广州市第六中学2023-2024学年高二数学4月测验卷
一、单选题
1．若，为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】略
2．已知，是全集的两个非空子集，若，则下列说法可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
3．2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的第75百分位数为，众数为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】略
4. 如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
5．已知函数，若，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
当时，，因为，所以在上单调递增，
所以，故选：C.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，
，在中，由余弦定理得
，化简得，则，所以，故选：C.
7. 过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】设的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线斜率的乘积为，
故选：A
8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，
设底面中心为，截面中心为，则，，
所以，所以截面为的面积为.
设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，
底面中心与截面中心之间的距离为，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，所以四边形边长为，
所以四边形面积为，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即.
故选：D.
二、多选题
9. 已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2－3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为( )
A．－ B. C．－1 D．0
【答案】BD
【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
依题意1,3是f′(x)＝0的两个根，所以解得a＝－，b＝2.
故f(x)＝－x3＋2x2－3x＋k.易求得函数f(x)的极大值为f(3)＝k和极小值为f(1)＝－＋k.
要使函数f(x)有两个零点，则f(x)极大值k＝0或f(x)极小值－＋k＝0，所以k＝0或k＝.
10. 已知函数（，）在区间上单调，且满足，则（ ）
A．
B．若，则的最小正周期为
C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】函数满足.对A：因为，所以，故A正确；
对B：由于，所以函数的一条对称轴方程为，又为一个对称中心，由正弦图象和性质可知，所以函数的最小正周期满足,即.又区间上单调，故，即，故，故B正确；
对C：在区间上单调，且满足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的个数越少.当时，，又，，得.所以在区间上有3个不相等的实数根：或，故至多3个不同的实数解，故C错误.
对D：函数在区间上恰有5个零点，所以，所以，解得：，且满足，即，即，故.故D正确.
11. 已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A． B．x2＝ln x1
C． D．x1x3＝x
【答案】ACD
【解析】
y＝，令y′＝＝0，则x＝1.
则y＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，ymax＝.y＝，
令y′＝＝0，则x＝e，则y＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴ymax＝. ＝a，则x2＝，A正确；
＝a＝＝ ，y＝在(0,1)上单调递增，
0＝a＝，y＝在(e，＋∞)上单调递减，
∈(e，ee)，x3>e，∴＝x3，C正确；
x1x3＝ln x2＝·ax2＝x，D正确．
三、填空题
12. 已知向量满足，则________
【答案】1
【解析】∵，又∵
∴9，∴
13．在等比数列中，，，则____
【答案】
【解析】设，
则
，
所以.
14．定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为存在实数x使不等式对任意恒成立，
所以，而，则，
令，则，所以在上单调递增，且，
所以时，，即，故单调递减；时，，即，故单调递增；所以在处取得极小值也是最小值，故
，因为不等式对任意恒成立，
时，不等式恒成立；
时，不等式等价于；令，则，故在上单调递增，故，所以，因此实数a的取值范围为.故答案为：.
四、解答题
15.（本题满分13分）记数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
【答案】（1） （2）7
【解析】(1)因，所以，┄┄┄┄┄1分
当时，，故，┄┄┄┄┄4分
且不满足上式，┄┄┄┄┄5分
故数列的通项公式为┄┄┄┄┄6分
(2)设，则，
当时，，┄┄┄┄┄7分
故，┄┄┄┄┄8分
于是．┄┄┄┄┄11分
整理可得，所以，┄┄┄┄┄12分
又，所以符合题设条件的m的最小值为7．┄┄┄┄┄13分
16.（本题满分15分）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)设的中点为D，若，且的周长为，求a，b.
【答案】(1); (2)，.
【解析】（1）由条件及正弦定理可得，┄┄┄┄┄1分
因为，所以，所以，整理得，┄┄┄┄┄3分
又因为，所以，┄┄┄┄┄4分
所以，解得.┄┄┄┄┄6分
（2）在中，由余弦定理得.
而，，所以.①┄┄┄┄┄8分
在中，由余弦定理得.②┄┄┄┄┄10分
由①②两式相减，得，所以，┄┄┄┄┄11分
将代入②，得，则.┄┄┄┄┄12分
因为的周长为，
所以，解得，┄┄┄┄┄13分
所以，.┄┄┄┄┄15分
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】．(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）设与交于，连接．┄┄┄┄┄1分
因为为正方形的对角线，所以为中点，且，┄┄┄┄┄2分
因为是的中点，所以，
因为，所以┄┄┄┄┄3分
因为平面底面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以┄┄┄┄┄5分
因为平面，，
所以平面 ；┄┄┄┄┄7分
（2）因为，为的中点，所以
因为平面底面，平面平面，平面，
所以 平面，
因为，所以，┄┄┄┄┄8分
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，┄┄┄┄┄9分
设正方形的边长为4，则，故
则，，，，，
所以 ，┄┄┄┄┄10分
设平面的一个法向量，因为，
所以，令，则，所以，┄┄┄┄┄12分
由（1）知平面，所以取平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以，┄┄┄┄┄14分
所以平面与平面夹角的正弦值为 .┄┄┄┄┄15分
18.（本题满分17分）已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求C的方程；
（2）已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，┄┄┄┄┄2分
故，┄┄┄┄┄3分
所以C的方程为．┄┄┄┄┄4分
（2）设，，
当时，即，解得，则，┄┄┄┄┄5分
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．┄┄┄┄┄6分
则直线．┄┄┄┄┄7分
由得，┄┄┄┄┄9分
所以，．┄┄┄┄┄10分
．┄┄┄┄┄15分
所以，所以
即． ┄┄┄┄┄17分
19．（本题满分17分）已知函数，．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）判断的单调性；
（3）已知有两个解，．
（i）求的取值范围；
（ii）为正实数，若对于符合题意的任意，，当时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）-1；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（3）（i） (ii)
【解析】：（1）因为，
所以，
因为是的极值点，所以，即，故．
此时，则当时，，当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
则是的极值点，满足题意．综上，．
（2）由（1）知，当时，，故在上单调递增；
当时，令，得，令0，得，所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）（i）由，得，即有两个解，．
令，则，且在上有两个零点．
当时，，所以在上单调递增，则在上没有两个零点，不满足题意；
当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，即的极大值为，
为使在上有两个零点，则，即，解得．
当时，易知，
因为，所以．
又在上单调递增，所以在上有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，所以在上单调递增，
所以，即，
故在上单调递增，所以，
因为，所以，即，
即，即，故，
所以，故，
又在上单调递减，所以在有唯一零点．
综上，当时，在上有两个零点，即有两个解，时，，即．
（ii）由（i）得，，故，
又，所以，即，
即，故，
令，则，故，
设，则，
当时，故当时，恒成立，
故在上单调递增，故，即在上恒成立；
当，，而，
当时，，
故存在，使得，使得，
故在为减函数，故，矛盾，舍．
综上，，即的取值范围为．广州市第六中学2023-2024学年高二数学4月测验卷
一、单选题
1．若，为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知，是全集的两个非空子集，若，则下列说法可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的第75百分位数为，众数为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4. 如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数，若，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7. 过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2－3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为( )
A．－ B. C．－1 D．0
10. 已知函数（，）在区间上单调，且满足，则（ ）
A．
B．若，则的最小正周期为
C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
11. 已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A． B．x2＝ln x1
C． D．x1x3＝x
三、填空题
12. 已知向量满足，则________
13．在等比数列中，，，则____
14．定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
15.（本题满分13分）记数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
16.（本题满分15分）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)设的中点为D，若，且的周长为，求a，b.
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
18.（本题满分17分）已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求C的方程；
（2）已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
19．（本题满分17分）已知函数，．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）判断的单调性；
（3）已知有两个解，．
（i）求的取值范围；
（ii）为正实数，若对于符合题意的任意，，当时，都有，求的取值范围．
