广西崇左市天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（含解析）

天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
2.已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足为虚数单位，则为的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在中，内角，，的对边分别是，，若，，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共21分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是．
( )
A. B. 与可以作为一组基底
C. D. 与方向相同
10.在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A. 北偏西 B. 北偏西 C. D.
11.已知复数，则以下说法正确的是
( )
A. 复数的虚部为 B.
C. 的共轭复数 D. 在复平面内与对应的点在第二象限
12.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，则 ．
14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则______．
15.已知中，内角的对边分别为，且，则 ．
16.是虚数单位，复数 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，均为复数，在复平面内，对应的点的坐标为，对应的向量坐标为，且其中为虚数单位．
求；
求
18.本小题分
已知向量，．
若向量，且，求的坐标；
若向量与互相垂直，求实数的值．
19.本小题分
如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，．
用，表示和；
求向量与夹角的余弦值．
20.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，求．
21.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足B.
求角的值
若，，求的面积．
22.本小题分
某海轮以海里分钟的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东，向北航行分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶分钟到达点，求、间的距离．
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】
解：，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．
直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可．
【解答】
解：向量与的夹角为，，，
则．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
在平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算可得，，再结合共轭复数的概念和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念和复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
根据题意，求出的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量，，则，
若，则，
则，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
，，，，
设，
则，
即，
解得，，
．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
由向量垂直的坐标表示求得值，结合充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
【解答】
解：，，
．
由，解得或．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
由正弦定理可得：，
又，
，
利用余弦定理可得：，
由于，解得：．
故选：．
由正弦定理化简已知可得：，又，可解得，利用余弦定理可得，结合范围，即可解得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的基本知识，处理向量的坐标表示的基本方法，属于基础题．
解本题时，选项利用共线向量定理判断选项利用基底的定义判断选项利用向量的线性运算求解判断选项利用共线向量定理判断解决．
【解答】
解：对于选项A因为向量，，所以，则，故选项A正确
对于选项B由知：，所以与不可以作为一组基底，故选项B错误
对于选项C因为向量，，所以，故选项C正确
对于选项D因为向量，，所以，则，所以
与方向相反，故选项D错误．
故本题选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量在速度，位移的合成中的应用，属于基础题．
利用向量合成画出图可以根据直角三角形的几何性质，求出速度，方向，进而得到正确答案．
【解答】
解：如图：
船从点出发，沿方向行驶，才能垂直到达河的对岸，
，则．
，所以．
即船以的速度，向北偏西方向行驶，才能垂直到达对岸．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念和运算，属于容易题．
化简复数，再根据复数的概念与运算判断每个选项．
【解答】
解：复数，则复数的虚部为，故错；
，B正确；
的共轭复数，C错误；
对应的点在第二象限，D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】解：，整理可得：，
可得，
，，可得，故A正确，B错误；
，，
，且，
，解得．
由余弦定理可得：，
解得，故C错误，D正确．
故选：．
由已知等式化边为角求得角，即可判断与；再由三角形面积求得，结合余弦定理求得，即可判断与．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
由题意利用两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得的值．
本题主要考查两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
【解答】
解：向量与向量夹角为，且，，，
．
要使与垂直，则，
求得，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
由于为三角形内角，可得．
故答案为：．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得．
本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
利用余弦和正弦定理，化简求得的值．
【解答】
解：中，由，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
即，
所以；
又，所以，
所以，
所以；
又，
所以或．
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，属于基础题．
根据复数的运算法则即可求出．
【解答】
解：是虚数单位，
复数，
故答案为：
17.【答案】解：由题意知，
解方程，得，
化简得．
由题意知，则，
所以．
【解析】由题意写出，再解关于的方程即可；
由题意写出，化简，求模长即可．
本题考查了复数的四则运算，复数与点、向量的一一对应关系，以及复数的模长等知识点，也考查了转化为化归、数形结合的数学方法，考查了数学运算、逻辑推理、直观想象的数学素养．
18.【答案】解：向量，，若向量，则，
再根据，可得，求得，，或．
若向量与互相垂直，则．
而，，
，求得．
【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的坐标．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出的值．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
19.【答案】解：以为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，．
，，，，
设，则，解得，，
．
设，则，解得，，
．
由知，，．
，．
故向量与夹角的余弦值为．
【解析】本题考查平面向量的基本定理和数量积运算，遇到规则图形建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
以为原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，逐一写出、、、、的坐标；设，，可列出关于、、和的方程，解之即可；
由知，，，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．
20.【答案】解：由余弦定理可得，
因为为三角形的内角，故C；
因为，
由正弦定理可得，，
所以，
因为，
故即，
由为三角形内角可得，
因为，
由正弦定理可得，，
所以，即．
【解析】由已知结合余弦定理可求，进而可求；
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，然后结合正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
21.【答案】解：，
由正弦定理可得：，整理可得：，
，
，
．
，，可得，
，，
又，，
．
【解析】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题．
由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值．
由以及，，利用正弦定理得，然后运用三角形的面积公式可求得其值．
22.【答案】解：如图，在中，，，，
根据正弦定理，，得：，
所以：，
在中，，
由已知，，
所以，
所以、间的距离为海里．
【解析】由已知利用正弦定理可求长．由题意可得，算出的长，再利用勾股定理算出的长，即可算出、两地间的距离．
本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了直角三角形中三角函数的定义和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．