1.4 角平分线 课时培优练习-2023-2024学年北师大版数学八年级下册 含解析

1.4 角平分线 课时培优练习
2023-2024学年北师大版数学八年级下册
一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.三角形中到三边距离相等的点是( )
A. 三条边的中垂线交点 B. 三条高交点
C. 三条中线交点 D. 三条角平分线的交点
2.点在内部，且到三边的距离相等，，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，，为、的平分线交点，于，若，则与之间的距离是( )
A. B. C. D.
5.如图，中，，，，平分，交于，于，则等于( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为( )
A. B. C. D.
9.如图所示，在中，，是中线，，，垂足分别为，，则下列四个结论中：上任意一点与上任意一点到点的距离相等；上任意一点到、边的距离相等；；正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：；当时，；；若，则其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：
11.如图，，，于点，若，则_________．
12.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 ．
13.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是________．
14.如图，是的角平分线，于点，点在上，点在上，且，若和的面积分别是和，则的面积为______．
15.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，，如图，则是多少度？大家一起热烈地讨论与交流，小英第一个得出正确答案，是________．
16.如图，四边形中，平分，，，若的面积为，则的面积为______．
17.如图，是等边三角形，，于点，于点，下列结论：点在的角平分线上；；；其中，正确的序号是______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.已知，如图，，，是的角平分线，求证：．
19.如图，中，，为斜边上的高，的角平分线分别交，于点，，过作于，试确定线段和的关系，并说明理由．
20.如图，已知与点、求作一点，使点到边、的距离相等，且保留作图痕迹，不写作法
21.如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点．
求证：≌；
若，求的长．
22.如图，在中，，平分，于点，点在上，求证：．
23.如图，点是中一点，于，于，连接，．
求证：平分．
若，求的度数．
24.如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点在上，且，动点在边上不包括两端点，连接．
【问题感知】
填空：_____填“”，“”或“”；
【探究发现】
若，小杰经过探究，得到结论：请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
已知，，，若点关于的对称点落在边上，连接，请直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：
三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：连接、、，过点作于点，过点作于点，如图，
到三角形三边距离相等，，，
，，
和中，根据，，
可得≌，
，
是的角平分线，
同理可证，分别为、的角平分线，
，，
，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，平分，
，
，，
，
，
，
的长为．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，交于，
，
，
是的平分线，，，，
，
是的平分线，，，
，
，
即与之间的距离是．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：是的平分线，，，
．
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：垂直平分，
，
，
又平分，
，
．
故选B
7.【答案】
【解析】解：过点作于点．
，，
．
由作图过程可知，为的平分线，
，，
，
为等腰三角形，
，
．
在和中，，，
≌，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：点为与的平分线的交点，
点到三边的距离相等，
过作，连接，
则，
又，，为直角三角形，
，
，
解得：．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：，，
平分，
，
上任意一点到、边的距离相等，
故正确；
，
，
，，
，，
，
故正确；
上任意一点与上任意一点到点的距离不一定相等，
故错误．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：和的平分线，相交于点，
，，
，
故正确；
，
，
，分别是和的平分线，
，
，
，
，
如图所示，在上取一点，使，
是 的 角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故正确；
不一定成立，故错误
如图所示，作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，
，
故正确；
综上，正确，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：作于，
，，，
，，
，
，，
，，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：如图，作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
是中的角平分线，，
，
由图可知，，
，
解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
是的角平分线，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
和的面积分别为和，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：过点作，
平分，，且是的中点，
，
又，且，
≌，
，
又，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：作于，于，
由题意得，，
解得，，
平分，，，
，
的面积，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：因为是等边三角形，，，且，
所以点在的平分线上，故正确；
由可知，点在的平分线上，
所以，
在与中，
所以，
所以，故正确；
因为，
所以，
所以，故正确；
由得，是等边三角形，
所以，
所以，
在与中，
所以，故正确，
综上所述，都正确，
故答案为：．
18.【答案】证明：中，，，
，
是的角平分线，
，
，
，
在中，，
，
．
19.【答案】解：．
理由：平分，，于点，
，，
，
，
，，
，
，
．
20.【答案】解：作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点．
点即为所求．

【解析】作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求．
本题考查基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：，，平分，
，，
在和中，
，
≌；
解：由知≌，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
22.【答案】证明：平分，，，
，
在和中，
≌，
．
23.【答案】证明：，
，
于，于，
平分到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
解：，于，于，
，
，
．
24.【答案】解：；
证明：如图，作 于点 ，
在 和 中
，
，
．
又由知 ，
，
在 和 中
，
，
．
成立，
证明：如图，
，
，
延长 交 的延长线于点 ，
，
，
在 和 中
，

， ．
，
，
又 ， ，
平分 ，
．
当 时，如图，在线段 上取点 ，使得 ．
，
点 是点 关于 的对称点，
，
，
可得 ，
， ，
，
．
当 时，如图，
在线段 上取点 ，使得 ，
同理可得 ， ，
．
故答案为： 或 ．