2024 届“贵百河”4月高三质量调研联考试题
数 学 参考答案
1 2．B 解： A x∣x x 2 0 1,2 ，B x∣3x 1 0 0, ，则 A B 0,2 ，故选：B.
i i 2 i 1 2
2 C 1 2 5． 解：因为 2 i z i，则 z i 2 22 i 2 i 2 i 5 5 ，故 z ( ) ( ) .故选：C.5 5 5
3．D 解：8次的数学成绩由小到大排列为：81,82,84,85,86,87,90,92，因8 75% 6，故75%分位数为
87 90
88.5，故选：D.
2
4．B 因为 22024 41012 3 1 1012 C0 31012 C1 31011 C2 31010 1010 2 1 1 1012 01012 1012 1012 C1012 3 C1012 3 C1012 3 ，
C0 31012 C1 310111012 1012 C
2
1012 3
1010 C1010 32 C0 31010 C1 31009 C2 31008 1010 0 21012 1012 1012 1012 C1012 3 3 能
9 C1 31 C1012 0被 整除，又 1012 1012 3 3037 9 337 4，所以 22024被9除的余数为 4 . 故选：B
1 1
5． f x e x e x f x , f x 为偶函数,排除 A. f 1 1 e<0 x x ,排除 B和 C选：D.
6．B 解：因为圆C的方程为： x2 y2 2x 1 0，化为标准方程得： (x 1)2 y 2 2 ，所以圆心为C(1,0)，半
径 r 2，直线 l : y kx 3恒过定点 P(0,3)，当直线 l与 PC垂直时，圆心C到直线 l的距离最大，由斜率公
3 0 1
式得直线 PC的斜率为： 3，由垂直关系的斜率公式得： k ( 3) 1，解得 k ，故选：B．
0 1 3
7．B 解：由题设，上底面积为 S1 225 cm2，下底面积为 S2 144 cm2，所以 1平升为
1
10 (225 225 144 144) 1830 cm3，约为1.8L .故选：B
3
8 A x x x． 解：由题意得 f x 0在 1,1 上恒成立，f x e a x 1 e xe a，故 xex a 0，即 a xex，
x
令 g x xe ，x 1,1 ，则 g x ex xex x 1 ex<0在 x 1,1 上恒成立，故 g x xex在 x 1,1
上单调递减，故 g x g 1 e 1，故 a e 1，故 a的最小值为 e 1 .故选：A
9．CD 解： c AB 5,b AC 17,a BC 10 ，所以c a，由正弦定理得 sinC sinA，故 A错误；
cosB 5 10 17 2由余弦定理，得 0 ，所以角 B是钝角，故 B错误；
2 50 10
由 sin2B cos2B 1 7 2，得 sinB ， ABC 1 ac sin B 1 5 10 7 2 7的面积为 ，故 C正确；设 ABC
10 2 2 10 2
的外接圆半径为 R，
答案 第 1页，共 6页
{#{QQABCQYEogggAIBAARhCUQXiCkGQkAECACoGRFAMIAABCQFABAA=}#}
2R b 17 10 17 5 34 1 850 1 784 1 28 4,R 2
sin B 7 7 7 7 ，故 D正确.7 2 7 2
10
10．BC 对 A，取 BD中点 E，连接 CE，ME，如图，因△BCD是正三角形，有 CE⊥BD，
而 M是 AD的中点，有 ME∥AB，而 AB⊥BD，则 ME⊥BD，CE∩ME＝E，CE，ME
平面 CME，于是得 BD⊥平面 CME，CM 平面 CME，所以 CM⊥BD，A不正确；
对 B，取 CD的中点 N，连 MN，因 M是 AD的中点，则 MN∥AC，AC 平面 ABC，
S 1MN 平面 ABC，所以 MN∥平面 ABC，B正确；对 C，因 ABD AB DB 2，要三棱锥 C﹣ABD的体积最2
大，当且仅当点 C到平面 ABD距离最大，由选项 A知，点 C到直线 BD的距离CE 3， CEM是二面角
A﹣BD﹣C的平面角，当∠CEM＝90°时，CE⊥平面 ABD，即当 C到平面 ABD距离最大为CE 3时，三棱锥
C﹣ABD的体积最大，此时 CE⊥ME，有 CE⊥AB，而 AB⊥BD，CE∩BD＝E，CE，BD 平面 BCD，则有 AB⊥
平面 BCD，BC 平面 BCD，所以 AB⊥BC，C正确；对 D，若∠CMB是二面角 C﹣AD﹣B的平面角，则 AD⊥CM，
因为 M为 AD中点，故 CA＝CD，这不一定成立，故 D错误．
11．BCD 解：抛物线C : y2 4x的焦点 F 1,0 ，准线方程为 x= 1，设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，对于 A，依题意，
AB AF BF x x x1 x2 2 8，解得 x1 x2 6，线段 AB中点的横坐标 1 2 3，该点到 y轴的距离为2
x x x ty 11 2 3，A错误；对于 B，显然直线 l不垂直于 y轴，设直线 l：x ty 1，由 22 y 4ty 4 02 y 4x
消去 x得 ，
Δ 2 4t 16 0，则 y1 y 22 4t，y1y2 4，x1 x2 t y1 y2 2 4t 2，设线段 AB中点坐标为M x, y ，
x x1 x2 2t
2 1
2
则 t 2y y ，消去 可得 y 2x 2，因此弦 AB中点的轨迹为抛物线，B正确；对于 C，显然 y 1 2 2t
2
BF (1 x2, y 2 ),FA (x1 1, y1 ) ，由 BF 3FA，得1 x2 3 x1 1 ， y2 3y1，由选项 B知 y1y2 4，
2 3
y y 2 1 2 3 y y 2 3
有 x x 1 2 1，又 y1 0，则 A( , )，B(3, 2 3)，因此直线 AB的斜率 k 1 2 3 3，1 2 4 4 3 3 x1 x2 3 1
3
1 1 1 1 x x 2 x x 2
C正确；对于 D，由选项 B知 y1y2 4，x1x2 1，则
1 2 1 2 1
AF BF x1 1 x 2 1 x1x 2 x1 x 2 1 x1 x 2 2
，
BF 4 AF BF 4 AF
因此 4 AF BF (4 AF BF )(
1 1
) 5 5 2 9 ，
AF BF AF BF AF BF
BF 4 AF
当且仅当 BF 2 AF 3AF BF ，即 时取得等号，D正确.故选：BCD
答案 第 2页，共 6页
{#{QQABCQYEogggAIBAARhCUQXiCkGQkAECACoGRFAMIAABCQFABAA=}#}
12． 13 解：因为 | a | 2 | b | 2 ，所以 a 2, b 1，
r r r r
2ar b (2ar b )2 4ar2 r π 4a b b2 4 22 4 2 1 cos 12 13．故答案为： 13
3
2
π 3 3 3 sin 3 113．由 ，可得 cos ，则 cos ，故 cos 2 2cos
2 1 2 1 . 2 3 3 3 3 3
14．BF1 BF2 a，设 AF1 x，则 AF2 2a x， RT ABF
2 2
中， AF 22 2 BF2 AB ，则
2 2 5 4 3(2a x) a2 (a x)2 ， x a， AB a , AF a ,BF a , cos ABF cos 2 ABO
3 3 2 3 2 2 5
sin ABO 1 cos(2 ABO) 5 c , 5得 e .
2 5 a 5
15．解（1）因为 S3 3a1 3d 21，所以 a1 d 7，又因为 a1， a2 1，a
2
7成等比数列，所以 a2 1 a1a7 ，
即 a1 d 1
2 a 21 6a1d
2
，所以 a1 6a1d 64，.............................2分
a1 d 7 a1 2
联立 a 2 1 6a d 64
解得
， 分
1 d 5
.............................4
所以 an a1 5(n 1) 5n 3 ..............................6分
5 5 1 1
（2）由（1）可得 a a 5n 3 (5n 2) 5n 3 5n 2，.............................8分n n 1
所以T
1 1 1 1
n ( ) ( ) (
1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 5 n 分
2 7 7 12 12 1 7 5n 3 5n 2 2 5 n 2 10 n 4 ..............................13
16．（1）依题意， X 的所有可能取值为0,1, 2 .....................1分
设打成10 :10
1
后甲先发球为事件 A，则乙先发球为事件 A，且 P(A) P(A) ，2
P(X 0) P(A) P(X 0 A) P(A) P(X 0 A) 1 1 1 1 1 1 1所以 | | ....................2分
2 3 2 2 2 3 6
P(X 1) P(A) P(X 1 A) P(A) P(X 1 A) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1
....................3分2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2
P(X 2) P(A) P(X 2 |A) P(A) P(X 2 A) 1 2 1 1 1 2 1| ....................4分
2 3 2 2 2 3 3
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
1 1 1
P
6 2 3
1 1 1 7
故 X 的均值为 E X 0 1 2 ...................5分
6 2 3 6
（2）设第一局比赛甲获胜为事件 B，则 P B | X 0 0,P B | X 1 P B ,P B | X 2 1.............6分
答案 第 3页，共 6页
{#{QQABCQYEogggAIBAARhCUQXiCkGQkAECACoGRFAMIAABCQFABAA=}#}
由（1）知， P X 0 1 ,P X 1 1 ,P X 2 1 .............7分
6 2 3
P B P X 0 P B | X 0 P X 1 P B | X 1 P X 2 P B | X 2 1 1 1 0 P B , .............9分
6 2 3
2 2
解得 P B ，即第一局比赛甲获胜的概率 p
3 0
...........10分
3
2 2
（3）由（2）知 p0 ，故估计甲每局获胜的概率均为 3 ，根据五局三胜制的规则，3
设甲获胜时的比赛总局数为Y ，因为每局的比赛结果相互独立，所以Y 的所有可能取值为3,4,5 ...........11分
3 3 3 2
因此可得 P Y 3 2 8 ,P Y 4 C 1
2 1 8 ,P Y 5 C 2 2 1 16 ...........14分
3 27 3 3 3 27 4 3 3 81
故该场比赛甲获胜的概率 P P Y 3 P Y 4 64 P Y 5 ...........15分
81
17．解：（1）在梯形 ABCD中，AB //CD，AB BC，AB 4，BC CD 2 AB，可算得 AD ( )2 BC 2 2 2 ，
2
BD BC2 CD2 2 2 ,所以 AD2 BD2 AB2 ,所以 AD BD，.............................3分
在 PAD中， PA 4， PD AD 2 2，
满足PA2 AD2 PD2，所以 AD PD，又 PD 平面 PBD， BD 平面 PBD，且 PD BD D，
所以 AD 平面 PBD，又因为 BP 平面 PBD，所以 AD BP；.............................6分
（2）由（1）证明可知， AD 平面 PBD，因为 AD 平面 ABCD，
PDB 2 则平面 PBD 平面 ABCD，通过计算可得 ，.............................7分
3
建立以DA，DB为 x轴，y轴的正方向，
以过 D与平面 ABCD垂直的向量为在 z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
显然 z轴在平面 PBD中且垂直于 BD，.............................8分
则D(0,0,0)， B(0,2 2,0)， P(0, 2, 6)，C( 2, 2,0)，
所以 PC ( 2, 2 2, 6)，DP (0, 2, 6)，DB (0, 2 2,0)，.............................10分
设平面 PBD的法向量为 n (x, y, z)，
n
DP 0 2y 6z 0
则 ，即 ，取 n (1,0,0)，.............................13分
n DB 0 2 2 y 0
设直线 PC与平面 PBD所成角为 ，
sin | P C
n | 2
则 ，所以求直线 PC与平面 PBD
2
所成角的正弦值为 . .............................15分
| PC | | n | 4 4
答案 第 4页，共 6页
{#{QQABCQYEogggAIBAARhCUQXiCkGQkAECACoGRFAMIAABCQFABAA=}#}
18.（1）由点 A，B的坐标可知 a 4，离心率为 e
c 5
，故 c 5，所以 b c 2 a 2 3 .....................2分
a 4
x2 y2
所以双曲线G方程为 1................4分
16 9
x my 5
2 2
（2）（ⅰ）设直线 l为： x my 5，联立双曲线G得 x2 y2 ，消去 x得： 9m 16 y 90my 81 0，
1 16 9
根据题意得：9m2 16 0，Δ 8100m2 4 81 9m2 16 64 81 1 m2 0
设M x1, y1 ， N x
90m 81
2 , y2 ，则 y1 y2 2 ， y1y2 ，9m 16 9m2 16
x x 160 400 144m
2
2 16
1 2 0， ，故m .............6分9m 2 16 x1x2 09m2 16 9
y y 1 x 4 M G x
2 2
直线 AM ： ，因为 在 上，所以 1
16 y
1x 4 .............7分1 16 9
9 x 4 y
直线 AM 1： y x 4 ，直线 BN ： y 2 x 4 x 4 .............8分16y1 2
9 x1 4 9 x 4
令 x y 4 2 x 4 y1y2 y1y2，可得
16y1 x2 4 16 x 4 x1 4 x2 4 x1x2 4 x1 x2 16
81
9m2 16 81 16 16
400 144m2
x
160 16 ，解得 ，故点
P在直线 x 上.............10分
2 4 2 16
5 5
9m 16 9m 16
16
（ⅱ）由双曲线对称性可知，点Q也在直线 x 上，
5
16 36 y
设 P , y
3 ，Q
16 , y 1 4 ，点 P在直线 AM 上，所以 y3 5 x 4 ............12分 5 5 1
y2 36 y点Q在直线 AN y x 4 2 上，所以 y4 5 x 4 ............14分 x2 4 2
F P F Q 9 , y 9 , y 81 y 81 1296 y2 y2 2 1 3 5 5 4
25 3
y4
25 25 x2 4 x1 4
81
81 1296 y 2
1
y2 81 1296 9m 16
25 25 x1x2 4 x1 x2 16 25 25 400 144m2 160 2 4 169m 16 9m2 16
81 1296 81
0，所以 PF QF ............................................................17分
25 25 1296 2 2
t
19．解：（Ⅰ） ln x ln x恒成立， x 0， t 2x ln x，令 h(x) 2x ln x，则 h (x) 2(1 ln x)，..........2分
x
当 x (0,
1) 1 1 1时， h (x) 0， h(x)在 (0, )上是减函数，当 x ( , )时， h (x) 0， h(x)在 ( , )上是增
e e e e
答案 第 5页，共 6页
{#{QQABCQYEogggAIBAARhCUQXiCkGQkAECACoGRFAMIAABCQFABAA=}#}
函数， h(x)min h(
1) 2 ， t
2
.............................7分
e e e
2 1 1 2
（Ⅱ）由（I）知，2x ln x ， ln x ， F (x) f (x) x ①..............................9分e ex e ex
F (x) ln x 1 2 1 1 1 1 x x x ( x )， ...........................................12分e ex ex e x e e
1 x
令 G(x) ，则 G (x) e xx (x 1)， 则 x (0,1)时，G (x) 0， G(x)上是减函数， x (1, )时，e e
G (x) 0， G(x)上是增函数， G(x) G(1) 0②.....................15分
1 2 1 1 1 1 x
F(x) ln x x x ( x ) 0， ①②中等号取到的条件不同， F(x) 0，e ex ex e x e e
函数 F (x)不存在零点. .............................17分
答案 第 6页，共 6页
{#{QQABCQYEogggAIBAARhCUQXiCkGQkAECACoGRFAMIAABCQFABAA=}#}2024届“贵百河”4月高三质量调研联考试题
数学
(考试时间：120分钟满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A={xx2-x-2<0},B={x3-1>0,则AnB=()
A.（-0,0)）
B.(0,2)
C.（-1,0)
D.(-1,2)
2.已知(2+i)z=i,i为虚数单位，则z=()
A.
B
c.
D.5
3.某位学生8次数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85，则该学生这8次成绩的75%
分位数为()
A.85
B.85.5
C.87
D.88.5
4.22024被9除的余数为()
A.2
B.4
C.6
D.8
5.函数f)问的图象大致为()
6.已知圆C:x2+y2-2x-1=0,当圆心C到直线1：y=G+3的距离最大时，实数k的值是()
A
B
C.-3
D.3
数学第1页共4页
7.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平
升”.已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和12cm,
高为10cm(厚度不计)，则该升的1平升约为()（精确到0.1L,1L=1000cm3)
A.1.0L
B.1.8L
C.2.4L
D.3.6L
8.已知函数f(x)=(x-1)(e+a在区间(-l,1)上单调递增，则a的最小值为()
A.e-
B.e-2
C.e
D.e2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。
(答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选
两个都对得4分，错选不得分)
9.平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,2),B(1,0),C(4,1),则()
A.sinAB,△ABC是锐角三角形
C.△ABC的面积为2
D.△ABC的外接圆半径大于2
1O.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB=BD,M是AD的中点.沿
BD将△BCD翻折，折成三棱锥C-ABD,连接BM,翻折过程中，下列说法正确的是()
A.存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角
B.棱CD上总恰有一点N,使得MN∥平面ABC
C.当三棱锥C-ABD的体积最大时，AB⊥BC
D.∠CMB一定是二面角C-AD-B的平面角
11.抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线I交抛物线C于A,B两点（点A在x轴的下方），
则下列结论正确的是()
A.若AB=8,则AB中点到y轴的距离为4
B.弦AB的中点的轨迹为抛物线
C.若BF=3FA,则直线AB的斜率k=√3
D.4AF+BF的最小值等于9
数学第2页共4页
