(共29张PPT)
第二节 一次函数的图象与性质
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
一次函数的图象与性质
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
1. (2022抚顺6题3分·源自人教八下P107复习题19第3(2)题改编)一次函数y＝－x－2的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
D
2. (2022本溪7题3分)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过第一、三、四象限，则k、b满足( )
A. k>0，b<0 B. k>0，b>0
C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
A
3. (2023铁岭9题3分·源自北师八上P99复习题第8题改编)在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. k>0 B. b<0 C. kb>0 D. kb<0
第3题图
D
4. (2021沈阳8题2分)一次函数y＝－3x＋1的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5. (2023本溪12题3分)函数y＝5x的图象经过的象限是_____________．
6. (2020抚顺本溪辽阳12题3分)若一次函数y＝2x＋2的图象经过点
(3，m)，则m＝_____．
C
第一、三象限
8
辽宁其他地市真题
第7题图
7. (2023锦州6题2分)如图，一次函数y＝2x＋1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A. B. C. 2 D. 4
A
8. (2021营口9题3分)已知一次函数y＝kx－k过点(－1，4)，则下列结论正确的是( )
A. y随x增大而增大 B. k＝2
C. 直线过点(1，0) D. 与坐标轴围成的三角形面积为2
9. (2023营口5题3分)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是( )
A. a＋b<0 B. a－b>0
C. ab>0 D. <0
C
D
10. (2023大连16题3分)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，m)，(3，m＋2)，直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围为________________(用含m的代数式表示)．
m－6≤b≤m－4
一次函数解析式的确定
2
命题点
基础小练
11. (1)若一次函数y＝kx＋2的图象经过点(1，4)，则该函数的解析式为________________．
(2)若一次函数的图象经过点(0，2)、(4，0)，则该函数的解析式为________________．
(3)若一次函数的图象经过点(1，1)、(3，5)，则该函数的解析式为________________．
y＝2x＋2
y＝－ x＋2
y＝2x－1
一次函数图象的平移(本溪2023.16)
3
命题点
12. (2023本溪16题3分)直线y＝kx＋b是由直线y＝－2x平移得到的，且经过点P(2，0)，则k＋b的值为____．
2
一次函数与方程(组)、不等式的关系
4
命题点
13. (2022葫芦岛8题3分)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(－2，4)，则不等式kx＋b>4的解集为( )
A. x>－2 B. x<－2
C. x>4 D. x＜4
第13题图
A
14. (2022辽阳8题3分)如图，直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，4)，B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( )
A. x＝－3 B. x＝4 C. x＝ D. x＝
第14题图
A
15. (2021抚顺铁岭7题3分)如图，直线y＝2x与y＝kx＋b相交于点
P(m，2)，则关于x的方程kx＋b＝2的解是( )
A. x＝ B. x＝1 C. x＝2 D. x＝4
第15题图
B
图象的平移
与一元一次
方程的关系
与二元一次
方程组的关系
与一次方程
(组)的关系
图象与性质
解析式
的确定
方法
步骤
与一元一次不
等式的关系
一次函数的
图象与性质
考点精讲
【对接教材】北师：八上第四章P79～P88、第五章P123～P128，
八下第二章P50～P53；
人教：八下第十九章P86～P101.
图象与性质
一次函数 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象是经过点(0，___)， (______，0)的一条直线 注意：当b＝0时，y＝kx为正比例函数，其图象是过点(0，0)，(1，k)的一条直线，且关于原点中心对称 k(决定图象的倾斜方向和增减性)
从左向右看，图象呈上升趋势“/”
y随x的增大而______
k>0
从左向右看，图象呈下降趋势“\”
y随x的增大而_______
k<0
b
增大
减小
b(决定图象与y轴的交点) b＞0 交点在正半轴上 b＝0 交点为原点 b＜0 交点在负半轴上 b＞0 交点在正半轴上 b＝0 交点为原点 b<0 交点在负半轴上
图象 (草图)
经过的象限 ________ ________ ________ ________________ ________________ ________ ________________
温馨提示：若题干中给出点的坐标，可通过点的坐标画出草图来判断增减性、交点及经过的象限 一、二、
三
一、三
一、三、
四
一、二、
四
一、三
二、三、
四
图象与性质
解析式的确定
方法：待定系数法
步骤
1.设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)
2．找出一次函数图象上两点的坐标代入解析式中，得到关于待定系数k、b的二元一次方程组
3．解方程组可得k，b的值
4．将所求k，b的值代入所设的函数解析式中
注意：对于正比例函数y＝kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，代入解析式即可确定k的值
平移前解析式 平移方向(m>0) 要领 平移后解析式 口诀
y＝kx＋b(k≠0) 向左平移m个单位 左、右平移给所有的x加减m y＝k(x＋m)＋b 左加右减
向右平移m个单位 y＝k(x－m)＋b 向上平移m个单位 上、下平移给等号右边整体加减m y＝kx＋b＋m 上加下减
向下平移m个单位 y＝kx＋b－m
图象的平移
与一次方程 (组)的关系
与一元一次方程的关系：方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标
与二元一次方程组的关系：关于x，y的方程组 的解是一
次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2图象交点的横、纵坐标
y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2
kx＋b＞0的解集 函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标
kx＋b＜0的解集 函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标
与一元一次不等式的关系
k1x＋b1>k2x＋b2的解集 函数y＝k1x＋b1的图象位于函数y＝k2x＋b2的图象上方部分对应的点的横坐标
k1x＋b1与一元一次不等式的关系
重难点分层练
回顾必备知识
一题多设问
例1 已知一次函数y＝(m－2)x＋1－m，解答下列问题：
(1)若y是关于x的正比例函数．
①m的值为_____；此时函数图象经过第________象限；
②函数图象经过一点(a，2)，则a＝________；
(2)若该一次函数图象如图所示，则m的取值范围为________；
例1题图
1
二、四
－2
m＜1
(3)若m＞2，则该一次函数的图象可能是( )
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数图象上的两点，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围为________；
(5)若点P(－3，－5)关于y轴的对称点P′在一次函数y＝(m－2)x＋1－m的图象上，则m的值为______．
B
m＜2
0
提升关键能力
例2 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，解答下列问题．
(1)方程kx＋b＝0的解为________；
(2)将该一次函数图象先向左平移2个单位长度，
再向上平移3个单位长度，则平移后的一次函数
图象的解析式为___________；
一题多设问
例2题图
x＝1
y＝2x＋5
(3)该一次函数y＝kx＋b与一次函数y＝－2x＋4的图象交点坐标为
___________；
(4)方程组 的解为
_________；
(5)不等式kx＋b＞0的解集为________；
例2题图
kx＋b＝y
－2x＋4＝y
( ，1)
x＞1
(6)求不等式－2x＋4≤kx＋b的解集．
例2题图
(6)解：由(4)可知y＝kx＋b与y＝－2x＋4的交点为( ，1)，
结合图象可知，
当x≥ 时，－2x＋4≤kx＋b，
∴不等式－2x＋4≤kx＋b的解集为x≥ .
体验辽宁考法
1. 已知函数y＝ x(mn≠0)的图象大致如图所示，则函数y＝mx－n的图象大致是( )
第1题图
A
2. 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(b，k)，且y随x的增大而增大，则该一次函数图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D(共38张PPT)
3.7 二次函数的实际应用
类型一 已知一次函数关系/解析式
满分技法
1．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式；
2．根据题干信息找自变量x的取值范围；
3．通过配方将函数关系式转化为顶点式，再根据函数增减性求得在自变量取值范围内的最值．
1. 某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售期间发现：遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系．当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
根据题意得 ，解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋540.
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(2)根据题意得：w＝(－10x＋540)(x－20)＝－10(x－37)2＋2890，
∵－10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值，最大值为2890元，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
2.小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x(元) 12 14 16
每周的销售量y(本) 500 400 300
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
当x＝12时，y＝500；当x＝14时，y＝400，
∴ 解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－50x＋1100；
(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
(2)w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1100)＝－50x2＋1600x－11000
＝－50(x－16)2＋1800，
∵－50<0，∴w有最大值，当x<16时，w随x的增大而增大．
∵12≤x≤15，x为整数，∴x＝15时，w有最大值，
此时w＝－50×(15－16)2＋1800＝1750.
答：当销售单价定为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元.
3. 近几年随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租出的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元)满足关系式y＝－ x＋36 (500≤x≤1800，且x为50的整数倍)，公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元．
(1)求w与x的函数关系式(利润＝租金－支出)；
解：(1)根据题意得w＝(x－200)·(－ x＋36)＝－ x2＋40x－7200
(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)；
(2)公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的利润最多为多少元？
(2)将(1)中所求关系式化为顶点式，得w＝－ (x－1000)2＋12800，
∵－ <0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1000，
∴当x＝1000时，利润最大，最大利润为12800元，
即前3天每天利润为12800元，
∵后4天执行了物价局的新规定，每辆车每天的租金不超过800元，
∴500≤x≤800，且x为50的正整数倍，
∵当x<1000时，w随x的增大而增大，
∴当每日租金为800元时，利润最大，w最大＝－ ×(800－1000)2＋12800＝12000(元)．
∴后4天的最大利润为每天12000元．
∴这7天总的利润最大值为12800×3＋12000×4＝86400(元)．
答：该公司在“十一黄金周”这7天获得的利润最多为86400元．
4. 我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．
第4题图
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
第4题图
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图象知过点(30，140)，(50，100)，代入，
得 解得
∴y＝－2x＋200，
∵销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，
∴30≤x≤30×2，即30≤x≤60，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋200(30≤x≤60)；
(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
(2)设该公司日获利为w元，由题意得w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2000，
∵－2<0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝65，30≤x≤60，
∴当x＝60时，w有最大值，
w最大＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.
答：当销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利是1950元．
5. 有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图①所示的二次函数y1＝ax2；种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图②所示的正比例函数y2＝kx.
第5题图
(1)分别求出利润y1(万元)和利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式；
解：(1)∵抛物线y1＝ax2经过点(4，1)，
∴将点(4，1)代入y1＝ax2，得42·a＝1，解得a＝ .
∴y1关于x的函数关系式为y1＝ x2(x>0)．
∵直线y2＝kx经过点(2，1)，
∴将点(2，1)代入y2＝kx，
得2k＝1，解得k＝ .
∴y2关于x的函数关系式为y2＝ x(x>0)；
第5题图
(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？
(2)设种植桃树的资金投入为x(2≤x≤8)万元，则种植柏树的资金投入为(10－x)万元，两项投入所获得的总利润为y万元，根据题意得
y＝ x2＋ (10－x)＝ (x－4)2＋4，
∵ >0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝4，
∴当x＝4时，y有最小值，y最小＝4(万元)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝4，2≤x≤8，
∴当2≤x<4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y最大＝ (2－4)2＋4＝4.25(万元)；
∵当4∴当x＝8时，y最大＝ ×(8－4)2＋4＝5(万元)．
∵5>4.25，
∴当种植桃树的投资成本为8万元时，苗圃获得利润最大，最大利润为5万元．
答：苗圃至少获得4万元利润，最多能获得5万元利润．
类型二 “每每”问题
满分技法
1. 注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量；
2. 根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式；
3. 通过配方将函数关系式转化为顶点式，再根据函数增减性求得最值；
4. 若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最值，最后在确定销售单价时注意找准基础量．
6. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大．
11
7. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；
解：(1)根据题意，得y＝100－2(x－60)＝－2x＋220.
(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
(2)根据题意，得(－2x＋220)(x－40)＝2400，
整理，得x2－150x＋5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80，
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)设每星期获得的销售利润为w元，根据题意得
w＝(－2x＋220)(x－40)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450，
∵－2＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
当x＝75时，w最大＝2450，
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．
类型三 分段函数
满分技法
1．根据题干中所给的自变量范围，分别求出每段的函数关系式；
2．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式；
3．确定函数最值时，注意结合自变量的取值范围及函数增减性，分别确定取得最值时的x值，进而求得函数最值；
4．通过比较每段函数最值的大小，求出最大利润．
8. 某食品连锁店研制出一种新式月饼，每块成本为6元．试销一段时间后发现，若每块月饼的售价不超过10元，每天可销售300块；若每块月饼售价超过10元，每提高1元，每天的销量就会减少30块，这家食品连锁店每天需要支付因生产这种月饼而产生的其他费用(不含月饼成本)200元．设每块月饼的售价为x(元)，食品连锁店每天销售这种月饼的纯收入为y(元)．(注：纯收入＝销售额－成本－其他费用)
(1)当每块月饼售价不超过10元时，请直接写出y与x的函数关系式：__________________；当每块月饼售价超过10元时，请直接写出y与x的函数关系式：_______________________；
【解法提示】当x≤10时，y＝300(x－6)－200，即y＝300x－2000；
y＝300x－2000
y＝－30x2＋780x－3800
当x>10时，y＝(x－6)[300－30·(x－10)]－200，即y＝－30x2＋780x－3800.
(2)如果这种月饼每块的售价不超过12元，那么如何定价才能使该食品连锁店每天销售这种月饼的纯收入最高？最高纯收入为多少元？
(2)当x≤10时，y＝300x－2000，
∵k＝300>0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x＝10时，y最大＝300×10－2000＝1000；
当10∵－30<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－ ＝13，
∴当10∴当x＝12时，y有最大值，y最大＝－30×122＋780×12－3800＝1240.
∵1000<1240，
∴当每块月饼的售价定为12元时，每天纯收入最高．
答：当每块月饼的售价定为12元时，每天纯收入最高，最高纯收入为1240元．
9. 某服装厂生产A品牌服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
(1)当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为___________________；
y＝－ x＋110
【解法提示】设该函数的关系式为y＝kx＋b (k≠0)，由题意得
解得
∴y＝－ x＋110 (100≤x≤300)．
第9题图
(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
(2)服装的批发单价为y＝－ ×200＋110＝90，
∴200套服装的总价为90×200＝18000(元)．
答：需要支付18000元；
第9题图
(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？ 最大值是多少？
(3) 整理得
第9题图
当服装数量在100～300之间时，w是x的二次函数，对称轴为直线x＝195，
∵x为10的整数倍，
∴服装数取190或200，可以获得最大利润3800元，当服装数量在300～400之间时，服装数取400可获得最大利润9×400＝3600元．
∵3800>3600，
∴当x＝190或200时，w最大，最大值是3800元．
第9题图
10. 铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元．由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系：第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．每天的销售量为y盒， y与x之间的关系如下表所示：
第x天 1≤x≤6 6每天的销售量y(盒) 10 x＋6
(1)求p与x的函数关系式；
解：(1)设p与x的函数关系式为p＝kx＋b(k≠0)，
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴ 解得
∴p与x的函数关系式为p＝x＋18(1≤x≤15，且x为整数)；
(2)若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
(2)由已知得，当1≤x≤6时，w＝(50－p)×10＝10(50－x－18)＝－10x＋320，
∵－10<0，
∴w随x的增大而减小．
∴当x＝1时，w最大，w最大＝－10×1＋320＝310；
当6∵－1<0，∴w有最大值，
∴当x＝13时，w最大＝361.
∴w与x的函数关系式为
∵361>310，
∴第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
(3)在“荷花美食”期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
【解法提示】∵w＝325>310，
∴6＜x≤15，令－x2＋26x＋192≥325，解得7≤x≤19，
∵6＜x≤15，
∴当7≤x≤15时，小张每天的销售利润不低于325元，
∴共有15－7＋1＝9(天)．
(3)9天
类型四 几何图形面积问题
11. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝______m时，矩形土地ABCD的面积最大．
第11题图
150(共26张PPT)
第五节 二次函数的图象与性质
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
二次函数的图象与性质(辽阳2023.9)
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
1. (2022沈阳10题2分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋2x－3的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x1A. y1y2
C. y的最小值是－3 D. y的最小值是－4
第1题图
D
2. (2023辽阳9题3分)如图，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为( )
A. 1＋ B. 1－
C. －1 D. 1－ 或1＋
第2题图
A
辽宁其他地市真题
3. (2022营口9题3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论错误的是( )
A. 该函数有最大值
B. 该函数图象的对称轴为直线x＝1
C. 当x＞2时，函数值y随x的增大而减小
D. 方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于3
x －1 0 2 4
y －1 2 2 －6
D
4. (2020朝阳14题3分)抛物线y＝(k－1)x2－x＋1与x轴有交点，则k的取值范围是________________．
k≤ 且k≠1
二次函数解析式的确定(沈阳4考；抚本铁辽葫近5年连续考查)
2
命题点
5. (1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(1，1)，C(0，－3)，则抛物线的解析式为______________．
(2)已知抛物线y＝x2－bx＋c的顶点坐标为(－1，4)，则抛物线的解析式为_____________．
(3)已知抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝2，且抛物线经过点(2，－4)，则抛物线的解析式为___________．
基础小练
y＝x2＋3x－3
y＝x2＋2x＋5
y＝x2－4x
(4)已知抛物线的顶点坐标为(2，3)，且过点(3，1)，则抛物线的解析式为_________________．
(5)对称轴为直线x＝－1的抛物线经过A(1，0)，B(－2，6)两点，则抛物线的解析式为_________________．
(6)已知抛物线经过A(－1，2)，B(2，－4)，C(0，－2)三点，则抛物线的解析式为________________．
(7)已知抛物线y＝ax2－3x＋c与y＝－ x＋3交x轴于点A，另一个交点为C(1， )，则抛物线的解析式为________________．
y＝－2x2＋8x－5
y＝－2x2－4x＋6
y＝x2－3x－2
y＝ x2－3x＋4
与二次函数图象有关的函数图象判断题
3
命题点
6. (2023葫芦岛8题3分)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )
D
根据二次函数
解析式判断
函数图象与性质
解析式的确定
解析式的
三种形式
确定二次函数
解析式的方法
函数图象
的平移
平移的方法步骤
二次函数
图象的平移
二次函数的
图象与性质
考点精讲
【对接教材】北师：九下第二章P29～P45；
人教：九上第二十二章P28～P42.
根据二次函数解析式判断函数图象与性质
一般式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) a a>0 a<0
图象 (草图)
对称轴 1.对于一般式：对称轴为直线x＝________或利用 x＝ 求解(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) 2．对于顶点式：对称轴为直线x＝h 顶点 坐标 1.对于一般式：顶点坐标是_______________ 2．将一般式配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为__________ 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小
最值 当x＝－ 时，y取最小值 或当x＝h时，y取最小值k 当x＝－ 时，y取最大值
或当x＝h时，y取最大值k
根据二次函数,解析式判断函,数图象与性质
解析式的确定
解析式的三种形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，其中顶点坐标为________
两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2为常数，a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)是抛物线与x轴交点的坐标
解析式的确定
确定二次函数解析式的方法
解析式未知
1.顶点在原点，可设为y＝ax2
2.对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c
3.顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2
4.抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx
5.已知顶点坐标为(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k
6.已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设为交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)
7.已知抛物线上任意三点坐标时，可设为一般式y＝ax2＋bx＋c
解析式已知：解析式中有几个字母未知，只需找出二次函数图象上相同个数的点的坐标代入求解即可
函数图象的平移
平移的方法步骤
1.将二次函数解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标
2.保持二次函数图象的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可
二次函数图象的平移
1.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(关键点是研究顶点坐标)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可
函数图象的平移
二次函数图象的平移
2.从解析式上考虑：二次函数图象平移规律如下表：
平移前的解析式 平移n个单位（n>0） 平移后解析式 简记
y＝a(x－h)2＋k 向左平移n个单位 y＝a(x－h＋n)2＋k 左“＋”右“－”
向右平移n个单位 y＝a(x－h－n)2＋k 向上平移n个单位 y＝a(x－h)2＋k＋n 上“＋”下“－”
向下平移n个单位 y＝a(x－h)2＋k－n
函数图象的平移
●
满分技法
在一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)平移过程中，先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律，左右平移给x加减平移单位，上下平移给等号右边整体加减平移单位
重难点分层练
回顾必备知识
一题多设问
例1 在探究二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与性质的过程中，x与y的几组对应值列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －4 －6 － －6 －4 …
根据表格中的数据，完成下面练习：
(1)请确定二次函数的解析式为________________，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象；
例1题图
解：画出函数图象如解图；
y＝x2－3x－4
(2)该二次函数的对称轴为直线________，顶点坐标为__________，二次函数有最______值，其值为______；
(3)抛物线与x轴的两个交点坐标为__________，
与y轴的交点坐标为__________________；
小
(－1，0)
(4，0)，(0，－4)
例1题图
(4)当y随x的增大而减小时，x的取值范围是________；
(5)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是__________；
y1＞y3＞y2
例1题图
(6)若将该二次函数经过平移，使得该函数最值在坐标原点处，则需要向______(选填“上”或“下”)平移_______个单位长度，再向______(选填“左”或“右”)平移_____个单位长度．
上
左
例1题图
提升关键能力
例2 在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
(1)若二次函数的图象如图①所示，则函数y＝cx2＋bx＋a的图象为( )
例2题图①
B
(2)一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图②所示，则函数y＝ax2＋(b＋1)x＋c的图象可能是( )
例2题图②
D
(3)若二次函数的顶点坐标为B(－2，1)，与y轴交点A的坐标为(0，3)，y轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则点C的坐标为
___________________________________________．
(0，3＋2 )或(0，3－2 )或(0，－1)或(0，1)
满分技法
(1)判断与单一函数有关的函数图象
第一步：根据已知条件确定系数a、b、c的正负；
第二步：根据系数a、b、c的正负确定所求二次函数的大致图象．
(2)判断与复合函数有关的函数图象
第一步：将复合函数用已知的单一函数来表示；
第二步：结合函数图象的交点判断相应系数的正负；
第三步：根据系数的正负判断所求函数图象．(共17张PPT)
3.3 一次函数的实际应用
文字型(抚顺4考；本溪、辽阳3考；铁岭、葫芦岛2考)
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
满分技法
根据文字描述，应用基本关系式如总价＝单价×数量、路程＝速度×时间等，用含x的式子表示y，即可得到y与x的函数关系式．
1. 某网店销售一种儿童玩具，成本为每件30元．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．求y与x之间的函数关系式．
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵当x＝35时，y＝350；当x＝40时，y＝300，
∴ 解得：
∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700.
2. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，试销售期间发现，当销售单价为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
(1)请直接写出x与y之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(1)解：根据“销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本”可得：
y＝300－10(x－44)，
即y＝－10x＋740，
∵规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，
∴x≤40(1＋30%)，即44≤x≤52，
∴自变量x的取值范围是44≤x≤52，
(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
(2)根据题意可得方程：
(x－40)×(－10x＋740)＝2400，
即x2－114x＋3200＝0，
解得x1＝50，x2＝64，
∵44≤x≤52，
∴x＝50.
∴当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
辽宁其他地市真题
3.某商场销售一种小商品，每件进货价为190元．调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件．设每件小商品降价x元，平均每天销售y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；(不必写出x的取值范围)
(1)y与x之间的函数关系式为y＝2x＋8；
(2)商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？
(2)根据题意，得(2x＋8)(210－x－190)＝280，
整理得x2－16x＋60＝0，
解得x1＝6，x2＝10，
∴销售价为210－6＝204或210－10＝200.
答：当每件小商品的销售价定为200元或204元时，平均每天的销售利润可达到280元．
图象型
2
命题点
满分技法
设出一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)，从图象中选取该段图象上的两个点的坐标代入，利用待定系数法求得函数解析式．若图象为分段函数或多条直线，则需要分别设出每一段或每一条直线的函数解析式，分段函数注意自变量x的取值范围．
4. 铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售．已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
第4题图
(1)解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(2，120)(4，140)代入，
得 ，解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100(0＜x＜20)；
第4题图
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
(2)根据题意得y(60－x－40)＝2090(0＜x＜20)，
∵y＝10x＋100(0＜x＜20)，
∴(10x＋100)(60－x－40)＝2090(0＜x＜20)，
整理得x2－10x＋9＝0，
解得x1＝1，x2＝9.
∵要让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9.
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
第4题图
辽宁其他地市真题
5. 已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，9：10 乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y(千米)与甲所用的时间x(分)之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为________．
第5题图
9：20
表格型
3
命题点
满分技法
观察表头，若表格中给出的数据是x与y的几组值，则设出一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)，从表格中选取两组数据代入，利用待定系数法求得函数解析式；若表格中给出的数据不是x与y的几组值，则需要具体情况具体分析，根据文字描述，结合表格，用含x的式子表示y，即可得到y与x的函数关系式．
6. 某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x(1≤x≤30，且x为整数)的一次函数．销售情况如下表：
(1)观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式：______________，______________；
销售第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 … 第30天
销售单价m(元/件) 49 48 47 46 … 20
日销售量n(件) 45 50 55 60 … 190
m＝－x＋50
n＝5x＋40
(2)求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
(2)由题意得(50－x)(5x＋40)＝3600，
整理得x2－42x＋320＝0，
解得x1＝10，x2＝32，
∵32>30，
∴x＝32(舍去)，
∴x＝10，
答：第10天的日销售额恰好为3600元．(共58张PPT)
第四节 反比例函数
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
反比例函数的图象与性质
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
1. (2023抚顺14题3分)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝－ 图象上的两点，且x1>x2 >0，则y1________y2(填“>”或“<”)．
＞
辽宁其他地市真题
2. (2020营口5题3分)反比例函数y＝ (x<0)的图象位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. (2023阜新5题3分·源自北师九上P161复习题第3题改编)反比例函数y＝ 在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m<0 B. m>0 C. m>－1 D. m<－1
C
D
4. (2023阜新5题3分)反比例函数y＝ 的图象经过点(3，－2)，下列各点在图象上的是( )
A. (－3，－2) B. (3，2)
C. (－2，－3) D. (－2，3)
D
反比例函数解析式的确定(沈阳4考；抚顺、本溪、铁岭、辽阳、葫芦岛近5年连续考查)
2
命题点
类型一 由点坐标求解析式
5. (2022沈阳9题2分·源自北师九上P161复习题第1题改编)点A(－3，2)在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，则k的值是( )
A. －6 B. － C. －1 D. 6
A
6. (2023本溪9题3分)如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为(1，3)，S△ABC＝2，则k的值为( )
A. 4 B. －4 C. 7 D. －7
第6题图
C
7. (2022本溪9题3分)如图，点A在第二象限，点B在x轴的负半轴上，AB＝AO＝13，线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，连接OC，△BOC的周长为23，若反比例函数y＝ 的图象经过点A，则k的值为( )
A. 30 B. －30 C. 60 D. －60
第7题图
D
8. (2020铁岭葫芦岛9题3分)如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，点E(1，0)和点F(0，1)在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4
第8题图
C
9. (2020沈阳14题3分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为_____．
第9题图
6
10. (2023辽阳17题3分)如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为________．
第10题图
－4
11. (2022抚顺16题3分)如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝ (k>0，x>0)的图象上，若点A的坐标为(3，4)，AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为________．
第11题图
(6，2)
类型二 由k的几何意义求解析式
12. (2021沈阳14题3分)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A 是反比例函数y＝ (k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M ，AN⊥y轴于点N. 若四边形AMON的面积为12，则k的值是_____．
第12题图
－12
13. (2020抚顺本溪辽阳17题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝ (k>0，x>0)的图象上，点B，C在x轴上，OC＝ OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为________．
第13题图
3
14. (2023铁岭17题3分)如图，Rt△AOB≌Rt△COD，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且tan∠OAB＝2，若四边形OAEC的面积为6，反比例函数y＝ (x>0)的图象经过点E，则k的值为_____．
第14题图
4
15. (2021抚顺铁岭17题3分)如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、OE，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A，若△AOE的面积为2，则k的值是______．
第15题图
4
辽宁其他地市真题
16. (2023锦州8题2分)如图，矩形OABC中，A(1，0)，C(0，2)，双曲线 y＝ (0A. B. 1 C. D.
第16题图
A
17. (2021朝阳8题3分)如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，则k的值为( )
A. －12 B. －15 C. －20 D. －30
第17题图
A
18. (2021锦州15题3分)如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝ (x>0)的图象交BC于点D，若CD＝2BD， OABC的面积为15，则k的值为________．
第18题图
18
19. (2022营口14题3分)如图，点A是反比例函数y＝ (x>0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝ (k≠0)的图象于点B，以AB为边作 ABCD，点C，D在x轴上，若S ABCD＝5，则k＝______．
第19题图
－3
20. (2023锦州14题3分)如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝－ 和y＝ 的图象上，则k的值为________．
第20题图
12
反比例函数与几何图形综合
3
命题点
21. (2022抚顺9题3分)如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
第21题图
A
22. (2023本溪17题3分)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝ ，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点B，则k的值为________．
第22题图
23. (2021本溪辽阳葫芦岛17题3分)如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A(2，0)，B(0，1)，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点C，则k的值为________．
第23题图
24. (2020辽宁20题12分)如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，
(0，3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝ 的图象经过点C.
(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
第24题图
解：(1)点C的坐标为(3，1)，
∵点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
(2)点P在反比例函数y＝ 的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
第24题图
(2)∵S△PCD＝3，
∴ ·DC·|yP－1|＝3，
解得yP＝－1或3，
∴点P的坐标为(1，3)或(－3，－1)．
25. (2023辽阳22题12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝ (x>0)的图象经过点A, 点D的坐标为(3，0)，AB＝BD.
(1)求反比例函数的解析式；
解：(1)∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，∠OAB＝∠ABD＝90°.
∴∠OAD＝∠ADB.
第25题图
∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°.
∴∠ADO＝∠ABD.
∴△ADO∽△DBA.
∴ .
∵AB＝BD，∴AD＝OD.
∵D点坐标为(3，0)．∴OD＝AD＝3，
∴点A坐标为(3，3)，将点A(3，3)代入y＝ ，得k＝9.
∴反比例函数的解析式为y＝ (x>0)；
第25题图
(2)点P为y轴上一动点，当PA＋PB的值最小时，求出点P的坐标．
(2)如解图，过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB＝BD，
∴DE＝AE＝ AD＝ .
∴BE＝ AD＝ .
∴OD＋BE＝3＋ ＝ .
∴B点坐标为( ， )．
E
第25题图
得 解得
此时PA＋PB的值最小，PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.
设直线A′B的解析式为y＝k1x＋b(k1≠0)，
将A′(－3，3)，B( ， )代入函数解析式中，
则直线A′B的解析式为 y＝－ x＋ .
∴令x＝0，则y＝ .∴点P的坐标为(0， )．
E
A'
作点A关于y轴的对称点A′，坐标为(－3，3)，连接A′B交y轴于点P，
P
第25题图
反比例函数与一次函数结合
4
命题点
26. (2021本溪辽阳葫芦岛6题3分)反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx＋k不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
第27题图
A
27. (2022沈阳15题3分)如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝ (x＞0)的图象相交于点A( ，2 )，点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是_______．
第27题图
28. 如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝ 的图象分别交于C，D两点，点C(2，4)，点B是线段AC的中点．
(1)求一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝ 的解析式；
第28题图
(1)解：如解图，过点C作CE⊥x轴于点E，
E
∵C(2，4)，点B是AC的中点，
∴B(0，2)．
将B(0，2)，C(2，4)分别代入y＝k1x＋b中，
∴一次函数的解析式为y＝x＋2.
将C(2，4)代入y＝ 中，得4＝ ，∴k2＝8.
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
得 ，解得 ，
第28题图
E
(2)求△COD的面积；
∵点D在第三象限，
∴D(－4，－2)．
∴S△COD＝S△BOC＋S△BOD
＝ ×2×2＋ ×2×4＝6；
(2)由 ，解得 ，或
第28题图
E
(3)直接写出当x取什么值时，k1x＋b< .
(3)0第28题图
E
29.如图，直线y＝3x与双曲线y＝ (k≠0，且x>0)交于点A，点A的横坐标是1.
(1)求点A的坐标及双曲线的解析式；
第29题图
解：(1)∵点A的横坐标是1，将x＝1代入y＝3x中，得y＝3，
∴点A的坐标为(1，3)，将点A(1，3)代入y＝ 中，得k＝3，
∴双曲线的解析式为y＝ (x>0)；
(2)点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB、AB，求△AOB的面积．
第29题图
(2)如解图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，AC交OB于点E.
∵点B在双曲线y＝ 上，且纵坐标为1，
∴xB＝3，
∴点B的坐标为(3，1)，
∴BD＝3－1＝2，
E
D
C
设直线OB的解析式为y＝k1x(k1≠0)，将B(3，1)代入解析式中，得3k1＝1，∴k1＝ ，
∴直线OB的解析式为y＝ x，
∴当x＝1时，y＝ ，
∴点E的坐标为(1， )，
∴AE＝3－ ＝ ，
∴S△AOB＝S△AOE＋S△ABE＝ AE·OC＋ AE·BD
＝ × ×1＋ × ×2＝4.
第29题图
E
D
C
图象与性质
k的几何意义
反比例函数中常见的
有关图形面积的计算
k的几何意义
解析式
的确定
待定系数法
利用k的几何意义
反比例函数
考点精讲
【对接教材】北师：九上第六章P148～P162；
人教：九下第二十六章P1～P22.
图象与性质
解析式 y＝ （k为常数，k≠0） x，y的取值范围 x≠0，y≠0 k(决定函数图象所在象限及增减性) k 0 k 0
图象（草图）
＞
＜
图象与性质
所在象限 第________象限（x，y同号） 第_________象限（x，y异号）
图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交 增减性 在每一象限内，y随x的增大而_______ 在每一象限内，y随x的增大而______
对称性 关于原点成中心对称；关于直线y＝x及y＝－x成轴对称) 一、三
二、四
减小
增大
k
的几何意义
1.k的几何意义：如图，过反比例函数图象上任一点P（a，b）分别作, x轴、y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积, S＝PN·PM＝|a|·|b|＝________
2.反比例函数中常见的有关图形面积的计算：
(点B在y轴上运动) (点A在x轴上运动)
(P′为P关于原点的对称点)
S△AOP＝______
S△APB＝______
S△APP′＝______
S△ABP＝______
一般反比例函数与几何图形(三角形、四边形)结合，可直接利用k的几何意义求面积．若图形为不规则图形，则可将其割补，求面积之和(或差)，具体方法见微专题平面直角坐标系中的面积问题
k的几何意义
●
满分技法
解析式的确定
利用k的几何意义：由图形面积得|k|，再结合函数图象所在象限判断k的符号，确定k值，即可得到反比例函数解析式y＝
待定系数法
1．设出反比例函数解析式y＝ (k≠0)
2．找出反比例函数图象上一点P(a，b)
3．将点P(a，b)代入解析式得k＝ab
4．确定反比例函数解析式y＝
重难点分层练
回顾必备知识
例1 已知反比例函数y＝ (k≠0)．
(1)若该反比例函数的图象在第一、三象限，则k的取值范围为______；
(2)若点(－2，3)，(4，n)在该反比例函数的图象上，则函数的解析式为________，该反比例函数的图象在第_________象限，且在每一个象限内，y的值随x的增大而_________(填“增大”或“减小”)，n的值为
_______；
k＞0
二、四
增大
(3)若正比例函数过点P(2，3)与反比例函数的图象相交于两点，则另外一点的坐标为___________；
(4)若k＞0，点(－2，y1)，(2，y2)，(4，y3)都在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________________；
(－2，－3)
y2＞y3＞y1(y1＜y3＜y2)
(5)点P(2，3)是反比例函数图象上一点．
①如图①，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB的面积为________；
②如图②，连接OP，过点P作PA⊥y轴于点A，则△OPA的面积为________；
例1题图
6
3
③如图③，连接PO并延长，与反比例函数y＝ 的图象在第三象限交于点Q，过点P，Q分别作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点M，则△MPQ的面积为_______．
例1题图
12
提升关键能力
例2 已知点A(1，4)是反比例函数y＝ 图象上的一点．
(1)如图①，过点A作AC⊥y轴，交y轴于点C，点B为x轴上一动点，连接AB、BC，则△ABC的面积为______．
例2题图①
2
例2题图②
(2)如图②，在(1)的条件下，作 ACBD，则 ACBD的面积为_____．
(3)如图③，在另外一支上取一点E，点E的横坐标为－6，连接AE、AO、EO，则△AEO的面积为________．
例2题图③
4
(4)如图④，以点A为顶点，作矩形AGHI，点H也在反比例函数的图
象上，且点G的纵坐标为 .则矩形AGHI的面积为________．
(5)如图⑤，以点A为顶点作等腰三角形ALN，延长AN交x轴于点M，连接LM，若AN＝ AM，则△LMN的面积为________．
例2题图④
例2题图⑤
3
例3 如图，一次函数y1＝x＋b的图象与反比例函数y2＝ (x＜0)的图象交于点A(－2，1)，B两点，连接AO、BO.
(1)根据函数图象写出不等式x＋b＞ 的解集；
例3题图
解：(1)根据题意可知，将点A(－2，1)代入一次函数的解析式中，得1＝－2＋b，
解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y1＝x＋3，
例3题图
将点A(－2，1)代入反比例函数的解析式中，
得1＝ ，解得k＝－1，
∴反比例函数的解析式为y2＝ ；
∴点B(－1，2)，
∴不等式x＋b＞ 的解集是－2＜x＜－1；
联立 解得 ，或
(2)求△AOB的面积；
(2)如解图，设一次函数y1＝x＋3的图象与坐标轴分别交于点C、D，
C
D
∴C(－3，0)、D(0，3)，
∴S△AOB＝S△COD－S△COA－S△BOD
＝ ×3×3－ ×3×1－ ×3×1＝ ；
例3题图
(3)若点P是一次函数y1＝x＋b上一点，若 ＝ ，求点P的坐标．
(3)∵一次函数的解析式为y1＝x＋3，
∴ 点P的坐标为(p，p＋3)，
∵点A(－2，1)，点B(－1，2)，
∴
∵
∴
C
D
例3题图
∴
解得p1＝ ，p2＝－3，
∴点P的坐标为( ， )或(－3，0)；
C
D
例3题图
(4)若点Q是y轴上一点，求QA＋QB的最小值．
(4)如解图，以y轴为对称轴作点B的对称点B′，连接AB′，交y轴于点Q，此时QA＋QB的值最小，QA＋QB＝AQ＋QB′＝AB′.
Q
∵点B的坐标为(－1，2)，
∴点B′的坐标为(1，2)，
∵点A的坐标为(－2，1)，
∴ .
例3题图
B'
C
D(共20张PPT)
第一节 平面直角坐标系与函数
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
平面直角坐标系中点的坐标特征(沈阳2考；抚顺、葫芦岛2考)
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
1. (2022沈阳4题2分)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是( )
A. (4，1) B. (－1，4)
C. (－4，－1) D. (－1，－4)
A
2. (2022抚顺7题3分)已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(－2，1)，则点B的对应点的坐标为( )
A. (5，3) B. (－1，－2)
C. (－1，－1) D. (0，－1)
3. (2021抚顺铁岭13题3分)在平面直角坐标系中，点M(－2, 4)关于原点对称的点的坐标是_________．
C
(2，－4)
辽宁其他地市真题
4. (2022大连2题3分)在平面直角坐标系中，点(－3，2)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5. (2023鞍山5题3分)在平面直角坐标系中，点P(m＋1，2－m)在第二象限，则m的取值范围为( )
A. m<－1 B. m<2
C. m>2 D. －1B
A
函数自变量的取值范围(铁岭2023.11)
2
命题点
6. (2022抚顺11题3分)函数y＝ 中自变量x的取值范围是______．
7. (2023铁岭11题3分)在函数y＝ 、自变量x的取值范围是________．
x≠2
x≥4
辽宁其他地市真题
8. (2023鞍山3题3分)若y＝ 有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠4 B. x≤4
C. x≥4 D. x<4
9. (2022朝阳11题3分)函数y＝ 的自变量x的取值范围是__________．
D
x≥2且x≠3
平面直角坐标系
中点的坐标特征
函数的表示
方法及画法
三种表示方法
画法
平面直角
坐标系
与函数
函数自变量
的取值范围
含有分式
含有二次根式
含有分式与二次根式
考点精讲
【对接教材】北师：七下第三章P61～P79，
八上第三章P53～P73、 第四章P75～P78；
人教：七下第七章P63～P75，
八下第十九章P71～P85，
九上第二十三章P68～P69.
平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内点的坐标特征：
坐标轴上点的坐标特征点
A1(a，b)在x轴上 ＝0
点A2(a，b)在y轴上 ＝0
原点O的坐标为________
坐标轴上的点不属于任何象限
O
A1
A2
x
y
(a<0，b>0)
第二象限
x
y
第三象限
(a<0，b<0)
(a>0，b>0)
第一象限
第四象限
(a>0，b___0)
O
●
易错警示
＜
b
a
(0，0)
平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限角平分线上点的坐标特征
点B1(a，b)在第一、三象限角平分线上 a＝______
点B2(a，b)在第二、四象限角平分线上 a＝_____
点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为P1_________
点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P2_________
点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P3__________
口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号
对称点的坐标特征
b
－b
(a，－b)
(－a，b)
(－a，－b)
平面直角坐标系中点的坐标特征
点平移的
坐标特征
点P的坐标 平移方式 平移后点P'的坐标
(a, b) 向左平移m个单位 ____________
向右平移m个单位 (a+m, b)
向上平移n个单位 (a, b+n)
向下平移n个单位 ____________
PA∥x轴 b＝b1，PA＝|a－a1|
PB∥y轴 a＝a2，PB＝________
平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
(a－m，b)
(a，b－n)
|a－b2|
点P(a，b)到x轴的距离为______
点P(a，b)到y轴的距离为______
点P(a，b)到原点的距离为_________
平面直角坐标系中点的坐标特征
点到坐标轴及原点的距离
●
拓展知识
P(a1，b1)，Q(a2，b2)为平面直角坐标系中任意两点.
1.中点坐标公式：P，Q两点连线的中点坐标为( , )
思考：若点P、Q关于点M对称，则点M的坐标为______________.
2.坐标平面内任意两点间的距离公式：PQ＝
|a|
|b|
( ， ）
函数自变量的取值范围
函数解析式的形式 示例 自变量的取值范围 示例
含有分式 分母不等于0 x≠1
含有二次根式 _________________ _______
含有分式与二次根式 __________________________________ _______
__________
●
易错警示
实际问题中，函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义
被开方数大于等于0
x≥2
分母不等于0且被
开方数大于等于0
x＞2
x≥－2且x≠1
三种表示方法：解析式法、列表法、图象法
画法：列表→描点→连线
函数的表示方法及画法
重难点分层练
回顾必备知识
例1 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2，－3)，请完成下列问题．
(1)点P在第______象限；
(2)点P关于x轴对称的点的坐标为________，到y轴的距离为_______，关于直线x＝1对称的点的坐标为__________；
一题多设问
四
(2，3)
2
(0，－3)
(3)点A为y轴上的一点，且直线AP平行于x轴，则点A的坐标为_______
，线段AP的长为______；
(4)将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后其对应点的坐标为________．
(0，－3)
2
(0，0)
提升关键能力
例2 函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数 的图象，并探究其性质．
列表如下：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … a 0 b －2 …
(1)表中a＝______，b＝________，并在平面直角
坐标系中画出该函数的图象；
2
例2题图
【解法提示】把x＝－2代入y＝－ 得，y＝ ＝2，把x＝1代入y＝－ 得，y＝－ ＝－ ， ∴a＝2，b＝－ ，函数y＝－ 的图象如解图所示；
例2题解图
(2)观察函数 的图象，判断下列关于该函数性质的结论：
①当－2≤x≤2时，函数图象是中心对称图形；
②当x＝2时，函数有最小值，最小值为－2；
③当－1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 ______；(填写所有正确结论的序号)
②③
【解法提示】观察函数y＝－ 的图象，当－2≤x≤2时，函数图象关于原点对称，故①错误；当x＝2时，函数有最小值，最小值为－2，故②正确；当－1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，故③正确．
例2题解图
(3)结合图象，请直接写出不等式 ＞x的解集为_____________
____________．
x＜－2或
0＜x＜2
【解法提示】由图象可知，函数y＝－ 与直线
y＝－x的交点为(－2，2)、(0，0)、(2，－2)
∴不等式 ＞x的解集为x＜－2或0＜x＜2.
例2题解图(共24张PPT)
第六节 二次函数图象与系数a、b、c及方程的关系
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
二次函数图象与a、b、c的关系
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
1. (2023铁岭葫芦岛10题3分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：
①abc＞0，②2a＋b＝0，③4a＋b2＜4ac，
④3a＋c＜0.正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第1题图
B
2. (2022本溪9题3分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下面结论中正确的是( )
A. abc>0 B. 2a－b＝0
C. 4a＋2b＋c<0 D. 9a＋3b＋c＝0
第2题图
D
辽宁其他地市真题
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. (2020丹东8题3分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(－1，0)，点C在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2.有以下结论：①abc>0；②若点M(－ ，y1)，点N( ，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2；③－ ＜a<－ ；
④△ADB可以是等腰直角三角形．
其中正确的有( )
第3题图
B
二次函数与一元二次方程的关系(抚顺2022.10③)
2
命题点
4. (2022抚顺10题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc>0；②该抛物线的对称轴在x＝－1的右侧；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋1＝0无实数根；④ ≥2.
其中，正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
辽宁其他地市真题
5. (2023朝阳9题3分)若函数y＝(m－1)x2－6x＋ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为( )
A. －2或3 B. －2或－3
C. 1或－2或3 D. 1或－2或－3
C
6. (2022锦州8题2分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的x与y的部分对应值如下表：
有下列结论：
①a>0；②4a－2b＋1>0；③x＝－3是关于x的一元二次方程ax2＋
(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－3≤x≤n时，ax2＋(b－1)x＋c≥0.
其中正确结论的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
x
y
B
根据二次函数解析式
判断函数图象与性质
根据二次函数
图象判断相关结论
图象
结论
根据二次函数图象
判断a、b、c的
关系式与0的关系
与一元二次方程的关系
二次函数图象与
系数a、b、c及
方程的关系
考点精讲
【对接教材】北师：九下第二章P51～P55；
人教：九上第二十二章P43～P48.
根据二次函数解析式判断函数图象与性质
判断函数图象 a a>0 开口______
a<0 开口向下
a，b b＝0 对称轴为_____轴
a，b同号 对称轴在y轴左侧
a，b异号 对称轴在y轴___侧
c c＝0 抛物线过原点
c>0 抛物线与y轴交于正半轴(0，c)
c<0 抛物线与y轴交于负半轴(0，c)
向上
y
右
根据二次函数解析式判断函数图象与性质
判断函数图象 b2－4ac b2－4ac＝0 抛物线与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac>0 抛物线与x轴有________交点
b2－4ac<0 抛物线与x轴没有交点
特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c；若a＋b＋c>0，则当x＝1时，y>0；若a－b＋c>0，则当x＝－1时，y>0
●
满分技法
判断函数图象增减性时，可在草稿纸上画出大致图象，数形结合能更快捷的解决问题
两个
根据二次函数图象判断相关结论
图象
结论 a>0 b>0 c<0 b2－4ac>0 a>0 b＝0 c＞0 b2－4ac<0 a_____0 b_____0 c_____0 b2－4ac____0 a_____0
b_____0
c_____0
b2－4ac____0
＞
＜
＝
＞
＜
＞
＜
＝
根据二
次函数
图象判
断a、b、
c的关系
式与0
的关系
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
2a＋b 对称轴x＝－ 与直线x＝1的位置关系 1. 对称轴x＝－ 在直线x＝1左侧 2a＋b＞0 2a＋b＜0
2. 对称轴x＝－ 与直线x＝1重合 2a＋b＝0 3. 对称轴x＝－ 在直线x＝1右侧 2a＋b＜0 2a－b＞0
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
2a－b 对称轴x＝－ 与直线x＝－1的位置关系 1. 对称轴x＝－ 在直线x＝－1左侧 2a－b＜0 2a－b＞0
2. 对称轴x＝－ 与直线x＝－1重合 2a－b＝0 3. 对称轴x＝－ 在直线x＝－1右侧 2a－b＞0 2a－b＜0
根据二
次函数
图象判
断a、b、
c的关系
式与0
的关系
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
a＋b＋c 抛物线与直线x＝1的交点的位置 1. 抛物线与直线x＝1的交点在x轴上方 a＋b＋c＞0 2. 抛物线与直线x＝1的交点在x轴上 a＋b＋c＝0 3. 抛物线与直线x＝1的交点在x轴下方 a＋b＋c＜0 根据二
次函数
图象判
断a、b、
c的关系
式与0
的关系
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
a－b＋c 抛物线与直线x＝－1的交点的位置 1. 抛物线与直线x＝－1的交点在x轴上方 a－b＋c＞0 2. 抛物线与直线x＝－1的交点在x轴上 a－b＋c＝0 3. 抛物线与直线x＝－1的交点在x轴下方 a－b＋c＜0 根据二
次函数
图象判
断a、b、
c的关系
式与0
的关系
与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标
1.抛物线与x轴有两个交点 一元二次方程有两个________的实数根(b2－4ac________0)
2.抛物线与x轴有________个交点 一元二次方程有两个相等的实数根(b2－4ac_____0)
3.抛物线与x轴___________交点 一元二次方程无实数根(b2－4ac _______0)
不相等
＞
一
＝
没有(或无)
＜
重难点分层练
回顾必备知识
一题多设问
例1 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象如图所示， 对称轴为直线 x＝－1，与 x轴的一个交点为 B(1，0).
结合图中信息，填空(填“＞”、“＜”或“＝”)．
例1题图
(1)a________0；
2a－b________0；
b________0；
c________0；
abc________0；
(2)b2－4ac________0；
(3)a－b＋c________0；
(4)4a－2b＋c________0；
(5)9a－3b＋c________0.
＞
＝
＞
＜
＜
＞
＜
＜
＝
例1题图
满分技法
计算或判断代数式的值或正负情况：
代数式 解题思路
2a＋b － 与1比较(结合a的符号)
2a－b － 与－1比较(结合a的符号)
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标
满分技法
代数式 解题思路
4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x＝－2，看纵坐标
9a＋3b＋c 令x＝3，看纵坐标
9a－3b＋c 令x＝－3，看纵坐标
提升关键能力
例2 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，下列结论正确的是________．(填序号)
①2a＋b＜0；
②a－b＋c＜0；
③3a＋c＜0；
④ax2＋bx＋c－1＝0有两个相等的实数根；
⑤15a＋c＜0；
⑥－2a＜b＜－4a.
一题多设问
例2题图
②⑤⑥
满分技法
对于一些较为复杂的不等式的判断，需要通过已知不等式通过计算求得：例如3a＋c→2a＋b＋a－b＋c.注：在不等式的加减时，要根据不等式的性质，注意符号的变化．
【思考】猜想一下其他式子是通过怎么的变形得到．
1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(2，0)，且对称轴为直线x＝ ，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③4a＋2b＋3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过( ，0)；⑤4am2＋4bm－b≥0.其中正确结论有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
体验辽宁考法
第1题图
D(共80张PPT)
类型一 二次函数与线段问题
第八节 二次函数综合题
微技能——动点坐标及线段表示
一阶
例1 如图①，已知抛物线 y＝－ x2＋ x＋2与 x轴交于点A，点B，与 y轴交于点 C，点 P是直线BC上方抛物线上一点．设点 P的横坐标为 t.
一题多设问
例1题图①
(1)①点 P的坐标可表示为___________________，t的取值范围为____________；
②过点P作PQ⊥x轴于点Q，交线段BC于点H，则点Q的坐标可表示为________，PQ的长可表示为______________，点H的坐标可表示为
_____________，PH的长可表示为_____________；
例1题图①
0＜t＜4
(t，－ t2＋ t＋2)
(t，0)
－ t2＋ t＋2
(t，－ t＋2)
－ t2＋2t
③过点P作PN⊥y轴交直线BC于点D，则点D的坐标可表示为________
______________________，PD的长可表示为__________；
(2)将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则点P的对应点P1的坐标可表示为______________________，PP1的长可表示为________；
(t2－3t，－ t2＋ t＋2)
4t－t2
(t－4，－ t2＋ t＋5)
5
例1题图①
(3)若点P′与点P关于抛物线的对称轴对称，则点P′的坐标可表示为_____________________，PP′的长可表示为________；
(4)如图②，过点P作PM⊥BC于点M，则点M的坐标可表示为______
_________________，PM的长可以表示为___________．
例1题图①
例1题图②
(3－t，－ t2＋ t＋2)
2t－3
一题多设问
二阶
例2 如图①，抛物线y＝ x2＋bx＋c与直线y＝－ x＋2交于点B、C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A，对称轴为直线l.
一题多设问
例2题图①
(1)求抛物线的解析式；
例2题图①
解：(1)由直线解析式得点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∵抛物线y＝ x2＋bx＋c与直线交于B、C两点，
∴点B(4，0)，C(0，2)在抛物线上，
将点B(4，0)，C(0，2)代入抛物线解析式，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x＋2；
(2)若点E为x轴上一点，当BE＝CE时，求点E的坐标；
在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝22＋e2＝4＋e2，
∵BE＝CE，
∴(4－e)2＝4＋e2，解得e＝ ，
∴点E的坐标为( ，0)；
E
(2)如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则BE＝4－e.
例2题图①
(3)如图②，设P为直线BC下方抛物线上一点．过点P作y轴的平行线交直线BC于点H.
①求当PH值最大时，点P的坐标；
例2题图②
【思维教练】设出点P横坐标为p，可表示出PH的长，利用二次函数性质可求出最值；
①解：设点P(p， p2－ p＋2)，则H(p，－ p＋2)，
∴PH＝－ p＋2－ p2＋ p－2＝－ p2＋2p＝－ (p－2)2＋2，
∵－ ＜0，0＜p＜4，
∴当p＝2时，PH值最大，最大值为2，此时，点P的坐标为(2，－1)；
例2题图②
【拓展设问】如图③，过点P作PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
【思维教练】根据三角函数表示出PD与PH的关系，从而表示出PD，再根据二次函数性质求出最值．
例2题图③
由①知，PH＝－ (p－2)2＋2，
∵PH∥OC，
∴∠PHD＝∠OCB.
∵OC＝2，OB＝4，
∴ ，
∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCB＝ ，
例2题图③
∴ ，
∵ ＜0，0＜p＜4，
∴当p＝2时，PD有最大值，最大值为 ；
②设PH交AB于点M，设点P(p， p2－ p＋2)，则H(p，－ p＋2)，M(p，0)，
∴HM＝－ p＋2，BM＝4－p，
∴HB2＝HM2＋BM2＝(－ p＋2)2＋(4－p)2＝ ，
解得p＝3或p＝5(舍去)，
∴点P的坐标为(3，－1)；
【思维教练】根据点P的坐标可表示出点H的坐标，从而表示出BH的长，再解方程即可求解；
②若BH＝ ，求点P的坐标；
例2题图③
③若点P到直线BC的距离为 时，过点P作PF∥BC，与抛物线的另一个交点为F，求点F的坐标；
【思维教练】点P到直线BC的距离即为PD的长，列方程即可求出此时点P的坐标，PF∥BC，即PF可以由BC平移得到，设出PF的直线解析式，代入点P坐标即可求出PF的解析式，联立方程组，即可求出直线PF与抛物线的另一个交点的坐标．
例2题图③
③解：PD＝ (p－2)2＋ ，由题意知PD＝ ，
解得p＝3或p＝1，此时点P的坐标为(3，－1)，(1，0)，
∵直线BC的解析式为y＝－ x＋2，
∴设直线PF的解析式为y＝－ x＋m，当直线过点P(3，－1)时，直线PF的解析式为y＝－ x＋ ，
此时点F的坐标为(1，0)；
例2题图③
当直线过点P(1，0)时，直线PF的解析式为y＝－ x＋ ，此时点F的坐标为(3，－1)，
综上可知，点F的坐标为(1，0)或(3，－1)；
例2题图③
(4)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△ACF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【思维教练】根据对称性可确定点F的位置，求出点F的坐标，再利用勾股定理即可求解．
(4)存在．要使△ACF的周长最小，即AC＋AF＋CF的值最小，如解图，连接AC、AF.
∵AC为定值，且点A与点B关于对称轴直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为所求的点F.
例2题图
F
∵抛物线的解析式为y＝ x2－ x＋2，
∴抛物线对称轴为直线 ，A(1，0)．
∴将x＝ 代入y＝－ x＋2，得y＝－ × ＋2＝ ，
∴点F的坐标为( ， )．
例2题图
F
∵在Rt△OAC中，OA＝1，OC＝2，由勾股定理得AC＝ ，
在Rt△OBC中，∵OB＝4，OC＝2，由勾股定理得
BC＝ ，
∴△ACF周长的最小值为AC＋AF＋CF＝AC＋BC＝ ＋2 ＝3 .
例2题图
F
综合训练
三阶
1. (2021沈阳25题12分)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x 轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点B坐标是(3，0)．抛物线与 y 轴交于点C(0，3)，点 P是抛物线的顶点，连接PC.
第1题图
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
第1题图
解：(1)∵y＝－x2＋bx＋c过B(3，0)，C(0，3)，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
顶点P的坐标为(1，4)；
【一题多解】y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以P点坐标为(1，4)．
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
①设直线BC的解析式为y＝kx＋n，将点B(3，0)，点C(0，3)分别代入，得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
∵直线BC与抛物线对称轴交于点D，
∵点D在对称轴上，∴点D的横坐标为1.
把x＝1代入y＝－x＋3得y＝2.∴点D的坐标为(1，2)．
∴PD＝4－2＝2.
第1题图
方法一：∴S△PCD＝2×1× ＝1.
∴S△PAB＝2S△PCD＝2×1.
由抛物线的对称性可得A(－1，0)，∴AB＝4.
设Q(m，－m＋3)，
∴ ×4·(－m＋3)＝2，或 ×4·(m－3)＝2.
∴m＝2或m＝4.
∴Q(2，1)或Q(4，－1)；
第1题图
第1题图
∴S△ABQ＝2S△PCD＝2.过点Q作CG⊥AB，垂足为点G.
方法二：如解图，过点C作CH⊥PD，垂足为点H，
S△PCD＝ PD·CH＝ ×2×1＝1.
由抛物线的对称性可得A(－1，0)，∴AB＝4.
S△ABQ＝ AB·QG＝ ×4×QG＝2.
∴QG＝1.∴点Q的纵坐标为1或－1.
把y＝1和－1分别代入y＝－x＋3中，
解得x＝2或x＝4.
∴点Q的坐标为(2，1)或(4，－1)；
G
H
②在①的条件下，当点Q在x 轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝ x－ 交直线l于点F，点G在直线y＝ x－ 上，且AG ＝AQ时，请直接写出GF的长．
【解法提示】如解图③，
第1题解图③
第1题解图③
∵当点Q在x轴上方时，点Q的坐标为(2，1)，点A的坐标为(－1，0)，
∴直线AQ的解析式为y＝ x＋ ，AQ＝ .
∵点G在直线y＝ x－ 上，
∴设G(x， x－ )．
∵AG＝AQ＝，则AG2＝(x＋1)2＋( x－ )2＝10.
解得x1＝－2，x2＝ .
∴G1(－2，－3)，G2( ，－ )．
∵l⊥AQ，直线AQ的解析式为y＝ x＋ ，
∴设直线l的解析式为y＝－3x＋m，把点Q(2，1)代入，得m＝7.
直线QF的解析式为y＝－3x＋7.
联立 解得
∴F( ，－ )．
∴FG1＝ ，FG2＝ .
②GF的长是 .
第1题解图③
2. (2023沈阳大东区一模)如图①，在平面直角坐标系中，直线BC分别与x轴，y轴交于B(3，0)，C两点，抛物线y＝ax2＋bx－ 经过B，C两点，与x轴交于A(－1，0)．
第2题图
(1)求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式_____________；
【解法提示】将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－ 中得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x－ .
令x＝0，则y＝－ .
∴C(0，－ )．
第2题图
第2题图
设直线BC的表达式为y＝kx＋n，得
解得
∴直线BC的表达式为y＝ －
(1)
(2)点D是x轴下方抛物线上的一点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，当DE＝ 时，设点D的横坐标为m，求m的值；
第2题图
(2)∵D是x轴下方抛物线上的一点，点D的横坐标为m，－1＜m＜3，
∴D(m， m2－ m－ )．
∵点E在直线BC上且直线DE∥y轴，
∴E(m， m－ )．
则EF＝－( m－ )＝－ m＋ ，
DF＝－ m2－ m－ )＝－ m2＋ m＋ .
∴DE＝DF－EF＝－ m2＋ m＋ －(－ m＋ )
＝－ m2＋ m.
∵DE＝ ，
∴－ m2＋ m＝ .
解得m1＝m2＝ ；
当0＜m＜3时，设直线DE交x轴于点F，如解图，
E
F
D
第2题图
当－1＜m＜0，设直线DE交x轴于点F，如解图，
则EF＝－( m－ )＝－ m＋ ，
DF＝－( m2－ m－ )＝－ m2＋ m＋ .
∴DE＝EF－DF＝－ m＋ －(－ m2＋ m＋ )
＝ m2－ m.
∵DE＝ ，
∴ m2－ m＝ .
解得m＝ (不合题意，舍去)或m＝ .
E
F
D
第2题图
∴m＝ .
综上所述，m的值为 或 ；
E
F
D
第2题图
【解法提示】∵B(3，0)，
∴OB＝3.
∵C(0，－ )，
∴OC＝ .
在Rt△OBC中，∵tan∠BCO＝ ＝ ，
∴∠BCO＝60°.
(3)如图②，在y轴的正半轴上取点M，在射线CB上取点N，连接MN，点P为MN的中点，且CP＝ ，请直接写出CM＋CN的最大值____．
第2题图
∵点P为MN的中点，且CP＝ ，
∴点P的轨迹是在∠OCB内部，以点C为圆心， 为半径的圆弧，不含与边CO，CB的交点．观察图形可以得出，当点P接近边CO和CB时，CM＋CN接近2 ，由对称性可知，当CP为∠OCB的平分线时，CM＋CN的值最大，
∴当△CMN为等边三角形时，CM＋CN最大．
∵△CMN为等边三角形，点P为MN的中点，
∴CM＝CN，CP⊥MN，∠CNM＝60°.
第2题图
在Rt△CPN中，sin∠CNM＝ .
∵CP＝ ，
∴CN＝ ＝2，
∴CM＋CN的最大值为4.
第2题图
(3)4
类型二 二次函数与面积问题
微技能——面积表示
一阶
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－3x＋4与x轴交于点A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DC、AC，点P是直线AC上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m.连接PA，PB，PC，BC.
一题多设问
例1题图
(1)AB的长为________，OC的长为________，对称轴为直线________，顶点D的坐标为________；
(2)S△ABC为________，S△AOC为________，S△ADC为________，S四边形AOCD为________，S四边形ABCD为________；
例1题图
5
4
10
8
(3)S△PAB可表示为_________________；S△PAC可表示为___________；S四边形ABCP可表示为______________．
例1题图
一题多设问
二阶
例2 如图①，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B(1，0)，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝－1，顶点为D，连接AC，BC.点P是直线AC下方抛物线上一点，连接PA，连接PB交AC于点F.
一题多设问
例2题图①
(1)求二次函数的解析式；
例2题图①
解：(1)∵抛物线与x轴交于B(1，0)，且对称轴为直线x＝－1.
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为A(－3，0)，
∴二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3；
(2)若△PAB的面积为8，求点P的坐标；
例2题图①
(2)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，
设P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)，
∴S△PAB＝ AB·|yP|＝ ×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|＝8，
∴p2＋2p－3＝±4，
∴p＝－1或p＝2 －1(舍去)或p＝－2 －1(舍去)，
∴p＝－1，
∴点P的坐标为(－1，－4)；
(3)如图②，若S△AFP＝S△FBC，请求出点P的坐标；
【思维教练】要求点P的坐标，已知S△AFP＝S△FBC，但两个三角形的面积都不易直接求得，可利用S△PAB－S△ABF＝S△ABC－S△AFB，设出点P坐标，分别表示出S△PAB，S△ABC，代入等量关系即可求解．
例2题图②
(3)设P(p，p2＋2p－3)，
如解图，过点P作PH⊥x轴于点H，∴H(p，0)，－3＜p＜0，
∴S△PAB＝ AB·|yP|＝ ×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|，
∵S△AFP＝S△FBC，
∴S△APF＋S△ABF＝S△PBC＋S△ABF，即S△PAB＝S△ABC，
∴2|p2＋2p－3|＝ AB·OC＝6，
∴p2＋2p－3＝±3，
∴p＝0(舍去)或p＝－2或p＝－1＋ (舍去)，p＝－1－ (舍去)，
∴P(－2，－3)；
例2题图②
H
【思维教练】要求△PAC面积S的最大值，先设点P坐标，表示出△PAC面积S，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点P的坐标．△PAC的面积不易直接求得，可作PM∥y轴交直线AC于M，利用S△PAC＝S△PAM＋S△PCM求得．
(4)如图③，连接PC，求△PAC面积S的最大值，并求出对应的点P的坐标；
例2题图③
(4)点A(－3，0)，C(0，－3)，∴直线AC的解析式为y＝－x－3，
如解图，作PM∥y轴交直线AC于点M，
M
设P(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，
则M(x，－x－3)，
∴PM＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，
∴S＝S△PAM＋S△PCM＝ PM·OA＝－ x2－ x
＝－ (x＋ )2＋ ，
例2题图③
∵－ ＜0，－3＜x＜0，
∴当x＝－ 时，S有最大值，最大值为 ，此时P点坐标为(－ ，－ )；
M
例2题图③
【拓展设问】求四边形ABCP的面积S的最大值并写出此时点P的坐标．
如解图，过点P作PR⊥AB于点R，PT⊥y轴于点T，连接OP.
S△OBC＝ OB·OC＝ ×1×3＝ ，
S△AOP＝ AO·PR＝ ×3×(－x2－2x＋3)
＝－ x2－3x＋ ，
S△POC＝ OC·PT＝ ×3×|x|＝－ x，
则S＝S△OBC＋S△AOP＋S△OCP＝ － x2－3x＋ － x
＝－ x2－ x＋6，
例2题图③
R
T
∴S关于x的函数解析式为S＝－ x2－ x＋6(－3＜x＜0)，
∵S＝－ x2－ x＋6＝－ (x＋ )2＋ ，
∵－ ＜0，－3＜x＜0，
∴当x＝－ 时，四边形ABCP的面积S有最大值，
最大值为 .
此时点P坐标为(－ ，－ )；
例2题图③
R
T
【思维教练】先设点P坐标，表示出△PAC的面积，利用面积之间的关系表示出S，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点P的坐标．
(5)如图④，△PAC与△PBC重合部分的面积为S，若△PAC与△PBC重合部分的面积是△PAC面积的 ，求S的最大值并写出此时点P的坐标；
例2题图④
例2题图④
(5)设P(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，
由(4)知，S△APC＝－ x2－ x，
∵△PAC与△PBC重合部分的面积是△PAC面积的 ，
∴S＝ S△APC＝ (－ x2－ x)
＝－ x2－ x＝－ (x＋ )2＋ ，
∵－ ＜0，－3＜x＜0，
∴当x＝－ 时，S有最大值，最大值为 ，
此时点P的坐标为(－ ，－ )；
【思维教练】要求点P的坐标，已知过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，可先设点P的坐标，设过点P且平行于y轴的直线交AC于点Q，表示出△PQC和△PQA的面积，再代入比例关系式S△PQC∶S△PQA＝1∶3或S△PQA∶S△PQC＝1∶3，即可求解．
(6)如图⑤，过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，求此时点P的坐标．
例2题图⑤
(6)设过点P且平行于y轴的直线交AC于点Q，
∵直线PQ将△PAC分成面积比为1∶3的两部分，
∴
设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，
则S△PQC＝ PQ·|x|＝－ PQ·x，
S△PQA＝ PQ·|－3－x|＝ PQ·(x＋3)，
例2题图⑤
①当 时， ，解得x＝－ ，
此时点P的坐标为(－ ，－ )．
②当 时， ，解得x＝－ ，
此时点P的坐标为(－ ，－ )．
综上可得，当过点P且平行于y轴的直线将△PAC分成面积比为1∶3的两部分时，点P的坐标为(－ ，－ )或(－ ，－ )．
例2题图⑤
综合训练
三阶
1. 如图①，已知二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝2OA＝4.动点M从点B出发，以每秒 个单位长度的速度向终点C运动，运动时间为t秒．
(1)求二次函数的表达式；
第1题图
第1题图
解：(1)∵OB＝2OA＝4，
∴A(－2，0)，B(4，0)，
把A(－2，0)，B(4，0)分别代入y＝ x2＋bx＋c得
解得
∴二次函数的表达式为y＝ x2－x－4；
(2)过点M作PM⊥BC交y轴于点P，当t＝3时，求点P的坐标；
∵点B(4，0)，C(0，－4)，
∴BC＝4 ，∠OBC＝∠OCB＝45°，
当t＝3时，BM＝3 ，
∴CM＝BC－BM＝ ，
∵PM⊥BC，
∴CP＝2，OP＝OC－CP＝2，
∴点P(0，－2)；
(2)如解图，
P
M
第1题图
(3)如图②，若点E是线段AC的中点，点M运动的同时，动点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点M运动到终点时点N停止运动，设△EMN的面积是S，请直接写出S取最小值时，点N的坐标．
第1题图
∵EG∥y轴，∴△AGE∽△AOC，
∵点E是线段AC的中点，
∴ ，
【解法提示】如解图，过点E作EG⊥x轴于点G，
G
由A(－2，0)，C(0，－4)，得E(－1，－2)，则G(－1，0)，
点N从点A运动到点B的时间为[4－(－2)]÷1＝6秒，
点M从点B运动到点C的时间为 ÷ ＝4秒，
∴0≤t≤4，过点M作MF⊥x轴于点F，
依题意得AN＝t，BM＝ t，
∵OC＝OB＝4，∠OBC＝45°，
∴MF＝FB＝t，
∴NG＝|1－t|，GE＝2，GF＝6－1－t＝5－t，NF＝6－t－t＝6－2t，
第1题图
G
当0≤t<1时，NG＝1－t，
∴S△EMN＝S△NEG＋S四边形GEMF－S△NMF
＝ ×2×(1－t)＋ ×(t＋2)×(5－t)－ t×(6－2t)
＝ t2－ t＋6；
当1≤t≤4时，NG＝t－1，
∴S△EMN＝S四边形GEMF－S△NEG－S△NMF
＝ ×(t＋2)×(5－t)－ ×2×(t－1)－ )t×(6－2t)
＝ t2－ t＋6.
第1题图
G
∵ ＞0，且0≤t≤4，
当t＝ 时，S取得最小值，此时AN＝ ，
点A的坐标是(－2，0)，
∴点N的坐标为( ，0)．
∴ t2－ t＋6＝ (t－ )2＋ ，
(3)S取最小值时，点N的坐标为( ，0)．
第1题图
G
2. (2023葫芦岛龙港区一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
第2题图
(2)P是线段BC上一点，射线AP交抛物线于点F.
①连接FC，FB，若S△FPC＝2S△FPB，求点F的坐标；
①过点P作PM⊥x轴于点M，如解图，
∵S△FPC＝2S△FPB，∴PC＝2PB，即BC＝3PB，
∴
由y＝－x2＋2x＋3可得C(0，3)，CO＝3，
∴ 解得PM＝1，
同理可得BM＝1，
∴OM＝OB－BM＝2，即M(2，0)，∴P(2，1)，
第2题图
M
设直线AP的解析式为y＝kx＋b，将A(－1，0)，P(2，1)代入得，
，解得
∴直线AP的解析式为y＝ x＋ ，
联立 解得 (舍) ，
∴点F的坐标为( ， )；
第2题图
M
②抛物线的顶点为D，当DP＋ BP有最小值时，将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，设△A′D′P′与△BOC重叠部分的面积记为S，请直接写出S与t的函数关系式．
【解法提示】如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴△BCO为等腰直角三角形，直线BC的解析式是y＝－x＋3，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴PE＝ BP，
D
备用图
P
E
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1，4)，
∴DP＋ BP最小时点P的坐标为(1，2)，
∴DP＋ BP最小值即是DP＋PE最小值，此时D、P、E三点共线，
将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，分两种情况：
D
备用图
P
E
情况一：当0≤t≤1时，A′D′与OC、BC分别交于H、M，A′P′与OC、BC分别交于点G、N，如解图③，
由A(－1，0)，D(1，4)可得直线AD解析式为y＝2x＋2，
∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，
∴A′(－1＋t，0)，A′D′∥AD，
∴直线A′D′解析式为y＝2x＋2－2t，
∴令x＝0得y＝2－2t，即H(0，2－2t)，
∴CH＝OC－OH＝1＋2t，
第2题解图③
联立直线A′D′与直线BC，得 解得
∴M ，
∴S△CHM＝ CH·xM＝ (1＋2t)2，
由A(－1，0)，P(1，2)得直线AP解析式为y＝x＋1，
而A′(－1＋t，0)，A′P′∥AP得A′P′解析式为y＝x＋1－t，
∴A′P′与y轴交点G(0，1－t)，同理可得
与直线BC交点N(1＋ t，2－ t)，
第2题解图③
∴OG＝1－t，S△CGN＝ CG·xN＝ (2＋t)2，
∴S＝S△CGN－S△CHM＝ (2＋t)2－ (1＋2t)2＝－ t2＋ t＋ ；
情况二：当1＜t≤4时，A′D′交BC于点R，A′P′交BC于点Q，如解图④，
∵直线AD解析式为y＝2x＋2，A′D′∥AD，A′(t－1，0)，
∴直线A′D′解析式为y＝2x＋2－2t，
同理可得点R的坐标为( t＋ ，－ t＋ )，
∵直线AP的解析式为y＝x＋1，
而A′(t－1，0)，A′P′∥AP得直线A′P′解析式为y＝x＋1－t，
第2题解图④
第2题解图④
同理可得点Q坐标为( t＋1，－ t＋2)，
∴S＝S△RA′B－S△QA′B＝ A′B·yR－ A′B·yQ
＝ (4－t)(－ t＋ )－ (4－t)(－ t＋2)＝ t2－ t＋ .
综上所述，S与t的函数关系式为：
②S与t的函数关系式为：
3. (2021聊城)如图，抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，－2)，连接AC，BC.
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋ x＋c过点A(1，0)，C(0，－2)，
∴ 解得
∴抛物线的表达式为y＝ x2＋ x－2.
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，则 解得
∴直线AC的表达式为y＝2x－2；
第3题图
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由如下：
∵抛物线的表达式为y＝ x2＋ x－2，
∴点B的坐标为(－4，0)．
∵OA＝1，OC＝2，
∴ .
第3题图
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB.∴∠ACO＝∠CBO.
∴∠ACO＋∠BCO＝∠CBO＋∠BCO＝90°，∴AC⊥BC.
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，如解图，延长AC至点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E.
又∵∠ACO＝∠DCE，
∴△ACO≌△DCE(AAS)．
∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为－1，
∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ；
∴点D不在抛物线的对称轴上；
D
第3题图
E
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求 的值最大时点P的坐标．
(3)设过点B、C的直线表达式为y＝mx＋n，
∵C(0，－2)，B(－4，0)，
∴ 解得
∴过点B、C的直线解析式为y＝－ x－2.
P
Q
第3题图
设点P的坐标为(m， m2＋ m－2)，则点N的坐标为(m，－ m－2)，
∴PN＝－ m－2－( m2＋ m－2)＝－ m2－2m，
∵PN∥AM，
∴△AQM∽△PQN.
∴ .
如解图，过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，
∴点M坐标为(1，－ )，
P
Q
M
H
N
过点P作x轴的垂线交BC于点N，交x轴于点H.
第3题图
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底)，
则△BPQ与△BAQ的面积比为 ，即
∴
∵－ ＜0，－4＜m＜0，
∴当m＝－2时， 有最大值，且最大值为 ，
此时点P的坐标为(－2，－3)．
P
Q
M
H
N
第3题图
