1.6 完全平方公式 导学案(含解析)2023-2024学年度北师大版数学七年级下册

6 完全平方公式
一、学习目标
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算
2．了解完全平方公式的几何背景
二、重点难点
重点：会用完全平方公式进行运算
难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算
【学习策略】自主探究与合作交流相结合。
【学习过程】
一、复习回顾
（1）　　　　　
（2）＝　　　　　　　
二、新课学习
观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而，
恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
因此我们得到完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的　　　　，加（或减）它们的积的　　　倍．
公式表示为：　　　　 　　 　　　　　
口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）
例1．应用完全平方公式计算：
（1） （2） （3） 　（4）
例2.计算：
（1）； （2）；
（3）.
方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。
平方差公式和完全平方公式的逆运用
由　　　　反之　　　　
　　　　　反之　　
1、填空：
（1）（2）（3）
（4）（5）
（6）
（7）若 ，则k =
（8）若是完全平方式，则k =
例3 计算：1.　　　　　　　　　2．
现在我们从几何角度去解释完全平方公式：
从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b，
它是由两个小正方形和两个矩形组成，所以
大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
则S＝　　　　　　＝　　　　　　　　　　　
即：　　　　　　　　　　　　　　
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是　　　；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是　　，宽都是　　，所以它们的面积都是　　　；正方形HCGM的边长是b，其面积就是　　；正方形AFME的边长是　　　　，所以它的面积是　　　　．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=　　　　　　　．这也正好符合完全平方公式．
例4．计算:
（1） 　　　　　　　　　　 （2）
三、尝试应用：
1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：
（1） （2）
（3）
2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算，把它计算出来
（1） （2）
（3） （4）
3．计算：
（1） （2）
（3） 　　　 （4）
4.计算：
（1）； （2）
。
5.计算
（1）　　　　　　　　　　 　（2）
四、自主总结：
1.完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a b）2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果是两项，即（a+b）（a b）＝a2 b2.
2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、
不弄错符号、2ab时不少乘2。
3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
4.利用完全平方公式可以进行一些简便的计算，并体会公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示多项式。
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．计算（a﹣2）2的结果是（　　）
A．a2﹣4 B．a2﹣2a+4 C．a2﹣4a+4 D．a2+4
2．已知m+n=3，则m2+2mn+n2﹣6的值（　　）
A．12 B．6 C．3 D．0
3．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6 B．12 C．±12 D．±6
二．填空题（共3小题）
4．已知a2+b2=5，ab=﹣1，则a+b=　 　．
5．计算（a+x）2的结果等于　 　．
6．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=100，则（x﹣2016）2=　 　．
三．解答题（共3小题）
7．计算：（3x﹣y）2（y+3x）2．
已知a+b=5，ab=3，试求（a﹣b）2的值．
9．已知，求的值．
答案：
6 完全平方公式
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选C。原式=a2﹣4a+4，
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．【解析】选C．∵m+n=3，
∴（m+n）2=m2+2mn+n2=9，
∴原式=9﹣6=3
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式（m+n）2=m2+2mn+n2是解题的关键．
3．【解析】：选C．∵4a2﹣kab+9b2是完全平方式，
∴﹣kab=±2 2a 3b=±12ab，
∴k=±12，
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　　二．填空题（共3小题）
4.【解析】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴a+b=，
答案：
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．关键是整体思想的运用．
　5.【解析】：（a+x）2=a2+2ax+x2，
答案：a2+2ax+x2．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　6.【解析】：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=100，
∴x2﹣4030x+20152+x2﹣4034x+20172=100，
2x2﹣8064x+20152+20172=100，
x2﹣4032x=50﹣4064257=﹣4064207，
则（x﹣2016）2=x2﹣4032x+20162=﹣4064207+20162=49．
答案：49．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
　三．解答题（共3小题）
7.【解析】：原式=[（3x﹣y）（3x+y）]2=（9x2﹣y2）2=81x4﹣18x2y2+y4
【点评】本题考查乘法公式，解题的关键是熟练运用乘法公式，本题属于基础题型．　
8.【解析】：∵a+b=5，ab=3，
∴原式=（a+b）2﹣4ab=25﹣12=13．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　9.【解析】：∵，
∴+2=9，
∴=7．
【点评】本题主要考查了完全平方式的知识点，解答本题的关键是把两边平方，此题基础题，难度不大．