值
C. 是定值，不是定值 D. 不是定值，不是定值
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是( )
A. 若数列的前项和，则数列为等比数列
B. 若的前项和，则数列为等差数列
C. 若数列为等比数列，为前项和，则，，，成等比数列
D. 若数列为等差数列，为前项和，则，，，成等差数列
10.在等比数列中，，，则( )
A. 的公比为 B. 的前项和为
C. 的前项积为 D.
11.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数在时，取得极小值
B. 对于，恒成立
C. 若，则
D. 若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在上的最大值与最小值之和为______．
13.已知数列满足：，记数列的前项和为，则______．
14.已知函数的图象在点处的切线恰好与垂直，则，的值分别为______；若在上单调递增，则的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等比数列的公比为，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求，的值；
证明：在上单调递增．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
记数列的前项和为，，．
求的通项公式；
设，记的前项和为若对于且恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ若有两个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，数列为等差数列，设公差为，
则，解得，
故．
故选：．
根据题意，设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案．
本题考查等差的求和公式，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，可得，
所以，且，
又由等差数列的公差，
所以数列是递减数列，前项均为正数，从第项起为负数，
数列的最大项为，是数列中的最小项，且，
所以数列中最大的项为，即第项．
故选：．
根据题意，得到，且，求得，进而得到前项均为正数，从第项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：正项等比数列中，，则，
，则，
又，即，解得．
故选：．
由正项等比数列的性质，，，可求的值．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设第次新挖掉的面积为，则第次新挖掉的面积为，
根据题意可得，，又，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
设第次操作后，挖掉的面积之和为，
故．
故选：．
构造第次新挖掉的面积为数列，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果．
本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的定义，以及前项和公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，
，又因为切线与直线平行，
，．
故选：．
先对函数求导，然后令处的导数为，得到关于的方程求解即可．
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：有极值点，
有解，
．
故选：．
有解，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
则，
当得，即，
即，即，
由得，得，
即，即，
即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，
即当时，有一个整数解，
当时，有无数个整数解，
若，则得此时有无数个整数解，不满足条件．
若，
则由得或，
当时，不等式由无数个整数解，不满足条件．
当时，由得或，
当时，没有整数解，
则要使当有两个整数解，
，，，
当时，函数有两个整数点，，当时，函数有个整数点，，
要使有两个整数解，
则，
即，
故选：．
先判断函数的单调性和取值情况，利用一元二次不等式的解法结合数形结合进行求解即可．
本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的取值范围，利用数形结合结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
8.【答案】
【解析】解：当，则，，
，得：，，
，
在中，令为得，，
，得：，
，
，
令，得，为定值，
是定值．
故选：．
当时，推导出，，从而得到，进而得到，推导出，，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为数列的前项和为，所以，；
所以，；
当时，，满足；
所以数列为等比数列，选项A正确；
对于，数列的前项和为，所以，；
所以，；
当时，，不满足；
所以数列不是等差数列，选项B错误；
对于，例如，则，
可得，，，不一定成等比数列，选项C错误；
对于，因为
，，是的一次函数，
所以，，，成等差数列，选项D正确．
故选：．
选项A，利用等比数列的前项和与通项公式判断即可；
选项B，利用等差数列的前项和与通项公式判断即可；
选项C，举例说明即可；
选项D，根据等差数列的通项公式与性质，判断即可．
本题考查了等差与等比数列的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：等比数列中，，，
则，即，
所以，
：，A正确；
：，
故前项和为，B正确；
：的前项积为，C错误；
：
，D错误；
故选：．
由已知结合等比数列的通项公式，求和公式及等差数列的求和公式检验各选项即可．
本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式及性质，还考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的单调区间和最值，属于中档题．
先求导数，确定当时，单调性，即可确定在处，不是极值点，故A错误，也可确定，，故B正确；令，求导，分析单调性，即可分析出答案C正确；首先将转换为求函数的最值问题，再利用导数对分，，三种情况讨论即可确定的最大值和的最小值，从而判断说法的正误．
【解答】
解：因为，
当时，，单调递减，
所以函数在处，不是极值点，故A错误
所以对于，，故B正确；
令，，
由上可知，当时，，
所以在上是减函数，
若，所以，
即，故C正确
当时，“”等价于“”，
令，，
当时，对恒成立，
当时，因为对，，
所以在区间上单调递减，
从而，，对恒成立，
当时，存在唯一的使得成立，
若，，在上单调递增，且，
若，，在上单调递减，且，在上恒成立，
必须使恒成立，即，
综上所述，当时，，对任意恒成立，
当时，，对任意恒成立，
所以若，对恒成立，则的最大值为，的最小值为，
所以D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：
则
极值：
端点值：
所以：最大值为最小值为，最大值和最小值之和为．
故答案为：．
利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于时的值，吧值代入原函数求出极值，再求出端点值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做和．
题考查函数求导公式，以及可能取到最值的点，属于基本题，较容易
13.【答案】
【解析】解：由，
可得时，，即，
当时，，
由可得，
可得，对也成立，
则，
可得，
所以．
故答案为：．
求得首项，再将换为，两式相减可得，由数列的裂项相消求和可得，再由累乘法计算可得所求．
本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和和累乘法的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14.【答案】，
【解析】解：因为，所以，因为函数在点处的切线恰好与垂直得到切线的斜率为，
即，即，解得，则，
所以，令解得：或，所以函数的单调递增区间为，；
因为在上单调递增，
所以，或即或，
解得或，即；
故答案为：，；．
首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得、，从而得到函数解析式，再利用导数求出函数的单调递增区间，由函数在区间上的单调性，即可得到不等式，解得即可；
本题主要考查利用导数求单调性和切线方程，属于中档题．
15.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，
，
，
，又，
；
，
．
【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
16.【答案】解：，
，
因为函数在处的切线方程为，
所以，
，解得，
所以，．
证明：，
令，，
，
所以在上单调递增，
且，所以，即，
所以在上单调递增．
【解析】求导，根据导数的几何意义，可求求出，切点在切线上，即可求出，的值；
求导得，构造函数，，求导分析函数的单调性和极值最值，即可证明结论．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
17.【答案】解：，
两式相减得，，
又当时，，满足上式，
所以；
由得，
．
．
【解析】利用公式，即可求解；
首先根据的结果，得，再利用等比数列前项和公式，以及分组转化法求和．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：已知数列的前项和为，，，
则，
由可得，
即，，
又，
即，
即，
即，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
已知，
则，
又的前项和为，
则，
则，
由可得：
，
即，
又对于且恒成立，
则对于恒成立，
即对于恒成立，
设，，
则，
当且仅当时取等号，
即，
又，
即数列的最小值为，
即，
即实数的取值范围为．
【解析】已知，，则，，由可得，即，，又，即数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求解即可；
已知，则，利用错位相减法可得，又对于且恒成立，即对于恒成立，设，，则，即，即数列的最小值为，得解．
本题考查了数列的递推式，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
19.【答案】解：Ⅰ．
，
当时，在定义域内恒成立，因此在递减；
当时，由，解得；，解得，
综上所述：当时，的单调减区间为，无增区间；
时，的单调减区间为，增区间为；
Ⅱ若有两个零点，有Ⅰ可知且，
则必有，
即，解得，
又因，，
即，
可得，
也即得在恒成立，
从而可得在，区间上各有一个零点，
即实数的范围为 时有两个零点分别在区间和上．
【解析】Ⅰ分析定义域并求解导函数，分类讨论与时的正负，从而可得函数的单调性；
Ⅱ结合Ⅰ的答案判断得时，存在两个零点，需，再结合，，可得函数在上有零点，再求解，并构造新函数，通过求导判断单调性求解得，从而可得函数在上有零点，从而可得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
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