2024届高三4月大联考
科目：数学
(试题卷)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上
无效。
3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺
页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
姓
名
准考证号
祝你考试顺利！
机密★启用前
2024届高三4月大联考
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.(2一x)5的展开式中，x8的系数是
A.160
B.-160
C.220
D.-220
2.已知集合M={xx2-7x+12<0},N={x|x-1<4},则M∩N=
A.(-00,5)
B.[-3,4]
C.(6,8)
D.(3,4)
3.若复数x满足=i,则之可以是
A.1+i
B.2+i
C.1-i
D.1+2i
4.原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖
导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂
法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次(1个变为2个)需要约24分钟，那么
在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（参考数据：
1g2≈0.3)
A.4小时
B.5小时
C.6小时
D.7小时
【高三数学试题第1页（共7页）】
5.已知直线x+2y十2=0与抛物线C:y2=ax有唯一交点，则C的准线方程为
A.x=-1
B.x=1
C.x=-
2
D.x=1
2
6.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利
用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应
国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD改造为绿化公园，并拟计划
修建主干路AC与BD.为更好的规划建设，利用无人机对该地区
俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，AD⊥AC,AB⊥BC,AC
平分∠BCD,BD=CD,则cos∠ACD=
6
A.3
2w2
B.9
22
c.
7.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放人编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽
放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是
7
7
6.4
C.2
17
D.24
8.使得不等式sin(sin20)cos(sin0)·cos(cos0)一sin(sin0)·sin(cos0)成立的一
个充分不必要条件是
A.0e[o,4]
B.0e[]
C9∈[3
D.9e[x,]
【高三数学试题第2页（共7页）】２０２４届高三４月大联考 数学
参考答案、提示及评分细则
１．【答案】B
【解析】由题意可得其展开式中x３ 系数为C３×２３× (－１)３６ ＝－C３６×８＝－１６０,故选B．
２．【答案】D
【解析】由题意可得M＝(３,４),N＝(－３,５),M∩N＝(３,４),故选D．
３．【答案】A
【解析】设 zz＝a＋bi,则z＝a－bi, ＝i,即a＋bi＝i(a－bi),a＋bi＝ai＋b,即a＝b,故选z A．
４．【答案】C
【解析】设适宜条件下１个大肠杆菌增长到１万个大肠杆菌大约需要x 分钟,
x
则１ ２２４＝１００００,两边取对数得
x ４×２４ ９６
２４ lg２＝lg１００００＝４
,所以x＝ ≈ ≈３２０,所以大约lg２ ０．３
需要３２０ １６
６０＝ ≈５．３
小时,故至少需要６小时,故选３ C．
５．【答案】C
x＋２y＋２＝０
【解析】依题意,联立{ ,消去x 得y２＋２ay＋２a＝０,y２＝ax
则Δ＝４a２－８a＝０,由a≠０得a＝２,故抛物线C 的方程为y２＝２x,其准线方程为
１
x＝－ ,２
故选C．
６．【答案】A
【解析】设∠ACD＝θ,则∠BCD＝２θ;设CD＝BD＝a,则 AC＝acosθ,BC＝acos２θ．故在
a２＋a２cos４ ２
△BCD 中,由余弦定理可得
θ－a １
cos２θ＝ ２ ２２a acos２θ ＝２cosθ
,而cos２θ＝２cosθ－１,故
２ １
cos２θ＝ ,cos２θ＝ ,直角三角形ACD 中,θ为锐角,故 ,故
６
３ ３ cosθ＞０ cosθ＝
,故选
３ A．
７．【答案】B
【解析】由题意可得至少有２个凹槽与其内小球编号相同的情况只有均相同或恰好有２个相
同．不妨用√表述相同,×表示不同,则满足题意的排列方式有:√√√√、√√××、√×√
、 、 、 、 ,共 种情况,即概率为７ ７× √××√ ×√√× ×√×√ ××√√ ７ ４＝ ,故选A４ ２４
B．
【高三数学试题参考答案 第 １ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
８．【答案】C
【解析】令 πt＝sinθ＋cosθ＝ ２sin(θ＋ ) ∈[－ ２,２],则已知不等式化为sin(t２ )４ －１ ≤cost
π
＝sin( ２＋t) ．
t２－１∈[－１,],
π
１ ＋t∈ éπ π ùêê － ２, ＋ ２úú ,故原不等式的解分两段:２ ２ ２
π π
① － ２≤ éê ,π úù ,原不等式化为 ２
π
２ ２＋t≤π－１ t∈ － ２ －１ t －１≤ ＋t． ê ２ ú ２
即 πt２－t－１－２≤０．
π π π
②π－１≤２＋t≤ ＋ ２ t∈
êéπ , ùê －１ ２úú ,原不等式化为 ２２ ２ t －１≤π－ ( ２＋t) ．
即t２
π
＋t－１－２≤０．
四个选项对应的t取值范围分别为[１,２],[１,２],[－１,０],[－ ２,－１],当t＝± ２时显然
不满足题意,t∈[－１,０]时易验证满足第一种情况,故选C．
９．【答案】ABD
【解析】整理直线l的方程,得m(x－y)＋２(x＋y)－４＝０,当x＝y 时,直线方程与m 的取值
无关,代入解得x＝y＝１,A正确;整理圆C 的方程,得(x＋２)２＋(y－３)２＝４,B正确;令圆心
到直线 的距离 |５m＋２|C l d＝ ≤２,解得m∈[ １４ù－２, ú ,C错误;将(－２,３)代入
(m＋２)２＋(m－２)２ １７
ú
直线l的方程,解得
２
m＝－ ,D正确．故选５ ABD．
１０．【答案】BCD
【解析】如图,当平面BAC⊥平面DAC 时,三棱锥体积最大,记E 为AC
中点,此时DE⊥平面BAC,因为AB 平面BAC,所以AB⊥DE,因为
CD∩DE＝D,所以AB 与CD 不垂直,A错误．
对于B:直线BD 和平面ABC 所成角即为∠EBD,因为tan∠EBD＝
ED ,故 π＝１ ∠EBD＝ ,B正确．对于 C:由于BC＝CD＝BA＝AD,取BE ４
BD 中点G,则有CG⊥BD,AG⊥BD,故∠CGA 为平面ABD 与平面BCD 所成角的平面
３ ３
２ ２ ２ ２＋２－４
角 １．则cos∠CGA＝ AG ＋CG －AC , 正确２AG×CG ＝ ＝３ C ．６ ６
２×２×２
对于D:设内切球球心为I,内切球半径为r,由等体积法知,
【高三数学试题参考答案 第 ２ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
１ １ １
VABCD＝VI－ABC ＋VI－BCD ＋VI－ACD ＋VI－ABD ＝３rSABCD
其中,VABCD ＝３BE×SΔACD ＝
,
３
３V
S é １ １ ù ABCD
１
ABCD＝２× êê ( ２×２) ＋ ( ２× ３) úú ＝ ３＋２,故r＝S ＝ ＝２－ ３,D正确． ABCD ３＋２
１１．【答案】BC
f( ) ()【解析】由已知得 xx＞ ,
f
故 ２ ,
x ２＞ ２ ４＞f
(２),又因为f′(x)＞１＞０,所以f(x)在
( )
(１,＋∞)
f
单调递增,所以f(
x
４)＞f(f(２)),A 错误;构造函数g(x)＝ ,则x g′
(x)
１ ( ( ) ()＝ f′(x) f x ) f－ ＞０,所以 ４x x g(x)在(１,＋∞)单调递增,因此g(４)＞g(２),即 ４ ＞
f(２) f(x) f(f(x)),
２ f
(４)＞２f(２),B正确;由于 , ( ) ,故x ＞１f x ＞x g
(f(x))＞g(x), (x) ＞f
f(x) ( ),(f(x))２＜xf(f(x)),因此f(２)＜ ２f(f(２)),
f
C正确;构造函数
x
x h
(x)＝ ex
,则
( ) f′
(x)－f(x)
h′x ＝ ex
,而f(x)＞x＞f′(x),故h′(x)＜０,h(x)在(１,＋∞)单调递减,因
f() ()
此h(４)＜h(２),
４ f ２
e４ ＜
２
e２
,f(４)＜ef(２),D错误．故选BC．
１２．【答案】
１
１４
【解析】由题意可得a２＋a３＋a ２４＝a１(q＋q ＋q３)
１ １
＝１４a１＝１,解得a１＝ ,故答案为１４ １４．
１３．【答案】π－２
【解析】f′(x)＝－ωsinωx,故有－ωsinω２＝－ωsin２,即sinω２＝sin２,则ω２＝２＋２kπ(k∈Z)
或ω２＋２＝π＋２kπ(k∈Z),解得ω＝ ２＋２kπ(k∈Z)或ω＝ π－２＋２kπ(k∈Z),当k＝０
时,π－２＋２kπ取最小值 π－２,２＋２kπ取得最小值 ２,因为 π－２＜ ２,故ω 的最小值
为 π－２．
１
１４．【答案】{１}∪(e４e,ee)
【解析】由题意可得方程logxa＝－x＋２lna 在(０,１)∪(１,＋∞)无解,将方程变形得xlnx－
２lna lnx＋lna＝０,即函数g(x)＝xlnx－２lna lnx＋lna 在(０,１)∪(１,＋∞)无零点．易
得g(x)的定义域为(０,＋∞),仅在讨论零点时舍去x＝１的情况:若a＝１时,则g(x)＝
xlnx,０＜x＜１时g(x)＜０,x＞１时g(x)＞０,故在(０,１)∪(１,＋∞)无零点,因此a＝１符
合题意;当 ２lna ２lnaa≠１时,则g＇(x)＝１＋lnx－ ,设φ(x x
)＝１＋lnx－ ,则φ＇(x)x ＝
x＋２lna
２ ,当a＞１时φ＇(x)＞０,则φ(x)在(０,x ＋∞
)单调递增,由于x→０时g＇(x)→－∞,x
【高三数学试题参考答案 第 ３ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
→＋∞时g＇(x)→＋∞,由零点存在性定理可知g(x)在(０,＋∞)必有且只有一个零点,设为
x０,则g(x)在(０,x０)单调递减,在(
１
x０,＋∞)单调递增,其中２x０
(１＋lnx０)＝lna,故只需令
( ) ,因此 ( ) １ １g x０ ＞０ g x０ ＝x０lnx０－xlnx ２０ ０(１＋lnx０)＋２x０
(１＋lnx０)＝－ x０(２ ２
(lnx０)
１ １ １ １
－lnx０－１)＞０,解得－ ＜lnx０＜１, ＜x０＜e,设h(x)＝ x(１＋lnx),则２ ２ h＇
(x)＝ (２ ２e
１ e
＋lnx)＞０,故 １ ＜lna＜e,e４e ＜a＜ee;当０＜a＜１时,g(１)＝lna＜０,g(e)＝ ＞０,故
４e ２
e １
g(x)在区间(１, )必有零点,与所求不符．综上,２ a
的取值范围为{１}∪(e４e,ee)．
x２【 】() ( ) －３
２
, ( ) ( )１５．解析 １ 因为f x ＝ x－１ 所以
２x－x ＋３ － x－３ x＋１
f′(x) ＝ x－１ ＝ x－１ , ２分e e e
令f′(x) ＝０,解得x＝３或x＝－１,令f′(x) ＜０得x＞３或x＜－１,令f′(x) ＞０得－１＜
x＜３, ５分
列表如下:
x (－∞,－１) －１ (－１,３) ３ (３,＋∞)
f′(x) － ０ ＋ ０ －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
７分
故f(x)的单调递减区间为(－∞,－１),(３,＋∞),单调递增区间为(－１,３), ９分
(２)由(１)可得f (x) 的极大值为
６
f (３) ＝ ２,极小值为f (－１)e ＝－２e
２． １３分
【评分细则】第(１)问不列表说明也可以,只要最终单调区间书写正确即可满分,第
(２)问写出一个极值得２分,少写一个扣２分．
１６．【解析】(１)记事件C 为“两个生物个体为同一物种”,
则C 发生的概率为P(C) １ １＝５×１＝
分
５ ４
{NA＝NB＝３０(２)(i)由表可知 ６分SA＝SB＝５
ì １ ４
DA＝１－３０２×５×６
２＝
５
所以 í １０分
１
DB＝１－ ２× (１２２＋４２＋３２＋６２＋５２ )
６７
３０ ＝９０
【高三数学试题参考答案 第 ４ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
即DA＞DB,故A 的多样性大于B; １２分
(i)在(i)中两群落物种数目相同,各物种数量不同,而A 中各物种数量均相同,
即物种均匀度更大,分析可得物种均匀度也会影响群落多样性． １５分
【评分细则】若第一问未设事件扣１分,第２问的第２小问只要说法合理即可满
分．
１７．【解析】(１)连接AC,BD,设AC∩BD＝O,连接PO,有PO
⊥平面ABCD,由题意得ME＝NE,MG＝NG,连接MN,
EG,设EG∩MN＝S,则 MS＝NS,故S 在PO 上,过E
作EH PE EH ２⊥PO,H 为垂足,在△POB 中, ,故PB＝OB ＝３
EH＝２,因为MN∥AC,所以PS １＝２PO＝３
,SH＝PH－
PS １＝１,故tan∠SEH＝２＝tan∠DPO
,所以△PHE∽△PGS,所以∠PGE＝
∠PHE＝９０°,PD⊥GE, ４分
又MN⊥OP,MN⊥BD,BD∩OP＝O,故MN⊥平面PBD,MN⊥PD,
５分
又 MN ∩GE ＝S,GE 平 面 EMGN,MN 平 面 EMGN,故 PD ⊥ 平 面
EMGN． ７分
(MN∩GE＝S,GE 平面EMGN,MN 平面EMGN 三个条件只要缺１个,
不给分)
(２)以OA,OB,OP 所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
可得A(３,０,０),B(０,３,０),P(０,０,６),D(０,－３,０), ９分
由(１)得PD⊥平面EMGN,故平面EMGN 的一个法
向量为DP→＝(０,３,６) １１分
其中AP→＝(－３,０,６),AB→＝(－３,３,０)
设平面PAB 的一个法向量为n＝(x,y,z),
n AP→＝０ －３x＋６z＝０
则{ ,n AB→＝０ {－３x＋３y＝０
令z＝１可得n＝(２,２,１) １３分
【高三数学试题参考答案 第 ５ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
设θ为二面角P－ME－N 的平面角,则 ４５cosθ ＝ cos＜n,DP→＞ ＝ ,由图１５
可知所求二面角为锐角,故二面角P－ME－N 的余弦值为４５ １５ １５
分
【评分细则】
(１)(若辅助线只画图,缺文字说明,扣１分)证明出PD⊥GE 给３分,MN⊥PD
给２分,PD⊥平面EMGN 给２分(MN∩GE＝S,GE 平面EMGN,MN 平
面EMGN 三个条件只要缺１个,这２分不给);
(２)建系１分,法向量一个２分,结果１分．
１８．【解析】(１)由已知易得双曲线C ２ ２２:x －y ＝２, １分
因为点P 在第一象限,所以可以将双曲线C２ 变形为y＝ x２－２．
求导有 xy′＝ , ３分
x２－２
x x x
当x＝x０ 时,y|x＝x０ ＝
０ ＝ ０,所以AB 的方程为:y－
０
y０＝ (x－xy y ０
),化
x２０－２ ０ ０
x
简有 ２y＝
０x－ ． ５分
y０ y０
() x２ 设k＝ ０,m ２＝－ ,A(x１,y１),B(x ,y y ２ y２
)
０ ０
ì ４km
ìx２ ２ x ＋x ＝－
＋y ＝１
１ ２
２k２＋１
联立 í２ 有(１＋２k２)x２＋４kmx＋２m２－２＝０,∴ í
２m２ －２ y＝kx＋m x１x２＝
２k２＋１
８分
Δ ＝ ８ (２k２ ＋ １ － m２ )＝ ２４ ＞ ０,|AB | ＝ １＋k２ |x１ － x２ | ＝
２２ １＋k２ ２k２＋１－m２ ２６ １＋k２
２ 分２k ＋１ ＝ ２k２＋１ １０
点Q 到直线AB 的距离d |３－m|Q－AB＝ １２分
１＋k２
x
则S １ ６|３－m| ０ ２△QAB ＝２|AB|dQ－AB ＝ ２
,将 , 代入有
２k ＋１ k＝ m＝－ Sy △QAB
＝
０ y０
【高三数学试题参考答案 第 ６ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
６(３y２０＋２y０)
２ 分３ １３y０＋４
２y０－４ ２(y０－２)＝ ６(１＋ ２ ) [３y ＋４
＝ ６１＋３(y －２)２０ ＋１２(
]
y０－２)＋１６
＝ ６[
２ ２ ６
１＋ ] [ ]１６ ≤ ６１＋ ＝ ２＋２
３(y０－２)＋y －２＋１２ ２ ３(y０－２)
１６
×y －２＋１２０ ０
当且仅当 ４３y０＝２＋ 时取等号,故△QAB 面积的最大值为
６
３ ２＋２．
１７分
【评分细则】
(１)双曲线方程１分,求导给２分,方程正确给２分;如果用联立韦达得出直线方
程也可得满分,如果只有最终答案没有过程只给２分．
(２)韦达定理给３分,AB 长２分,P 到AB 的距离２分,得到单变量表达式S＝
６(３y２０＋２y０)
２ 给３分,结果２分(没有取等号条件,这２分不给)３y０＋４
．
１９．【解析】(１)因为f(x)＞x,所以对任意n≥m,an＋１＝f(min{ai})＞min{ai},故
１≤i≤n １≤i≤n
数列最小值不变． ３分
即对于任意n≥m,min{ai}＝min{ai},an＋１＝f(min{ai})＝f(min{ai})恒成
１≤i≤n １≤i≤m １≤i≤n １≤i≤m
立．
故对于任意n≥m＋１,有an＝f(min{ai}),故{an}是“最终常数列”． ５分
１≤i≤m
(２)必要性,若{an}不为“最终常数列”,假设存在一个n≥m 使得an＋１≥min
１≤i≤n
{ai},则由(１)同理可知其最小值不变,故{an}为“最终常数列”,矛盾．所以对任
意n≥m,an＋１＜min{ai}． ７分
１≤i≤n
故对任意n≥m＋１,均有an＝min{ai}成立,故an＋１＝f(an)对任意n≥m＋１成
１≤i≤n
立,
又由{bn}定义递推,知对任意正整数i,bi＝am＋i． ９分
充分性:若任意正整数i,bi＝am＋i,则an＋１＝f(an)对任意n≥m＋１成立,
又由{an}定义知任意n≥m＋１,均有an＝min{ai}成立． １０分
１≤i≤n
由此知an＋１＝ min {ai}≤min{ai}＝an． １１分
１≤i≤n＋１ １≤i≤n
又由f(x)－x＝０知an＋１≠an,故an＋１＜an,即{an}在第m＋１项后严格递减,
【高三数学试题参考答案 第 ７ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
故不是“最终常数列”．
综上,原命题得证． １２分
(３)由(２)知:要求f(a１)＝a２＜min{ai}＝a１,解得a１∈(１,４)． １３分
１≤i≤１
下证:a１∈(１,４)即为所求．
由a ２１∈(１,４)时a２＝f(a１)＝(a１－２)∈(１,４),
递推知,对任意n∈Ν 均有an∈(１,４)． １５分
进而a n＋１＝f(an)对任意n∈Ν 均成立,结合(２)结论知{an}不是“最终常数列”．
故a１ 的取值范围是(１,４)． １７分
【评分细则】
后两问若用其他方法证明出来酌情给分
【高三数学试题参考答案 第 ８ 页(共７页)】
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
