2022-2023学年四川省成都市新津区为明学校高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市新津区为明学校高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数等于( )
A. B. C. D.
2.已知点，则它的极坐标是( )
A. B. C. D.
3.为迎接年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的名学生志愿者中抽取人组成亚运志愿小组，若人中共有男生人，则这名学生志愿者中女生可能有人．( )
A. B. C. D.
4.函数为自然对数的底数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，是空间中两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是( )
A. 若，则存在，，使得
B. 若，则存在，，使得
C. 若，则存在，使得
D. 若，则存在，使得
6.通过随机调查名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧，得到如下的列联表：
男 女 总计
喜欢
不喜欢
总计
由公式算得：附：，
其中参照附表，得到的正确结论是( )
A. 有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
B. 有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
C. 有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
D. 有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
7.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是( )
A. 在区间上，是增函数
B. 当时，取到极小值
C. 在区间上，是减函数
D. 在区间上，是增函数
8.如图，四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知在处取得极小值，则的值为
( )
A. B. C. D.
10.已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线：，：构造了一个类似“米“字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则( )
A. B. C. D.
12.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知椭圆的焦距是，则的值是______．
14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分，已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则的值为______．
15.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上一动点不与，重合，则下列命题中：
平面平面；
一定是锐角；
；
三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有 ．
16.已知，对，，且，恒有，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，且．
求函数在处的切线方程；
求函数在上的最大值与最小值．
18.本小题分
某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将期中考试的物理成绩均为整数分成六段：，，，后得到如图频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计众数和中位数；
用分层抽样的方法从的学生中抽取一个容量为的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在的概率．
19.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点．
求证：平面；
求证：平面．
20.本小题分
已知为圆：上一动点，过点作轴的垂线段，为垂足，若点满足．
求点的轨迹方程；
设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，是的两个极值点，证明：．
22.本小题分
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数．
求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
设点，直线与曲线交于，两点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
根据点的直角坐标求出，再由，，可得，从而求得点的极坐标．
【解答】
解：点的直角坐标为，．
再由，，可得，结合所给的选项，可取，
即点的极坐标为，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样原理应用问题，也考查了数据分析与应用能力，属于基础题．
根据人中共有男生人求出这名学生志愿者中男生人数，再求女生可能有的人数．
【解答】
解：因为人中共有男生人，则这名学生志愿者中男生可能有人，
所以女生可能有人．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：函数为自然对数的底数，
．
故选：．
由函数为自然对数的底数，能求出的值．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，则存在，，使得，故A正确；
若，则与相交，设交线为，则两平面内都与平行的两直线平行，故B正确；
若，则与无公共点，则不存在，使得，故C错误；
若，则平面与交线平行的直线平行于，即存在，使得，故D正确．
故选：．
由空间直线、平面之间的位置关系可知选项A，，均正确，对于选项C，当时，平面内的任何一条直线都只可能与平面平行，由此判断C错误．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，，所以有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关．
故选：．
根据观测值，对照附表即可得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由图象可知，当时，先小于，后大于，
故在先递减再递增，故A错误，
当时，取极大值，故B错误，
当时，先大于，再小于，
故在上先递增再递减，故C错误，
当时，，函数单调递增，故D正确．
故选：．
由已知结合导数与单调性关系分析各选项即可判断．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为正四棱锥，底面边长为，高为，则斜高为，
该四棱锥的侧面积为．
故选：．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为，高为，再求出斜高，然后利用三角形面积公式求解．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由已知，，
，得，
此时，，
令，得或，
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，符合题意．
则的值为．
故选：．
先对函数求导，然后通过求出的值，再代入原导函数验证在处取得极小值即可．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由双曲线方程可知，，，
故右焦点，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，
由双曲线定义知，
所以，
从而，
又为定值，
所以，
此时点在线段与双曲线的交点处三点共线距离最短．
故选：．
根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识：两点间线段最短求解即可．
本题考查了双曲线的定义，重点考查了两点间线段最短的平面几何知识，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，
则，
又点在抛物线：上，
，则，
在中，，
，
，
．
故选：．
过点作于点，根据题意得到，代入抛物线：，得到，利用勾股定理即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令函数，，
则，
令，则，，
，单调递减，
又，
，，
，，而，
则，即，．
故选：．
根据给定的条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为椭圆，
所以，，
所以，
所以，
因为椭圆的焦距为，
所以，即，
所以，
解得，
故答案为：．
由椭圆的方程可得，，则，又椭圆的焦距为，可得，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查茎叶图，平均数的概念，属于基础题．
根据茎叶图中的数据，利用平均数的公式进行计算即可．
解：甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，
，
解得：，
故答案为：．
15.【答案】．
【解析】解：平面，
平面平面，正确；
若是上靠近的一个四等分点，，
此时，，
此时为钝角，错；
而，，
所以，且，，
所以平面，平面，
因此，正确；
由于，则平面，
因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，正确．
故选：．
由已知利用面面垂直的判定即可判定；
由题意可得，利用余弦定理可得，可得为钝角，即可判断；
利用线面垂直的判定和性质即可判断；
由题意可得平面，可得的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，即可判断．
本题考查了面面垂直的判定、余弦定理、线面垂直的判定和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对，，且，恒有，即，所以函数是增函数，
设，，则在上单调递增，故恒成立，
即，设，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
故，即，则实数的取值范围是．
故答案为：．
根据已知构造函数，利用函数的单调性求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，故，解得，
因为，所以，
则所求切线的斜率为，且，
故所求切线方程为，即；
因为，，所以，
令，得舍去，
由，可得，函数单调递减，
由，可得，函数单调递增，
所以的极小值为，又，，
所以的最大值为，最小值为．
【解析】由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；
根据导函数，确定单调区间，进而可得最值．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题．
18.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
众数为：，
的频率为，
的频率为，
中位数为：．
用分层抽样的方法从的学生中抽取一个容量为的样本，
的频率为，的频率为，
中抽到人，记为，，
中抽取人，记为，，，
从这五人中任选两人参加补考，共有以下种可能：
，，，，，，，，，，
其中至少一人落在的有，，，，，，，，，共种，
这两人的分数至少一人落在的概率．
【解析】本题考查众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由频率分布直方图能求出，由此能求出众数和中位数．
用分层抽样的方法从的学生中抽取一个容量为的样本，的频率为，的频率为，从而中抽到人，中抽取人，利用列举法求解即可．
19.【答案】解：证明：连接，与交于点，连接是菱形，是的中点．
点为的中点，平面，平面，平面．
平面，又底面是菱形，．
又，平面．
【解析】设与交于点，利用三角形的中位线性质可得，从而证明平面．
由平面得，依据菱形的性质可得，从而证得平面．
本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取与交于点，
是解题的突破口．
20.【答案】解：不妨设，，
此时点，
因为，
所以，
即，
因为点在圆上，
所以，
此时，
整理得，
则点轨迹方程为；
若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，
不妨设直线：，
联立，消去并整理得，
设直线与曲线两交点的坐标分别为，，
由韦达定理得，
所以，
因为，
所以直线，
同理得，
不妨设直线与轴交于点，
当直线斜率存在时，
此时，
解得，
即，
则直线恒过点；
当直线斜率不存在时，
此时，
解得，
即，
则直线恒过点；
若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，
此时直线为轴，恒过，
综上，直线恒过点，
因为，
所以，
此时在以中点为圆心，为直径的圆上，
取，
可得为定值；
故存在点，使得为定值．
【解析】由题意，先利用得到点坐标关于点坐标的表示，再利用直接代入法即可求得点的轨迹方程；
分类讨论两条相交弦的斜率情况，利用韦达定理证得直线恒过定点，又由得到点的轨迹，从而得到定点使得为定值，由此得解．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21.【答案】解：的定义域是，
，
当时，，在递增，
当时，若，则，若，则，
故在递增，在递减；
证明：，
则，
由题意可知，是方程的根，故，，
由，，，故，，
要证，只需证明，
，
令，则，
故在递增，故，
故，即．
【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
求出函数的导数，得到，求出，令，根据函数的单调性证明结论成立即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，
，曲线的直角坐标方程为，即．
直线的参数方程为为参数，
即直线的普通方程为．
直线的标准参数方程为，代入曲线的普通方程得．
．
【解析】对两边同乘，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；
求出直线的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．
本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．
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