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沪教版2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷B卷
（测试范围：20.1-22.2）
一、单选题
1．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定
3．依据图中所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．把直线沿着x轴向右平移两个单位，得到的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．cm
6．取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：
x … －2023 0 2023 …
y … －3 －2 －1 …
根据信息，下列说法正确的个数是（ ）
①； ②当时； ③； ④不等式的解集是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．直线在y轴上的截距是 .
8．已知中，，则 ．
9．方程组的解为 ．
10．已知一个正多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数是 ．
11．点P在一次函数的图象上，且点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 ．
12．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升.
13．若方程：有解，则的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则的值为 ．
15．在平行四边形中，的平分线把边分成长度分别是3和4的两部分，则平行四边形的周长是 ．
16．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ．
17．自变量x的不同取值范围有着不同的解析式的函数称为分段函数．对于分段函数，当时的函数值为，当时的函数值为，若当时，函数值，那么的值为 ．
18．如图，在中，，，点M在边上，过点M作，垂足为点M，交边于点N，将沿直线翻折，点A、C分别与点D、E对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ．
三、解答题
19．．
20．解方程组：．
21．解方程：
22．如图，在中，，，垂足分别为E，F，，，．求各边长．
23．高速公路上经常以区间测速作为判断司机是否违反交通法规的手段．上海至杭州高速路上某一路段，两个测速点间的距离为40千米，规定车辆经过该路段的平均速度不得超过120千米/小时，也不得低于80千米/小时．小张和小吴两人分别驾车行驶完这段路后有了以下的对话：
小张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少6分钟就跑完了全程，你一定违规了．”
小吴：“你的速度太慢了，你才违规了．”
问：小张和小吴到底谁违规了？为什么？
24．如图，在平行四边形中．
(1)作的平分线交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）．
(2)按（1）作图所示，若，，求的长．
25．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，且，点是第一象限内直线上的动点，连结．
(1)求出点的坐标及的值；
(2)设点，求出的面积与的函数表达式．
26．甲、乙两车分别从相距的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往B地，乙车从地经过小时直达地的同时，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示．
(1)分别求出甲、乙两车的速度及关于x的函数表达式．
(2)试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，，
(1)求直线的解析式；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
28．如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：．
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沪教版2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷B卷
（测试范围：20.1-22.2）
一、单选题
1．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程组是二元二次方程组，根据定义逐一分析即可．
【解析】解：不符合整式方程组的条件，故A不符合题意；
不符合整式方程组的条件，故B不符合题意；
的最高次项的次数是1，故C不符合题意；
符合二元二次方程组的条件，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查二元二次方程组的识别，掌握该定义是求解本题的关键．
2．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2） 180° 判断即可．
【解析】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°，
∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式，理解多边形内角和公式是求解本题的关键．
3．依据图中所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可．
【解析】A. 根据题意，得，
故，不平行，不是平行四边形，不符合题意；
B. 根据题意，得，
故，，是平行四边形，符合题意；
C. 根据题意，得，
故无法判定是平行四边形，不符合题意；
D. 根据题意，得，
故，无法判定是平行四边形，不符合题意；
故选B．
4．把直线沿着x轴向右平移两个单位，得到的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用一次函数平移规律，左加右减进而得出平移后函数解析式即可．
【解析】解：把直线沿轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为：，即，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．
5．如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．cm
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
【解析】解：的对角线与相交于点，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
6．取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：
x … －2023 0 2023 …
y … －3 －2 －1 …
根据信息，下列说法正确的个数是（ ）
①； ②当时； ③； ④不等式的解集是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解．
【解析】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意；
②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意；
③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意；
④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意；
故选：C
二、填空题
7．直线在y轴上的截距是 .
【答案】
【分析】求出直线与y轴交点坐标，纵坐标即为在y轴上的截距．
【解析】解：时，，直线与y轴交于点，故在y轴上的截距为；
故答案为：
【点睛】本题考查截距的定义，确定直线与坐标轴交点坐标；运用方程确定直线与坐标轴交点坐标是解题的关键．
8．已知中，，则 ．
【答案】
【分析】可证，从而可求，进而即可求解．
【解析】解：如图
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．方程组的解为 ．
【答案】
【分析】设=m，=n，即可得到一个关于m，n的方程组求得m，n的值，进而即可求得x，y的值．
【解析】解：设=m，=n．
则原方程组即可化为：，
解得：，
则，
解得：．
经检验是原方程组的解．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式方程组的解法，利用换元法转化为整式方程组是解题的关键．
10．已知一个正多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的2倍则内角和是．边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解析】
解：根据题意，得
，
解得：．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
11．点P在一次函数的图象上，且点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】
此题主要考查了考查一次函数图象上的点的坐标的特点．用到的知识点为：点到x轴的距离等于此点的纵坐标的绝对值；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式．与x轴的距离等于3，那么点的纵坐标为，代入一次函数可得其横坐标．
【解析】
解：点到x轴的距离为3，
点的纵坐标为，
当时，；
当时，，
则P点的坐标为：或，
故答案为：或．
12．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升.
【答案】20
【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量．
【解析】解：由图象可得出：行驶，耗油（升，
行驶，耗油（升，
到达乙地时邮箱剩余油量是（升．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了一函数应用，解题的关键是根据已知图象获取正确信息．
13．若方程：有解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式求解即可．
【解析】解：∵，即：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理方程，根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式是解答本题的关键．
14．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于轴的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【解析】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为；
点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，
把点、代入，
得：，
解得：，，
，
故答案为：．
15．在平行四边形中，的平分线把边分成长度分别是3和4的两部分，则平行四边形的周长是 ．
【答案】20或22
【分析】
由平行四边形的性质得，，再证，然后分和两种情况分别求出平行四边形的周长即可．
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质、证明是解题的关键．
【解析】解：如图：∵平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴①当时，平行四边形的周长为；
②当时，平行四边形ABCD的周长为．
故答案为：20或22．
16．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ．
【答案】/42度
【分析】利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案．
【解析】等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是，
则．
故答案为：
【点睛】此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键．
17．自变量x的不同取值范围有着不同的解析式的函数称为分段函数．对于分段函数，当时的函数值为，当时的函数值为，若当时，函数值，那么的值为 ．
【答案】5或
【分析】
本题考查的是函数的性质，函数值的计算等，正确把握相关知识是解题的关键．分别根据和分别计算即可．
【解析】解：当时，
，
解得
当时，
，
解得，（舍去）
故答案为：5或
18．如图，在中，，，点M在边上，过点M作，垂足为点M，交边于点N，将沿直线翻折，点A、C分别与点D、E对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ．
【答案】3
【分析】当点E在线段上时，连接交于点，过点作于点H，则，求出，，由轴对称可得，得，，，求出，由折叠可知，；假设点E在线段的延长线上，得到，与矛盾，故点E不可能在线段的延长线上，即可确定的长．
【解析】解：当点E在线段上时，如图，连接交于点，过点作于点H，则，
∵，，
∴，，
∵将沿直线翻折，点A、C分别与点D、E对应，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，
假设点E在线段的延长线上，延长交于点F，
则，，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴,即，
则，，
在中，，，，
∴，
∴,即，
，与矛盾，
故点E不可能在线段的延长线上，
综上可知，，
故答案为：3
【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质等知识， 分类讨论是解题的关键．
三、解答题
19．．
【答案】
【分析】此题是无理方程，在求解时，注意将不含有根号的部分移到方程的左边，求平方即可求解，注意最后要检验．
【解析】解：移项，得：，
两边同时平方，得：，
移项，合并同类项，化简得：，
因式分解，得：，
解得: ，
经检验，原方程的根为．
【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键．
20．解方程组：．
【答案】，，，，
【分析】将原方程通过公式法和因式分解方进行变形，从而得到新的二元一次方程组，利用消元法解方程组即可得到答案．
【解析】解：由得，
∴或，
由得，
∴或，
∴或或或，
解方程组得，，，，
故方程组的解为，，，．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是将原方程进行变形，得到新的方程组．
21．解方程：
【答案】，，，
【分析】
本题考查了解分式方程，用换元法求解即可．
【解析】解：设，
则原方程变为，
∴，
∴，．
当时，解得，．
当时，解得，．
22．如图，在中，，，垂足分别为E，F，，，．求各边长．
【答案】；
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质得，再证，然后由含角的直角三角形的性质得，设，则，，根据列出方程，解方程即可．
即可解答．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，．
23．高速公路上经常以区间测速作为判断司机是否违反交通法规的手段．上海至杭州高速路上某一路段，两个测速点间的距离为40千米，规定车辆经过该路段的平均速度不得超过120千米/小时，也不得低于80千米/小时．小张和小吴两人分别驾车行驶完这段路后有了以下的对话：
小张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少6分钟就跑完了全程，你一定违规了．”
小吴：“你的速度太慢了，你才违规了．”
问：小张和小吴到底谁违规了？为什么？
【答案】小张和小吴都没有违规，理由见解析
【分析】设小张的车速为每小时跑千米，则小吴的车速为每小时跑千米，根据“小吴跑完全程比小张跑完全程少花6分钟”列出方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：设小张的车速为每小时跑千米，则小吴的车速为每小时跑千米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
，
，
即小张的车速为每小时跑80千米，小吴的车速为每小时跑100千米，
规定车辆经过该路段的平均速度不得超过120千米/小时，也不得低于80千米/小时，
小张和小吴都没有违规．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．如图，在平行四边形中．
(1)作的平分线交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）．
(2)按（1）作图所示，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等角，角平分线的尺规作图：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由角平分线的定义得到，再由平行四边形的性质得到，证明，得到，则．
【解析】（1）解：线段即为所求；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是4．
25．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，且，点是第一象限内直线上的动点，连结．
(1)求出点的坐标及的值；
(2)设点，求出的面积与的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上点，三角形的面积等，熟练掌握一次函数的图象，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式是解决问题的关键．
（1）先求出点，则，再根据得，由此可得点的坐标；然后将点的坐标代入之中即可求出的值；
（2）由（1）可知直线的表达式为，根据点且在第一象限内直线上，得，且，进而得点到轴的距离为，然后根据三角形的面积公式可得与的函数表达式．
【解析】（1）解：对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
，
点，
将代入，得，，
解得：；
（2）解：由（1）可知：直线的表达式为：，
点，且在第一象限内直线上，
，且，
点到轴的距离为，
由（1）可知：，
，
，
与的函数表达式：．
26．甲、乙两车分别从相距的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往B地，乙车从地经过小时直达地的同时，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示．
(1)分别求出甲、乙两车的速度及关于x的函数表达式．
(2)试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为，
(2)小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从函数图象中获取正确的信息．
（1）根据路程除以时间可得甲、乙两车的速度，用总路程减去乙行驶的路程可列出函数表达式．
（2）通过计算可知乙车在甲车停留时和甲车相遇，再列出式子计算即可．
【解析】（1）解：甲车的速度为，
乙车的速度为，
根据题意得．
（2）解：甲从A地出发，行驶80千米到达C地时，小时，
此时乙车行驶的路程为千米，
∵甲车停留了小时，
∴甲车停留时，乙车又行驶了千米，
∵
∴乙车在甲车停留时和甲车相遇，
即小时，
∴乙车出发小时后与甲车相遇．
27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，，
(1)求直线的解析式；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或 或 或 或
【分析】（1）根据题意可得，再由，求出m的值，即可；
（2）先求出，再由两点坐标公式分别求出的三边长，即可；
（3）分若以点P为直角顶点时；若以点为直角顶点时；若以点为直角顶点时，即可求解．
【解析】（1）解：∵过点作平行于轴的直线交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：对于直线：，
当时，，当时，，
∴，
∵点，
∴，
，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：设直线交x轴于点F，则点，
∴，
设平移后直线的解析式为，
当时，，当时，，
∴点，
如图，若以点P为直角顶点时，过点P作轴于点E，此时，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时点P的坐标为；
如图，若以点P为直角顶点时，过点P作轴于点E，此时，，，，
同理此时点P的坐标为；
如图，若以点为直角顶点时，过点P作轴于点G，则，
同理，
∴，，
∴或0（舍去），
∴，
∴，
∴此时点P的坐标为；
如图，若以点为直角顶点时，过点作轴于点M，则，，
同理，
∴，，
∴（舍去）；
如图，若以点为直角顶点时，
同理，
∴，
∴，
解得：，
∴，
此时点P的坐标为；
如图，若以点为直角顶点时，
同理，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为 或 或 或 或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
28．如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，证明，进而可求的度数；
（2）如图1，连接，则，由，可得，由，可得，证明，证明四边形是平行四边形，进而结论得证；
（3）如图2，延长至点H，使，证明，则，，，证明，则，进而结论得证．
【解析】（1）解：∵是由线段绕点D顺时针旋转得到的，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴与相互平分；
（3）证明：如图2，延长至点H，使，
∵N是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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