(共30张PPT)
第三节 菱 形
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
辽宁近年中考真题精选
命题点
与菱形有关的证明与计算
类型一 菱形性质的计算
(沈阳、本溪、辽阳、葫芦岛3考； 抚顺、铁岭2考)
1. (2022铁岭9题3分·源自北师九上P9习题1.3第3题改编)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于点E，则AE的长是( )
A. 4 B. C. 5 D.
第1题图
B
2. (2020抚顺本溪辽阳9题3分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是( )
A. 2 B. C. 3 D. 4
第2题图
B
3. (2022葫芦岛14题3分)如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为________．
4. (2023本溪17题3分)菱形ABCD中，AB＝5，AE是BC边上的高，AE＝4，则对角线BD的长为____________．
第3题图
(2，－3)
4 或2
5. (2021沈阳18题8分)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝ BC，DN＝ DC. 连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E.
(1)求证：△ABM≌△ADN；
第5题图
(1)证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD.
∵ BM＝ BC，DN＝ DC，
∴ BM＝ DN. ∴ △ABM≌△ADN(SAS)；
(2)若AD＝4，则ME的长是________．
【解法提示】∵ 四边形ABCD是菱形，AD＝4，
∴ AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝4.
∴ △CNE∽△BAE.
∴ ＝ .
∴ BM＝ BC＝3，DN＝ CD＝3.
∴ MC＝NC＝1. ∴ ＝ .
∴ CE＝ . ∴ ME＝MC＋CE＝1＋ ＝ .
第5题图
6. (2022沈阳18题8分·源自人教八下P67复习题18第5题改编)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
第6题图
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是______．
4
第6题图
【解法提示】由(1)知四边形OCED是矩形，
∴OD＝CE＝1，OC＝DE＝2.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OD＝2，AC＝2OC＝4，
∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×4×2＝4.
7. (2023沈阳18题8分·源自北师九上P9习题1.3第1题改编)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
第7题图
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE.
第7题图
辽宁其他地市真题
8. (2021朝阳9题3分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则
的值为( )
A. B. C. D.
第8题图
A
9. (2020营口16题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为________．
第10题图
10. (2023丹东13题3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN，若MN＝1，BD＝2 ，则菱形的周长为________．
第9题图
4
8
类型二 菱形判定的证明与计算
第11题图
11. (2023沈阳14题3分·源自北师九上P9习题1.3第4题改编)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2 ，则四边形EGFH的周长是________．
4
12. (2023抚顺20题12分)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD.
(1)求∠AOD的度数；
(1)解：∵AE∥BF，
∴∠BAE＋∠ABF＝180°，
∵AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，
∴∠BAO＝ ∠BAE，∠ABO＝ ∠ABF，
∴∠AOD＝∠BAO＋∠ABO＝ ∠BAE＋ ∠ABF＝ ×180°＝90°；
第12题图
(2)求证：四边形ABCD是菱形．
第12题图
(2)证明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，
同理可证：AB＝AD，
∴AD＝BC，
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
13. (2022本溪21题12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
第13题图
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
第13题图
又∵AB＝BC，∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
(2)解：∵在菱形ABCD中，DA＝AB＝BC＝CD＝5，
∴∠DBC＝∠BDC，
∵DE⊥BD，
∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°，
∴∠E＝∠CDE，
∴CE＝CD＝5，
∴BE＝10，
第13题图
第13题图
又∵在Rt△BDE中，BD＝8，
∴由勾股定理得DE＝ ＝ ＝6，
∴四边形ABED的周长为AB＋AD＋DE＋BE＝5＋5＋6＋10＝26.
判定
面积
性质
边
角
对角线
对称性
菱 形
考点精讲
【对接教材】北师：九上第一章P2～P10；
人教：八下第十八章P55～P58.
性质
1.边
四条边相等
对边平行
2.角：对角相等
3．对角线
对角线互相__________
每一条对角线平分一组对角(人教独有)
4．对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有______条对称轴(不包括正方形)
判定
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3．四条边相等的四边形是菱形
面积：S＝_______(m，n分别表示两条对角线的长)
垂直平分
2
重难点分层练
例1 ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
一题多设问
(1)添加一个条件__________，可使平行四边形ABCD为菱形；
【判定依据】_______________________________________________．
AC⊥BD
对角线互相垂直的平行四边形为菱形
或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB；
【判定依据】一组邻边相等的平行四边形为菱形
(2)若点E、F分别是OA、OC的中点，且AC⊥BD，则四边形BEDF是______形．
【判定依据】_______________________________________________．
菱
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
例2 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
一题多设问
(1)若∠ABC＝110°，则∠ACD＝________°；
(2)若菱形ABCD的周长为4，∠BCD＝60°，那么菱形的对角线BD的长为________；
(3)若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为_______________；
(4)若AB＝3，BD＝2，则菱形ABCD的面积为_____________；
(5)若 ＝ ，则sin∠DAB的值为________．
35
1
52
4
提升关键能力
例3 在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°.
一题多设问
(1)如图①，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC线段上，EF与CD交于点P，则DP的长是________；
例3题图①
－1
(2)如图②，点H为AD的中点，连接HC，将菱形ABCD翻折，使点A落在CH上点I处，折痕交AB于点L，线段IC的长为________；
例3题图②
－1
(3)如图③，AC、BD交于点O，点N是对角线AC所在直线上一点，且AN＝AD，直线DN交直线BC于点P，求CP的长．
例3题图③
(3)解：如图③，当点N在线段AC上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AB＝BC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∴AD＝AB＝BD＝2，
∴OB＝OD＝1，
∴OA＝ ，∴AC＝2OA＝2 ，
例3题解图④
∵AN＝AD，
∴CN＝AC－AN＝2 －2，∠AND＝∠ADN＝∠CNP，
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠CPN，
∴∠CNP＝∠CPN，
∴CP＝CN＝2 －2；
如解图④，当点N在CA的延长线上时，
CP＝CN＝AC＋AN＝2 ＋2.(共19张PPT)
第二节 矩 形
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
辽宁近年中考真题精选
命题点
与矩形有关的证明与计算
1. (2023抚顺10题3分)如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E，若AB＝3，则△AEC的面积为( )
A. 3 B. 1.5 C. 2 D.
第1题图
D
2. (2023辽阳14题3分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．
第2题图
3. (2022葫芦岛16题3分)如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(4，3)，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为________．
第3题图
5
(0， )
4. (2022葫芦岛17题3分)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF，且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G，若 ＝ .则 ＝________．
第4题图
5. (2022铁岭21题12分)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE.
(1)求证：四边形ADBE是平行四边形；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴DA∥BE，
∵BE＝BC，∴DA＝BE，
∴四边形ADBE为平行四边形；
第5题图
(2)若AB＝4，OB＝ ，求 ADBE的周长．
第5题图
(2)解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB⊥AD，OD＝OB＝ ，
∴BD＝5，
∴AD＝ ＝ ＝3，
∴ ADBE的周长为2(AD＋DB)＝2×(3＋5)＝16.
辽宁其他地市真题
6. (2020朝阳7题3分)如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点(点D与点B、点C不重合)，则 的值为( )
A. 1 B. C. 2 D. 无法确定
第6题图
A
7. (2023丹东7题3分)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为
( )
A. 3 B. 4 C. 2 D. 3
第7题图
C
8. (2023鞍山8题3分)如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝ .其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第8题图
A
9. (2021营口16题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝ ∠EDC，则CF＝________．
第9题图
6
判定
面积
性质
边
角
对角线
对称性
矩 形
考点精讲
【对接教材】北师：九上第一章P11～P19；
人教：八下第十八章P52～P55.
性质
1.边：对边平行且相等
2．角：四个角都是直角
3．对角线：对角线相等且互相________
4．对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有______条对称轴(不包括正方形)
判定
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)
2．对角线相等的平行四边形是矩形
3．有________个角是直角的四边形是矩形
面积：S＝________(a，b分别表示长和宽)
平分
2
三
ab
重难点分层练
回顾必备知识
例3 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
一题多设问
(1)请添加一个条件___________________________________________
____________________________________________________________，使四边形ABCD为矩形；
【判定依据】________________________________________________;
(或∠ABC、∠BCD、∠ADC、∠BAD四个角中任意三个等于90°)
∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°
有三个角是直角的四边形是矩形
(2)若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件________________
______(写出一个即可)，使平行四边形ABCD为矩形．
【判定依据】________________________________________________;
AC＝BD(答案不
唯一)
对角线相等的平行四边形为矩形
例2 在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6.
一题多设问
(1)若BC＝8，则BD的长为________；
(2)若∠AOD＝120°.
①∠ACB的度数为________；
②矩形ABCD的面积为________；
③矩形ABCD的周长为___________；
(3)以点B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向建立平面直角坐标系，若BD＝10，则点O的坐标为________．
10
30°
36
12＋12
(4，3)
提升关键能力
例3 在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.
一题多设问
(1)如图①，点E是线段AB的中点，点F是线段AD上的动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′.连接A′C，则A′C长度的最
小值为_________________．
例3题图①
(2)如图②，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′ ，点B的
对应点B′落在直线CD上，连接DD′ ，则DD′的长度为____________．
例3题图②
例3题图③
(3)如图③，点F在对角线AC上，连接DF，作DF⊥FG，垂足为F，直
线FG交线段BC于点G，则 的值为________．
或
满分技法
在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．在折叠问题中，常利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹，相关方法见P152 微专题 隐形圆在解题中的应用．(共20张PPT)
第四节 正方形
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
辽宁近年中考真题精选
命题点
与正方形有关的证明与计算
1. (2023抚顺9题3分)如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，
则需添加的条件是( )
第1题图
A. AB＝CD，AB⊥CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB＝CD，AC⊥BD D. AB＝CD，AD∥BC
A
2. (2022沈阳16题3分)已知：如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在边DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于
点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________．
第2题图
3. (2021沈阳16题3分)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5.四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1.P是线段DE上一点，且PD ＝ DE. 过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G，
H，则GH 的长是________．
第3题图
或
平行四边形,矩形,菱形,
正方形之间的关系
中点四边形
定义
常见结论
正方形
性质
判定
面积
正方形与
中点四边形
考点精讲
【对接教材】北师：九上第一章P20～P29；
人教：八下第十八章P58～P69.
正方形
性质
1.边四条边相等,对边平行
2.角：四个角都是直角
3.对角线对角线相等且互相垂直平分,对角线平分一组对角
4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有 条对称轴
●
满分技法
正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形和矩形的一切性质
4
正方形
判定
1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义）
2.有一组邻边相等的 是正方形（北师独有）
3.对角线互相垂直的矩形是正方形（北师独有）
4.有一个角是直角的 是正方形（北师独有）
5.对角线相等的菱形是正方形（北师独有）
6.对角线互相 的四边形是正方形
面积：S＝a2（a表示正方形边长）＝ （m表示对角线的长）
矩形
菱形
垂直平分且相等
中点四边形
1. 定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形
2. 常见结论：
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系：
相等
直角
直角
相等
重难点分层练
回顾必备知识
例1 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
一题多设问
(1)已知AB＝AD，请添加一个条件____________(写出一个即可)，使平行四边形ABCD为正方形；
【判定依据】______________________________________________
__________________________________________________________．
∠ABC＝90°
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形
是正方形
(2)请添加一个条件________________________________________(写出一个即可)，使矩形ABCD为正方形；
【判定依据】______________________________________________．
(3)请添加一个条件__________________________________________
____________(写出一个即可)，使菱形ABCD为正方形．
【判定依据】______________________________________________．
AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD
有一组邻边相等的矩形是正方形
AC⊥BD，【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形．
∠ABC＝90°或∠DAB＝90°或∠BCD＝90°或
有一个角是直角的菱形是正方形
AC＝BD，【判定依据】对角线相等的菱形是正方形
∠ADC＝90°
例2 四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
一题多设问
(1)∠AOD的度数为________；
(2)若AB＝1，则AC的长为________；
(3)若AC＝4 ，则正方形ABCD的面积为____，正方形的周长为____；
(4)若∠DBC的平分线BE交AC与点F，AB＝3，则∠BFC＝________°，
＝________；
(5)点G是AC上一点，延长BG交正方形ABCD的边于点H，若AB＝4，OG＝ ，则CH的长为________．
90°
16
16
112.5
－1
或
例3 已知在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．
提升关键能力
一题多设问
(1)如图①，若∠EAF＝45°，猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；
例3题图①
解：(1)EF＝BE＋DF；
证明：如解图，延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM，
M
例3题图①
M
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABM＝∠D＝90°，
在△ABM和△ADF中，
∴△ABM≌△ADF)，
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
例3题图①
M
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠BAE＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝45°，
∴∠EAM＝∠EAF，
在△EAM和△EAF中，
∴△EAM≌△EAF，
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF；
(2)如图②，以点A为中心，将△ADF按逆时针方向旋转得△ABG.连接AC，FG，交于点N，点M为GF的中点，连接MB.下列结论：
例3题图②
①△AGF为等腰直角三角形；②∠FAC＝∠FGB；③直线MB是AC的垂直平分线；④若CF＝2，则MB＝ ；
⑤取正方形ABCD各边中点，顺次连接各中点得到的四边形为矩形．
其中正确结论的有________；
①②③④
(3)在(2)的条件下，若AB与FG交于点P， ＝ ，AB＝1，求sin∠FAC的值．
(3)如解图，过点F作FK⊥CA于点K，设DF＝2x，则AP＝5x，由旋转性质得：BG＝DF＝2x，∠ABG＝∠D＝90°，
K
P
例3题图②
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，∠DCA＝45°，
∴∠ABC＋∠ABG＝180°，∠ABC＝∠DCB，
∴点C，B，G在同一条直线上，
∵∠ABC＝∠DCB，∠PGB＝∠FGC，
∴△GPB∽△GFC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
解得：x1＝－1(舍去)，x2＝ ，
∴DF＝2× ＝ ，
∴FA＝ ＝ ，FC＝DC－DF＝1－ ＝ ，
K
P
例3题图②
在Rt△FCK中，FK＝CF·sin45°＝ × ＝ ，
∴sin∠FAC＝ ＝ ＝ .
K
P
例3题图②(共39张PPT)
第一节 平行四边形与多边形
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
与平行四边形性质有关的证明与计算
1. (2020沈阳15题3分)如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为________．
第1题图
8
2. (2023铁岭16题3分)在 ABCD中，∠DAB的平分线交直线CD于点E，且DE＝5，CE＝3，则 ABCD的周长为________.
3. (2023抚顺17题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为________．
第3题图
26或14
2或2
4. (2023本溪21题12分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE.
(1)求证：AE＝BC；
第4题图
(1)证明：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°.
又∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠ADE＝90°.
又∵DE＝DA，
∴∠E＝∠DAE＝45°，
∴∠EAB＋∠B＝∠DAE＋∠DAB＋∠B＝45°＋90°＋45°＝180°，
∴AE∥BC.
又∵AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE＝BC；
第4题图
(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
第4题图
(2)解：∵四边形ABCE是平行四边形，
∴CE＝AB＝3.
∴DA＝DE＝CE－CD＝3－1＝2，
∴S四边形ABCE＝AB·AD＝3×2＝6.
5. (2022本溪21题12分)如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
第5题图
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△EAO≌△FCO，
∴OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
第5题图
(2)解：∵点O是线段AC的中点，且EF⊥AC，
∴EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∵△BEC的周长为BE＋BC＋CE＝BC＋AB＝10，
∴ ABCD的周长为2(BC＋AB)＝2×10＝20.
辽宁其他地市真题
6. (2022大连19题9分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.
求证：BE＝DF.
第6题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAF＝∠BCE.
在△ADF和△CBE中， ，
∴△ADF≌△CBE，∴BE＝DF.
2
命题点
与平行四边形判定有关的证明与计算
7. (2023辽阳6题3分)如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是( )
A. 2 B. 1 C. D.
第7题图
B
8. (2023抚顺13题3分·源自人教八下P43第2题改编)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝3时，线段BC的长为________．
第8题图
3
9. (2023沈阳19题8分)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(1)证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
第9题图
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形；
第9题图
(2)若tan∠CAB＝ ，∠CBG＝45°，BC＝4 ，则 ABCD的面积是________．
第9题图
24
【解法提示】∵CG⊥AB，∴∠G＝90°.
∵∠CBG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形．
∵BC＝4，∴BG＝CG＝4.
∵tan∠CAB＝ ＝ ，∴AG＝10，
∴AB＝6. ∴ ABCD的面积为6×4＝24.
辽宁其他地市真题
10. (2022锦州21题8分·源自北师八下P148第2题改编)如图，在 ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN.试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．
第10题图
解：FM＝EN，FM∥EN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCB，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠DAE＝∠FCE，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴AE∥CF，∴ME∥FN，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
第10题图
第10题图
∵M、N分别为AE、CF的中点，
∴EM＝ AE，FN＝ CF，
∴ME＝FN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴FM＝EN，FM∥EN.
11. (2023鞍山18题8分)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
第11题图
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BF∥DE，∴∠F＝∠DCF，
∴∠BAE＝∠F，∴AE∥CF.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
第11题图
(2)若AB＝5，BC＝8，求AF＋AG的值．
(2)解：由(1)可知∠BCF＝∠DCF＝∠F，
∴BF＝BC＝AD＝8，
又∵AB＝CD＝5，
∴AF＝BF－AB＝3.
又∵AD∥BC，
∴∠FGA＝∠FCB＝∠F，
∴AF＝AG＝3，
∴AF＋AG＝6.
第11题图
3
命题点
与多边形性质有关的计算(铁岭、辽阳、葫芦岛2考)
12. (2023葫芦岛8题3分)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )
第12题图
A. 60°
B. 65°
C. 55°
D. 50°
A
13. (2023葫芦岛14题3分)正八边形的每个外角的度数是________．
14. (2022沈阳12题3分·源自人教七下P25第5题改编)若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是________边形．
15. (2023辽阳16题3分)一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．
45°
五
六
16. (2020铁岭、葫芦岛16题3分)如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是________．
第16题图
66°
多边形的性质
正多边形的性质
多边形
平行四边形
性质
判定
面积
平行四边形
与多边形
考点精讲
【对接教材】北师：七上第四章P122～P125，
八下第六章P135～P149、P153～P157；
人教：八上第十一章P19～P25，
八下第十八章P41～P51.
平行四边形
性质
边：两组对边分别平行且相等
角：对角相等
对角线：对角线__________
对称性：是中心对称图形，对角线交点是对称中心
判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.一组对边 的四边形是平行四边形
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形（人教独有）
5.对角线 的四边形是平行四边形
面积：S＝ （a表示边长，h表示该边上的高）
互相平分
平行且相等
互相平分
ah
多边形
多边形的性质
1.内角和定理：n（n≥3）边形的内角和等于__________
2.外角和定理：n（n≥3）边形的外角和都等于__________
3.对角线：过n（n≥3）边形的一个顶点可以引 条对角线，n边形共有 条, 对角线
(n－2)·180°
360°
n－3
多边形
正多边形的性质
1.边：正n边形的各边 ,
2.内角：正n边形的每个内角相等，都等于__________
3.外角：正n边形的每个外角相等，都等于__________
4.对称性正n边形有 条对称轴,当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形,当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形,
5.正多边形与圆的关系详见P148
相等
n
重难点分层练
回顾必备知识
例1 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AB∥CD，请添加一个条件______________________________
__________________________________________________________(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形；
一题多设问
【判定依据】________________________________________________
或∠DAB＋∠ABC＝180°或∠DAC＝∠ACB或∠ADB＝∠DBC；
AD∥BC或∠ADC＋∠BCD＝180°
两组对边分别平行的四边形为平行四边形
(2)若∠ABC＝∠ADC，请添加一个条件_______________(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形；
(3)若AD＝BC，请添加一个条件________________________________
____________________________________________________________(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形；
【判定依据】_________________________________________________
【判定依据】_________________________________________________
∠BAD＝∠BCD
两组对角分别相等的四边形为平行四边形
或∠DAB＋∠ABC＝180°或∠DAC＝∠ACB或∠ADB＝∠DBC
AD∥BC或∠ADC＋∠BCD＝180°
一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．
(4)若AO＝OC，请添加一个条件________(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形.
【判定依据】_________________________________________________
BO＝OD
对角线互相平分的四边形为平行四边形．
提升关键能力
例2 如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BC相交于点O，E为BC边上一点，连接AE、OE.
一题多设问
(1)若点E为BC的中点，AB＝4，则OE的长为________；
【性质依据】_________________________________________________
例2题图
2
平行四边形对角线互相平分．
(2)若AE是∠BAD的平分线，∠AEB＝65°，则∠BCD的度数为_____；
【性质依据】_________________________________________________
例2题图
(3)若AB＝4，AC＝6，BD＝10，则 ABCD的面积为________；
130°
平行四边形对边平行且对角相等．
24
(4)若BC＝5，OE＝ ，CD＝4，延长EO交AD于点F，则四边形FECD的周长为________；
12
(5)若∠BAC＝90°，AE⊥BC，AB＝4，BC＝6，求BE的长．
【解法一】
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∠ABC＝∠EBA，
∴△ABC∽△EBA，
∴ ＝ ，
∴BE＝ ＝ .
【方法解读】解法一：构造相似三角形
例2题图
【解法二】
【方法解读】解法二：勾股定理．
例2题图
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，AB＝4，BC＝6，
∴AC＝2 ，
设BE＝x，则CE＝6－x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2－BE2＝16－x2，
在Rt△ACE中，AE2＝AC2－CE2＝20－(6－x)2，
∴16－x2＝20－(6－x)2，解得x＝ ，
∴BE的长为 .
体验辽宁考法
1 如图①，在 ABCD中，点E为边AD上一点，连接BE.
一题多设问
(1)若BE为∠ABC的平分线，∠D＝30°，AB＝ ，则△ABE的面积为________；
第1题图①
(2)若∠BAD＝120°，AB＝AE＝4，F是平面内一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则BF的长为________；
第1题图①
4 或4
第1题图②
(3)如图②，BE为∠ABC的平分线，连接AC，AC与BE交于点O，延长BE、CD交于点M，若 ＝ ，BC＝8，EM＝5，则OE的长为________；
(4)如图③，若点E，H分别是AD，CB的中点，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN.求证：四边形MENH是平行四边形．
第1题图③
(4)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠EAM＝∠HCN，
∵点E，H分别是AD，CB的中点，
∴AE＝CH，
第1题图③
在△AEM和△CHN中，
∴△AEM≌△CHN，
∴EM＝HN，∠AME＝∠CNH，
∴∠EMN＝∠HNM，
∴EM∥HN，
∴四边形MENH是平行四边形．
