数学答案
1. B
2. C
3. A
4． D
5． D
6. B
7. A
8. C
9. AC
10. BCD
11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13.
14. 3
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．
【解析】（1）当时，，求导得，
则，而，于是，即，
所以的图象在点处的切线方程是.
（2）函数定义域为，求导得，
由，得，令，
求导得，令函数，
显然函数在上单调递增，而，则当时，，，
当时，，，函数在上递减，在上递增，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
16．
【解析】（1）当时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
（2），函数定义域为R，
，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
17．
解：（1）．因为．
所以，解得．
（2）因为，的定义域为
令，得．
与在区间上的情况如下：
x 0
- 0 +
↘ 极小 ↗
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以．
所以．
18．
【解析】（1）当时，，
则，
令，则，
因为，所以．则在上单调递减，
又因为，
所以使得在上单调递增，在上单调递减．
因此，在上的最小值是与两者中的最小者．
因为，
所以函数在上的最小值为．
（2），
由，解得，
易知函数在上单调递增，且值域为，
令，由，解得，
设，则，
因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
根据时，，
得的大致图像如图所示．
因此有：
（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；
（ⅱ）当时，，
设，则，令，
则在上时单调递增函数，即，
得，此时没有极值点；
（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；
（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．
综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点．
19．
证明：,.仁寿实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.
第I卷（选择题）
一.单项选择题.本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
1. 已知，则的值为（ ）
A. －2a B. 2a C. a D.
2. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A B. C. D.
4．若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
6. 函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是
A. 10 B. 9 C. 8 D.
7. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上的极大值和最大值相等
B. 直线和函数的图象相切
C. 若在区间上单调递减，则
D.
11．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有个零点
D．若是关于的方程的个不等实数根，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在区间上的平均变化率为______．
13. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______．
14. 已知直线与曲线相切于点，且与曲线相切于点，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）已知函数．
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
16．（本小题15分）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
17．（本小题15分）
设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
（1）求a的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求证：．
18．（本小题17分）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最小值；
(2)讨论函数的极值点个数.
19．（本小题17分）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”。
（1）若，判断是否为上的“类函数”；
（2）若为上的“类函数”，求实数的取值范围；
（3）若为上的“类函数”，且，
证明：,.
