2022级“贵百河”4月高二年级新高考月考测试
数学 参考答案
1．A【详解】依题意，在复平面内，复数，对应的点分别为，，
则，，所以.故选：A.
2. D【详解】由题意可知，
所以.故选：D.
3．B【详解】因为，所以，所以切点为，又，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
4．C【详解】根据频率分布直方图可知：，即，故A正确；由图易得在区间,的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确；，故成绩低于60（分）的有250人，即D正确；
由图中前四组面积之和为：，图中前五组面积之和为：，故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，
设这组数据的第85百分位数为，则有，
故，即估计这组数据的第85百分位数为86，故C错误．
5．B【详解】作出简图如下图所示：设，则表示恒过定点的直线上去掉点的部分，要求的最小值，则转化为求恒过定点的直线的斜率最小，因为实数满足，所以当直线是圆的切线时， 取得最值，则此时圆的圆心到直线的距离，解得，过点P的直线也是圆的切线，但的斜率不存在，所以 最小值为.
6．C【详解】因为，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以，因为，
所以，即，又两边同时平方得，即，所以，.
7．D【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，
显然，
猜想：，
当时，成立；
假设当时，成立，
则为奇数，为偶数；
当时，则为奇数，
为奇数，为偶数，
故符合猜想，
因此，，
所以数列的前2024项的和为.故选：D
8．A【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增；，即；令，
当时，，则单调递增，所以，即，所以.
而在上单调递增，故有，即.
9．BC【详解】对于A，，故A错误.对于B，2，故B正确.对于C，，若，则即，故C正确.对于D，，故，故，故D错误.
10．AC【详解】对于A，若的最小正周期，可得，可得，即A正确；
对于B，当时，可得，的图象向右平移后得到，即B错误；
对于C，由可知若在区间上单调递增，可得，
因此需满足，解得；
显然当时符合题意，即可得，所以C正确；
对于D，当时，，
若在区间上有两个零点，可得，解得；
即的取值范围是，所以D错误；故选：AC
11．ACD【详解】对于A，连接BC1, F C1，因为EF// BC1，且EF BC1.所以过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形为梯形BEF C1. A正确；
对于B，在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，，设，，设平面的法向量，则，令，得，由，解得，与矛盾，即与不共线，因此不垂直于平面，B错误；
对于C，由平面知，点P到直线的距离等于点P到点的距离，
因此点P到点的距离等于点P到直线AD的距离，由抛物线的定义知点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对于D，取的中点，连接，如图所示：
由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，
由且，得为平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面，而，平面，因此平面平面，由与平面无公共点，平面，得平面，
又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，
则是点在底面内的轨迹，，
所以点的轨迹长度为，D正确.故选：BCD
12．【详解】因为，
，所以.
13．/0.4【详解】3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3人中恰有2人完成任务或3人都完成任务．概率为．
14．【详解】如图，直线的斜率为.由，得点为的中点，又，所以是线段的垂直平分线，所以，
过点作于点，由已知得，
所以，
所以，
所以，即，所以，
又，为的中点，所以，所以，
由双曲线的定义可得，即，
所以，可得，整理得，
即，解得或（舍去），又题中直线与的右支有交点，所以，即，所以，即，所以，即，
所以的离心率为.
15.【详解】（1）设的公差为，因为………………1分
所以……………………2分
又，所以，解得……………………4分
所以……………………5分
……………………6分
……………………8分
所以…………………11分
．……………………13分
16.【详解】由， ………………1分
有， ………………2分
又有， ………………3分
解得：，， ………………5分
此时，，
令，可得或；令，可得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
函数在处取得极小值，符合题意， ………………7分
故函数的解析式为． ………………8分
由可知，，………………10分
因为当时，，当时，，
要使关于的方程有且仅有一个实数根，
即函数的图象与直线有且仅有一个交点，
则或，
所以，实数的取值范围为． ……15分
17.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，
∵为正三角形，，∴且，……1分
∵，为的中点，∴，
又∵底面为直角梯形，即，
故四边形为平行四边形，而，
所以四边形为矩形，……3分
∴.……4分
……………………5分
平面，
∴平面，…………………………6分
∵平面，平面平面；……………………7分
（2）由（1）得，由（1）又可得，
如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，……8分
则，，
，……………………10分
设平面的法向量为，
由，得，令，则，,…12分
设与平面所成的角为，则
，…14分
∴与平面所成角的正弦值为……………………15分
18.【详解】（1）因为椭圆过点，焦距为， …………1分
所以， ……………………3分 （a，b，c各1分）
所以椭圆的标准方程为. …………4分
（2）证明：设，
直线的斜率一定存在，设为，
则，消去得到…………5分
，
， ………………………6分
…………………………8分
故是定值. …………………………9分
（3）设存在实数，使恒成立，
由，，…………………11分
设到直线的距离为，到直线的距离为，
则，① ………………………13分
因为，所以，②……………… 14分
把①代入②并化简可得， ………………………16分
由上问可知，代入上式可得，
所以. ………………………17分
19.【详解】（1）函数的定义域是.由已知得，………………………1分
①当时，由得，或，
∴的单调增区间为，，………………………2分
②当时，当时，，所以单调增区间为………3分
③当时，由得：或，
∴的单调增区间为，……………4分
综上，①当时，函数单调递增区间为，；
②当时，函数单调递增区间为；
③当时，函数单调递增区间为，.
当时，.
由（1）知，函数在上单调递增且；……………………5分
令
，，………………6分
令，
令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，……………………7分令，则，则，故，
所以恒成立，……………………8分
不妨设，则，……………………9分
所以，所以，因为，，而在单调递增，所以，所以……………………10分
由（2）知，时，，………………11分
即，
故在时恒成立，……………………14分
所以，……………………15分
，
，……，
，……………………16分
相加得.……………………17分
答案第8页，共8页2022 级“贵百河”4月高二年级新高考月考测试
数 学
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1 z．如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数 1 为（ ）z2
A．-i B．-1 C．-3i D．-3
2．已知等比数列 an 的公比为 3， a2 a4 12，则 a5 a1 （ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
3．函数 ( ) = 3 + 3sin 的图象在点 (0, (0))处的切线方程是（ ）
A． 3 = 0 B．3 = 0 C． + 3 = 0 D．3 + = 0
4．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、
育文化”的党史知识竞赛，并将 1000名师生的竞赛成绩（满分 100分，成绩取整数）整理成如
图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．a的值为 0.005
B．估计这组数据的众数为 75分
C．估计这组数据的第 85百分位数为 85分
D．估计成绩低于 60分的有 250人
5．若实数 x，y y 2满足 2 + 2 = 1，则 的最小值等于（ ）
x 1
A 1 3 3． B． C． D．2
4 4 2
6．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若bsinC ccos B，且 |CA CB |＝ |CA CB |，
2
则 A=（ ）
A B ． ． C． D．
4 3 6 2
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7．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，
21，34，55 *，…，即 F 1 F 2 1， F n F n 1 F (n 2)(n 3，n N )，此数列在现代物理
“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被 2除后的余数构成一个新数列{an}，
则数列{an}的前 2024项的和为（ ）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
8．已知 f x 是定义域为R的偶函数，且在 ,0 上单调递减， a f ln1.04 ，b f 1.04 ，
c f e0.04 ，则（ ）
A．a b c B． a c b C． c b a D．c a b
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。
（答案有两个选项只选一个对得 3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得 2，只选两
个都对得 4，错选不得分）
9．下列命题正确的有（ ）
A cos x x sin x cos x．
x x2
B 1+Δ 1．已知函数 在 上可导，若 ' 1 = 2，则 lim = 2
Δ →0 Δ
C．已知函数 = ln 2 + 1 ，若 ' 0 = 1，则 0 =
1
2
D．设函数 的导函数为 ' ，且 = 2 + 3 ' 2 + ln ，则 ' 2 = 1
4
10 ．已知 0，函数 f x cos x
π
6 ，下列选项正确的有（ ）
A π．若 f x 的最小正周期T ，则ω= 42 ；
π
B．当 2时，函数 f x 的图象向右平移 g x cos 2x6后得到 的图象；
π 5 11
C．若 f x 在区间 , π ,
2
上单调递增，则 的取值范围是 3 6 ；
4 7
D．若 f x 在区间 0, π 上有两个零点，则 的取值范围是 ,3 3 .
11．如图，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别是棱 AA1，A1D1的中点，点 P为底
面 ABCD内（包括边界）的动点，则以下叙述正确的是（ ）
A．过 B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为梯形
B．存在点 P，使得C1P 平面BEF
C．若点 P到直线 BB1与到直线 AD的距离相等，则点 P的轨迹为抛物线
的一部分
D．若直线D1P与平面 BEF无公共点，则点 P的轨迹长度为 5
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．设集合M x 2x 1 ， N x log2 x 1 ，则M N .
13．公司要求甲、乙、丙 3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间
2 2 1
内完成任务的概率分别为 ， ， ，则 3 个人中至少 2 人在规定时间内完成任务的概率
5 3 4
为 ．
2 2 a
14 x y．已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1 c,0 ,F2 c,0 ，过点F1作斜率为a b b的
1 1
直线与C的右支交于点 P，且点M 满足 F2M F2P F2F1 ，且F2M F1P，则C的离心率2 2
是 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题 13分）
记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，已知 S5 85，且 a6 7a1．
（1）求 an和 Sn；
5
（2）设bn ba a ，求数列 n 前 n项和Tn．n n 1
16．（本小题 15分）
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1，当 = 1 时，函数 有极值 1．
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的方程 = 0 有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围．
17．（本小题 15分）
如图，在四棱锥P ABCD中，△PAD为正三角形，底面 ABCD为直角梯形， AD//BC，
AD CD, AD 2BC 2,CD 3,PB 6 .
（1）求证：平面 PAD 平面 ABCD；
（2）若点 M为棱 PC的中点，求 BM与平面 PCD所成角的正弦值.
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18．（本小题 17分）
x2 y2
已知椭圆 2 2 1(a b 0)过点 A(2,1)，焦距为 2 3．过 B(3,0)作直线 l与椭圆交于 C、D两点，a b
直线 AC、AD分别与直线 x 3交于 E、F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线 AC、AD的斜率分别为 k1、k2，证明 k1 k2是定值；
（3）是否存在实数 ，使 S△CDE S△CDF 恒成立.若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题 17分）
1 2
函数 f x alnx x a 3 1 x (a 0)2 2 .
（1）求函数 f x 的单调增区间；
（2）当 a 1时，若 f x1 f x2 0，求证： x1 x2≥2；
n 2 i 1
（3）求证：对于任意n N 都有 2ln n 1 n.
i 1 i
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