2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第六章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2021·安顺）如图，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若 ，则 的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
3．（2021·南充）如图，点O是 对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·邵阳）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·衡阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD
6．（2022·赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形周长不变 B．
C．四边形面积不变 D．
7．（2022·宜宾）如图，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．（2019·威海）如图， 是 边 延长线上一点，连接 ， ， ， 交 于点 ．添加以下条件，不能判定四边形 BDEC 为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·安徽） ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
10．（2022·安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·株洲）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为 ．
12．（2023·福建）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．
13．（2023·宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
14．（2022·荆州）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 .（只需写一种情况）
15．（2022·株洲）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度.
16．（2021·江西）如图，将 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，若 ， ， ， ，则 的周长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023·淄博）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
（1）；
（2）．
18．（2023·镇江）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
（1）求证：≌．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
19．（2023·济南）已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．
20．（2023·绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
21．（2023·无锡）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
22．（2023·株洲）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形
（2），求线段的长度．
23．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
24．（2023·东营）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABM＝∠CMB，根据角平分线的概念可得∠ABM＝∠CBM，则∠CBM＝∠CMB，推出MC＝BC＝8，然后根据DM＝CD-MC进行计算.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝4 3＝1，DE＝4 3＝1，
∴EF＝4 1 1＝2.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，可得AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，利用平行线的性质可得∠DFC＝∠FCB，由角平分线的定义可得∠DCF＝∠FCB，即得∠DFC＝∠DCF，与等角对等边可得DF＝DC＝3，同理可得AE＝AB＝3，从而求出AF、DE的长，利用EF=AD-AF-DE即得结论.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵点O是 对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若 ，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，∠EAO=∠CFO，利用ASA可证得△AEO≌△CFO，利用全等三角形的对应边相等，可对A作出判断；利用全等三角形的性质和和平行四边形的性质，可证得AE=CF，可对B作出判断；同时可对C、D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、添加无法使四边形为平形四边形，A不符合题意；
B、添加无法使四边形为平形四边形，B不符合题意；
C、添加无法使四边形为平形四边形，C不符合题意；
D、∵，
∴∠C＋∠ABC=180°，
∵，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定结合平行四边形的判定即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
B、∵AB//CD，BC//AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵BC//AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D、∵BC=AD，BC//AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；故D符合题意；
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；
故答案为：D
【分析】 由题意可知，，，四边形是平行四边形，可得。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
四边形AFDE是平行四边形，，
，
，
，，
，，
AEDF的周长.
故答案为：B.
【分析】由题意可得四边形AFDE为平行四边形，根据平行线的性质可得∠B=∠EDC，∠FDB=∠C，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，据此可推出BF=FD，DE=EC，进而不难求出四边形AFDE的周长.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ BDEC 为平行四边形，故A符合题意；
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 BDEC 为平行四边形，故B符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理， ，
∴不能判定四边形 BDEC 为平行四边形；故C不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 BDEC 为平行四边形，故D符合题意，
故答案为：C．
【分析】A、利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断.
B、利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断.
C、无法判断四边形是平行四边形.
D、利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】A、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和判定，对各选项逐一推理判断即可。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF至F，使CF=CA，
∵∠BCA=120°，
∴∠ACF=60°，
∴△CFA是等边三角形，
∴AF=AC=2，
∵D是AB的中点，E是BC的一点， 平分的周长，
∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，
∴AC+CE=BE，
∵AC=CF，
∴CF+CE=BE，
即EF=EB，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED=FA=.
故答案为：C.
【分析】延长CF至F，使CF=CA，证明△CFA是等边三角形，得出AF=AC，结合平分的周长，推出ED是△ABF的中位线，即可解答.
11．【答案】2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵EB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∴DE=2，
故答案为：2
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠ABE=∠CBE，再运用平行四边形的性质即可得到AD∥BC，AD=BC=5，进而运用平行线的性质结合题意即可得到∠ABE=∠AEB，再运用等腰三角形的性质即可求解。
12．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵O为BD的中点，EF过点O，
∴四边形ADFE与四边形CBEF关于直线EF中心对称，
∴CF=AE=10.
故答案为：10.
【分析】根据平行四边形的对称性可得：四边形ADFE与四边形CBEF关于直线EF中心对称，则CF=AE，据此解答.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴，
由折叠得
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴
∵，，AB=CD
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形的周长=
故答案为：16.
【分析】先证∠ADE=∠AED，可得；再证四边形是平行四边形，且可得四边形的周长=，即可求解.
14．【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形 ，
所以补充：AE=CF
△AEG≌△CFH，
故答案为：AE=CF（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，∠A=∠C，利用平行线的性质可得∠F=∠E， 要使△AEG≌△CFH ，只需添加一组对应边相等即可（答案不唯一）.
15．【答案】48
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角
∴
在△AEO中：
故答案为：48.
【分析】根据外角和定理可得∠EAO==72°，然后根据内角和定理进行计算.
16．【答案】4a+2b
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180 ，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180 ，
∴∠ECD=20 ，∠ACE=∠ACB=40 =∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80 =∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
则 ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，
故答案为：4a+2b．
【分析】先求出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，再求出AD=a+b，最后求周长即可。
17．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
（2）四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得到对角∠1=∠2；
（2）根据平行四边形的性质，可以证明△ABE和△CDF的三边对应相等，从而得出两三角形全等。
18．【答案】（1）解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）解：如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据B是线段AC的中点，可得到AB＝BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS即可证明所求的结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠BCD，然后根据平行线的判定定理得到BE∥CD，再根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可解答．
19．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出 ，， 再根据平行线的性质求出 ，， 最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四边形BEDF的周长为24．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到AB＝DC，∠BAE＝∠DCF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF（SAS）即可得到∠AEB＝∠CFD，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，进而根据三角形全等的性质即可得到BE＝DF，从而运用平行四边形的判定与性质得到DO＝BO，再结合题意根据BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF即可求解。
21．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：由（1）证得，
∴，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用中点的定义得到全等条件，判定三角形全等.
(2)根据全等三角形的性质和中位线的性质得到四边形两组对边平行，进而证得平行四边形.
22．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线的性质即可得到，，进而得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质即可得到，再根据勾股定理结合题意即可求解。
23．【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
24．【答案】（1）解：的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）解：的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）解：是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线定理即可得到，同理，进而根据题意即可得到，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，同理，进而根据（1）中的即可求解；
（3）是直角三角形，证明如下：如图，取的中点，连接，，先根据三角形中位线定理即可得到，，同理，，进而根据题意得到，再根据平行线的性质结合题意得到，再结合题意运用等边三角形的性质证明即可得到，从而即可求解。
1 / 12024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第六章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABM＝∠CMB，根据角平分线的概念可得∠ABM＝∠CBM，则∠CBM＝∠CMB，推出MC＝BC＝8，然后根据DM＝CD-MC进行计算.
2．（2021·安顺）如图，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若 ，则 的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝4 3＝1，DE＝4 3＝1，
∴EF＝4 1 1＝2.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，可得AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，利用平行线的性质可得∠DFC＝∠FCB，由角平分线的定义可得∠DCF＝∠FCB，即得∠DFC＝∠DCF，与等角对等边可得DF＝DC＝3，同理可得AE＝AB＝3，从而求出AF、DE的长，利用EF=AD-AF-DE即得结论.
3．（2021·南充）如图，点O是 对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵点O是 对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若 ，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，∠EAO=∠CFO，利用ASA可证得△AEO≌△CFO，利用全等三角形的对应边相等，可对A作出判断；利用全等三角形的性质和和平行四边形的性质，可证得AE=CF，可对B作出判断；同时可对C、D作出判断.
4．（2023·邵阳）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、添加无法使四边形为平形四边形，A不符合题意；
B、添加无法使四边形为平形四边形，B不符合题意；
C、添加无法使四边形为平形四边形，C不符合题意；
D、∵，
∴∠C＋∠ABC=180°，
∵，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定结合平行四边形的判定即可求解。
5．（2023·衡阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
B、∵AB//CD，BC//AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵BC//AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D、∵BC=AD，BC//AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．（2022·赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形周长不变 B．
C．四边形面积不变 D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；故D符合题意；
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；
故答案为：D
【分析】 由题意可知，，，四边形是平行四边形，可得。
7．（2022·宜宾）如图，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
四边形AFDE是平行四边形，，
，
，
，，
，，
AEDF的周长.
故答案为：B.
【分析】由题意可得四边形AFDE为平行四边形，根据平行线的性质可得∠B=∠EDC，∠FDB=∠C，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，据此可推出BF=FD，DE=EC，进而不难求出四边形AFDE的周长.
8．（2019·威海）如图， 是 边 延长线上一点，连接 ， ， ， 交 于点 ．添加以下条件，不能判定四边形 BDEC 为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ BDEC 为平行四边形，故A符合题意；
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 BDEC 为平行四边形，故B符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理， ，
∴不能判定四边形 BDEC 为平行四边形；故C不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 BDEC 为平行四边形，故D符合题意，
故答案为：C．
【分析】A、利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断.
B、利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断.
C、无法判断四边形是平行四边形.
D、利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断.
9．（2018·安徽） ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】A、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和判定，对各选项逐一推理判断即可。
10．（2022·安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF至F，使CF=CA，
∵∠BCA=120°，
∴∠ACF=60°，
∴△CFA是等边三角形，
∴AF=AC=2，
∵D是AB的中点，E是BC的一点， 平分的周长，
∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，
∴AC+CE=BE，
∵AC=CF，
∴CF+CE=BE，
即EF=EB，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED=FA=.
故答案为：C.
【分析】延长CF至F，使CF=CA，证明△CFA是等边三角形，得出AF=AC，结合平分的周长，推出ED是△ABF的中位线，即可解答.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·株洲）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵EB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∴DE=2，
故答案为：2
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠ABE=∠CBE，再运用平行四边形的性质即可得到AD∥BC，AD=BC=5，进而运用平行线的性质结合题意即可得到∠ABE=∠AEB，再运用等腰三角形的性质即可求解。
12．（2023·福建）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵O为BD的中点，EF过点O，
∴四边形ADFE与四边形CBEF关于直线EF中心对称，
∴CF=AE=10.
故答案为：10.
【分析】根据平行四边形的对称性可得：四边形ADFE与四边形CBEF关于直线EF中心对称，则CF=AE，据此解答.
13．（2023·宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴，
由折叠得
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴
∵，，AB=CD
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形的周长=
故答案为：16.
【分析】先证∠ADE=∠AED，可得；再证四边形是平行四边形，且可得四边形的周长=，即可求解.
14．（2022·荆州）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 .（只需写一种情况）
【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形 ，
所以补充：AE=CF
△AEG≌△CFH，
故答案为：AE=CF（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，∠A=∠C，利用平行线的性质可得∠F=∠E， 要使△AEG≌△CFH ，只需添加一组对应边相等即可（答案不唯一）.
15．（2022·株洲）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度.
【答案】48
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角
∴
在△AEO中：
故答案为：48.
【分析】根据外角和定理可得∠EAO==72°，然后根据内角和定理进行计算.
16．（2021·江西）如图，将 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，若 ， ， ， ，则 的周长为 ．
【答案】4a+2b
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180 ，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180 ，
∴∠ECD=20 ，∠ACE=∠ACB=40 =∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80 =∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
则 ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，
故答案为：4a+2b．
【分析】先求出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，再求出AD=a+b，最后求周长即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023·淄博）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
（2）四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得到对角∠1=∠2；
（2）根据平行四边形的性质，可以证明△ABE和△CDF的三边对应相等，从而得出两三角形全等。
18．（2023·镇江）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
（1）求证：≌．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）解：如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据B是线段AC的中点，可得到AB＝BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS即可证明所求的结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠BCD，然后根据平行线的判定定理得到BE∥CD，再根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可解答．
19．（2023·济南）已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出 ，， 再根据平行线的性质求出 ，， 最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．（2023·绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四边形BEDF的周长为24．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到AB＝DC，∠BAE＝∠DCF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF（SAS）即可得到∠AEB＝∠CFD，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，进而根据三角形全等的性质即可得到BE＝DF，从而运用平行四边形的判定与性质得到DO＝BO，再结合题意根据BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF即可求解。
21．（2023·无锡）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：由（1）证得，
∴，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用中点的定义得到全等条件，判定三角形全等.
(2)根据全等三角形的性质和中位线的性质得到四边形两组对边平行，进而证得平行四边形.
22．（2023·株洲）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形
（2），求线段的长度．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线的性质即可得到，，进而得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质即可得到，再根据勾股定理结合题意即可求解。
23．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
24．（2023·东营）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）解：的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）解：的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）解：是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线定理即可得到，同理，进而根据题意即可得到，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，同理，进而根据（1）中的即可求解；
（3）是直角三角形，证明如下：如图，取的中点，连接，，先根据三角形中位线定理即可得到，，同理，，进而根据题意得到，再根据平行线的性质结合题意得到，再结合题意运用等边三角形的性质证明即可得到，从而即可求解。
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