4.4* 数学归纳法 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.4* 数学归纳法 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 59.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 16:47:43 | ||
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文档简介
课时作业17 数学归纳法
基础达标
题组一 数学归纳法的概念
1. 用数学归纳法证明等式 ，验证 时，等号的左边是 ( )
A. 1 B. C. D.
2. [2023河北邢台高二月考]已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证( )
A. 时不等式成立 B. 时不等式成立
C. 时不等式成立 D. 时不等式成立
3. （多选题）已知一个命题 ， ，若当 ，2， ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( )
A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立
4. (多选题)已知如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下列结论正确的是( )
A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立
B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立
C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立
D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立
5. [2023江苏高二专题练习]用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应将 变形为( )
A. B.
C. D.
6. 已知平面上有个点，其中任何三点都不共线，过这些点中的任意两点作直线，设这样的直线共有条，则 ， .
题组二 数学归纳法的应用
7. 用数学归纳法证明： .
8. 证明：当 时， 能被64整除.
用数学归纳法证明：.
题组三 “归纳—猜想—证明”问题
10. 若数列满足 , ,则 ,归纳猜想 .
11. 设正项数列 的首项为4，满足 .
（1） 求 ， ，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
素养提升练
12. 如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来的 ，则第 个图形中共有 个顶点.
13. [2023江苏苏州高二期中] 能被哪些自然数整除？先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想.
创新拓展练
14. 设 ， ， .
（1） 当 ,2,3,4时，试比较 与1的大小；
（2） 根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
参考答案
基础达标
题组一 数学归纳法的概念
1. 用数学归纳法证明等式 ，验证 时，等号的左边是 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】等号左边的数是从1加到 .
当 时， ，故此时等号的左边的数为从1加到4.
2. [2023河北邢台高二月考]已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证( )
A. 时不等式成立 B. 时不等式成立
C. 时不等式成立 D. 时不等式成立
【答案】B
【解析】若已假设 （ ，且 为偶数）时命题为真，且 只能取偶数，则还需要证明 时不等式成立.故选 .
3. （多选题）已知一个命题 ， ，若当 ，2， ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( )
A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【解析】由题意知 对 ，4，6， ， 成立，
当 取其他值时，不能确定 是否成立，故选 .
4. (多选题)已知如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下列结论正确的是( )
A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立
B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立
C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立
D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立
【答案】BC
【解析】由题意可知，若 对 成立，则 对所有正奇数都成立；
若 对 成立，则 对所有正偶数都成立.故选 .
5. [2023江苏高二专题练习]用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应将 变形为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】假设 时命题成立，即 能被3整除．
当 时，
.
6. 已知平面上有个点，其中任何三点都不共线，过这些点中的任意两点作直线，设这样的直线共有条，则 ， .
【答案】10 ;
【解析】由题意得当 时，有 条直线.
当 时，增加的第 个点与原 个点共连成 条直线，即增加 条直线，
所以 ,即 ，易知 ，
所以 ， .
题组二 数学归纳法的应用
7. 用数学归纳法证明： .
证明 ①当 时，左边 右边，即当 时，原不等式成立，
②假设当 时，原不等式成立，即 ，
则当 时， ，
即当 时，不等式成立，
综上，原不等式对所有的 都成立.
8. 证明：当 时， 能被64整除.
证明 ①当 时， 能被64整除. ②假设当 时， 能被64整除，
则当 时， .
故 也能被64整除.
综上，当 时， 能被64整除.
9. 用数学归纳法证明：.
证明 ①当 时，左边 ，右边 ，等式成立.
②假设当 时等式成立，
即 ，
那么当 时，
，
所以当 时，等式也成立.
由①②，得等式对任意 都成立.
题组三 “归纳—猜想—证明”问题
10. 若数列满足 , ,则 ,归纳猜想 .
【答案】 31 ；
【解析】因为 ，且 ，
所以 ， ， ， .
猜想 .用数学归纳法证明：
①当 时，显然猜想成立；
②假设 时， ，则 ，
故 时，猜想也成立.
综上，对所有正整数 ，都有 .
11. 设正项数列 的首项为4，满足 .
（1） 求 ， ，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
【解析】由 ，可得 ，
又 ，则 ， ，
则 , ，猜想 .
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】由（1）得 ，当 时， ，
①当 时，猜想显然成立.
②假设当 时成立，即 ，
则当 时， ，
故 时，猜想也成立.
综上，对所有正整数 ，都有 .
素养提升练
12. 如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来的 ，则第 个图形中共有 个顶点.
【答案】
【解析】当 时，顶点共有 （个），
时，顶点共有 （个），
时，顶点共有 （个），
时，顶点共有 （个），
故第 个图形共有顶点 （个），
所以第 个图形共有 个顶点.
13. [2023江苏苏州高二期中] 能被哪些自然数整除？先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】当 时，原式 ，当 时，原式 ，当 时，原式 ，当 时，原式 ，这些数都可以被6整除，所以猜想： 可以被6整除，那么也可以被1，2,3整除.
证明如下：①当 时， ，命题显然成立；
②假设当 时， 能被6整除.
当 时， ，
因为两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，所以 能被6整除，
又由假设知 能被6整除,
所以当 时，命题也成立.
综合①②，可知 可以被6整除.
故 能被自然数6,1，2，3整除.
创新拓展练
14. 设 ， ， .
（1） 当 ,2,3,4时，试比较 与1的大小；
【解析】 ， ， ， .
， ， ， .
， ， ， .
， ， ， .
（2） 根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
【解析】猜想：当 ， 时，有 .
证明如下：①当 时，由（1）得猜想成立.
②假设当 时猜想成立，即 .
当 时，
， ，则 ，
即 ， 当 时，猜想成立.
由①②知，当 ， 时，有 .
基础达标
题组一 数学归纳法的概念
1. 用数学归纳法证明等式 ，验证 时，等号的左边是 ( )
A. 1 B. C. D.
2. [2023河北邢台高二月考]已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证( )
A. 时不等式成立 B. 时不等式成立
C. 时不等式成立 D. 时不等式成立
3. （多选题）已知一个命题 ， ，若当 ，2， ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( )
A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立
4. (多选题)已知如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下列结论正确的是( )
A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立
B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立
C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立
D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立
5. [2023江苏高二专题练习]用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应将 变形为( )
A. B.
C. D.
6. 已知平面上有个点，其中任何三点都不共线，过这些点中的任意两点作直线，设这样的直线共有条，则 ， .
题组二 数学归纳法的应用
7. 用数学归纳法证明： .
8. 证明：当 时， 能被64整除.
用数学归纳法证明：.
题组三 “归纳—猜想—证明”问题
10. 若数列满足 , ,则 ,归纳猜想 .
11. 设正项数列 的首项为4，满足 .
（1） 求 ， ，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
素养提升练
12. 如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来的 ，则第 个图形中共有 个顶点.
13. [2023江苏苏州高二期中] 能被哪些自然数整除？先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想.
创新拓展练
14. 设 ， ， .
（1） 当 ,2,3,4时，试比较 与1的大小；
（2） 根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
参考答案
基础达标
题组一 数学归纳法的概念
1. 用数学归纳法证明等式 ，验证 时，等号的左边是 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】等号左边的数是从1加到 .
当 时， ，故此时等号的左边的数为从1加到4.
2. [2023河北邢台高二月考]已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证( )
A. 时不等式成立 B. 时不等式成立
C. 时不等式成立 D. 时不等式成立
【答案】B
【解析】若已假设 （ ，且 为偶数）时命题为真，且 只能取偶数，则还需要证明 时不等式成立.故选 .
3. （多选题）已知一个命题 ， ，若当 ，2， ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( )
A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【解析】由题意知 对 ，4，6， ， 成立，
当 取其他值时，不能确定 是否成立，故选 .
4. (多选题)已知如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下列结论正确的是( )
A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立
B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立
C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立
D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立
【答案】BC
【解析】由题意可知，若 对 成立，则 对所有正奇数都成立；
若 对 成立，则 对所有正偶数都成立.故选 .
5. [2023江苏高二专题练习]用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应将 变形为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】假设 时命题成立，即 能被3整除．
当 时，
.
6. 已知平面上有个点，其中任何三点都不共线，过这些点中的任意两点作直线，设这样的直线共有条，则 ， .
【答案】10 ;
【解析】由题意得当 时，有 条直线.
当 时，增加的第 个点与原 个点共连成 条直线，即增加 条直线，
所以 ,即 ，易知 ，
所以 ， .
题组二 数学归纳法的应用
7. 用数学归纳法证明： .
证明 ①当 时，左边 右边，即当 时，原不等式成立，
②假设当 时，原不等式成立，即 ，
则当 时， ，
即当 时，不等式成立，
综上，原不等式对所有的 都成立.
8. 证明：当 时， 能被64整除.
证明 ①当 时， 能被64整除. ②假设当 时， 能被64整除，
则当 时， .
故 也能被64整除.
综上，当 时， 能被64整除.
9. 用数学归纳法证明：.
证明 ①当 时，左边 ，右边 ，等式成立.
②假设当 时等式成立，
即 ，
那么当 时，
，
所以当 时，等式也成立.
由①②，得等式对任意 都成立.
题组三 “归纳—猜想—证明”问题
10. 若数列满足 , ,则 ,归纳猜想 .
【答案】 31 ；
【解析】因为 ，且 ，
所以 ， ， ， .
猜想 .用数学归纳法证明：
①当 时，显然猜想成立；
②假设 时， ，则 ，
故 时，猜想也成立.
综上，对所有正整数 ，都有 .
11. 设正项数列 的首项为4，满足 .
（1） 求 ， ，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
【解析】由 ，可得 ，
又 ，则 ， ，
则 , ，猜想 .
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】由（1）得 ，当 时， ，
①当 时，猜想显然成立.
②假设当 时成立，即 ，
则当 时， ，
故 时，猜想也成立.
综上，对所有正整数 ，都有 .
素养提升练
12. 如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来的 ，则第 个图形中共有 个顶点.
【答案】
【解析】当 时，顶点共有 （个），
时，顶点共有 （个），
时，顶点共有 （个），
时，顶点共有 （个），
故第 个图形共有顶点 （个），
所以第 个图形共有 个顶点.
13. [2023江苏苏州高二期中] 能被哪些自然数整除？先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】当 时，原式 ，当 时，原式 ，当 时，原式 ，当 时，原式 ，这些数都可以被6整除，所以猜想： 可以被6整除，那么也可以被1，2,3整除.
证明如下：①当 时， ，命题显然成立；
②假设当 时， 能被6整除.
当 时， ，
因为两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，所以 能被6整除，
又由假设知 能被6整除,
所以当 时，命题也成立.
综合①②，可知 可以被6整除.
故 能被自然数6,1，2，3整除.
创新拓展练
14. 设 ， ， .
（1） 当 ,2,3,4时，试比较 与1的大小；
【解析】 ， ， ， .
， ， ， .
， ， ， .
， ， ， .
（2） 根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
【解析】猜想：当 ， 时，有 .
证明如下：①当 时，由（1）得猜想成立.
②假设当 时猜想成立，即 .
当 时，
， ，则 ，
即 ， 当 时，猜想成立.
由①②知，当 ， 时，有 .