课时作业(四) 6.2.3向量的数乘运算（含解析）

课时作业(四)　 6.2.3向量的数乘运算
基础达标
一、单项选择题
1.3(2a-4b)=( )
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
2.设P,Q两点把线段AB三等分(P靠近A),则下列向量表达式中错误的是( )
A.= B.=
C.=- D.=
3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则( )
A.k=0 B.k=1
C.k=2 D.k=
4.在△ABC中,G为△ABC的重心,记a=,b=,则=( )
A.a-b B.a+b
C.a-b D.a+b
5.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD为( )
A.梯形 B.正方形
C.平行四边形 D.矩形
6.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若=+λ,则λ等于( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7.设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,一定能使+=0成立的是( )
A.a=-2b B.a=2b
C.a=b D.a=-b
8.如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB=2CD,AD与BC相交于点O,则( )
A.-=
B.+++=0
C.|+2|=0
D.=+
三、填空题
9.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是 。
10.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC。若=a,=b,则= 。(用a,b表示)
11.已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若=3+,则x= 。
12.计算:
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)(3a+2b)-a-b-a+b+a;
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)。
13.在 ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和。
素养提升
14.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
15.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线 请证明你的结论。
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.3(2a-4b)=( )
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
【答案】D
【解析】利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b。故选D。
2.设P,Q两点把线段AB三等分(P靠近A),则下列向量表达式中错误的是( )
A.= B.=
C.=- D.=
【答案】D
【解析】由向量数乘的定义可以得到A,B,C中的表达式都是正确的,只有D错误。
3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则( )
A.k=0 B.k=1
C.k=2 D.k=
【答案】D
【解析】因为向量m与向量n共线,所以设m=λn(λ∈R),
所以-e1+ke2=λe2-2λe1,因为e1与e2不共线,所以所以
4.在△ABC中,G为△ABC的重心,记a=,b=,则=( )
A.a-b B.a+b
C.a-b D.a+b
【答案】A
【解析】因为G为△ABC的重心,所以=(+)=a+b,
所以=+=-b+a+b=a-b。故选A。
5.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD为( )
A.梯形 B.正方形
C.平行四边形 D.矩形
【答案】A
【解析】如图所示,因为=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),
所以=2。所以与共线,且||=2||。
又因为这两个向量所在的直线不重合,所以AD∥BC,且AD=2BC。
所以四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形。
6.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若=+λ,则λ等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为A,B,D三点共线,所以+λ=1,解得λ=。
二、多项选择题
7.设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,一定能使+=0成立的是( )
A.a=-2b B.a=2b
C.a=b D.a=-b
【答案】AD
【解析】因为与a同向的单位向量为,与b同向的单位向量为,所以若+=0,
则a,b方向相反。故选AD。
8.如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB=2CD,AD与BC相交于点O,则( )
A.-=
B.+++=0
C.|+2|=0
D.=+
【答案】ABC
【解析】对于A,-==,所以A正确;易知B正确;
对于C,易知△OCD∽△OBA,所以==,即=-,所以|+2|=|-|=|0|=0,
所以C正确;
对于D,==(+)=(+2)=+,故D不正确。故选ABC。
三、填空题
9.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是 。
【答案】±
【解析】由a=λb,得|a|=|λb|=|λ||b|。因为|a|=3,|b|=5,所以|λ|=,即λ=±。
10.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC。若=a,=b,则= 。(用a,b表示)
【答案】 -a+b
【解析】=+=+=+(+)=-+=-a+b。
11.已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若=3+,则x= 。
【答案】-2
【解析】因为点P在直线AB上,所以=λ,λ∈R,-=λ(-),
即=λ+(1-λ),所以所以x=-2。
四、解答题
12.计算:
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)(3a+2b)-a-b-a+b+a;
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)。
【解析】(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b。
(2)原式=3a-a+2b-b-a+a+b
=a+b-a+b
=a+b-a-b=0。
(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b。
13.在 ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和。
【解析】如图,设=a,=b。
因为M,N分别是DC,BC的中点,
所以=b,=a。
因为在△ADM和△ABN中,
即
令①×2-②,得b=(2-),
令②×2-①,得a=(2-c),
所以=-c,=c-。
素养提升
14.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
【答案】B
【解析】 为上的单位向量,为上的单位向量,
则+的方向为∠BAC的平分线的方向。
又λ∈[0,+∞),所以λ+的方向与+的方向相同。
而=+λ,所以点P在上移动。
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
15.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线 请证明你的结论。
【解析】b与a+c共线。证明如下:
因为a+b与c共线,
所以存在唯一实数λ,使得a+b=λc　①。
因为b+c与a共线,所以存在唯一实数μ,使得b+c=μa　②。
由①-②,得a-c=λc-μa。
所以(1+μ)a=(1+λ)c。
又因为a与c不共线,所以1+μ=0,1+λ=0,
所以μ=-1,λ=-1,所以a+b=-c,即a+b+c=0。所以a+c=-b。
故b与a+c共线。