2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.圆心角是，半径是的扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则下列图象中的大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论：
若，，则；
若且，则；
若，则对于任意向量，都有；
若，则对于任意向量，都有；
其中所有正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则角的终边可能在( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
10.如图是易系辞上记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头洛书中个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，，测量船的高度忽略不计，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则的取值范围为______．
13.已知向量，且，则 ______．
14.已知在中，，，点为上一点，且，为边上的高，垂足为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，．
求；
若向量与向量的方向相反，求实数的值．
16.本小题分
在中，，，，且，与交于点，设，．
用向量，表示，；
求的值．
17.本小题分
已知函数是偶函数．
分别求实数，的值；
求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
证明：；
求时，函数的最小值．
19.本小题分
设锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
求的值；
若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量的线性运算求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知：扇形的面积为．
故选：．
根据扇形的面积公式运算求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
利用交集定义、不等式性质求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
解得，负值舍去．
故选：．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知，
得，观察选项可得D正确．
故选：．
先求出，然后利用排除得答案．
本题主要考查了函数的图象变换以及余弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
若向量在向量上的投影向量为，则，
所以．
故选：．
根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，所以，
函数在上单调递减，所以，
又，且，
所以．
故选：．
利用函数单调性确定与中间量，的大小，进而得到答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于命题：若，，则，所以，即正确；
对于命题：举反例，不妨取，，满足，
再取，，有，，满足，
但，即错误；
对于命题：若，则，且，
设，则，，
所以，所以，即正确；
对于命题：举反例，不妨取，，满足，
但，，
所以，即错误．
故选：．
根据新定义，结合向量的坐标运算法则分析，举反例可判断．
本题考查平面向量的运算，理解新定义，熟练掌握平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得：，即，同号，
所以角的终边可能在第一象限或第三象限，
故AC错误，BD正确．
故选：．
由诱导公式可得，结合象限角的符号分析判断．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了三角函数值的符号判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，对于正方形，，为这两正方形的中心，
，，，分别为，，，的中点，正方形的边长为，
对于：，故A错误；
对于：由，可得，故B正确；
对于：，故C正确；
对于：由，可得，故D正确．
故选：．
利用平面向量线性运算及数量积运算，对选项逐一计算进行判断即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，，
由正弦定理得，，即，所以，所以，A正确；
，B错误；
在中，，由正弦定理得，，
所以，C正确；
在中，，，，代入，所以，
所以，D正确．
故选：．
对于：在中利用正弦定理计算；对于：在中利用正弦定理计算；对于：在中利用正弦定理计算．
本题考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由可得，
又因为在上单调递增，且，
所以的取值范围为．
故答案为：．
根据题意结合正切函数单调性分析求解．
本题主要考查了正切函数单调性的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，
则，
且，，
可得，
可得，
即．
故答案为：．
先求出，再求出，即可求出，则可计算出答案．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，
因为，，，则，
可得，
设，且，可知，
则，
所以．
故答案为：．
以为坐标原点，，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：因为，，
所以，即，
，即，
所以，
所以；
因为向量与向量的方向相反，
所以存在实数使得，
所以，解得，
所以实数的值为．
【解析】由平面向量的坐标运算结合条件求出的坐标，再由数量积的坐标运算即可求得；
由共线向量定理建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算和共线向量定理的应用，属于中档题．
16.【答案】解：因为，即，且，
则，，
，
；
由得，
，
则，
所以
【解析】利用向量的线性运算来表示即可；
求出和，然后利用夹角公式求解即可．
本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为为偶函数，所以．
又，
，
则，
整理得恒成立，
则
解得，．
由可得此时，
令，则，
由二次函数性质得，在上单调递增，
故，则，即．
所以的取值范围为．
【解析】利用偶函数的定义求解参数即可．
利用换元法结合二次函数性质求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：证明：，
即．
当时，函数明显单调递增，故，
则，
令，则对勾函数在上单调递增，
故，
则．
【解析】直接代入函数表达式计算即可．
变形，然后利用对勾函数的单调性求最值．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
则，整理得，
由正弦定理可得，即，
且，所以．
在中，由题意可知：，，
可知，
由余弦定理可得，即，
在中，由正弦定理，
可得，
因为且为锐角三角形，则，解得，
则，可得，所以，
且三角形周长为，
所以三角形周长的取值范围为．
【解析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；
在中，可得，，在中，利用正弦定理结合三角函数可得，进而可得结果．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
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