广州市第六中学2023-2024学年高二数学3月测验卷
一、单选题 (本大题共 8 小题，共 40 分)
1. 设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
2. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3. 已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
4. “会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
【答案】B
5. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6. 已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ）
A．与相互独立 B．与是对立事件
C．与是对立事件 D．与相互独立
【答案】D
7. 已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
8. 在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二、填空题 (本大题共 6 小题，共 33 分)
9.
【答案】AD
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象过点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
【答案】BCD
11. 小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．小华一共前进3步的概率最大
【答案】BC
12. 已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
12．
13. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．
【答案】16π
14.
【答案】
14．
三、解答题 (本大题共 5 小题，共 77 分)
15. 数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)设，求数列的前项和
【答案】
(1)
15．（1）依题意，
当时，由已知得，得，……1分
当时，由，①
得，②……2分
由①②得，所以，……5分
当时，也适合上式，综上，.……6分
(2)
（2）由（1）知，……7分
所以，……8分所以，……9分
两式相减，整理：，……12分
所以.……13分0
16. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且与平面所成角的正切值为2，
求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】
(1)
16．（1）因为，所以为等边三角形，
所以，……1分
又四边形为梯形，，则，
在中，由余弦定理可知，
，……3分
根据勾股定理可知，，即．……4分
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，……5分 又因为平面所以．……6分
(2)
（2）由（1）可知，又因为，所以平面，7分
所以就是与平面所成角，所以，所以；…8分
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，……9分
则，
所以，……10分
设平面的法向量为，
则有取，……12分
由题意得为平面的法向量，
所以，……14分
即平面与平面所成二面角的正弦值．……15分
17. 如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】
(1)
17．（1）由可得
，……1分
又因为，所以可得，……2分
即，可得；……3分
又，所以可得，因此.……4分
又，若，可得，可得；
又，所以,又，……5分
由余弦定理可得，解得；……7分
(2)
（2）设，且，，则，……8分
由可得，……9分
在由正弦定理可得，即，可得，……10分
利用余弦定理可得，解得；……12分
所以可得，……13分
又为锐角，所以；……14分
可得．……15分
18. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
【答案】
(1)
18．（1）由已知得，且，，……1分
取，由得，……2分
由于为数列的前n项积，
所以，……4分 故，……6分
所以，……7分
由于，所以，……8分 即，其中……9分
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;……10分
(2)
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，……11分
，……12分
当时，，……13分
当时，，……15分
显然对于不成立，……16分 ∴……17分
19. 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
(1)
19．（1）设，，则，……1分
由题意知，所以，得(，所以，……2分
因为，得，故曲线C的方程为．……4分
(2)
（2）由题意可知，直线不平行坐标轴，
则可设的方程为：，分此时直线的方程为．……5分
由，消去得：，……6分
解得：或(舍去)，所以，
所以，……7分同理可得：．……8分
当时，直线的斜率存在，
，……9分
则直线的方程为，
所以直线过定点．……10分
当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，
综上所述：直线过定点．……11分
(3)
（3）假设存在点R使得，设，
因为，所以，即，……12分
所以，所以，……13分
直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，
设，易知点，直线方程是，
令得点P横坐标，……14分
直线方程是，令得点Q横坐标，……15分
由，得，又在椭圆上，
所以，所以，解得，……16分
所以存在点，使得成立．……17分广州市第六中学2023-2024学年高二数学3月测验卷
一、单选题 (本大题共 8 小题，共 40 分)
1. 设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
2. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. “会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
5. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ）
A．与相互独立 B．与是对立事件
C．与是对立事件 D．与相互独立
7. 已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8. 在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题 (本大题共 6 小题，共 33 分)
9.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象过点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
11. 小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．小华一共前进3步的概率最大
12. 已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为 ．
13. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．
三、解答题 (本大题共 5 小题，共 77 分)
15. 数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)设，求数列的前项和
16. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且与平面所成角的正切值为2，
求平面与平面所成二面角的正弦值．
17. 如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角．
(1)若，求；
(2)若，求．
18. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
19. 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
