2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学高二（下）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D.
2.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
4.设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.从，，，，，，，中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.若函数存在个极值点，则称为折函数，例如为折函数，已知函数，则为( )
A. 折函数 B. 折函数 C. 折函数 D. 折函数
7.已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列的前项和为，，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列
B. ，，成等差数列，公差为
C. 当或时，取得最大值
D. 时，的最大值为
10.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最大值为
D. 当时，方程有且只有两个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在上的最小值为，则 ______．
13.如图，用种不同的颜色对图中个区域涂色，要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有______种．
14.已知函数，，，，都有，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
过点作曲线的切线，若切线有且仅有条，求实数的值．
16.本小题分
已知双曲线：过点，且与双曲线：有相同的渐近线．
求双曲线的方程；
若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
17.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立．
证明：；
当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现对数列，进行构造，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为．
设第次构造后得的数列为，，，，，，则，请用含，，，的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
求数列的通项公式；
证明：．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性．
证明：当时，．
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，
设，则，
曲线在点处的切线与直线垂直，
而直线的斜率为，
，即，解得．
点的坐标为或．
故选：．
求出原函数的导函数，设点坐标，利用切点处的导数值等于求解切点横坐标，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，为的中点，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
点到平面的距离为．
故选：．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查空间中点到平面的距离公式、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】
【解析】解：由图象知在和上单调递增，在上单调递减
的解集为，的解集为
又等价于或
或
原不等式的解集为
故选：．
由图象先确定原函数的单调性，从而确定导函数在各个范围的正负号，再结合的正负，即可得不等式的解集
本题考查原函数的单调性与导函数的正负号的关系．当原函数单调递增时，导函数大于等于，；当原函数单调递减时，导函数小于等于属简单题
4.【答案】
【解析】解：函数的导数为，
令，可得，解得，
则，，
设，可得，
则，即或，
由或，
可得倾斜角满足：或，
故选：．
求得的导数，令，解方程可得，由指数函数的值域可得处切线的斜率，由直线的斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的图象可得所求范围．
本题考查导数的几何意义和直线的斜率与倾斜角的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，
当不取时，底数有种，真数有种，其中，，，，
故此时有个，
所以共有个．
故选：．
分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了对数的运算性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数的新定义，利用函数的导数求函数的极值点，以及函数的零点，属于中档题．
求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数的极值点的个数，利用函数判断方程根的个数．
【解答】
解：，
由得，或，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
又，
所以有两根不同零点，即有两个不等实数根且都不等于，
函数有个极值点．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设线段中点，
圆：的圆心为，半径为，
到直线的距离为，所以，
故C的轨迹是以为圆以，为半径的圆，设的轨迹为圆，
圆上的点到直线：的最短距离为．
所以．
故选：．
先求得线段中点的轨迹，结合向量的横，圆与直线的位置关系可得的最小值．
本题考查点的轨迹，考查圆上的点到线的最小距离问题，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入，得，
代入，可得，
整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不同的实根，
设，，
令，解得；
令，解得，
则在内单调递增，在单调递减，
可得，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为．
故选：．
设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围．
本题考查导数的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于项，由已知可得，数列是一个等差数列，首项，公差为，
所以，所以，
当时，，
当时，，
综上所述，，所以，
所以是等差数列，故A项正确；
对于项，设的公差为，由知，，，根据等差数列的性质可知，
，故B项错误；
对于项，因为，所以当或时，取得最大值，故C正确；
对于项，由，可得，所以时，的最大值为，故D正确．
故选：．
根据已知得出数列是一个等差数列，求出根据，的关系求出的表达式，根据定义即可判断项；求出公差，进而根据等差数列的性质，即可判断；由，求解即可得出的值，判断项；根据的表达式，求解不等式，即可判断项．
本题考查了数列的递推式，等差数列的求和公式，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，设，则，
如图，在中，，
则，故或舍去，所以，故选项A正确；
由，，则，
在中，，即，故选项B正确；
在中，，选项C错误；
在中，，整理得，故，选项D正确．
故选：．
设，则，利用勾股定理可得，进而计算可判断每个选项的正确性．
本题考查双曲线的性质，考查转化能力，考查运算求解能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由可得，
令，得或，
当或时，，即在，上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
则有极小值，极大值为，B正确；
又，，即在内有个零点；
又，故在内有个零点；
当时，，此时无零点，
故函数存在个不同的零点，A错误；
结合以上分析可作出函数图象：
函数在时取极大值，
故时，，则的最大值为，C正确；
结合函数图像可知当时，图象与只有个交点，
故方程有且只有两个实根，D正确．
故选：．
求出函数的导数，判断单调性，即可求得极值，判断；结合函数单调性以及零点存在定理可判断；结合函数单调性以及极值可判断；结合函数的图象，数形结合可判断．
本题主要考查函数的单调性和极值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为在上的极小值，也是最小值，
故，解得．
故答案为：．
求导，得到函数单调性，得到为在上的极小值和最小值，列出方程，求出答案．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：按照分步计数原理，
第一步：涂区域，有种方法；
第二步：涂区域，有种方法；
第三步：涂区域分两类：区域与同色，则区域有种方法；区域与不同色，则区域有种方法，区域有种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：．
利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色．
本题考查分步计数原理，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，，
不妨设，，
，
，即，
，令，
当时，，即在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
当时，，，
又时，，
则，
，
，即的取值范围为．
故答案为：．
不妨设，，则，构造函数，可得在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，求出的最大值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运输能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
则，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
取，得，取，得．
曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
设切点坐标为，由，
得，则曲线在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：．
切线有且仅有条，，解得或．
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，再由三角形面积公式求解；
设切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，化为关于切点横坐标的一元二次方程，再由判别式等于求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定与方程根的关系，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】解：双曲线：的渐近线方程为，
则双曲线：过点，且渐近线方程为，
，解得，．
双曲线的方程为；
设，，
由，消去并整理得，
直线与双曲线有两个交点，
，解得且．
，，
中点的坐标为，
设的垂直平分线方程：，
在上，即，
，解得或．
直线的方程为或．
【解析】求出双曲线的渐近线方程，再由题意列关于，的方程组，求解与的值，则双曲线方程可求；
联立直线方程与双曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求，可得直线方程．
本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：证明：在平面上运动且恒成立，
，，，
平面，，
，，
平面，，
，平面，；
取中点为，连接，，，
，到直线的距离相等，
平面，，
，，为的高，
，同理，
平面，
，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，，
平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
．
设平面与平面所成角为，
平面与平面所成角的余弦值为．
【解析】由已知可得，又易得，可证平面，进而可证结论；
取中点为，连接，，可得，到直线的距离相等，利用等体积法可求，建立空间直角坐标系，可求平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
18.【答案】解：由已知可得，
第次构造后得到的数列为，，，，，，，，，，
则，即与满足的关系式为；
解：由，可得，
且，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即；
证明：，
，
．
【解析】写出第次构造后得到的数列为，，，，，，，，，，即可得到与满足的关系式；
由中的递推式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，求其通项公式，可得数列的通项公式；
利用放缩法结合等比数列的求和公式即可证明结论．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式及前项和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．
19.【答案】解：，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：令，，
，
令，，
则，
所以在上单调递增，
当时，，
又，
所以，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，而此时，
所以当时，成立，
当时，可得，，
所以，
又，
所以存在，使得，即，
，，单调递减，
，，单调递增，
，
由可得，，
下面证明，，
令，
，
所以在上单调递增，
，
即得证，即成立，
综上所述，当时，成立．
证明：由，当时，有，即，
令，，得，
，
，
即．
【解析】求导，按照的正负，讨论正负得解．
令，分和两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明．
由，当时，有，令，，代入运算得证．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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