安徽省庐巢联盟2023-2024学年高一下学期第一次联考试题 数学（PDF版含解析）

2023-2024学年度第二学期第一次集体练习
高一数学
满分：150分；考试时间：120分钟
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.下列说法正确的是 ( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小．
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小．
C.向量的大小与方向有关．
D.向量的模可以比较大小．
5, ≥ 6
2.已知 ( ) = { ，则 (3) =( )
( + 1), < 6
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
3.已知向量 = (4, )， = ( , 1)，那么“ = 2”是“ // ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在直角梯形 中， // ， ⊥ ，∠ = 45 ， = 2 = 2， 为腰 的中点，
则 · =( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
1 5
5.已知sin ( + ) = ，则cos ( )的值为 ( )
12 3 12
1 1 2√ 2 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.向量 = (1,2)，向量 = ( 1,0)，则 在 上的投影向量是 ( )
√ 5 √ 5 1 2 1 2
A. B. C.( , ) D.( , )
5 5 5 5 5 5
7.如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 与
交于点 ，则 =( )
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1
A. =
1

1 2
B. =
6 3 3 3
1 1 1 1
C. = D. =
2 2 4 3

8.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， cos = (√ 2 )cos .若 = ，点 在12
边 上， = = 1，则 的外接圆的面积是( )
2+√ 3 4+√ 3 6+√ 3 8+√ 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
1
A. = + 1 B. = C. = 3 D. = | |

10.已知 是边长为2的等边三角形，若向量 ， 满足 = 2 ， = ，则 ( )
A. = 2 + B. = 2
C.(4 + ) ⊥ D.| | = 1
11.已知正 的边长为2， 是边 的中点，动点 满足 = + ，有 + ≥ 1，且
| | = 1，则 ( )
√ 3
A. 的最小值为 1 B. + 的最大值为1 +
3
1 5
C. + 2 的最小值为 D. + 2 的最大值为
2 2
第 II卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = ( 1,2)， = ( , 6)，且 = 2 + 3 ， = + 2 ，若 ， ， 三点共线，
则实数 的值为 ．
13.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若2 = + ，则 = ．
14.如图，△ 中， 为 中点， = 5， = 3，
为圆心为 ，半径为1的圆的动直径，则
的取值范围是 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 = (1, 1)．
(1)若| | = 3√ 2，且 // ，求向量 的坐标；
(2)若 是单位向量，且 ⊥ ( 2 )，求 与 的夹角 ．
16.(本小题15分)
sin
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 = 1 ．
+ sin +sin
(1)求角 的值；
(2)若 = 3， = 2√2，
(ⅰ)求sin 的值；
(ⅱ)求cos(2 )的值．
17.(本小题15分)
如图， 、 是海面上位于东西方向相距5(3 + √ 3)海里的两个观测点，现位于 点北偏东45 ， 点
北偏西60 的 点有一艘轮船发出求救信号，位于 点南偏西60 且与 点相距20√ 3海里的 点的
救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
(1)轮船 与观测点 的距离;
(2)救援船到达 点所需要的时间．
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18.(本小题17分)
+ 1 4
已知函数 ( ) = 2 是定义在( 1,1)上的奇函数，且 ( ) = ． +1 2 5
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断当 ∈ ( 1,1)时，函数 ( )的单调性，不需证明；
(3)若 ( 2 1) < ( )恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
如图， ， 是单位圆上的相异两定点( 为圆心)，且∠ = ( 为锐角).点 为单位圆上的动
点，线段 交线段 于点 ．
(1)求 (结果用 表示)；
(2)若 = 60°
①求 的取值范围；

②设 =
△
(0 < < 1)，记 = ( )，求函数 ( )的值域．
△
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2023-2024 学年度第二学期第一次集体练习
高一数学参考答案
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的一些基本概念，属于基础题．
根据向量的概念一一判断即可．
【解答】
解：数量可以比较大小，向量不可以比较大小，
故 A， ，C 错误；
D.向量的模是实数，可以比较大小，正确．
故选 D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，属于容易题．
根据分段函数解析式求解即可．
【解答】
解：由题意得 (3) = (4) = (5) = (6)，
而 (6) = 6 ― 5 = 1．
所以 (3) = 1．
故选： ．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，以及向量平行，属于基础题．
由向量平行求出 的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：向量 = (4, )， = ( ,1)， // ，则4 = 2，解得 =± 2，
则“ = 2”是“ =± 2”的充分而不必要条件，
即向量 = (4, )， = ( ,1)，那么“ = 2”是“ // ”的充分而不必要条件，
故选： ．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，属于基础题．
将 化为( + ) ( + ) = + + + · ，运用向量的数量
积计算可得结果．
【解答】
解：由已知得 = 2，∠ = 135 ，
所以 = ( + ) ( + )
= + + + ·
2 2 2 2 = 2．
= 2 × 2 × cos180
+ × 1 × cos135 + 2 × × cos45 2 2 + 2 × 1 × cos0

故选 B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
5
根据12 ― = 2 ― ( + 12)，再利用诱导公式计算cos ―
5 的值即可．
12
【解答】
5
解：因为12 ― =

2 ― ( +

12)，sin ( +

12) = ―
1
3，
所以cos ( ― 5 12) = cos
5 ― = cos [

2 ― ( +
1
12 12
)] = sin ( + 12) = ― 3 ．
故选 B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
由投影向量的定义代入公式求解即可．
【解答】
解：由投影向量的定义知，
在 上的投影向量为
| | | |
1 × ( ― 1) + 2 × 0 (1,2)
= 1 2 12 + 22 × 12 + 22 = ( ― 5, ― 5)．
故选 C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，平面向量共线定理与三点共线问题，属于基础题．
设 = ，则 = = ( + ) = 2 + ，再根据 , , 三点共线可求得 ，再根据
平面向量的线性运算结合图形即可得出答案．
【解答】
解：设 = ，
则 = = ( + ) = 2 + ，
因为 , , 三点共线，
所以2 + = 1 = 1，解得 3，
则 = = 1 13 + 3 ，
所以 = + = ― 13 ―
1
3 +
1
2 =
1 1
6 ― 3 ．
故选： ．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正、余弦定理，考查三角形外接圆的面积，属于较难题．
由已知利用正弦定理求得cos ，可得 ，在 △ 中由正弦定理得 ，可得 ，在 △ 中由余弦
定理得 2，设 △ 外接圆的半径为 ，从而可得 △ 外接圆的面积 ．
【解答】
解：根据正弦定理 cos = ( 2 ― )cos ，可化为sin cos = ( 2sin ― sin )cos ，即sin cos +
sin cos = 2sin cos ，则sin( + ) = 2sin cosC.
由于 + + = ，故sin( + ) = sin ，所以sin = 2sin cos ，
又 是 △ 的内角，sin ≠ 0 2，所以cos = .2
因为 ∈ (0, ) =

，所以 4.

又 = 12，所以 = ― ( + ) =
2
3 .
sin = sin 12 = sin(
― 6 ― 23 4) = 4 ，
4
在 △ 中，由正弦定理有sin =
sin 2 3
sin ，得 = sin = ×2 6 ― 2 × 1 = +1.
因为 = 1，则 = ― = 3，
在 △ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 ― 2 cos = 12 +( 3)2 ― 2 × 1 × 3 × ( ― 12
) = 4 + 3．
所以 = 4 + 3，
设 △ 外接圆的半径为 2 4 + 3 4 + 3，则由正弦定理得2 = sin = ，所以 = . 3 3
故 △ 的外接圆的面积为 = 2 = × 4 + 3 = 4 + 3 .3 3
故选： ．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题．
分别判断4个选择项的奇偶性，排除 ，再判断 、 、 的单调性，排除 ．
【解答】
解： 项，函数 = ― +1的图像不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，故 A 项错误；
1 1项，函数 = 是奇函数，但是 = 在( ― ∞,0)和(0, + ∞)上是减函数，在定义域上不具有单调性，
故 B 项错误;
项，设 = ( ) = ― 3，因为 ( ― ) = ― ( ― )3 = 3 = ― ( )，是奇函数，
由幂函数知： = 3是增函数，故 = ― 3是减函数，故 C 项正确；
2
项，函数 = ― | | = ( ≤ 0),可化为 ― 2( > 0),
其图象如图：
故 = ― | |既是奇函数又是减函数，故 D 项正确．
故选 CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算，考查分析与计算能力，属于基础题．
根据向量加法的三角形法则判断 ，根据数量积的定义判断 ，根据数量积的运算律判断 、 ；
【解答】
解：因为 = 2 ， = ，
对于 ： = + = 2 + ，故 A 正确；
对于 ： = 12 =
1
2| | | |cos120
= 12 × 2 × 2 × ( ―
1
2) = ―1，故 B 错误；
2
对于 ：(4 + ) = (4 + ) = 4 + = 4 × ( ― 1) + 22 = 0，则(4 + ) ⊥ ，故 C 正确：
对于 ：| ― |2
2 2
= ― 2 + = 1 ― 2 × ( ― 1) + 4 = 7 ≠ 1，即| ― | ≠ 1，故 D 错误；
故选： ．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算、三角函数求值，平面向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，
属于较难题．
建立适当的平面直角坐标系，通过坐标运算可得答案．
【解答】
解：以 为原点， 、 分别为 轴， 轴，建立如图所示平面直角坐标系．
由于动点 满足| | = 1，
且 = + ，所以点 在以点 为圆心，1为半径的圆上运动，
(0, 3)， ( ― 1,0)， (1,0)，设 (cos ,sin )， ∈ [ ,2 ]，
则 = (cos ,sin ― 3)， = ( ― 1, ― 3)， = (1, ― 3)，
1 1
cos = ― + = (1 ― sin ― cos )2 3
所以 sin ― 3 = ― 3 ― 3 = 1 (1 ― 1
，
sin + cos )
2 3
― = ― cos ，由 ∈ [ ,2 ]，知 ― cos ∈ [ ― 1,1]，所以 ― ∈ [ ― 1,1]．
+ = 1 ― 3sin ，由 ∈ [ ,2 ]，知sin ∈ [ ― 1,0]，所以 + ∈ [1,1 + 3].
3 3
+2 = 3 ― 32 sin +
1
2cos =
3
2 ― sin( ―

6)，由 ∈ [ ,2 ]
5 11
，得 ― ∈ [ , ]，
2 6 6 6
sin( ― ) ∈ [ ― 1,1] +2 ∈ [1,5则 6 2 ，所以 2].
故选 ABD．
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
先求出 ， ，由 ， ， 三点共线，得 // ，再求出实数 的值．
【解答】
解：向量 = ( ― 1,2)， = ( , ― 6)，且 = 2 +3 ， = +2 ，
∴ = ( ― 2,4) + (3 , ― 18) = ( ― 2 + 3 , ― 14)， = ( ― 1 + 2 , ― 10)，
∵ ， ， 三点共线， ∴ // ，
∴ ―14( ― 1 + 2 ) = ―10( ― 2 + 3 )，解得 = 3．
故答案为：3．
13. 【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题．
根据正弦定理和两角和的正弦公式计算即可．
【解答】解： ∵ 2 = + ，
由正弦定理可得，2 = +
= sin( + ) = ．
∵ ≠ 0，
∴ = 12．
∵ 0 < < ，
∴ = 3．

故答案为3．
14.【答案】 ― 13 , 27
4 4
【解析】【分析】
本题涉及平面向量数量积最值问题．最值问题一般建立目标函数，针对求解数量积问题主要是基底
法和坐标法．利用向量加减及数乘运算可得 = + ― 2， = | | |
|cos + 74 = 5cos +
7
4，即可得范围．
【解答】
→ → → → → →
解： = ( + ) ( + )
→ → → →
= ( + ) ( ― )
= + ― 2，
= + ( ― ) ― 2
2
又因为 = 1，
= ( + ) ( + ) 2 2
= ( ― + ) ( + ) = ― = 9 ―
25 11
4 = 4 ，
所以 = + 74，
设向量 与 夹角为 ∈ [0, ]，
= | | | |cos + 74 = 5cos +
7
4，
当 = 0时，即 与 同向时， 27有最大值为 4 ；
当 = 时，即 与 反向时， 13有最小值为 ― 4 ；
所以 的取值范围为 ― 13 , 27 ．
4 4
故答案为 ― 13 , 27 ．
4 4
15.【答案】解：(1)设 = ( , )，由| | = 3 2，且 // ，
+ = 0
得 2 + 2 = 18,
= ―3 = 3
所以 = 3 或 = ―3,
故 = ( ― 3,3)，或 = (3, ― 3)；
(2)因为| | = 1，| | = 2，且 ⊥ ( ― 2 )，
所以 ( ― 2 ) = 0，
2
即 ― 2 = 0，
所以2 ― 2 = 0，得 = 1，
=
= 2即 2 ， | | | |
因为夹角 ∈ [0, ]，
所以 与

的夹角 = 4．
16. 【答案】解：(1)由正弦定理得： + = 1 ― + ，化简得：
2 + 2 ― 2 = ，
2 + 2 ― 2 1
由余弦定理得： cos = 2 = 2 ，又 0 < < ，所以 = 3 ．
(2)(ⅰ)由(1)知， =

3 ，又 = 3 ， = 2 2 ，

由正弦定理可得： sin = sin sin =
sin
=
6
3 ；
(ⅱ)因为 < ，所以 cos = 1 ― sin2 = 33 ，
所以 sin2 = 2sin cos = 2 2 ， cos2 = 2cos2 ― 1 = ― 13 3 ，
所以 cos(2 ― ) = cos 2 ― = cos2 cos

3 3
+ sin2 sin3
= ― 13 ×
1 + 2 2 × 3 = ―1 + 2 62 3 2 6 ．
17.【答案】 解：(1)由 在 的北偏东45°，在 的北偏西60°，
∴ ∠ = 45°，∠ = 30°， ∴ ∠ = 105°，

由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
∴ 5(3 +
3) =
sin105° 45
，
又sin 105 = sin (45 + 60 ) = sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60 = 6 + 24 ，
代入上式得： = 10 3(海里)，
答：轮船 与观测点 的距离为10 3海里；
(2) △ 中， = 10 3海里， = 20 3海里，∠ = 60°，
∴ 2 = 2 + 2 ― 2 × × 60° = 300 + 1200 ― 2 × 10 3 × 20 3 × 12，
∴ 2 = 900，解得 = 30海里，
∴ = 3030 = 1(小时)，
答：救援船到达 所需的时间为1小时．
18. (1) ( ) = + 【答案】解： 函数 2 + 1 是定义在 ( ―1,1) 上的奇函数，则 (0) = = 0 ，
(1) = 42 5 ，解得 = 2 ，故 ( ) =
2
2 + 1 ，
∈ ( ―1,1) 时， ( ― ) = ―2 2 + 1 = ― ( ) ，函数为奇函数，
2
综上所述： ( ) = 2 + 1 ．
(2)当 ∈ ( ―1,1) 时，函数 ( ) 单调递增，
2 2 2( ― )(1 ― )
设 ― 1 < 1 < < 1
2 1 2 1 1 2
2 ，则 ( 2) ― ( 1) = 2 ― 2 = 2 2 ， 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1
因为 ― 1 < 1 < 2 < 1 ，故 22 + 1 21 + 1 > 0 ， 2 ― 1 > 0 ， 1 ― 1 2 > 0 ，
故 ( 2) ― ( 1) > 0 ，即 ( 2) > ( 1) ，
故 ( ) 在 ( ―1,1) 上单调递增．
(3) ( 2 ― 1) < ― ( ) ，即 ( 2 ― 1) < ( ― ) ，
2 ― 1 < ― 5
因为 ( ) 在 ( ―1,1) 上单调递增，故 ―1 < 2 ― 1 < 1 ，解得 ∈ ( ―1,0) ∪ 0, ―1 + ．
―1 < < 1 2
19.【答案】解：(1) = | || |cos( ―∠ ) = ―| |cos∠ = cos ― 1；
(2)当 = 60°时， = 12
① = ( ― ) ( ― ) = ― ― +1．
设∠ = ，由条件知， ∈ [0,2 3 ]，
3 3 1 3
∴ = 2 ― cos( 3 + ) ― = 2 ― 2 + 2 ― =
3 ― 3 + 3 = 32 2 2 2 ―
3( 3 ― 1 ) = 3 ― 3cos( +
2 2 2 6
)．
∵ ∈ [0,2 3 ]， ∴ cos( +
3 3
6) ∈ [ ― , ]2 2 ，
∴ ∈ [0,3]；
②设 = (0 < < 1)，则 = + = + = (1 ― ) + = ，
∴ = ―
1 ―
，
由 = 1 可得，| ―
1 ―
| = 1，
( 2
2
即 ) +(
1 ― )2 ― 2 × 1 ― ― + 1 × × = 1，整理得 = 2 ― ，
∴ = 1 ― = 1 ―
2
2 ― + 1，
2 2
∴ △ = · = × 1 ― + △ · 1 ― 2 ― + 1 = 2 ― + 1．
2
即 ( ) = + 2 ― + 1(0 < < 1)．
2
而 ( ) = + 2 ― 1 2 ― + 1 = 1 + 2 ― + 1．

令2 ― 1 = ( ― 1 < < 1), ( ) = 1 + ( + 1)2 ― + 1 + 1 = 1 +
4
2 2 2 + 3
，
当 = 0时， (0) = 1；
4
当 ≠ 0时， ( ) = 1 + 3 + 3，利用单调性定义可证明函数 = + 在( ― 1,0)和(0,1)都是递减的，
设 1, 2 ∈ (0,1)，且 1 < 2，则 1 ― 2 = +
3 ― + 31 2 = (
3
1 1
― 2) 1 ―
2 1 2
则 1 <
3
2,1 < ，故 1 > 2，所以 = +
3
在(0,1)上单调递减， 1 2
由于 = + 3 3 是奇函数，则 = + 在( ― 1,0)和(0,1)单调递减，
+ 3 > 4 + 3因此， 或 < ―4，
∴ ( ) =
2 +
函数 2 ― + 1(0 < < 1)值域是(0,2)．