1.5 平方差公式 导学案(含解析)2023-2024学年度北师大版数学七年级下册

5 平方差公式
一、学习目标
1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理
二、重点难点
重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理
难点：理解理解平方差公式及其探索过程
【学习策略】自主探究与合作交流相结合。
【学习过程】
一、复习回顾
计算：（多项式乘多项式）
(1) (2)
(3) (-2x-y)2 (4) (x+y)(x2-xy+y2)
二、新课学习
1.计算下列各题，并用自己的语言叙述你的发现
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a)
(3) x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)
你的发现：________________________________________________________
再举例验证你的发现：例：归纳：平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________
语言叙述：________________________________________________
老师的提示：人们把某些特殊形式的多项式相乘写成公式，加以记忆、套用，以使计算快速、简洁. 在运用公式的过程中，要准确的把握公式的特点，平方差公式的特点：左边是两个数的和乘这两个数的差，右边是这两个数的平方差，那么在运用公式时，认准“这两个数”就成了问题的关键. 分析下面式子，你能认出那一部分是两数和？那一部分是这两数的差？两个数分别是什么？结果应该是哪个数的平方减去哪个数的平方吗？
(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (-m+n)(-m-n)
现在你能计算了吗？
例1 利用平方差公式计算
(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y)
(3) (4) (-m+n)(-m-n)
例2 利用平方差公式计算
(1) (2)
探索平方差公式的几何背景
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形
(1) 请表示图中阴影部分的面积_____________________
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？__________，它的面积是___________________
(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由
利用平方差公式探索规律
(1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？_______________________
(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
例3 用平方差公式进行计算
(1) (2)
例4 计算：
(1) (2)
三、尝试应用：
1．利用平方差公式计算
(1) (a+2)(a-2) (2) (3a+2b)(3a-2b)
(3) (mn-3n)(mn+3n) (4) (–x-1)(-x+1)
2．利用平方差公式计算
(1) (-4k+3)(-4k-3) (2)
(3) (-2b- 5) (2b -5) (4) x2+(y-x)(y+x)
(5) (an+b)(an-b) (6) (a+1)(a-1)(a2+1)
3. 计算：
(1) (2)
4、计算：
(1) (2) x(x+1)+(2-x)(2+x)
四、自主总结：
把(a+b)(a-b)＝a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式。
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．运用乘法公式计算（a+3）（a﹣3）的结果是（　　）
A．a2﹣6a+9 B．a2﹣3a+9 C．a2﹣9 D．a2﹣6a﹣9
2．（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是（　　）
A．x4+16 B．﹣x4﹣16 C．x4﹣16 D．16﹣x4
3．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
二．填空题（共3小题）
4．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2=　 　．
5．计算：2017×1983=　 　．
6．已知 （x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a=　 　．
三．解答题（共3小题）
7．计算：20172﹣2016×2018．
8．通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
例：用简便方法计算195×205．
解：195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=2002﹣52　 ②
=39975．
（1）例题的求解过程中，第②步变形是利用　 　（填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：20172﹣2016×2018．
9．你能化简（x﹣1）（x2017+x2016+x2015+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）=　 　；
（x﹣1）（x2+x+1）=　 　；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　 　；
…
由此猜想：第101个式子　 　．
（2）请你利用上面的猜想，化简：
22017+22016+22015+…+2+1．
答案：
5 平方差公式
一．选择题（共3小题）
1.．【解析】选C．：（a+3）（a﹣3）=a2﹣32=a2﹣9，
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2是关键．
2.【解析】原式=（x2﹣4）（x2+4）=x4﹣16，
选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．　
3. 【解析】选A．解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；
【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．
　二．填空题（共3小题）
4.【解析】：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，
∴a2﹣b2=10×8=80，
答案：80
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．　
5.【解析】：原式=（2000+17）（2000﹣17）=20002﹣172=4000000﹣289=3999711．
答案：3999711．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
6.【解析】：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=±=±3．
答案：±3．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
三．解答题（共3小题）
7.【解析】：原式=20172﹣（2017﹣1）（2017+1）
=20172﹣（20172﹣1）
=1．
【点评】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．
8.【解析】：（1）平方差公式，
故答案为平方差公式；
（2）原式=20172﹣（2017﹣1）（2017+1）
=20172﹣20172+1
=1．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
9.【解析】解：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
所以第101个式子=（x﹣1）（x101+x100+…+x+1）=x102﹣1；
（2）22017+22016+22015+…+2+1=（2﹣1）（22017+22016+…+2+1）=22018﹣1；
故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x﹣1）（x101+x100+…+x+1）=x102﹣1．
【点评】此题考查了整式混合运算的应用，找出其中的规律是解本题的关键．