数学期中综合复习手册
经典例题解析
直角三角形的证明计算题
如图，桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°．
（1）将△ECD沿直线AC翻折到如图（a）的位置，ED′与AB相交于点F，请证明：AF=FD′；
（2）将△ECD沿直线l向左平移到（b）的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移的距离，试试看；
（3）将△ECD绕点C逆时针方向旋转到图（c）的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数．
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定；平移的性质；旋转的性质．
专题： 计算题；压轴题；操作型．
分析： （1）根据题意：由轴对称的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质容易证明：△AFE≌△D′FB；故AF=FD′；（2）根据平移的性质可知CC′为平移的距离，先求BC′的长度，进而可得平移的距离．（3）△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE’的度数；易得△BCE′为等边三角形，∠ECE’=∠BAC=30度．
解答： 解：（1）根据轴对称的性质可知，在△AFE与△D′FB中，∵∠A=∠D′，AE=BD′，∠AFE=∠D′FB，∴△AFE≌△D′FB．∴AF=FD′．（2）根据平移的性质可知CC′为平移的距离．∵在Rt△ABC中，BC=6，∠A=30°，∴AB=2BC=12，AC=6．∵C′E′∥CE，∴△BC′E′∽△BCA，∴BC′：BC=E′C′：AC，∴BC′=2，∴CC′=6﹣2．（3）根据旋转的性质可知，△BCE′为等边三角形，∠ECE′为旋转角．∴旋转角∠ECE′为30°
点评： 本题考查平移、旋转的性质；平移的基本性质是： ( http: / / www.21cnjy.com )①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
等腰直角三角形的证明
如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN③DE=DF；④DE⊥DF．其中错误的结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
专题： 压轴题．
分析： ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN；②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=，可得S△CDN=S△ABC，所以S△CDN=S四边形ABDN，据此判断即可．③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．④首先判断出，DM=FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．
解答： 略
点评： （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应 ( http: / / www.21cnjy.com )用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
直角三角形经典探究题
问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
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①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是C ( http: / / www.21cnjy.com )D，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．然后运用类比的思想提出了如下命题；
③如图3，在正五边形ABCDE ( http: / / www.21cnjy.com )中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立；（不要求证明）②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
考点： 全等三角形的判定；正多边形和圆．
专题： 压轴题．
分析： （1）正三角形ABC中，可通过全等三角形来证 ( http: / / www.21cnjy.com )明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据∠BON和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出BCM和CND全等，进而得出BM=CN；（2）①由（1）的证明过程可知道∠MON的度数应该是正多边形的内角的度数，当∠BON=时，结论BM=CN成立，②可参照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通过证三角形CEN和BDM全等来得出结论，在证三角形CEN和BDM全等的过程中也是通过∠BON与正五边形的内角相等得出一组对应角相等，然后根据正五边形的内角减去第一对全等三角形中得出的相等角来得出另一组对应角相等，可通过△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得证．
点评： 本题主要考查了全等三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )正多边形等几何知识，是一道几何型探究题，层层深入，体现了一个由特殊到一般的过程，考查学生的逻辑思维能力及归纳探索诸多方面的能力，是一道很好的压轴题．本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题．
直角三角形做辅助线解答
如图所示，P，Q分别是BC ( http: / / www.21cnjy.com )，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③
考点： 直角三角形全等的判定；角平分线的性质．
分析： 根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS=AR，QP∥AR成立．
解答： 解：连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴△APR≌△APS（HL）∴AS=AR，①正确．∵AQ=PQ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA∴QP∥AR，②正确．BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．故选C．
点评： 本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．
经典题目练习
一．选择题（共5小题）
1．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有 ( http: / / www.21cnjy.com )一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
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A．1 B．1 C． D．
3．梯形ABCD中AB∥CD，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )DC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）
A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
4．已知，在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，CD为高，若，则△ABC为（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
5．如图，在直线L上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为（ ）
A．6 B．5 C． D．36
二．填空题（共4小题）
6．（2014秋 灌云县校级月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．
7．（2015 江西校级模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知x、y为直角三角形的两边的长，满足（x﹣2）2+|（y﹣2）（y﹣3）|=0，则第三边的长为 ．
8．（2015 江西校级模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．若P是四边形边上一动点，且∠BPC=30°，则CP的长为 ．
9．（2015 大庆校级模拟）勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ= ，△PQR的周长等于 ．
三．解答题（共11小题）
10．（2015春 通川区期末）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．
11．（2014 菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
12．（2014 简阳市模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；
（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？
13．（2014秋 张家口期末）操作发现
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将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图2．
（1）若DF=4，求BF的长；
（2）求证：△CDO是等腰三角形．
14．（2014春 宜宾校级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC与点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
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15．（2014秋 金华期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C ( http: / / www.21cnjy.com )→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
16．（2014秋 绍兴 ( http: / / www.21cnjy.com )校级期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开 ( http: / / www.21cnjy.com )始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
17．（2014秋 江阴市期中）如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．
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18． CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
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（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
19．（2013 武汉模拟）已知△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
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20．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
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一．选择题（共5小题）
1．（2012 泰州模拟）如图，一种电子 ( http: / / www.21cnjy.com )游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
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A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．（2013 重庆校级模拟）有一张矩形纸 ( http: / / www.21cnjy.com )片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
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A．1 B．1 C． D．
3．（2011 惠山区模拟）梯形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）
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A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
4．（2011 雨花区校级模拟）已知，在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，CD为高，若，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
5．（2011 峨山县模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在直线L上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为（ ）
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A．6 B．5 C． D．36
二．填空题（共4小题）
6．（2014秋 灌云县校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．
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7．（2015 江西校级模拟）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )x、y为直角三角形的两边的长，满足（x﹣2）2+|（y﹣2）（y﹣3）|=0，则第三边的长为 ．
8．（2015 江西校级模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．若P是四边形边上一动点，且∠BPC=30°，则CP的长为 ．
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9．（2015 大庆校级模拟）勾股定理有着悠 ( http: / / www.21cnjy.com )久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ= ，△PQR的周长等于 ．
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三．解答题（共11小题）
10．（2015春 通川区期末）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．
11．（2014 菏泽）（ ( http: / / www.21cnjy.com )1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
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12．（2014 简阳市 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；
（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2014秋 张家口期末）操作发现
( http: / / www.21cnjy.com )
将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图2．
（1）若DF=4，求BF的长；
（2）求证：△CDO是等腰三角形．
14．（2014春 宜宾校级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC与点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
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15．（2014秋 金华期中）如图，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C ( http: / / www.21cnjy.com )→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
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16．（2014秋 绍兴校级期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→ ( http: / / www.21cnjy.com )B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
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17．（2014秋 江阴市期中）如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．
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18．（2008 台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
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（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
19．（2013 武汉模拟）已知△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
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20．（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
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第二单元专项提升综合复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2012 泰州模拟）如图，一种电 ( http: / / www.21cnjy.com )子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
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A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
考点： 等腰三角形的判定；正方形的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
解答： 解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当P与B重合时，△APC为等腰三角形；当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．故选C． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
2．（2013 重庆校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
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A．1 B．1 C． D．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 几何图形问题；压轴题；数形结合．
分析： 利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
解答： 解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴，即，∴BF=0.5，∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．故选B．
点评： 此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
3．（2011 惠山区模拟）梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）
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A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
考点： 勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题．
分析： 过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．
解答： 解：过点B作BM∥AD，∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，∴AB=DM，AD=BM，又∵∠ADC+∠BCD=90°，∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，∴MC2=MB2+BC2，∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，=，=，即AD2=，BC2=，∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+=，∵S1+S3=4S2，∴MC2=4AB2，MC=2AB，CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．故选：B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题涉及到相似三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．
4．（2011 雨花区校级模拟）已知，在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，CD为高，若，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
考点： 勾股定理；因式分解的应用．
专题： 压轴题．
分析： 由于CD是边AB的高，根据勾股定理将AC、BC代换，然后转换题中的等式．
解答： 解：∵AC2=AD2+CD2，BC2=BD2+CD2，代入等式然后转换为AD（BD2+CD2）=BD（AD2+CD2）∴AD×BD2+AD×CD2=BD×AD2+BD×CD2，AD×BD2+AD×CD2﹣BD×AD2﹣BD×CD2=0∴AD×BD（BD﹣AD）﹣CD2（BD﹣AD）=0∴（AD×BD﹣CD2）（BD﹣AD）=0（1）当AD×BD﹣CD2=0时，=，由于CD⊥AB，所以∠CAD与∠CBD互余，所以△ABC可为直角三角形；（2）当BD﹣AD=0时，AD=BD，并且CD⊥AB，所以△ABC可为等腰三角形．故选D．
点评： 本题难点在于用勾股定理将AC和BC替换，然后根据等式化简得出两种情况，根据三角形的性质判断为何种三角形．
5．（2011 峨山县模拟）如图，在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线L上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为（ ）
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A．6 B．5 C． D．36
考点： 勾股定理；全等三角形的性质；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 如图，此题关键是把三个正方形的面积转换为直角△DEC的三边的平方和即可求．
解答： 解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠DEC∵∠ABE=∠DCE=90°，AE=DE∴△ABE≌△DCE，∴AB=EC直角三角形DCE中，根据勾股定理可得出：DE2=EC2+CD2=AB2+CD2=6，那么两个正方形的面积和就应该等于AB2+CD2=6．故选A． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等的综合运用．本题中通过全等三角形得出AB=EC是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．（2014秋 灌云县校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= 7 cm．
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考点： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
分析： 用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°∴∠EAC=∠B∵AB=AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．故填7．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2015 江西校级模拟）已知x、y为直角三角形的两边的长，满足（x﹣2）2+|（y﹣2）（y﹣3）|=0，则第三边的长为 2或或 ．
考点： 勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
专题： 分类讨论．
分析： 先根据题意求出x、y的值，再分情况讨论，根据勾股定理即可求出第三边的长．
解答： 解：∵（x﹣2）2+|（y﹣2）（y﹣3）|=0，∴x﹣2=0，（y﹣2）（y﹣3）=0，∴x=2，y=2，或y=3；（1）当x=2，y=2时，x、y为直角边长，斜边长==2；（2）当x=2，y=3时，分两种情况：①y为直角边长时，斜边长==；②y为斜边时，第三边长==；综上所述：第三边的长为2或或；故答案为：2或或．
点评： 本题考查了绝对值的性质、偶次方的性质、勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理的运用；熟练掌握绝对值和偶次方的性质，运用勾股定理求出第三边长是解决问题的关键；注意进行分类讨论，避免漏解．
8．（2015 江西校级模拟）如图，在四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．若P是四边形边上一动点，且∠BPC=30°，则CP的长为 4 ．
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考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形．
专题： 分类讨论．
分析： 在Rt△PBC中，根据含30度角的直角三角形的性质，可得CP=2BC=4，据此解答即可．
解答： 解：∵AB⊥BC，∴∠PBC=90°，在Rt△PBC中，∵∠BPC=30°，∴CP=2BC=2×2=4，即CP的长为4．故答案为：4．
点评： 此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
9．（2015 大庆校级模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ= 7+2 ，△PQR的周长等于 27+13 ．
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考点： 勾股定理的证明．
分析： 在直角△ABC中，根据三角函数即可求 ( http: / / www.21cnjy.com )得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．
解答： 解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=AB cos30°=4×=2．则QH=HA=HG=AC=2．在直角△HMA中，HM=AH sin60°=2×=3．AM=HA cos60°=．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR =7+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13．故答案为：7+2；27+13． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 考查了勾股定理的证明和含30度角的直角三角形，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
三．解答题（共11小题）
10．（2015春 通川区期末）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题；分类讨论．
分析： 此题利用两种方法证明，证明1：作中线A ( http: / / www.21cnjy.com )F，则三条中线交于重心G．有重心性质可证BG=CG，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证GF⊥BC，再利用AF是中线，即可证明结论；证明2：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形EDFC是平行四边形，由BD=EC=DF．D、E分别AC、AB的中点，可证B、C、F三点共线，可得∠DBF=∠DFB=∠ECB，再利用（SAS）求证△ECB≌△DBC即可．
解答： 已知：BD、CE是△ABC的两条中线（如图），BD=CE求证：AB=AC．证明1：作中线AF，则三条中线交于重心G．∵，，∴BG=CG；∴GF⊥BC，即AF⊥BC．又∵AF是中线，∴AB=AC．证明2：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形EDFC是平行四边形，∴DF=EC，而EC=BD，∴BD=DF．又∵D、E分别AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴B、C、F三点共线．∴∠DBF=∠DFB=∠ECB，又∵BD=CE，BC=CB，∴△ECB≌△DBC（SAS），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质和全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题有两种证明方法，特别是证明2学生容易忽视，因此要向学生特别强调．
11．（2014 菏泽）（1）在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
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考点： 等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： （1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA ( http: / / www.21cnjy.com )，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案．
解答： 解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．（2）原式==∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=
点评： 本题考查了平行线的性质，等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键．
12．（2014 简阳市模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；
（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？
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考点： 等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，然后求出∠2=∠3，再根据等角对等边可得OE=OC，同理可得OF=OC，从而得到OE=OF；（2）CE是∠ACB的平分线，CF是∠OCD的平分线，所以∠ECF=90°，若CE=4，CF=3，得到EF=5，OE=OF=OC=．
解答： 解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE=OC，同理可得OF=OC，∴OE=OF；（2）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∵CF是∠OCD的平分线，∴∠4=∠5，∴∠ECF=90°，在Rt△ECF中，由勾股定理得EF=．∴OE=OF=OC=EF=． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（2014秋 张家口期末）操作发现
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将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图2．
（1）若DF=4，求BF的长；
（2）求证：△CDO是等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
分析： （1）根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求得BF的长，即可解题；（2）根据BC=DE和∠DEF=30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根据∠ACB=45°即可求得∠DOC的值，即可解题．
解答： 解：（1）∵在Rt△DEF中，∠DEF=30°，∠EDF=90°，DF=4，∴BF=8．（2）∵在△BDC 中，BC=DE，∴∠BDC=∠BCD．∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°，∵∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°．∴∠DOC=∠BDC，∴△CDO是等腰三角形．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证∠DOC=∠BDC是解题的关键．
14．（2014春 宜宾校级期末）如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC与点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
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考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： （1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形； ( http: / / www.21cnjy.com )（2）由等腰三角形两腰相等求解；（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度．
解答： 解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，∴△DBO是等腰三角形，同理△EOC是等腰三角形，（2）∵BD=4、CE=3，∴由（1）得出DO=4，EO=3，∴DE=DO+OE=4+3=7，（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；∵DO=DB，OE=EC，∴△ADE的周长=AB+AC，∵AB=12、AC=9，∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21，（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴△BDO和△ECO是等腰三角形，∴BD=DO，CE=OE，∵BC=16，∴△ODE的周长为16．即△ODE的周长等于BC的长度．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．
15．（2014秋 金华期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按 ( http: / / www.21cnjy.com )C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
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考点： 等腰三角形的判定；一次函数综合题．
分析： （1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2cm，所以求出了三角形的周长．（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案．
解答： ( http: / / www.21cnjy.com )解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm， ( http: / / www.21cnjy.com )BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．∵∠C=90°，∴有勾股定理得PB=2cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC∴PA=PB=5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16=12，∴t=12，∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
点评： 考查了等腰三角形的判定，利用了勾股定理求出三角形的一条直角边，还利用分类讨论的思想求出所要求的答案．
16．（2014秋 绍兴校级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C ( http: / / www.21cnjy.com )→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
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考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 计算题；动点型．
分析： （1）根据速度为每秒1cm，求出出发2 ( http: / / www.21cnjy.com )秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB，由勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
解答： 解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形； ( http: / / www.21cnjy.com )②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD===1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3=3，∴t=2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8=6，∴t=6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查学生对等腰三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．
17．（2014秋 江阴市期中）如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．
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考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°、若AE=EM、若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况分类讨论即可得到答案；
解答： 解：①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°∵∠C=45°∴∠AME=∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE=EM∵∠B=∠AEM=45°∴∠BAE+∠AEB=135°，∠MEC+∠AEB=135°∴∠BAE=∠MEC在△ABE和△ECM中∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE=AB=∵BC=∴BE=2﹣；③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°∵∠BAC=90°∴∠BAE=45°∴AE平分∠BAC∵AB=AC∴BE==1． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了等腰三角形的判定，特别是本题中渗透的分类讨论的数学思想，是中考的重点．
18．（2008 台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
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（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE = CF；EF = |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180° ( http: / / www.21cnjy.com )，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA=180° ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
考点： 直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．
解答： 解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）猜想：EF=BE+AF．证明过程：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，∴∠BCE=∠CAF，又∵BC=CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=BE+AF．
点评： 本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．
19．（2013 武汉模拟）已知△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
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考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）求出∠DAC=∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AE，再利用“边角边”证明△ACD和△ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接BE，先求出△ADE是等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；（3）过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，先求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出∠CAD，从而得到∠CAD=∠FED，然后利用“边角边”证明△ACD和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： （1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，即∠DAC=∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD=BE；（2）连接BE，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∵CD垂直平分AE，∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，∴BE⊥DE，DE=AD=3，∴BD=5； ( http: / / www.21cnjy.com )（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，∠BAE=180°﹣x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°﹣2y，∠CAD=360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD=360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y=x+y，∴∠FED=∠CAD，在△ACD和△EFD中，，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD=DF，而BD2+BF2=DF2，∴CD2=BD2+4AH2．
点评： 本题考查了勾股定理，全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与 性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键．
20．（2007 绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 直角三角形全等的判定．
专题： 证明题；压轴题；开放型．
分析： （1）如果：“∠B=∠D ( http: / / www.21cnjy.com )”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
解答： 证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，∴∠B=∠D=90°，∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，∵在△ADC中，cos30°=，在△ABC中，cos30°=，∴AB=AC，AD=．∴AB+AD=．（2）由（1）知，AE+AF=AC，∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE=CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D=∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．
点评： 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．
