1.3 线段的垂直平分线 课时培优练习-2023-2024学年北师大版数学八年级下册 含解析

1.3 线段的垂直平分线课时培优练习
2023-2024学年北师大版数学八年级下册
一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形
2.下列条件中，不能判定直线是线段不在上的垂直平分线的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，平分
3.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、若，的周长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.如右上图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：
“如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，”，
甲说：；
乙说：；
丙说：为等边三角形；
丁说：过点作，可以求出．
若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的则“卧底”是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 四个人都不是卧底
7.如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如有上图，在四边形中，，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则为( )
A. B. C. D.
10.如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：；垂直平分；一定平行；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：
11.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰的在直线的夹角为，则比等腰三角形顶角的度数为______．
12.如图，，，的垂直平分线交于，则__________度．
13.如图，在中，，，，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，那么的长为________．
14.如右上图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为______．
15.如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，，则的长度为______．
16.如图，在中，，，面积为，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则的周长的最小值为______．
17.如右上图，在中，是的中点，，，于点若，，则的长为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，，求线段的长．
19.如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接．
若是的中点，求证：；
若，求证：为等边三角形．
20.如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、．
试说明是等腰三角形．
若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系．
21.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且 ．
求证：；
若，，求的周长．
22.如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
求证：垂直平分；
若，写出与之间的数量关系，不需证明．
23.如图，把一张长方形的纸片沿对角线折叠，点落在处，交于点．
求证：；
如图，连接，求证：；
如图，延长，相交于点，连接并延长交于点，求证：垂直平分．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
【解析】【解答】
，，直线是线段的垂直平分线，A正确；
，，直线是线段的垂直平分线，B正确；
当，时，直线不一定是线段的垂直平分线，C错误；
，平分，直线是线段的垂直平分线，D正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：垂直平分线段，，
，，
，
，
，
的周长，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：平分，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，作于点，
由题意得：，
在中，，
，，所以甲对；
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，所以乙对；
，
，所以丁对；
在中，，，由勾股定理可得，
，
过作于点，
，，
，，
，
在中，
由勾股定理可得：，
在中，，，
由勾股定理可得：，
，
，
为等边三角形，丙对，
故四人都不是卧底，
所以选项说法正确，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：垂直平分，
，
，
又平分，
，
．
故选B
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由题可得，点和点在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，．
在中，，
，
即，
解得．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
，
的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，
，，
，，
，
．
故选A．
10.【答案】
【解析】解：设与相交于点，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
不一定平行，
的面积，的面积，，
，
上面四个结论，其中正确的是，
故选：．
11.【答案】或
【解析】解：当为锐角时，如图：
，，
，
当为钝角时，如图：
，，
顶角．
故答案为：或．
12.【答案】
【解析】解：中，，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
是的外角，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是的垂直平分线，
．
在中，，
即，
解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：点在的垂直平分线上，
，
，
是的一个外角，
，
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图，设所作直线交边于点，
由作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，
，，
四边形是菱形，，，
，，
，，
在中，，
，
负值舍去，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接．
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】连接，，过点作，交的延长线于点，则因为，所以，所以，因为，，所以在和中， 所以≌，所以，因为是的中点，，所以垂直平分，所以在和中， 所以≌，所以设因为，，所以，，所以，解得，所以．
18.【答案】解：连接，
，，
，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
线段的长为．
19.【答案】证明：连接，
是边的垂直平分线，
，
为的中点，
，
，
，为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
；
证明：，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
的垂直平分线为，
，
为等边三角形．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
点恰好在线段的垂直平分线上，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
21.【答案】，，垂直平分，
，
，，
．
在直角三角形中，
，
，
，，垂直平分，
，，
，
的周长．
22.【答案】证明：为的角平分线，，，
，，
在和中，
≌，
，
点、都在的垂直平分线上，
垂直平分；
，
证明：为的角平分线，，
，
，
，，
，
，
．
23.【答案】证明≌，
，
又四边形是长方形，
，
，
，
．
四边形是长方形，
，
又，
，
，
又，且，
，
；
四边形是长方形，
，，，
在与中，
≌，
，
，
又，
是的垂直平分线，
即垂直平分．