2023-2024学年下学期期中考试高一年级数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A A C D B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 AD BD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
题号 12 13 14
2
答案 1 ； 2 52
3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）设复数 z a bi (a , b R ) ， 则 z a bi
(a bi )( a bi ) 4
由 z z 1 且 z z | z | 0 ，得 2 2 ， ………………3 分
a bi a bi a b 0
2 2
a b 4
即 ，解得 a 1， b 3 i ． ………………6 分
2 a 2 0
∴ z 1 3 i ． ………………7 分
（2）当 3 2z 1 3 i 时， ( 1 3 i ) ( 1 3 i ) ( 1 3 i ) ( 2 2 3 i )( 1 3 i )
2 2 3 i 2 3 i 6 8 ， ……………9 分
当 时， 3 2z 1 3 i ( 1 3 i ) ( 1 3 i ) ( 1 3 i ) ( 2 2 3 i )( 1 3 i )
2 2 3 i 2 3 i 6 8 ， ……………11 分
故 3z 8 ． ………………13 分
16．【解析】（1）∵ 2 2a 2b ( 3 , 5 ) ，∴ | a 2b | ( 3 ) ( 5 ) 2 2 ， ………3 分
2 2 9
∴ 2| a 2b | a 4 a b 4b 1 4 a b 4 4 8 ，∴ a b ，
4
2 2
∴ 2| 2 a 3b | 4 a 12 a b 9b 4 27 36 67 ，
∴ | 2 a 3b | 67 ． ………………7 分
（2）由题意知向量 a 在向量 b 上的投影向量为 u ( 3,4 ) ，
2
2 2
设 b u ( 3 ,4 ) ，由 | b | 2 ，得 ( 3 ) ( 4 ) 4 ，∴ ， …………11 分
5
a b b a b u 4
故 u ，即 u ，故 a b 10 ，故 a b 10 ． ……………15 分
| b | | b | 2 2
17．【解析】（1）在直观图中O' A' 3 ，O' C' 1 ，B' C' 2 ，所以在平面图形OABC 为直角梯形，OA 3 ，
OC 2OC 2 ，B C B' C ' 2 ，所以AB 5 ， ………………5 分
( 2 3) 2
所以平面四边形OABC 第面积为 5 ，周长为 3 2 2 5 7 5 ． ………7 分
2
（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， ………………8 分
由（1）可知几何体底面圆半径为 r 2 ，圆柱母线长和高都为 2 ，即 h l 2 ； 1 1
2023-2024 学年下学期期中考试高一年级数学试卷答案 第 1 页（共 2 页）
{#{QQABYQaEoggIAIJAABhCUQEACkMQkAACCCoGxEAMMAABSQNABAA=}#}
圆锥的高为 h 1，母线长为 l 5 ，所以所求体积为 2 2
2 1 2 4 28
V V V r h r h 8 ， ………………12 分
圆柱 圆锥 1 2
3 3 3
所求表面积为 2S r 2 rl rl 4 8 2 5 (12 2 5 ) ． ………………15 分
1 2
BC AB
18．【解析】（1）∵在ΔABC 中， ，BC 3 AB ，∴ sinA 3sinC ．
sinA sinC
3 2
∵C ，∴ sinA ．∵ 0 A ，∴ A ，或A ，
6 2 3 3
当A 时，∵A B C π ，∴ B ，这与ΔABC 为钝角三角形矛盾，故舍去，
3 2
2 2
当A 时，∵A B C π ，∴ B ，符合题意，故A ． ……………7 分
3 6 3
（2）选择条件①不符合要求，得 0 分；
2
选择条件②：由（1）知在ΔABC 中，A ，C ，B ，∴ΔABC 为等腰三角形，其中AB AC ．
3 6 6
∵BC 3 AB ，∴ AB BC AC AB 3 AB AB 4 2 3 ．∴AB AC 2 ．
设点D 为线段AC 的中点，在ΔABD 中，AD 1． A
D
2 2 2 2 2 2
∵BD AB AD 2 AB AD cos BAD 2 1 2 2 1 cos 7 ， B C
3
∴BD 7 ，即AC 边上的中线的长度为 7 ．
2
选择条件③：由（1）知在ΔABC 中，A ，C ，B ，∴ΔABC 为等腰三角形，其中AB AC ．
3 6 6
1 2
∵ΔABC 的面积为 3 ，即 S AB AC sin 3 ，∴AB AC 2 ．
ΔABC
2 3
设点D 为线段AC 的中点，在ΔABD 中，AD 1．
2 2 2 2 2 2
∵BD AB AD 2 AB AD cos BAD 2 1 2 2 1 cos 7 ，
3
∴BD 7 ，即AC 边上的中线的长度为 7 ． ……………17 分
19．【解析】（1）如图，连接BD ，则当 BCD 时，在ΔBCD 中，由余弦定理可得
3
2 2 2 2 2 1
BD CD CB 2 CD CBcosC 2 4 2 2 4 12 ， ………………3 分
2
2 2
在 ABD 中，由勾股定理可得AB BD AD 12 4 2 2 ， ………………5分
1 1
∴S AB AD 2 2 ，S CD CBsinC 2 3 ，
ΔABD ΔCBD
2 2
S S S 2 2 2 3 . ………………8 分
四边边 ABCD ΔABD ΔCBD
（2）如图，连接AC ，作DE AC 于点 E， 则由AD DC ，可得 E为 AC 的中点，
AE x π
设AC 2 x ，则 cos DAE cos( CAB) sin CAB ， ………………10 分
AD 2 2
2
BC AC ACsin CAB x
在ΔABC 中，由正弦定理可得 ，∴ sinB ，
sin CAB sinB BC 4
2
D AE x 2 D x 1 cosD
又 sin ，∴ sin sinB ， ………………15 分
2 AD 2 2 4 2
2 3
cosD 1 2sinB ，由B [ , ]可得 sinB [ , ] ，∴ cosD [1 3 ,1 2] .……17 分
4 3 2 2
2023-2024 学年下学期期中考试高一年级数学试卷答案 第 2 页（共 2 页）
{#{QQABYQaEoggIAIJAABhCUQEACkMQkAACCCoGxEAMMAABSQNABAA=}#}2023-2024学年下学期期中考试
高一年级
数学试卷
考生注意：
1.本试卷共4页四大题19小题，满分150分，考试时间120分钟，
2.答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，请用B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答填空题和解答题时，请用黑色笔将答案写在答题卡
的指定区域内.。超出答题区域书写的答案无效，在本试卷上、.草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
1.下列命题正确的是（)
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.长方体是平行六面体
C.用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形
D.用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
2.己知：为虚数单位，则复数2=5在复平面内对应的点位于（)
i-2
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知单位向量a,6满足1a-6=√5，则a与的夹角为(
A
6
3
C
2元
D.5π
3
6
4在△ABC
中，若AB=√5，BC=√互，∠ACB=T,则AC=（)
4
A.3
B.2
C.5
D.1
5.己知向量a=(1,1),6=(x,-2),则“a与6的夹角为钝角”是“x<2”的()
A充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
浆
6.设向量a,b是两个非零向量，则下列命题是真命题的是（)
A.若1a+b曰a1-1b1,则a1b
B若a16,则1a+b=la1-1b1
C.若1a+ba-1b1,则存在实数，使得a=λb
2023-2024学年下学期期中高一年级数学考试试卷第1页共4页
D.若存在实数x,使得a=λ6，则1a+b=la1-1b
7.如图，直三棱柱ABC-A,B,C,的体积为4，△M,BC的面积为2V2,
则点A到平面A,C的距离为()
A.4
B.3V2
C.2
D.2
8.如图，正六边形ABDF
中，AC=a,AE=i,则AB=(
A2a+56
21
B.a--b
33
33
c-2a+26
n1a-26
33
33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是向量a,b的位置，则下列结论正确
的是()
A.=2
B.存在实数元，使得i=元d
C.(a+2b.6=7
D.向量：，6的夹角为3”
10.己知z,2,均为复数，则下列结论中正确的有（
A若1名，=z2l,则z,=±z2
B.若，=2：，则1+22是实数
C.若1z+z2=z1-z21,则z,22=0
D.若z,+22=0,则2,2？是实数
11.己知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球0与圆台的两个底面和侧面都相切，则下
列命题中正确的有(
A.圆台的母线长为4
B.圆台的体积为26√5元
C.圆台的表面积为26π
D.球0的表面积为12π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知1是虚数单位，则复数z=(1-)(2+i)的虚部是
13.已知球0半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧
面展开图的圆心角大小为
球o的体积与圆锥M的
体积的比值为
14如图，某宝塔CD坐落在一山坡上，若在山坡A处测得
∠CAD=15”,从A处沿山坡直线往上前进100米到达
B处，在山坡B处测得∠CD=30°，∠BCD=45”
则该宝塔C①的高约为
米
(V2≈1.41，V5≈1.3，V6≈2.45，结果取整数)
2023-2024学年下学期期中高一年级数学考试试卷第2页共4页
