(共22张PPT)
第三节 全等三角形
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
辽宁近年中考真题精选
与全等有关的证明与计算(沈阳、抚本铁辽葫近5年连续考查)
第1题图
命题点
1.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，
连接ME并延长，交BC的延长线于点D，
若BC＝4，则CD的长为_____．
2
第2题图
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.
(1)求证：△AOM≌△CON；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠AMN＝∠CNM.
∵MN垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.
∴△AOM≌△CON；
(2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为______．
第2题图
【解法提示】∵AD＝6，AB＝DC＝3，
∴AC＝ .
∵MN垂直平分AC，∴AO＝ AC＝ .
∵∠AOE＝∠ADC＝90°，∠EAO＝∠CAD，∴△AOE∽△ADC.
∴ ，即 .∴AE＝ .
3. 在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A<∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
第3题图
(1)如图①，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：________；
【解法提示】∵CO、CE分别是△ABC和△BCD的中线，∠BCA＝∠BCD＝90°，
∴OC＝OB＝OA，CE＝BE＝ED，
∴∠OBC＝∠OCB，∠EBC＝∠ECB，
∵DA＝DB，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OBC－∠EBC＝∠OCB－∠ECB，
∴∠OBD＝∠OCE，∴∠OCE＝∠OAC.
解：(1)∠OCE＝∠OAC；
第3题图①
(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N.
①如图②，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
第3题图
证明：如解图①，连接OC，
①OM＝ON.
第3题图
由(1)知∠OCE＝∠OAC，
∵∠OAN＝180°－∠BAC
∠OCM＝180°－∠OCE，
∴∠OAN＝∠OCM.
∵DA＝DB，
∴∠OAC＝∠OBD，
又∵CO是△ABC的中线，∠BCA＝90°，
∴OC＝OA.
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCE＝∠OBD，
∵∠AOC＝180°－∠OAC－∠OCA，
∠ADB＝180°－∠OAC－∠OBD，
∴∠AOC＝∠ADB.
又∵∠MON＝∠ADB，
∴∠MON＝∠AOC.
∴∠MON－∠AOM＝∠AOC－∠AOM.
第3题图
∴∠AON＝∠COM.
在△OCM和△OAN中，
∴△OCM≌△OAN.
∴OM＝ON；
第3题图
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示)．
【解法提示】当点N在CA的延长线上时，
如解图，连接OC，
∵∠CAB＝30°＝∠AON＋∠ANO，∠AON＝15°，
∴∠AON＝∠ANO＝15°，
∴OA＝AN＝ AB＝BC＝m，
第3题图
∵△OCM≌△OAN，
∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，
∵BC＝m，∠CDB＝60°，
∴BD＝ ，
∴CE＝ BD＝ ，
∴EM＝CM＋CE＝ ；
第3题图
当点N在线段AC上时，如解图③，连接OC，过点O作OH⊥AC于点H，
∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，
∴∠ONH＝15°＋30°＝45°，
∴OH＝HN＝ m，
∵AH＝ AC＝ BC＝ m，
易得△CMO≌△ANO，
∴CM＝AN＝ m－ m，
第3题解图③
∵EC＝ BD＝ ，
∴EM＝EC－CM＝ －( m－ m)＝ .
综上，线段ME的长度为 .
第3题解图③
第3题解图③
辽宁其他地市真题
4. (2023大连19题9分·源自人教八上P39练习第2题改编)如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE.
第4题图
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴AF＝DE.
5. (2022大连19题9分)如图，在 ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证： AE＝CF.
第5题图
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠E＝∠F＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF.
第5题图
性质
全等三角形
判定
判定思路
已知两边
已知一边和一角
已知两角
考点精讲
【对接教材】北师：七下第四章P92～P104、P108～P110；
人教：八上第十二章P30～P56.
性质
1.全等三角形的对应边________，对应角________
2．全等三角形的周长________，面积________
3．全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的平分线、对应的中位线都相等
判定
1. _______________________________的两个三角形全等(简写成“SSS”)
2. _______________________________的两个三角形全等(简写成“SAS”)
3. _______________________________的两个三角形全等(简写成“ASA”)
4. _______________________________的两个三角形全等(简写成“AAS”)
5. _______________________________的两个直角三角形全等(简写成“HL”)
相等
相等
相等
相等
三边分别对应相等
两边和它们的夹角对应相等
两角和它们的夹边对应相等
两角和其中一个角的对边对应相等
斜边和一条直角边对应相等
●
易错警示
1.“HL”只适用于直角三角形全等的判定；2.“SSA”“AAA”不能判定三角形全等；
3.证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上
1.已知两边
找夹角→SAS
找直角→HL或SAS
找第三边→SSS
2.已知一边和一角
3.已知两角
边为角的对边
找任意一角→AAS
已知角是直角，找一边→HL(人教独有)
边为角的邻边
找夹角的另一边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
找夹边→ASA
找任意一角的对边→AAS
判定思路(共29张PPT)
第一节 线段、角、相交线与平行线
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
角平分线的性质
1. (2023本溪15题3分)如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于
点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点
P到BD的距离为_____．
第1题图
3
2
命题点
平行线性质求角度
2. (2021抚顺铁岭3题3分)如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为
( )
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°
第2题图
C
3. (2022铁岭7题3分)如图，AB∥CD，∠1＝30°，则∠2的度数是
( )
A. 120° B. 130° C. 150° D. 135°
第3题图
C
4. (2020沈阳5题2分)如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为( )
A. 65° B. 55° C. 45° D. 35°
第4题图
B
5. (2022沈阳6题2分)如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1＝60°，则∠2补角的度数是( )
A. 60° B. 100° C. 110° D. 120°
第5题图
D
6. (2020抚顺本溪辽阳6题3分)一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 40°
第6题图
C
7. (2022葫芦岛7题3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB.若∠CDE＝165°，则∠B的度数为( )
A. 15° B. 55° C. 65° D. 75°
第7题图
D
8. (2023辽阳5题3分)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为
( )
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
第8题图
C
9. (2023抚顺7题3分)如图，分别过矩形ABCD的顶点A，D作直线l1，l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD为( )
A. 162° B. 152° C. 142° D. 128°
第9题图
C
10. (2023抚顺8题3分)一副直角三角板如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是( )
A. 15° B. 25° C. 45° D. 60°
第10题图
A
11. (2020铁岭葫芦岛8题3分)一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是( )
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
第11题图
B
12. (2020辽宁13题3分)如图，直线a∥b，△ABC的顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1＝60°，∠ACB＝40°，则∠2的度数是______．
第12题图
20°
13. (2022本溪13题3分)如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为_______．
第13题图
54°
14. (2022辽阳13题3分)将一张矩形纸条与一块三角板如图放置，若∠1＝36°，则∠2＝_______°.
第14题图
126
15. (2023本溪12题3分)如图，两张矩形纸条交叉重叠在一起，若∠1＝50°，则∠2的度数为_______．
第15题图
130°
辽宁其他地市真题
16. (2020营口4题3分)如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为( )
第16题图
A. 66° B. 56° C. 68° D. 58°
D
17. (2023丹东5题3分)如图，直线l1∥l2，则α＝( )
A. 160° B. 150° C. 140° D. 130°
第17题图
D
18. (2022锦州5题2分)如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝52°，则∠2的度数为( )
A. 92° B. 98° C. 102° D. 108°
第18题图
B
19. (2023锦州5题2分)一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD的度数为
( )
A. 180° B. 270° C. 300° D. 360°
第19题图
B
20. (2021朝阳6题3分)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 45° B. 65° C. 75° D. 85°
第20题图
C
3
命题点
命题与定理(辽宁2020.5)
21. (2020辽宁5题3分)下列命题正确的是( )
A. 圆内接四边形的对角互补
B. 平行四边形的对角线相等
C. 菱形的四个角都相等
D. 等边三角形是中心对称图形Ｋ
A
对顶角的性质
线段的垂直平分线
邻补角的性质
垂线
相交线
角平分线
性质
逆定理
直线与线段
直线的基本事实
线段的基本事实
线段的和与差
线段的中点
两点间的距离
角
角的换算
余角
补角
平行线
基本事实
推论
平行线的
判定与性质
命题与定理
命题
真命题
假命题
互逆命题
定理
线段、角、
相交线
与平行线
考点精讲
【对接教材】北师：七上第四章P106～P121，
七下第二章P38～P54，
八上第七章P162～P177，
八下第一章P22～P32；
人教：七上第四章P125～P141，
七下第五章P1～P27，
八上第十二章P48～P52、第十三章P60～P61.
直线与线段
直线的基本事实：_______________________
线段的基本事实：_______________________
线段的和与差：如图1，在线段AC上取一点B，则有：AB＋______＝AC；AB＝______－BC；
BC＝AC－_______
线段的中点：如图2，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，
即有AM＝________＝ AB
两点间的距离：连接两点间的线段的长度
图1
图2
两点确定一条直线
两点之间线段最短
BC
AC
AB
BM
角的换算：1°＝______′，1′＝______″(度、分、秒之间是60进制)
定义：________________________________________________
性质：同角(等角)的余角相等
定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角
性质：_________________________
角
余角
补角
性质：__________________________________．如图3，
若DE⊥OA，DF⊥OB，且∠1＝∠2，则DE_____DF
逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．如图3，若DE⊥OA，DF⊥OB，且DE＝DF，则∠1＝∠2
角平分线
图3
60
60
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角
同角(等角)的补角相等
角平分线上的点到角的两边的距离相等
＝
对顶角的性质：_____________，如图4，∠1＝_____
邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和等于______，如图4，∠1＋∠2＝_______
1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短
3．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的________的长度(人教独有)
相交线
垂线
线段的垂直平分线(北师独有)
图4
定理：_________________________________________
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上
对顶角相等
∠3
180°
180°
垂线段
垂线段
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
垂直平分线
基本事实：经过直线外一点，有且只有_____条直线与这条直线平行
推论：平行于同一条直线的两条直线_______
平行线
平行线的判定与性质
同位角________ 两直线平行
内错角相等 两直线________
同旁内角________ 两直线平行
1.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.两条平行线之间的距离处处相等
●
满分技法
一
平行
相等
互补
平行
命题：判断一件事情的语句
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两
个命题叫做互逆命题
定理：有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理
命题与定理(共19张PPT)
第四节 相似三角形
(含位似)
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
辽宁近年中考真题精选
与相似三角形有关的计算
1
命题点
1. (2023沈阳7题2分)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A. 3∶5 B. 9∶25 C. 5∶3 D. 25∶9
C
第2题图
2. (2022本溪17题3分)如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为
________．
第3题图
辽宁其他地市真题
3. (2022盘锦9题3分)如图，已知在 ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是( )
A. FA∶FB＝1∶2 B. AE∶BC＝1∶2
C. BE∶CF＝1∶2 D. S△ABE∶S△FBC＝1∶4
C
第4题图
4. (2023鞍山16题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠A＝2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE＝4，则BE·DE＝_____．
20
第5题图
位似
2
命题点
5. (2021沈阳7题2分)如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA∶OA1＝1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶
A
6. (2023抚顺14题3分)如果把两条直角边的长分别为5，10的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的面积是______．
9
7. (2022铁岭17题3分)如图，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，顶点C，D在第二象限内．以原点O为位似中心，将正方形ABCD放大为正方形A′B′C′D′，若点B′的坐标为(2，0)，则点D′的坐标为________．
第7题图
(4，－2)
8. (2020辽宁14题3分)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)．以点O为位似中心，相似比为 ，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是__________________．
第8题图
(2，4)或(－2，－4)
辽宁其他地市真题
9. (2020朝阳18题6分)如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－1，3)，C(－1，1)，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
第9题图
解：(1)画出△A1B1C1如解图；
A1
B1
C1
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2∶1.
(2)画出△A2B2C2如解图．
第9题图
A2
B2
C2
相似三角形
的性质与判定
比例的基本性质
平行线分
线段成比例
黄金分割
比例线段
相似多边形
定义
性质
图形的位似
性质
位似作图的
基本步骤
平面直角坐标系
中的位似变换
相似三角形
（含位似）
考点精讲
【对接教材】北师：九上第四章P75～P123；
人教：九下第二十七章P23～P59.
比例线段
比例的基本性质
性质1： ad＝____(abcd≠0)
性质2(合比性质)： ＝
______
性质3(等比性质)：如果 (b＋d＋…＋n≠0)，那么 (北师独有)
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 ，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即
平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
相似三角形的性质与判定
性质
判定
1.相似三角形的对应角______
2．相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)______
3．相似三角形的周长比等于________，面积比等于_______
_______
1._______对应相等的两个三角形相似
2．两边对应成比例且_______相等的两个三角形相似
3．______对应成比例的两个三角形相似
4．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似(人教独有)
相等
成比例
相似比
相似比
两角
夹角
三边
的平方
相似三角形的性质与判定
判定思路
有平行截线——用平行线的性质，找等角
另一对等角
角的相邻两边对应成比例
夹角相等
第三边也对应成比例
有一对等角，找
有两边对应成比例，找
相似三角形的常见模型详见本书P117微专题常考相似模型
相似多边形
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，对应边________，那么这两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比
性质
1.相似多边形的对应角_______，对应边________
2．相似多边形的周长比等于________，面积比等于_______
_______
成比例
相等
成比例
相似比
相似比
的平方
图形的位似
性质
平面直角坐标系中的位似变换：若一个图形与原图形位似，位似中心是原点，且位似比为|k|(k≠0)，那么这个图形的每个顶点的横、纵坐标都等于原图形对应顶点的坐标乘以k或－k
1.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________，面积比等于位似比的平方
2．对应点的连线或延长线相交于同一点
3．对应边平行或在同一条直线上
4．位似图形对应角相等
位似比
1.确定位似中心和位似比
2.确定原图形的关键点
3.以位似中心为端点向各关键点作射线，分别在射线上根据位似比确定各关键点对应点的位置
4.按原图顺次连接所作的各个对应点，可得所求图形
图形的位似
位似作图的基本步骤(共37张PPT)
第二节 三角形及其性质
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
三角形的边角关系
1. (2023铁岭7题3分)如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，
则∠A的度数是( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 80°
第1题图
B
2. (2021本溪辽阳葫芦岛8题3分)一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是( )
A. 80° B. 95° C. 100° D. 110°
第2题图
B
辽宁其他地市真题
3. (2023锦州5题2分)如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为( )
A. 45° B. 55°
C. 60° D. 75°
第3题图
A
2
命题点
三角形中的重要线段
4. (2022葫芦岛9题3分)如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为( )
A. 4 B. 8 C. D.
第4题图
D
5. (2023铁岭7题3分)如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是( )
A. DE＝DF B. EF＝ AB
C. S△ABD＝S△ACD D. AD平分∠BAC
第5题图
C
辽宁其他地市真题
6. (2020锦州13题3分)如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6.则△ABC的周长为______．
第6题图
12
7. (2021锦州13题3分)如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD.则AB的长为________．
第7题图
3
命题点
等腰三角形的性质与判定
8. (2023抚顺7题3分)若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
C
9. (2022本溪17题3分)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B(8，7)，D(5，0)，点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当
△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为_____________．
第9题图
辽宁其他地市真题
10. (2022阜新14题3分)如图，将等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC＝8，那么线段AE的长度为______．
第10题图
5
11. (2021朝阳15题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若
△MAP为等腰三角形，则点P的坐标_______________________．
第11题图
4
命题点
等边三角形的性质与判定
12. (2022沈阳16题3分)如图，△ABC是等边三角形，AB＝ ，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝
60°，∠AHC＝90°时，DH＝________．
第12题图
5
命题点
直角三角形的性质与判定(辽宁2020.8；沈阳、铁岭、葫芦岛3考；本溪2考；辽阳4考)
13. (2020辽宁8题3分·源自北师八上P15习题1.4第5题改编)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．
问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面
是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一
根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水
池一边的中点， 它的顶端恰好到达池边的水面．
第13题图
水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为( )
A. x2 ＋102 ＝(x＋1)2
B. (x－1)2＋52 ＝x2
C. x2＋52＝(x＋1)2
D. (x－1)2＋102＝x2
第13题图
B
14. (2022辽阳17题3分)如图，将一副三角板拼成四边形ABCD，点E为AB边的中点，AB＝4，则点D与点E的距离是_______．
第14题图
15. (2022沈阳16题3分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线．点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O.若
△OMN是直角三角形，则DO的长是________．
第15题图
16. (2023葫芦岛17题3分)如图，点A(0，8)，点B(4，0)，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是___________________．
第16题图
17. (2023营口7题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是( )
A. ∠ECD＝112.5° B. DE平分∠FDC
C. ∠DEC＝30° D. AB＝ CD
辽宁其他地市真题
第17题图
C
三角形
的分类
按边分
按角分
边角关系
边的关系
边角关系
角的关系
三角形中的
重要线段
中线
高线
角平分线
中位线
等腰三角形
性质
面积
判定
等边三角形
性质
面积
判定
直角三角形
性质
面积
判定
等腰直角三角形
性质
面积
判定
三角形
及其性质
考点精讲
【对接教材】北师：七下第四章P81～P91，
八上第一章P1～P19、第七章P178～P183，
八下第一章P2～P21、第六章P150～P152；
人教：八上第十一章P2～P18、第十三章P75～P84，
八下第十七章P21～P39.
三角形的分类
按边分
按角分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底≠腰的等腰三角形
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
斜三角形
边角关系
边的关系： ； ,
三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和,
三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角,边角关系
角的关系
内外角关系
内角和定理：三角形的内角和为 ,
同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，小边对小角
边角关系：
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
180°
等于
大于
四线 图形 性质 结论/应用
中线 AD是△ABC的中线 BD＝ ＝ BC 中线将三角形分为面积相等的两部分，即S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC
高线 AD是△ABC的高线 AD⊥ ，即∠ADB＝∠ADC＝ _____ 常应用高线中的互余角或作三角形高线求三角形面积或构造直角三角形利用勾股定理来解题
三角形中的重要线段
CD
BC
90°
四线 图形 性质 结论/应用
角平分线 AD平分∠BAC ∠1＝____＝____ ∠BAC 角平分线上的点到角两边的距离相等，可过角平分线上的点向角两边作垂线，证明线段相等或构造全等三角形
中位线 DE是△ABC的中位线 DE∥BC且DE＝__ BC， S△ADE＝___S△ABC 遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用中位线性质求解
三角形中的重要线段
∠2
等腰三角形
1.两腰相等
2.两底角相等
3.底边上的 、 及 相互重合(简称“三线合一”)
4.是轴对称图形，有1条对称轴(不包含等边三角形),
性质
判定
面积：S＝ (a是底边长，h是底边上的高)
1.有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)
2.有两个角相等的三角形是等腰三角形
中线
高线
顶角角平分线
面积：S＝ ah＝ a2(a是边长，h是任意边上的高)
等边三角形
性质
判定
1.三条边相等
2.三个角相等，且各角都等于
3.是轴对称图形，有3条对称轴
1.三边相等的三角形是等边三角形(定义)
2.三个角都相等的三角形是等边三角形
3.有一个角是60°的 三角形是等边三角形
60°
等腰
直角三角形
1.两个锐角互余，即在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则∠A＋∠B＝______
2.斜边上的中线等于_____________
3.30°角所对的直角边等于_____________
4.勾股定理：若直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则_____________
5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 (应用时需证明)
性质
90°
斜边的一半
斜边的一半
a2＋b2＝c2
30°
直角三角形
判定
1.有一个角为90°的三角形是直角三角形(定义)
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，
______那么这个三角形是直角三角形
4.一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(应用时需证明)
面积：S＝ ＝ ch(a，b为两条直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)
a2＋
b2＝c2
等腰直角三角形
性质
判定
1.两直角边相等
2.两锐角相等且都等于_____
3.是轴对称图形，有1条对称轴（斜边上的高线所在直线）
4.“三线合一”
1.顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
2.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
3.有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形
4.两边相等的直角三角形是等腰直角三角形
面积：S＝ a2＝ ch＝ ah（a为直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高）
45°
重难点分层练
回顾必备知识
例1 已知△ABC，点D是BC上一点，连接AD.
(1)若AC＝3，BC＝4，则线段AB的长的取值范围为________；
(2)若∠B∶∠C∶∠CAB＝5∶6∶7，则∠CAB的度数为______；
(3)若∠CDA＝110°，∠DAB＝40°，则∠B的度数为_______；
(4)若AD是△ABC的高线，AB＝4，BD＝3，∠CAD＝30°，则AC的
长为________；
1＜AB＜7
70°
70°
一题多设问
(5)若AD是边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝6，则△ABC的周长为_____；
(5)【解题依据】用到的线段垂直平分线的性质为__________________
____________________________.
(6)若AD是∠BAC的平分线，AB＝6，AC＝5，S△ABD＝9，则△ABC
的面积为________；
线段垂直平分线上
(6)【解题依据】用到的角平分线的性质为________________________
______________.
16
角平分线上的点到角两边
的点到线段两端点的距离相等
的距离相等
(7)若AD是△ABC的中线，S△ABD＝6，AB＝6，则点C到AB的距离为_____；
(7)【解题依据】用到的中线的性质为___________________________
_______________.
(8)点E在AC上，连接DE，点D，E分别是BC，AC的中点．若∠C＝50°，∠CDE＝70°，则∠BAC的度数为______．
(8)【解题依据】用到的中位线的性质为__________________________.
4
中线将三角形分成面积相等的
60°
三角形的中位线平行于第三边
两个小三角形
例2 如图①，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，DE.
(1)若∠BAC＝50°，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠B的度数为______，∠EDC的度数为_____；
(2)在△ABC中，若一边长为3，一边长为5，则△ABC的周长为________；
(3)若AB＝10，BC＝16，则△ABC面积为_____，
AB边上高为______；
例2题图①
一题多设问
65°
20°
11或13
48
(4)如图②，若AD为BC边上的中线，DE⊥AC，AB＝13，BC＝10，点
D到AB的距离为________；
(4)【解题依据】用到等腰三角形性质为____________
________________________________________.
(5)若AD平分∠BAC，DE∥AB，
求证：△ADE为等腰三角形．
例2题图②
等腰三角形
(5)证明：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC，
底边上的中线，高线，顶角平分线三线合一
(5)【解题依据】用到等腰三角形判定依据为______________________
____________.
又∵DE∥AB，
∴E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴在Rt△ADC中，DE＝ AC＝AE＝EC，
∴△ADE为等腰三角形．
两条边相等的三角形是
例2题图②
等腰三角形
例3 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD.
(1)若CD⊥AB，∠B＝36°，则∠ACD的度数为______；
(2)若点D是AB的中点，BC＝6，AC＝3，则AB的长为______，CD的
长为______；
(3)延长BC至点E，连接AE，若BC＝5，EC＝ ，AC＝3，则∠BAE的度数为_____．
36°
90°(共42张PPT)
第五节 锐角三角函数及其应用
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
辽宁近年中考真题精选
直角三角形的边角关系
A.
B. 4
C.
D.
1
命题点
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
D
第1题图
2. 今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航
到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°
方向，相距150海里处的C点有一可疑船只
正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°
方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即
锐角三角函数的实际应用(抚本铁辽葫近5年连续考查)
2
命题点
类型一 “母子型”及拓展
第2题图
从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截住可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．
(1)求B点到直线CA的距离；
解：(1)如解图，过点B 作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
第2题图
H
∵∠MBC＝60°，
∴∠CBA＝30°.
∵∠NAD＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，
∴BH＝BC·sin∠BCA＝150× ＝75海里．
答：B点到直线CA的距离为75海里；
第2题图
H
(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)
(2)∵BD＝75 ，BH＝75，
∴DH＝ ＝75.
∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝ ＝ ，
∴AH＝25 .
∴AD＝DH－AH＝(75－25 ) 海里．
答：执法船从A到D航行了(75－25 )海里．
第2题图
H
3.如图，学校教学楼上悬挂一块长为3米的标语牌，即CD＝3米，数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部D点到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2米，小明在E处测得标语牌底部D点的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部C点的仰角为45°，AB＝5米，依据他们测量的数据能否求出标语牌
底部D点到地面的距离DH的长？若能，请计算；
若不能，请说明理由(图中A，B，C，D，E，F，
H在同一平面内)．(参考数据：tan31°≈0.60
，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)
第3题图
解：能．
如解图，延长EF交CH于点N，
第3题图
N
∵∠CFN＝45°，∠DEN＝31°，∠CNF＝90°，
∴∠FCN＝90°－45°＝45°.
∴CN＝FN.
设DN＝x，则FN＝CN＝x＋3，
∴EN＝FN＋EF＝x＋3＋5＝x＋8.
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝ ，
第3题图
N
∴DN＝EN·tan31°≈0.6EN，
∴x≈0.6(x＋8)，解得x≈12.
∴DH＝DN＋NH≈12＋1.2＝13.2米．
答：标语牌底部D点到地面的距离DH的长约为13.2米．
第4题图
4. 如图为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，B、A在C的正东方向，D在C的正北方向，D、E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C、D相距1000 m，E在BD的中点处．
(1)求景点B、E之间的距离；
解：(1)由题意知∠DCB＝90°，∠D＝30°，CD＝1000 ，
∴BD＝ ＝2000.
又∵E是BD的中点，
∴BE＝ BD＝1000 m.
答：景点B、E之间的距离是1000 m；
第4题图
(2)求景点B、A之间的距离．(结果保留根号)
(2)如解图，过点E作EF⊥AC于点F，
第4题图
F
∵E是BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线．∴EF＝ CD＝500 .
∵在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
∴AF＝EF＝500 .
∵在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，
∴BF＝ ＝500，∴AB＝AF－BF＝(500 －500)m.
答：景点B、A之间的距离是(500 －500)m.
类型二 “背对背型”及拓展类型
(抚顺、辽阳3考；本溪2考；铁岭近5年连续考查，葫芦岛4考)
5如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为______米．(参考数据：
≈1.73，结果精确到0.1米)
第5题图
54.6
6. 景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A去景点B必须经过C才能到达．现测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C处的北偏东75°方向．
(1)求景点B和C处之间的距离；(结果保留根号)
第6题图
解：(1)如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
D
在Rt△ACD中，AC＝600，∠A＝30°，
∴CD＝ AC＝300，
则∠ADC＝∠BDC＝90°，
由题意知∠B＝75°－30°＝45°，
∴BC＝ 米，
答：景点B和C处之间的距离为 米；
第6题图
D
(2)当地政府为了便捷游客游览，计划修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥，大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？
(结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
(2)在Rt△ACD中，AC＝600，∠A＝30°，
∴AD＝600×cos30°＝300 ，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝300，
∴AB＝AD＋BD＝300 ＋300，
第6题图
D
∴AC＋BC－AB＝600＋300 －(300 ＋300)＝300＋300 －300 ≈300＋424.2－519.6≈205米，
答：从景点A到景点B比原来少走约205米．
第6题图
D
第7题图
7.如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．(点A，B，C，M在同一平面内)
(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；
(结果保留根号)
解：(1)∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60米，∠ACM＝30°，tan∠ACM＝ ，
∴AM＝CM·tan30°＝60× ＝20 米．
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20 米；
第7题图
(2)求大桥主架在水面以上的高度AB.(结果精确到1米)
(参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25， ≈1.73)
(2)在Rt△BMC中，CM＝60米，
∠BCM＝14°，tan∠BCM＝ ，
∴MB＝CM·tan14°≈60×0.25＝15米，
∵AB＝AM＋MB，
∴AB＝20 ＋15≈50米．
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
第7题图
8. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8 m/s的速度飞行15 s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E，测得点B的俯角为37°.
(1)求无人机的高度AC(结果保留根号)；
第8题图
解：(1)根据题意得CD＝8×15＝120，∠ADC＝60°，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝ ，
∴AC＝CD·tan∠ADC＝120×tan 60°＝120 m.
答：无人机的高度AC为120 m；
第8题图
(2)求AB的长度(结果精确到1 m)．
(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.73)
(2)如解图，过点B作BF⊥CE于点F，
第8题图
F
则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，CF＝AB，
∵在Rt△BEF中，tan∠BEF＝ ，
∴EF＝
∵CE＝8×(15＋50)＝520 m，
∴AB＝CF＝CE－EF≈520－276.8≈243 m.
答：隧道AB的长度约为243 m.
F
第8题图
9. 如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P处，也可以通过滑行索道到达景点Q处．在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°.(图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上)
(1)求∠CAP的度数及CP的长度；
第9题图
解：(1)∵CP∥AB，∠ACP＝75°，
∴∠EAC＝∠ACP＝75°.
∵∠PAB＝30°，
∴∠CAP＝180°－∠EAC－∠PAB＝75°.
如解图，过点A作AD⊥CP于点D，
第9题图
D
∵CP∥AB，
∴AD＝CE＝100，∠APD＝∠PAB＝30°，
∴AP＝2AD＝200.
∵∠PCA＝∠PAC＝75°，∴CP＝AP＝200米．
答：∠CAP的度数为75°，CP的长度为200米；
(2)求P，Q两点之间的距离．(结果保留根号)
(2)如解图，过点Q作QF⊥CP于点F，
第9题图
F
∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，
∴CQ＝PQ，PF＝ PC＝100.
∴PQ＝ 米．
答：P，Q两点之间的距离为 米．
10. 如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目 测量数据
测角仪到地面的距离 CD＝1.6 m
点D到建筑物的距离 BD＝4 m
从C处观测建筑物顶部A的仰角 ∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角 ∠BCE＝22°
第10题图
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．(结果精确到0.1米．参考数据： sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)(选择一种方法解答即可)
解：选择CD＝1.6 m，BD＝4 m，∠ACE＝67°，这3个测量数据．
根据题意，四边形BDCE为矩形，
∴CE＝BD＝4 m，BE＝CD＝1.6 m，
第10题图
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝ ，
∴AE＝CE·tan∠ACE＝4×tan67°≈4×2.36＝9.44 m，
∴AB＝AE＋BE＝9.44＋1.6＝11.04≈11.0 m，
答：建筑物AB的高度约为11.0 m.
第10题图
类型三 实物模型(本溪2考)
11. 小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30 cm，CE∶CD＝1∶3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根
据以上信息，解决下列问题：
(1)求AC的长度；(结果保留根号)
第11题图
解：(1)如解图，过点F作FG⊥DE于点G，
第11题图
G
∴∠FGD＝∠FGC＝90°.
在Rt△DGF中，∠CDF＝30°，
∴FG＝FD·sin30°＝30× ＝15，
∴DG＝FD·cos30°＝30× ＝15 .
在Rt△CGF中，∠DCF＝45°，
∴CG＝FG＝15，
∴CD＝CG＋DG＝15＋15 .
∵CE∶CD＝1∶3，
∴CE＝ CD＝ ×(15＋15 )＝5＋5 ，
∴DE＝EC＋CD＝5＋5 ＋15＋15 ＝20＋20 .
∵DE＝BC＝AB，
∴AC＝AB＋BC＝2DE＝2(20＋20 )＝(40＋40 )cm.
答：AC的长度是(40＋40 ) cm；
第11题图
G
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离．(结果保留根号)
(2)如解图，过点A作AH⊥ED交ED延长线于点H，
第11题图
H
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴AH＝AC·sin45°＝(40＋40 )× ＝(20 ＋20 )cm.
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离是(20 ＋20 ) cm.
定义
特殊角的三
角函数值
解直角三角
形的常用关系
三边关系
面积关系
两锐角关系
边与角关系
锐角三角函数
的实际应用
仰角、俯角
近似数
坡度(坡比)、坡角
方向角
锐角三角函数
考点精讲
【对接教材】北师：九下第一章P1～P27；
人教：七上第一章P45～P48，
九下第二十八章P60～P85.
定义：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有：
∠A的正弦：sinA＝ ；
∠A的余弦：cosA＝ ；
∠A的正切：tanA＝ ,
图1
α
30° 45° 60°
sinα _____ cosα _____ tanα _____ 三
角
函
数
三
角
函
数
值
特殊角的三角函数值
α
0°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1， ， ；30°，45°，60°角的余弦值, 是60°，45°，30°角的正弦值
特殊角的三角函数值
●
满分技法
解直角三角形的常用关系(如图2)
解直角三角形时，在两个锐角和三条边这五个条件中，必须知道两个独立的条件，且两个条件中至少有一个条件是边
三边关系 a2＋b2＝_____(勾股定理)
两锐角关系 ∠A＋∠B＝_____
边与角关系
sinA＝cosB＝_____；cosA＝sinB＝_____；
tanA＝_____；tanB＝_____
面积关系 S△ABC＝ ab＝ ch(h为斜边AB上的高)
图2
c2
90°
锐角三角函数的实际应用
1.仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角(如图3)
2．坡度(坡比)、坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．如图4，
i＝tanα＝______
图3
图4
锐角三角函数的实际应用
3．方向角：如图5，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东_____方向，C点位于O点的_________
45°方向或西北方向
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南向指南偏西45°方向
4．近似数：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 .例如：3.146米精确到0.01米是______米，精确到1米是_____米
3.15
3
60°
北偏西
图5
