第二章相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时
【学习目标】
1．在具体情境中了解对顶角、余角与补角，知道对顶角、余角和补角的性质，通过练习掌握对顶角、余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索余角、补角、对顶角的性质的过程。
3.通过学生动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。
【学习重难点】掌握余角、补角和对顶角的概念，性质及应用。
【学习策略】自主探究与合作交流相结合
【学习过程】
一 复习回顾
观察下面几幅生活中的图片：
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有和两种
2.在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________.
3.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为.
二、新课学习
（1）如果将剪刀的图简单的表示为图2-1，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明,你的理由吗？
解:，即，
，等式两边同时都减去_____________，,,得：。
归纳：在图2-1中，直线AB与CD相交于点O，的有一个公共点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫。
（2）在图2-1中，有什么数量关系？
解：由可知
总结：如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角.
类似的，如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角.
注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关。
如图2-2,打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时
将图2-2抽象成成图2-3，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=，∠1=∠2。在图2-3中：
（1）：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
（2）：∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3）：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？
解：（1）互为补角的如
（2）相等，
，
（3）
,
且
结论归纳：同角或等角的相等，同角或等角的相等。
三.尝试应用：
1.判断下列说法是否正确
（1）300，700与800的和为平角，所以这三个角互余。（）
（2）一个角的余角必为锐角。（）
（3）一个角的补角必为钝角。（）
（4）900的角为余角。（）
两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（）
总结提示：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。
2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。
3. 的余角等于32°，则的补角等于.
四、自主总结：
对顶角有如下性质对顶角
如果两个角的和是，那么称这两个角互为
如果两个角的和是，那么称这两个角互为
同角或等角的相等，同角或等角的相等。
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2=100°，则∠BOC等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
二．填空题（共3小题）
4．如图，两条直线相交成四个角，已知∠2=3∠1，那么∠4= 度．
5．如图所示，当剪刀口∠AOB增大20°时，∠COD增大 度，其根据是 ．
6．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE=30°，那么∠AOD= 度．
三．解答题（共3小题）
7．如图，直线a，b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC=70°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求∠BOC的度数．
9．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：
两条直线相交三条直线相交四条直线相交
只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；
猜想：①5条直线相交最多有几个交点？
②6条直线相交最多有几个交点？
③n条直线相交最多有n个交点？
答案：
1 两条直线的位置关系
第1课时
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选D．根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
【点评】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
2．【解析】：选C根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．
【点评】本题考查对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等．
3．【解析】：选A．∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°．
∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．
【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：∵∠2=3∠1，∠1+∠2=180°，
∴∠2=135°，
则∠4=∠2=135°，
答案：135
【点评】此题考查了对顶角、领补角，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．【解析】：∵对顶角相等，
∴∠COD=∠AOB，
∴当剪刀口∠AOB增大20°时，∠COD增大20°．
答案：20°；对顶角相等．
【点评】本题主要考查的是对顶角的性质，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键．
6．【解析】解：∵OE平分∠BOD，∠BOD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=180°﹣60°=120°．
答案：120．
【点评】考查了邻补角，角平分线的定义，关键是求得∠BOD的度数．
三．解答题（共3小题）
7． 【解析】：∵∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∴∠2=∠4=180°﹣∠1=180°﹣40°=140°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
8．【解析】：（1）∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
∴∠AOC=∠EOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）∵∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°﹣35°=145°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
9．【解析】：①5条直线相交最多有=10个交点；
②6条直线相交最多有=15个交点；
③n条直线相交最多有个交点．
【点评】此题考查了相交线，关键是观察图形，找出规律，用到的知识点是同一平面内内n条直线相交最多有个交点．
对顶角有如下性质：
对顶角
图2-21 两条直线的位置关系
第2课时
【学习目标】
1．使学生理解垂线的意义和垂线的第一个性质．
2．会用三角板过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能．
3．通过垂线性质的教学，培养学生发现问题的能力．
【重点】会用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质.
【难点】从实际生活中感知垂线的性质以及体会点到直线的距离的意义，并能用准确的数学语言加以描述.
【学习策略】自主探究与合作交流相结合
【学习过程】
一．学习准备
1.观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2.垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是______，那么称这两条直线互相______，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做________。
3.垂直的表示：
如图2-4，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作______；如图2-5如果用l，m表示两条互相垂直的直线，可以记作______，其中点O是垂足.
如图2-6，点A在直线上，过点A画直线的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线外呢？
如图2-7，点P是直线外一点，PO⊥，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
解：（1）无论点A在直线上，还是直线外，过点A均只能画条的垂线。
（2）最短
归纳总结：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
②直线外一点与直线上各个点连接的所有中，最短
（3）如图2-8，过点A做的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线的____________。
图2-8
（1）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说说你的画法和理由
（2）你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！
（4）如图，如何测量跳远成绩？
三.尝试应用：
1．下列说法中，正确的个数有（）
①有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线相交，一定垂直③若两条直线相交所形成的四个角相等，则这两条直线垂直A、1个 B、2个 C、3个 D、0个
2．到直线l的距离等于5cm的点有（）
A、2个 B、1个 C、无数个 D、无法确定
3．如图，AD⊥BD,BC⊥CD AB=m，BC=n，
则BD的取值范围是（）
A、BD>m B、BD四、自主总结：
1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是________，那么称这两条直线互相_________，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做___________。
2.如果用a，b表示两条互相垂直的直线，可以记作，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作，其中点O是垂足.
3. ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线。
②直线外一点与直线上各个点连接的所有中最短
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64°C．54° D．以上答案都不对
2．如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（ ）
A．28° B．60° C．62° D．152°
3．如图，AO⊥CO，直线BD经过O点，且∠1=20°，则∠COD的度数为（ ）
A．70° B．110° C．140° D．160°
二．填空题（共3小题）
4．如图，AB⊥m，BC⊥m，B为垂足，那么点A、B、C在同一直线上的依据是 ．
5．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
6．如图，有一个与地面成30°角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根电线杆，设电线杆与斜坡所夹的角为∠1，当∠1的度数为 时，电线杆与地面垂直．
三．解答题（共3小题）
7．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？
8．如图，AC⊥BC，AC=9，BC=12，AB=15．
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
9．如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于公路AB两侧的两所学校．
（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．
（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？
答案：
1 两条直线的位置关系
第2课时
一．选择题（共3小题）
1【解析】：选B．∵∠1=26°，∠DOF与∠1是对顶角，
∴∠DOF=∠1=26°，
又∵∠DOF与∠2互余，
∴∠2=90°﹣∠DOF=90°﹣26°=64°．
【点评】此题主要考查了垂线的定义和对顶角的性质，难度不大．
2．【解析】选C．∵PC⊥PD，∴∠CPD=90°，
∵∠APC=28°，∴∠BPD=90°﹣∠APC=62°，
【点评】本题考查了垂线，余角的性质，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．
3.【解析】选B．∵AO⊥CO，∴∠AOC=90°，
∵∠1=20°，∴∠COB=70°，
∴∠COD=180°﹣70°=110°，
【点评】此题主要考查了垂线，以及角的计算，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
二．填空题（共3小题）
4.【解析】：∵AB⊥m，BC⊥m，B为垂足，
∴A、B、C三点在同一直线上，
理由：在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
答案：在同一平面内，根据经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【点评】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键．
5.【解析】：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
答案：5.5或11.5．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
6．【解析】：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，
∴∠1=∠ACB=90°﹣30°=60°．
答案：60°．
【点评】本题主要考查了垂线的定义，解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
三．解答题（共3小题）
7．【解析】解：过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．
可得AE的长度即为点A到BC的距离．
答：AE的长度即为点A到BC的距离．
【点评】此题主要考查学生对点到直线的距离的理解和掌握，同时锻炼了学生作图的能力，难度不大．
8.【解析】：（1）∵AC⊥BC，AC=9，BC=12，∴点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离分别是：9，12．
（2）设点C到直线AB的距离为h，
△ABC的面积=BC AC=AB h，
∴15h=12×9，
∴h=．
∴点C到直线AB的距离为．
【点评】掌握好点到直线距离的定义以及灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．
9．【解析】解：（1）如图所示：过M作ME⊥AB，过N作NF⊥AB，
当汽车行驶到点E处时，对M学校影响最大；当汽车行驶到点F处时，对N学校影响最大；
（2）由A向E行驶时，对两学校影响逐渐增大；由F向B行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由E向F行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大．
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质，关键是正确画出图形．
