【参考答案】：
1．B
【分析】根据复数除法运算即可求解.
【详解】，
故，
故选：B
2．A
【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解.
【详解】因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，所以.
故选：A
3．C
【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得.
【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得，
可知，
所以圆锥的外接球球的表面积.
故选：C.
4．A
【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得.
【详解】由，，，
则，
而，即得，
所以，又，
所以.
故选：A.
5．B
【分析】先补形，再作出异面直线与所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解.
【详解】将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：
连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为(或其补角)，
又，，
由余弦定理可得：，
所以，故B正确.
故选：B.
6．D
【分析】利用向量数量积的坐标运算，向量模的坐标运算，结合投影向量的公式计算.
【详解】平面向量，，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D
7．B
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由，，，则可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8．C
【分析】根据正弦定理得到，由为锐角三角形，得到，结合三角函数的单调性得到，从而得解.
【详解】由正弦定理得，即，
又为锐角三角形，，
又，则，
解得，而当时，单调递增，
故，所以.
故选：C
9．ACD
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
10．ACD
【分析】
根据题意求截面，可知为直三棱柱，进而可求相应的体积，即可判断AB；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C；可知平面截该正四棱柱所得截面为矩形，即可得面积判断D.
【详解】
设，
连接，，，
由长方体的性质可知：，可知A，，，四点共面，
所以为直三棱柱，其体积为，故A正确；
的体积为，B错误．
的外接球即为长方体的外接球，
所以的外接球的半径，
则的外接球的表面积为，C正确．
平面截该正四棱柱所得截面为矩形，其面积为，D正确．
故选：ACD.
11．ABC
【分析】根据给定条件，利用共线向量求出判断A；利用夹角余弦及向量共线计算判断B；利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示计算判断C；作出图形，分析三角形面积关系判断D.
【详解】对于A，由不共线，与，得，解得，A正确；
对于B，由的夹角为锐角，得且不共线，
则，解得且，B正确；
对于C，由，得，
由，得，解得，C正确；
对于D，由，得，
令的中点分别为，则，即，则是线段靠近的4等分点，
如图，在中，连接，则是的中位线，
，D错误.
故选：ABC
12．或.
【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案.
【详解】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，，
两个截面到球心的距离分别为，，
则，，
故这两个平面的距离为或.
故答案为：或.
13．
【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的范围，再由三角形面积公式得解.
【详解】根据题意由余弦定理可得： ，
即，
所以（当且仅当时等号成立）
∴，（当且仅当时等号成立），
即面积最大值．
故答案为：
14．
【分析】利用张角定理得到，再利用不等式中的妙用来求解最值.
【详解】是的角平分线，
，
由张角定理得:，
即，
，
，
（当且仅当，即时取“=”）.
故答案为：.
15．(1)2；
(2).
【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可；
（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值.
【详解】（1）根据题意，，
又.
（2）根据题意， ，即，，解得.
16．(1)
(2)
【分析】（1）计算出；
（2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由已知得，
，
又
所以
（2）依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以
17．(1)
(2)
【分析】（1）分析三棱锥各个面的特征，从而求出其面积，即可得解；
（2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可得解.
【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，
、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积
；
（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积，
所以剩余的几何体的体积为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；
（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，
因为，所以，
由△ABC为钝角三角形且，知，为钝角，
所以，即，
所以.
（2）因为，
所以，
由余弦定理，，
当且仅当时，等号成立，
此时的最小值为，所以c的最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；
（2）结合面面平行判定定理来确定动点位置，并证明面面平行.
【详解】（1）如图，连接交于，连接.
因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以在中，是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：
连接，，
因为为的中点，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
由（1）知平面，
又因为，，平面，
所以平面平面.封丘一中高一下数学期中考试卷
第 I卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
z 2 4i1．设 ，则
1 3i z
（ ）
A． 1 i B． 1 i C．1 i D．1 i
2．如图所示的矩形 ABCD中， E， F 满足 BE EC ，CF 2FD，G为 EF的中点，若
AG AB AD，则 的值为（ ）
A 1
3
． 2 B．3 C． D．24
3．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为 3，且圆锥的侧面展
开图是一个半圆，则球O的表面积为（ ）
A．12π B．16π C． 48π D．96π
4．若 a 1, 3 ， b 3 a 2b 2 ， ，则向量 a与b 的夹角为 （ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
5．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， ABC
2
为等腰直角三角形，且 AB AC AA1 1，2
则异面直线 AB1与 A1C所成角的正弦值为（ ）
A 2 5 3 3． 3 B． C． D．3 3 3
6．已知平面向量 a 1, 2 ,b 2, 2 ，则向量 a在b 上的投影向量为（ ）
{#{QQABCQSEogAoAJBAARhCQQUiCkEQkBECACoGhEAMIAABiQFABAA=}#}
A B 1
1 2
．b ． b C． b D． b2 3 3
7．设 , , 是三个不同平面，且 l， m，则“ l //m ”是“ / / ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在锐角 ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a 3， A 60 ，则b的取值
范围是（ ）
A． 0,6 B． 0,2 3 C． 3,2 3 D． 3,6
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9．下列说法正确的是（ ）
A． z z z 2， z C
B． i2024 1
C．若 z 1， z C，则 z 2 的最小值为 1
D．若 4 3i是关于 x 2的方程 x px q 0 p,q R 的根，则 p 8
10．如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB 2， AA1 4，C1E 3EC，平面 ABE将该
正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为 上，下部分对应的几何体为 下，
则（ ）
A． 下的体积为 2
B． 上的体积为 12
C． 下的外接球的表面积为9π
D．平面 ABE截该正四棱柱所得截面的面积为 2 5
{#{QQABCQSEogAoAJBAARhCQQUiCkEQkBECACoGhEAMIAABiQFABAA=}#}
11．下列说法正确的是（ ）
A．设 e1,e2 是两个不共线的向量，若向量m e1 ke2 k R 与向量 n e2 2e1 共线，
1
则k
2
B．设 a (2,3),b (6,t ) ，若 a与b 的夹角为锐角，则实数 t的取值范围为 4,9 9,
C．设 a ( 1,1),b (2,3)，且 (a mb) / /(a b)，则m 1
D．若O是 ABC内的一点，满足3OA OB 4OC 0，则 S△AOC : S△ABC 5:8
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．两个平行平面截一个半径为 4的球，得到的截面面积分别为10π和7π，则这两个平面之
间的距离为 ．
a 1, A π13．在 ABC中，三内角 A、B、C对应的边分别为a、b、c，且 ，则 ABC面积
6
的最大值为 ．
14．在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，AD是 BAC的角平分线，若
BAC π ，| AD | 2 3，则 2b c的最小值为
3
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明或验算步骤.）
15（本题 13 分）．已知 a 1， b 2 a ， 与b 的夹角为60 ．
(1)求 2a b ；
(2)若向量b ka 与 b ka 相互垂直，求实数 k的值．
z 1 3i, z 1 2i,1 1 116（本题 15 分）．已知复数 1 2 z z z .1 2
(1)求 z；
(2)在复平面内，复数 z1, z2对应的向量分别是OA,OB，其中O是原点，求 AOB的大小.
{#{QQABCQSEogAoAJBAARhCQQUiCkEQkBECACoGhEAMIAABiQFABAA=}#}
17（本题 15 分）．棱长为 a的正方体 ABCD A1B1C1D1中，截去三棱锥 A1 ABD，求：
(1) 求截去的三棱锥 A1 ABD的表面积
(2)剩余的几何体 A1B1C1D1 DBC的体积
18（本题 17 分）．已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、
sin2 C sin2 B sin(π B) cos(πc，且 B)， a c，b c．
3 6
(1)求 tan(A B)的值；
(2)若△ABC的面积为12 3，求 c的最小值．
19（本题 17 分）．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为DD1的中点．
(1)求证： BD1 / /平面 AEC；
(2)CC1上是否存在一点 F ，使得平面 AEC / /平面 BFD1，若存在，请说明理由．
{#{QQABCQSEogAoAJBAARhCQQUiCkEQkBECACoGhEAMIAABiQFABAA=}#}
