河北枣强中学高一年级下学期第二次调研考试数学试题
答案
1．B
【分析】
先由复数的除法运算计算得，进而可得模长.
【详解】
复数z满足，，
所以．
故选：B．
2．D
【分析】由题知，进而解方程即可得答案.
【详解】解：因为向量，，，且，，
所以，解得，
所以.
故选：D
3．A
【分析】根据棱柱的定义分析判断即可.
【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A.
4．B
【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】由，所以，即，
因为，设向量的夹角为，
所以，所以.
故选：B.
5．A
【分析】
根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由复数的运算法则，可得，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为.
故选：A.
6．B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理及二倍角公式得：，
因为在中，，则，
即，即，
因为在中，，所以，所以.
故选：B.
7．C
【分析】
建系求出各点的坐标，进而应用数量积的坐标运算即可.
【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
因为是的中点，所以，
因为是线段的中点，所以，
所以，，，
所以，
所以.
故选：C.
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算，从而得解.
8．D
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
9．ABD
【分析】根据棱柱的定义以及分类即可结合选项逐一判断.
【详解】对于A，底面是矩形的直棱柱是长方体，故A错误，
对于B，有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体不一定是平行六面体. 例如正方体中，取分别为侧棱上的点，且,则几何体满足有两个面平行，其余四个面都是平行四边形，但其不是平行六面体，故B错误，
对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，由两个面互相平行，其余各面均为四边形，且相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱.故
有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱.
如： ,故D错误.
对于C, 棱柱的各个侧面都是平行四边形,故C正确，
故选：ABD
10．AD
【分析】
根据复数相等的充要条件即可求解A，根据复数的性质即可求解B，根据复数的几何意义即可求解CD.
【详解】A：由题意，
所以，解得，，所以,故A正确，
B：因为两个复数不能比较大小，所以B不正确；
C：因为，所以复数z对应的点位于第二象限，因此C不正确；
D：因为，所以z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此D正确，
故选：AD
11．AC
【分析】根据余弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理、三角形的形状等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若为锐角三角形，则，
，
在上单调递减，所以，A选项正确.
B选项，若，
则可能，此时三角形是直角三角形，所以B选项错误.
C选项，若，则，由正弦定理得，所以C选项正确.
D选项，若，，，
由余弦定理得，
所以符合条件的只有个，D选项错误.
故选：AC
12．BD
【分析】
利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，从而判断C；注意到与同向的情况，可否定C；利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到的比例，从而利用比例的性质与三角形面积的特点判定D.
【详解】对于A，因为，即，所以，则为钝角，故A错误；
对于B， 因为、分别表示向量、方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线重合，
又，可得，
又，所以向量的方向与的角平分线重合，
所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
对于C ，因为，，所以，
当时，，此时与同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示.
因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是延长交于，利用向量基本定理的推论得到在上的位置，从而得解.
13．1
【分析】利用复数除法运算求出结果即可作答.
【详解】，
所以复数的虚部为1.
故答案为：1
14．
【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.
【详解】因为，故,
故，故为锐角，故，
故外接圆的半径为，
故答案为：.
15．
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：
16．1
【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式以及余弦的二倍角公式即可解决问题.
【详解】如图所示：
因为，，又点是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点是的中点，
所以，
因为，
所以，
即，
设，，则，
所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，
即有最大值为1．
故答案为：1
17．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得答案；
（2）设，由， 得，解方程组可得答案；
（3）求出向量与在坐标，利用向量垂直的坐标运算可得答案.
【详解】（1），，.
（2）设，由，且得，
解得，或，故，或.
（3）若向量与相互垂直，则，
即，所以，
即，故．
18．(1)1
(2)
(3)
【分析】
（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m的值；
（2）由题意得到方程，求出m的值；
（3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m的取值范围.
【详解】（1）
若z是纯虚数，则，
∴，则m的值为1；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，
则，解得
（3）
若z在复平面内对应的点在第四象限，则，
∴，则m的取值范围为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角恒等变换求得，由此得解；
（2）利用（1）的结论求得，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可得解．
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
即，
因为，则，所以.
（2）由（1）知，
又，所以，
因为的面积为，
所以，得，
又，所以由，得，
所以，即，
又，所以.
20．（1）或 ；（2） ．
【分析】（1）利用配方法和可得；
（2）设，根据，得，再根据复数的除法运算法则可得.
【详解】（1）由，
可得，则，
所以方程的解为或．
（2）设，则由，得，
解得．
又，所以，
所以
21．(1)，
(2)
【分析】
（1）根据平面向量线性运算法则及平面几何的性质计算可得；
（2）由数量积的运算律及向量的模求出、，最后由夹角公式计算可得.
【详解】（1）因为，，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
（2）由（1）知，，
又，
所以，，，
即，，
解得，，
所以.
22．(1)或
(2)（i）；（ii）
【分析】
（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得解；
（2）（i）利用向量垂直的坐标表示，结合三角恒等变换即可得解；（ii）利用（i）中结论，结合三角形内角的范围推得的范围，再利用正弦定理的边角变换即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，
又与共线，，
则，
因为，则，
所以，整理得，
因为，所以，
则或，即或.
（2）（i）因为，即，，
所以，
则，
所以，
因为，则而，所以；
（ii）由（i）知，，所以，
而，所以，即，
即有，同时有，即，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键是利用向量垂直的坐标表示求得，进而得到的关系，从而得解.河北枣强中学高一年级下学期第二次调研考试数学试题
本试卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，用黑色字迹笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．选择题，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔，在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题（40分）
1．已知复数z满足，则的模为( )
A．1 B． C． D．2
2．设x，，向量，，，且，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
3．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）
4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别为，已知．则角（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A． B． C． D．④标志着我国人民民主政治进入新的阶段
A．①② B．②④ C．①③D．③④
二、多选题（20分）
9．下列说法不正确的是（ ）
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．，则
B．
C．若，则复数z对应的点位于第四象限
D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆
11．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，，，则符合条件的有两个
12．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
三、填空题（20分）
13．复数（其中为虚数单位）的虚部为 .
14．在中，，，则外接圆半径为 .
15．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为 .
16．四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为 ．
四、解答题（70分）
17．已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求向量的坐标；
(3)若向量与相互垂直，求实数的值．
18．已知复数，．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；
(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
(1)求的值；
(2)若，且的面积为，求的值.
20．（1）在复数范围内解方程；
（2）若复数满足，，求．
21．如图，在平行四边形中，，令．
(1)用表示；
(2)若，且，求．
22．记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，.
(1)设单位向量，若与共线，且，求；
(2)当时：
（i）若，求；
（ii）求的最小值.
