第四章 三角形
1认识三角形
第1课时
学习目标：
1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；能按角将三角形分类
2.了解等腰三角形和等边三角形的概念.掌握并能运用三角形三边的关系的性质.
重难点：三角形三边关系的理解及运用
学习策略：自主探究与小组合作交流相结合．
学习过程
1.自主学习
预习书81—86页
叫做三角形。
2、三角形中角的关系：
（1）三角形的三个内角之和是 ；
（2）直角三角形的两个锐角 。
3、三角形的分类：按角分为三类：
三角形、 三角形和 三角形。
4.三角形三边之间的关系：
2.新课学习
1.证明三角形的内角和为180°.
例2、在△ABC中，（1）=
（2）=
（3）在△ABC中，的外角是120°，的度数是度数的一半，求△ABC的三个内角的度数
小组合作动手拼一拼，用小木棒拼出长度分别为2cm 、3cm、4cm、5cm、6cm的线段，然后任意选择三条拼三角形。请判断是否能构成三角形。
动手试一试
1、选一选：短边AB= 中边BC= 长边AC=
2、算一算：AB+BC= BC+AC= AB+AC=
BC-AB= AC-AB= AC-BC=
3、教师几何画板演示
4、猜一猜可得结论：
三、尝试应用
1.在△ABC中 = 。
2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）8，3，4， （ ） （2）5，2，6 （ ）
（3）10 ，5，6， （ ） （4）3，5，8 （ ）
3、有两根长度分别为4cm和9cm的木棒，
（1）用长度为3cm的木棒与它们首尾相连能摆成三角形吗？为什么
（2）用长度为13cm的木棒呢？
（3）如要找根木棒与已知的两根木棒首尾相连成一个三角形,那么那根木棒的长度范围是多少
（4）如要找根木棒与已知的两根木棒首尾相连成一个等腰三角形，那么那根木棒的长度是多少
你还能提出什么问题？
4. 已知△ABC中，,试判断此三角形是什么形状？
5.如图，在△ABC中，,CD⊥AB于点D，
四、自主总结
1.三角形的内角和定理
2.三角形三边关系及其应用
五、达标检测
一．选择题（共3小题）
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）
A．120° B．80° C．60° D．40°
2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
3．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
二．填空题（共3小题）
4．三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是 ．
5．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
6．如图，在△ABC中，∠A=110°，BD∥CE，∠ABD=50°，则∠ACE= °．
三．解答题（共3小题）
7．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
8．已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．
9．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是 ；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是 ；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
答案：
1认识三角形
第1课时
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选C．：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠B的度数为：60°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．
2．【解析】选C．由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．【解析】选D．∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）
=a+b﹣c+c﹣a﹣b=0．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解析此题的关键．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：7﹣3＜第三边＜7+3 4＜第三边＜10，这个范围的最大的奇数是9，所以三角形的周长是3+7+9=19（cm）．
答案：19cm．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，首先根据题意求出第三边，然后再求出周长．
5． 【解析】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，
∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．
故答案为：75°
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．
6．【解析】：延长CA交BD于F，
∴∠BAD=180°﹣∠BAC=70°，
∵∠ABD=50°，
∴∠AFB=60°，
∵BD∥CE，
∴∠ACE=180°﹣∠AFB=120°，
答案：120．
【点评】本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
7．【解析】：在△ABC中，AB=AD=DC，
∵AB=AD，在三角形ABD中，
∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×=77°，
又∵AD=DC，在三角形ADC中，
∴∠C==77°×=38.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
8．【解析】：∵（a﹣6）2+|b﹣8|=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，
∴a=6，b=8，
b﹣a＜c＜a+b，
这个三角形的最长边c，
c≥b=8，
8≤c＜14．
【点评】本题考查了算术平方根，算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为0是解题关键．
9．【解析】：（1）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=105°；
（2）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=120°；
（3）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=105°；
∴若∠A=n°，∠BOC=n°+90°；
故答案为：105°，120°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件以及三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．第四章 三角形
1认识三角形
第2课时
一、学习目标：
1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力；
2、了解三角形的角平分线、中线、高线，并能在具体的三角形中作出高线。
重点：三角形的中线和角平分线的概念和性质。
难点：理解三角形的中线和角平分线是线段；用几何语言表达三角形的中线和角平分线条件下得到的结论。
学习策略：自主探究与小组合作交流相结合．
二、新课学习
1、思考：什么是三角形的角平分线？中线？高线？
（1）、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
（2）、在三角形中， 的线段，叫做这个三角形的中线。
（3)、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。
2、画图(左：三条角平分线，中：三条中线，右：三条高线）
三、自我尝试
（1）如图1，D为△ABC的变BC边的中点，若S△ADC=15, 那么S△ABC=
(2)如图2，已知AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，若
图1 图2
1、如图在△ABC中，BD平分等于多少度？
2 、如图，已知在△ABC中，的平分线交于点O，试说明：
（1）
(2)
四、自主总结
三角形的中线、角平分线及高线
三角形的中线、角平分线及高线的性质。
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（ ）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
3．下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
二．填空题（共3小题）
4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有 个．
5．AE是△ABC的中线（E在BC所在直线上），且BE=4cm，那么BC= cm．
6．在△ABC中，∠A+∠B=∠C，则△ABC的三条高线所在直线的交点在 ．
三．解答题（共3小题）
7．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
8．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
9．已知AD、AE分别是△ABC的中线和高，△ABD的周长比△ACD大3cm，且AB=7cm．
（1）求AC的长；
（2）求△ABD与△ACD的面积关系．
答案：
1认识三角形
第2课时
一．选择题（共3小题）
1．、【解析】选C．过点C作AB边的垂线，正确的是C．
【点评】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．
2．【解析】选A．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6=19cm．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
3．【解析】选B．：A、只有锐角三角形三条高都在三角形内，故本选项错误；
B、三角形三条中线相交于一点正确，故本选项正确；
C、三角形的三条角平分线一定都在三角形内，故本选项错误；
D、三角形的角平分线是线段，故本选项错误．
【点评】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
答案：6．
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，可以是三角形的边，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
5．【解析】：∵AE是△ABC的中线，
∴点E是BC的中点，即BE=EC=BC．
又∵BE=4cm，
∴BC=8cm．
答案：8．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，熟记概念是解题的关键．
6．【解析】：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∵直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，
∴△ABC的三条高线所在直线的交点在C点．
答案：C点．
【点评】此题主要考查了三角形的高线，熟记三角形三边上的高的特点是解题关键．
三．解答题（共3小题）
7．【解析】：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8.． 【解析】：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）=3，
∴BC﹣AC=3，∵BC=8，∴AC=5．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．
9．【解析】：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∵△ABD的周长比△ACD大3cm，
∴AB+BD+AD﹣（AD+AC+DC）=3cm，
AB﹣AC=3cm，
∵AB=7cm，∴AC=4cm；
（2）△ABD与△ACD的面积相等；
∵S△ADB=DB AE，S△ADC=DC AE，
∴S△ADB=S△ADC．
【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
