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2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷（测试范围：20.1-22.3）
一、单选题
1．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案．
【解析】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键．
2．一个多边形内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式，外角和等于，列式求解即可．
【解析】解：设多边形的边数是n，则
，
整理得，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键．
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由无理方程、一元二次方程的解法，分别解各方程，即可得出答案．
【解析】A、由得：，原方程有实数解，故A符合题意；
B、由得：，
∵一个数的算术平方根不能为负数，
∴原方程无实数解，
故B不符合题意；
C、得判别式，
∴无实数根，，
故C不符合题意；
D、去分母得，解得，此时分母为0，
∴无实数根，
故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验．
4．如图，平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出，．再根据线段垂直平分线的性质可得出AE=CE，最后由三角形周长公式计算即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∵的垂直平分线交于点，
∴AE=CE．
∴．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
5．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【解析】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B说法正确，符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项C错误，不符合题意；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D错误,不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假辨别，掌握平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定定理是关键．
6．将一个正方形分成个小正方形，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，根据题意，画出图形即可判断求解，正确画出图形是解题的关键．
【解析】解：如图，，，
∴的值可以是，不可能是，
故选：．
二、填空题
7．写出一个二元二次方程 ，使得该方程有一个解是．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题为开放型的题目，答案不唯一，根据二元二次方程的定义及该方程的解直接写出方程即可．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查二元二次方程的定义，方程的解，理解方程的解和二元二次方程的定义是解题的关键．
8．如图，在中，，的平分线交于E，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质，可得，即可得，由角平分线的定义可得，进而可得，结合已知条件根据即可求得．
【解析】如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
故答案为：．
9．已知点是直线上一点，则的解集是 ．
【答案】
【分析】由可得随的增大而减小，由点是直线上一点结合函数图象的性质即可得到答案．
【解析】解：直线中，
随的增大而减小，
点是直线上一点，
当时，函数图象在的上方，
的解集是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
10．如下图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=4，则BD= .
【答案】8
【分析】由矩形的性质可得： 从而可得答案．
【解析】解： 矩形ABCD，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
11．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为 .
【答案】
【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．
【解析】∵平行四边形两条对角线互相平分，两条对角线的长分别为4和，
∴它们的一半分别为2和，
∵，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．
12．一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有 条．
【答案】6
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可．
【解析】解：设此多边形的边数为，
由题意得:，
解得：，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数:
故答案为: 6．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
13．若、是一次函数的图象上的不同的两点，则 0．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】根据一次函数的性质求解即可．
【解析】解：一次函数，
∴随的增大而增大
、是一次函数的图象上的不同的两点，设
则
∴，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的有关性质．
14．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ．
【答案】
【分析】设，两边平方可得，将原方程变形，整体代入可得．
【解析】解：设，
∴，，
∴，
则原方程为：，整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理方程，换元法，解题的关键是根据换元法求出，整体代入．
15．如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则 ．
【答案】/105度
【分析】由正方形的性质可得，可得，则是等边三角形，，据此即可求解．
【解析】解：如图，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质及等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点、的坐标分别为，，若点在轴上，点在轴上，以、、、为顶点作平行四边形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】分三种情况，由平行四边形的性质可得出答案．
【解析】解：若以为边，四边形为平行四边形，点在轴的正半轴，
∵点、的坐标分别为，，
∴，；
若以为对角线，四边形为平行四边形，点在轴负半轴，
∴，；
若以为边，四边形为平行四边形，点在轴的负半轴，
∴，；
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
17．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为 ．
【答案】
【分析】过B作BH⊥AF于H，联结EC交BM于G，可证明，即可得到，利用面积法求出EG的长度即可．
【解析】过B作BH⊥AF于H，联结EC交BM于G
∵正方形的边长为1，点是边的中点，
∴
∴
∵将沿直线翻折，
∴EC⊥BM，,
∵BH⊥AF,
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠问题、等腰直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，证明．
18．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °．
【答案】或或
【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，图三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数．
【解析】解：是四边形的美丽线，
是等腰三角形．
，
如图，当时，
，，
是正三角形，
．
，
，
，
．
如图，当时，
．
，
四边形是正方形，
，
如图，当时，过点作于，过点作于，
．，
，．
，
四边形是矩形．
．
，
，
．
，
．
，
，
，
．
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用．解答如图3这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
三、解答题
19．解方程：
【答案】x＝9
【分析】方程两边都乘（x＋1）（x 1）得出6x＝（x＋1）（x 1） 5（x＋1）＋3（x 1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：
解方程两边都乘（x＋1）（x 1），得6x＝（x＋1）（x 1） 5（x＋1）＋3（x 1），
整理得：x2 8x 9＝0，
解得：x＝9或 1，
检验：当x＝9时，（x＋1）（x 1）≠0，
所以x＝9是原方程的解，
当x＝ 1时，（x＋1）（x 1）＝0，
所以x＝ 1是增根，
所以x＝ 1不是原方程的解，
即原方程的解是x＝9．
【点睛】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．
20．解方程：．
【答案】x=4
【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案．
【解析】解：由得：，
两边平方得：4x-16=16+x2-8x，
解得x=4或x=8，
当x=4时，左边=，右边=4，
∴左边=右边，
∴x=4是原方程的解，
当x=8时，左边=，右边=4，
∴左边≠右边，
∴x=8不是原方程的解，
∴x=4．
【点睛】本题考查解无理方程，将无理方程化为有理方程是解题的关键，容易漏掉检验．
21．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
22．如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．
【答案】
【分析】利用正方形的性质求出，再根据角平分线的性质可得，进而可证明，问题随之得解．
【解析】∵正方形中，，为对角线，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明，是解答本题的关键．
23．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元
【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据：甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案．
【解析】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，
根据题意可得：，
解这个方程，得，
经检验，都是原方程的根，
但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去，
万元；
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
24．已知，点是第一象限内的点，直线交y轴于点，交x轴负半轴于点A．连，．
(1)求的面积；
(2)直接写出点A的坐标__________和m的值__________．
【答案】(1)2；
(2)，3．
【分析】（1）根据三角形面积公式求解；
（2）先计算出，利用三角形面积公式得，解得，则A点坐标为；再利用待定系数法求直线的解析式，然后把代入可求出m的值．
【解析】（1）解：的面积；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴A点坐标为；
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
∴直线的解析式为，
把代入得．
故答案为：，3．
【点睛】本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图形利用点的坐标求面积．
25．如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作分别交、边于点E、F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答．
（2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答．
【解析】（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵点是的中点
∴
在和中
∴
∴
已知
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形
∴
∵四边形是菱形
∴
设菱形的边长为，
则，
在中
即
解得
所以菱形的边长为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形性质证明全等即可；
（2）联结BD，首先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据垂直平分线的性质求出BE的长度，即可求出CG的长度．
【解析】（1）证明：∵正方形，∴，，
同理：，，
∴，
∴在和，
，
∴，∴
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，联结BD，
∵点H为中点，，
∴为的垂直平分线，∴，
∵，
∴，∴．
∵，∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等和垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质并作出辅助线．
27．如图，四边形为菱形，．，，．
(1)点坐标为______；
(2)如图2，点在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标．若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；的最小值为；②不变，点F的横坐标为．
【分析】（1）先求出，，再由菱形的性质得到，则；
（2）①设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变．
【解析】（1）解：∵，，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴的最小值为．
②点F的横坐标不变，理由如下：
如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键．
28．四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点．
(1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：∠AEB=∠PCD；
(2)如图1，若PA=PD且PC⊥BE时，求此时∠ABC的度数；
(3)若∠ABC=90°且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE是等腰三角形，求线段BP的长．
【答案】(1)见解析
(2)∠ABC=60°；
(3)线段BP的长为3-3或9-3．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形得AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，证明△PAD≌△PCD，得∠PAD=∠PCD，因为∠PAD=∠AEB，所以∠AEB=∠PCD；
（2）先证明△ABP≌△CBP，得∠PAB=∠PCB=90°，再推导出∠E=∠PBE=∠PBA，则3∠E=90°，得∠E=30°，所以∠ABC=90°-∠E=60°；
（3）分两种情况，一是点E在边BC上，PE=CE，可推导出∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，得∠PAB=30°，先求得BE=2，作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，得PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∠FPE=∠PAB=30°，可求得EF=3-，则BP=BF=3-3；二是点E在边BC的延长线上，PC=EC，则∠CPE=∠E，先推导出∠E=30°，再求得BE=6，作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°，∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，BF=PF，可求得BF=PF=9-3，则BP=BF=9-3．
【解析】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，
∴∠PAD=∠AEB，
∵PD=PD，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠PAD=∠PCD，
∴∠AEB=∠PCD；
（2）解：如图2，∵AB=CB，∠PBA=∠PBC，PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∵PC⊥BE，
∴∠PAB=∠PCB=90°，
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PAD=∠E，∠PDA=∠PBE，
∴∠E=∠PBE，
∴∠E=∠PBE=∠PBA，
∵∠E+∠PBE+∠PBA=90°，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，
∴∠ABC=90°-∠E=60°；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，AB=6，
∴四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC=DC=6，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD= ，
如图3，点E在边BC上，PE=CE，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠PCB=∠PAB，
∵∠PCB=∠CPE，
∴∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，
∵∠AEB+∠PAB=90°，
∴2∠PAB+∠PAB=90°，
∴∠PAB=30°，
∴AE=2BE，
∵AB2+BE2=AE2，
∴62+BE2=（2BE）2，
∴BE=2，
作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，
∴PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，
∴∠FPE=∠PAB=30°，
∴PE=2EF，
∴BF=PF=EF，
∴EF+EF=2，
∴EF=3-，
∴BF=PF=（3-）=3-3，
∴BP=BF=（3-3）=3-3；
如图4，点E在边BC的延长线上，PC=EC，则∠CPE=∠E，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠PAB=∠PCB=∠CPE+∠E=2∠E，
∵∠PAB+∠E=90°，
∴2∠E+∠E=90°，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=12，
∵AB2+BE2=AE2，
∴62+BE2=122，
∴BE=6，
作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°，
∴∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，
∴BF=PF，
∴EF==PF=BF，
∴BF+BF=6，
∴BF=PF=9-3，
∴BP==BF=（9-3）=9-3，
综上所述，线段BP的长为3-3或9-3．
【点睛】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、二次根式的混合运算等知识，此题难度较大．
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2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷（测试范围：20.1-22.3）
一、单选题
1．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一个多边形内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．将一个正方形分成个小正方形，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
7．写出一个二元二次方程 ，使得该方程有一个解是．
8．如图，在中，，的平分线交于E，则的长为 ．
9．已知点是直线上一点，则的解集是 ．
10．如下图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=4，则BD= .
11．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为 .
12．一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有 条．
13．若、是一次函数的图象上的不同的两点，则 0．（填“”、“”或“”）
14．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ．
15．如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点、的坐标分别为，，若点在轴上，点在轴上，以、、、为顶点作平行四边形，则点的坐标为 ．
17．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为 ．
18．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °．
三、解答题
19．解方程：
20．解方程：．
21．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
22．如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．
23．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
24．已知，点是第一象限内的点，直线交y轴于点，交x轴负半轴于点A．连，．
(1)求的面积；
(2)直接写出点A的坐标__________和m的值__________．
25．如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作分别交、边于点E、F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
26．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长．
27．如图，四边形为菱形，．，，．
(1)点坐标为______；
(2)如图2，点在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标．若变化，请说明理由．
28．四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点．
(1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：∠AEB=∠PCD；
(2)如图1，若PA=PD且PC⊥BE时，求此时∠ABC的度数；
(3)若∠ABC=90°且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE是等腰三角形，求线段BP的长．
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