辽宁省沈阳市第十一中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷（含解析）

沈阳市第十一中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列中，，且，则为（ ）
A.2 B.1 C. D.
2.设数列满足，则的前n项和（ ）
A. B.
C. D.
3.已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A.10 B.9 C.8 D.4
4.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知是“和差等比数列”，，则满足使不等式的的最小值是（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
5.已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
7.设等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（ ）
A.1006 B.1007 C.1008 D.1009
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0.
9.小苏向小州买售价为S元的商品.由于商品A的珍贵，只有小州自己知道S的值.因此，小苏只能不断花钱购买.若当小苏支付了x元时，有，则小苏可获得商品A；否则小苏支付了x元但一无所获.此外，小苏也可以向小州提出一个问题来帮他获得商品.例如：小苏依次支付1元 2元 S元，则小苏用了元获得商品.若x S均为正整数，下列说法正确的是（ ）
A.不问问题的情况下，3S元一定能使小苏获得商品A
B.不问问题的情况下，4S元一定能使小苏获得商品A
C.若在问出恰当的问题的情况下，3S元一定能使小苏获得商品A
D.若在问出恰当的问题的情况下，元一定能使小苏获得商品A
10.若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和.记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A.不一定是偶数 B.
C. D.
12.已知，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
三 填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.数列中，且，则___________.
14.若函数，且是函数的导函数，则等于___________.
15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”.将数列1，3进行“扩展”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3；…；第次“扩展”后得到的数列为.记，其中，，则数列的第6项___________
16.将数列中的项排成下表：
已知各行的第一个数，……构成数列且的前n项和满足且，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第10行的所有项的和为___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知数列中，，且满足.设，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
18.（12分）已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.
（1）求函数的解析式：
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
19.（12分）记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.（12分）已知函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意都有，求的取值范围；
（3）证明函数的图象在图象的下方.
21.（12分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）对任意的，求证：.
22.（12分）已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数.
（1）用表示；
（2）求证：对一切正整数n，的充要条件是；
（3）若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式.
参考答案：
1.【详解】因为，，
所以，同理，
所以数列是周期数列，且周期为6，
所以.故选：C.
2.【详解】解：当时，，
当时，由得
，两式相减得，，即，
综上，
所以的前n项和为，故选：C.
3.【详解】令，解得或，
当时，，故当时递增，且
当时，，当时递减，
当时，，当时递增，
且
故
所以取得最小值时的值为8.故选：C.
4.【详解】法一：由题可得：，则，解得，
由，，由，解得，由，解得.
法二：依题意，，得，
则数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以，检验知，当时，成立，
所以的最小值是6.故选：C.
5.【详解】的定义域为，
，
因为在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以.故选：A
6.，
所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，
故，即，故选：B
7.【详解】根据等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，
又数列的公差为负数
，
数列{}的前n项和中，最大
即时，，选项C正确.故选：C.
8.【详解】令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
所以可得，故，
因为，
所以，故.故选：D.
9.【详解】对于A，必须是最后一次付款，即，，即当A的价格时，才能买到，A错误；
对于B，与A同理，只有当时才成立，B错误；
对于C，D，只要问清楚小洲具体的价格，采用一次性付清就一定可以，所以CD正确；
故选：CD.
10.BD
【详解】对于选项A，令，则，
当时，的正负不确定，则的单调性不确定，
故与的大小不确定，故A错误；
对于选项B，令，则，
当时，，∴在上单调递增，
又∵，∴，即，即，故B正确；
对于选项C，令，则，当
时，，∴在上单调递增，
又∵，∴，即，故C错误；
对于选项D，令，则，当时，
，∴在上单调递增，
又∴，∴，即，
即，故D正确.
故选：BD.
11.BCD
【详解】对于A选项，为奇数，，
为偶数，则为奇数，为奇数，为偶数，…，
以此类推，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数 奇数 偶数这三个一组循环排列的，故A不正确；
对于B选项，又，
，故B正确；
对于C选项，，
，
以此类推，故C正确；
对于D选项，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12.【详解】对于A选项，取，，则，但不成立，A选项错误；
对于B选项，由可得，即，
构造函数，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
①若，则函数在上单调递增，由可得，
且，故；
②若，则.
综上，，B选项正确；
先证明对任意的 且，，
不妨设，即证，
令，即证，
令，则，
故函数在上为增函数，当时，，
所以，对任意的 且，，
因为，则，
所以，，可得，C选项正确.
对于D选项，取，，则，
但，D选项不正确.故选：BC.
13.【详解】∵，∴
∵=9，即=9，解得n=100
故答案为：100
14.【详解】由题意，函数，
可得
所以.故答案为：.
15.【详解】因为，
所以
，即.
故，又，
则数列是首项为，公比为3的等比数列，故，
所以，所以.故答案为：
16.【详解】解：因为，所以，即，即，
数列的通项公式为，且；
观察表中各行规律可知，第行的最后一项是数列的第项；
，；
在表中第12行第9列；
因为，且，公差；
表中第行的首项，共有项；
；故答案为：.
17.【详解】（1）∵，，∴，
∵，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，.
（2）∵，
∴当时，
，又也满足上式，
所以.
18.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，
又因为，且点处的切线恰好与直线垂直，
所以，
由解得，所以.
（2）由（1）知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
根据函数在区间上单调递增，
则有或，解得或.
19.【答案】（1）（2）
（1）得：，
或，
同理：或，
是等差数列，，
是等比数列；
（2）令，其前项和为，
当为偶数时，
当为奇数时，.
综上所述，.
20.（1）；（2）；（3）证明见解析.
【详解】（1）易知，所以，又，
（2）若对任意的，都有，
即恒成立，即；恒成立，
令，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减：
时，有最大值，
，即的取值范围为；
（3）要证明函数的图象在图象的下方，即证：恒成立，
即：，
由（2）可得：，所以，
要证明，只要证明，即证：，
令，则，
当时，，所以单调递增，
即，
所以，从而得到，
所以函数的图象在图象的下方
21.（1）极小值，无极大值（2）证明见解析
【详解】（1）因为，则，当时，，时，故在上单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）知在上单调递增，故时，即：，令得，化简得：，于是有：，，，
累加得：
即
22.【详解】（1），所以曲线在点处的切线方程为：，将点代入方程，得，因为为正实数，所以为正实数，.
（2）证明：充分性：由为正实数易得为正实数，，又因为，所以，，所以对一切正整数n，.必要性：因为，则，即，因为，解得.
（3）证明：因为，所以，，所以，所以为等比数列.，所以，即，，解得.