珠海市第一中学2023-2024学年高二数学下学期期中模拟卷09
一、单选题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合导数的定义求得正确答案.
【详解】，
.
故选：D
2．4名同学分别报名参加足球队 篮球队 乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）
A．81种 B．64种 C．24种 D．12种
【答案】A
【分析】根据分步乘法计算原理计算出正确答案.
【详解】每个人都有种选择方法，所以不同的报名方法有种.
故选：A
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，得，
则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：D
4．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，前n项和为，设（），若数列是递减数列，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将数列通项求出，再利用对任意正整数n恒成立，转化为最值处理.
【详解】由已知，，所以，若数列是递减数列，
则对任意正整数n恒成立，即对任意正整数n恒成立，
也就是对任意正整数n恒成立，令，
当时，显然不成立，当即时，满足题意，当时，只
需，解得，综上，实数k的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及了等差数列求和公式，减数列的定义，是一道中档题.
5．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】考虑函数的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由的定义域能排除D.
【详解】设，则，
∴在上为增函数，在上为减函数，
∴，
，排除A，C，
又中，，能排除D．
故选：B．
6．在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由，得到，，从而求得，，，再由求解.
【详解】设的公差为d．
因为，
所以，，
则，，．
因为，所以，解得．
故选：B
7．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.
【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即，
又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即，
故选：D.
8．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再证明为奇函数，然后求导后得到在区间上为减函数；再求出曲线在点处的切线方程为，求出，，时的范围；最后作出的图象和的图像，数形结合得到结果.
【详解】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象，
所以原题转化为“函数有3个零点”，
即研究直线与函数图象交点的个数问题．
因为的定义域为，且，
所以为奇函数．
因为，
所以在区间上为减函数，
且曲线在点处的切线方程为．
当时，；
当时，；
当的，，
作出的图象．如图：
由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点．
故实数的取值范围是．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再根据函数的奇偶性和单调性作出函数图像.
二、多选题
9．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用导数的运算公式和法则逐个分析判断即可
【详解】若，则正确.
若，则不正确.
若，则正确.
若，则正确.
故选：ACD
10．某同学在研究“有一个角为的三角形中，如果这个角的正弦值或余弦值恰好是另外两个角的正弦值或余弦值的等差中项或等比中项，那么该三角形是否为等边三角形”的问题中，得出以下结论，其中正确的是（ ）
A．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形
B．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形
C．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形
D．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形
【答案】AD
【分析】不妨设.对于AB：根据等差中项结合三角恒等变换分析判断；对于CD：根据等比中项结合三角恒等变换分析判断.
【详解】不妨设，
对于选项A：因为，
则，
即，且，可得，
则，所以，可知该三角形是等边三角形，故A正确；
对于选项B：因为，
所以，
且，可得，
则，所以，可知该三角形是等边三角形，故B错误；
对于选项C，因为，
则，
可得，整理得，
且，可得，
则，所以，可知该三角形是等边三角形，故C错误；
对于选项D：因为，
则，
可得，整理得，
且，可得，
则，所以，可知该三角形是等边三角形，故D正确．
故选：AD.
11．已知定义在上的函数满足：，且当时，.若.在上恒成立，则的可能取值为
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx≥k (2+sinx), 再根据题意，利用检验法判断即可.
【详解】因为定义在上的函数满足：,
所以为奇函数，
时，，
显然在上单调递增，
所以在R上单调递增，
由恒成立，
可得在R上恒成立，
即，
整理得：
当时，，不恒成立，故A错误;
当时，，不恒成立，故B错误;
当时，，恒成立，故C正确；
当时，，恒成立，故D正确.
故选：CD
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
三、填空题
12．已知数列的前项和为，，，，则 ， .
【答案】
【分析】将，依次代入递推关系式即可求得；由递推关系式推导数列中的项，可知数列是以为周期的周期数列，结合，可得结果.
【详解】，，
又，，，，…，
数列是以为周期的周期数列，又，
.
故答案为：；.
13．现有含甲在内的6名志愿者到，3个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选择方案的种数为 .（用数字作答）
【答案】
【分析】先将除甲外的个人进行安排，分和两种情况分堆后分配，然后再将甲选一个村庄安排下去即可.
【详解】先将除甲外的个人进行安排，
当按照进行分配安排时，有种方案；
当按照进行分配安排时，有种方案；
再将甲安排下去共有种方案.
故答案为：
14．已知，若对于任意的 ，不等式 立，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】将不等式转化，构造函数，利用导数研究其单调性得，再根据导数判定的最大值计算即可.
【详解】原不等式等价于，
由题意可知，且时，有
令，即此时单调递减，
则有，
令，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于导数不等式恒成立问题，观察式子结构不方便分离参数，所以尝试通过构造同类型函数来解决问题.本题通过构造研究其单调性得出在条件下恒成立，再研究函数的单调性与最值即可.
四、解答题
15．已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件列式求出数列的首项即可作答.
(2)由(1)的结论求出，再借助裂项相消法计算作答.
【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，
则有，即，解得，
所以.
（2）由(1)知，，则，
即有，
所以.
16．已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；
（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.
【详解】（1）由，得，
又，所以，解得，即．
（2）由（1），得，，
所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即．
17．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合.
(3)系数的绝对值最大的项是第几项；
【答案】(1)
(2)
(3)第项和第项
【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
（2）当为整数时为有理项，即可求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解.
【详解】（1），，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
（2），，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
18．已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据等比数列求和公式化简得出公比即可求出通项公式；
（2）根据题意可以先分组求和，再并项后利用错位相减法求，分析可知，只需比较与大小即可得解.
【详解】（1）因为，所以，解得，
所以.
（2）因为
所以，
，
所以，
两式相减得：
，
所以，
易知随着增大而增大，
当时，，
当时，，
而
综上，的最小值为.
19．已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若对，都有恒成立，求的取值范围；
(3)已知，若，且满足，使得，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，，求导，根据导数的几何意义可得，由两点式可得切线的方程．
（2）问题可转化为，对求导，分析单调性，求出得最大值，使得它小于等于，进而可得的取值范围．
（3）问题转化为只需证明，由，，且函数在上单调递增，推出只需证明，也即，再构造函数，利用的单调性，即可得出答案．
【详解】（1）当时，，所以，得到，
又，所以在处的切线方程为．
（2）由题意知，当时，，又，
①当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以，
②当时，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当，即时，在区间上单调递增，
所以，（舍去），
当，即时，在上单调递减，，所以，
当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为．
（3）因为，要证，只需证明，
由（2）可知，要证，只需证明，
因为，，且函数在区间上单调递增，
所以只需证明，
又因为，即证，
令，
即，
注意到，
因为，
则在上单调递减，所以在恒成立，
所以，即满足.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.珠海市第一中学2023-2024学年高二数学下学期期中模拟卷09
一、单选题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．4名同学分别报名参加足球队 篮球队 乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）
A．81种 B．64种 C．24种 D．12种
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，前n项和为，设（），若数列是递减数列，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
6．在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．某同学在研究“有一个角为的三角形中，如果这个角的正弦值或余弦值恰好是另外两个角的正弦值或余弦值的等差中项或等比中项，那么该三角形是否为等边三角形”的问题中，得出以下结论，其中正确的是（ ）
A．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形
B．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形
C．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形
D．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形
11．已知定义在上的函数满足：，且当时，.若.在上恒成立，则的可能取值为
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列的前项和为，，，，则 ， .
13．现有含甲在内的6名志愿者到，3个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选择方案的种数为 .（用数字作答）
14．已知，若对于任意的 ，不等式 立，则 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16．已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
17．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合.
(3)系数的绝对值最大的项是第几项；
18．已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
19．已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若对，都有恒成立，求的取值范围；
(3)已知，若，且满足，使得，求证：．
