2023 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一．选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A C A B A D B C
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对
的得 2分.
9 10 11 12
BD ACD ABD ABD 或 BD（均给满分）
三、填空题：本题共 4小题，每题 5分，共 20分.
1 184
13.16 14. 2 15. 16.
3 49
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤
17．（1）由 = + 2 , = 2 , = 5 10
得 = = 2 ( + 2 ) = 3 ,……………………………2 分
= = 5 10 (2 ) = 3 9 = 3 , ………………………4 分
所以 ∥ ，且有公共点 B，
所以 A, B,C 三点共线. ……………………………5 分
1
（2）由3 + 与 + 2 平行平行，
3
1
则存在实数 ，使得3 + = ( + 2 )，……………………………7 分
3
1
即(3 ) + ( 2 ) = 0 ，又 , 是不共线的两个非零向量，
3
1
3 = 0
因此{ 3 ，……………………………9 分
2 = 0
= 9
解得{ ，实数 k 的值是18……………………………10 分
= 18
1
18．（1）在△ 中， = = ，-----------------------------2 分
2 4
解得 = 2 ，-----------------------------------------------------------4 分
答案第 1 页，共 4 页
{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}
1
由正弦定理得△ 的外接圆的半径 = = 1.-------------------------6 分
2
1
（2）由（1）知 = = ，即 = 1 --------------------------------------8 分
2 4
又 + = 2，所以 = = 1，--------------------------------------------------------10 分
1 2
所以sin = = = ，所以 = = ，所以 = ------------12 分 2 2 6 3
19. (1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 OG.
因为四边形 ABCD 为直角梯形, DC=2AB, 所以
1
= = = -----2 分
2
又因为 GC=2FG, =
所以 // . ---------4 分
因为OG 面 , 面 ,所以 AF//平面 BDG.--------6 分
(2)因为四边形 ABCD 为直角梯形，所以 AB//CD.
因为 面 , AB 面 ,所以 AB//平面 .---9 分
因为 AB 面 ,面 ∩面 =EF.
所以 AB//EF. -------12 分
20．（1）∵ 2 √3c = 0
∴2 √3 = 0……………………………2 分
3
∴sinA=√ ……………………………4 分
2
2
∴A= 或者 A= ……………………………6 分
3 3
（2）∵a= 2√3且 ≤ ，∴ = ， 3
由正弦定理得 = 4，所以 = 4 ……………………….7 分
= 4 = 4 ( + )………….8 分
3
1
故 = 4 2 ( + ) = 3 √3 = 2√3 ( )，…….10 分
2 3 6
2
∵ ≤ ，∴ ≤ < ， ≤ < ，
3 3 6 6 2
即 的取值范围[√3, 2√3). ………………………….12 分 2
答案第 2 页，共 4 页
{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}
21 (1)取 PC 中点 ，连接 HG，EG，
因为点 E、G 分别为 PD、PC 的中点，
1
所以，EG//CD,且 EG= CD ---------2 分
2
1
因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AH//CD，且 AH= CD，
2
所以 AH//EG，AH=EG，所以四边形 AHEG 为平行四边形，
所以 AE//HG 因为 AE 平面 PBE，HG 平面 PBE，AE//平面 PHC；------5 分
（2）由题意可知 = = = = = = 1，则 = = √2，∠ =
∠ = 45°．
将平面 , , 展开到一个平面内如图，则 + + 的最小值即为展开图
中 的长．
2+ 2 2 2+2 1 3
∵ ∠ = = = ， ----------7 分
2 2×√2×√2 4
7 7
从而 √sin CPD = ，故 ∠ = (∠ + 90°) = ∠ = ．
4 4
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 1 + 1 +
√7 8+2√7 √7+1
2 × = = ( )2，---------11 分
4 4 2
7+1 7+1
则 √ = ，即 + + 的最小值为
√ ．---12 分
2 2
22．（1）解：因为2 = + ，
由正弦定理得2si = + ,
因为 + = ，可得 ( + ) = ，所以2si = ，
1
又因为 ∈ (0, )，可得 > 0，所以2 = 1，即 = ，
2
因为 ∈ (0, )，所以 = ，-------------------------------------------------------------------2 分
3
又由( + ) = ( + ) = 0，
可得( + ) ( ) = ( + ) ( ) = 0，
解得 2 = 2, 2 = 2，即| | = | | = | |，所以 为△ 的外心，
√3
由正弦定理有2| | = = = 2 √3 ，所以| | = 1．---------------------4 分
2
答案第 3 页，共 4 页
{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}
2 → → →
（2）解：因为 = ，所以∠ = 2 = ，且| | = | | = | | = 1，
3 3
2 2 2
| 3OA+ 2OB +OC |2= 9OA + 4OB +OC +12OA OB + 6OA OC + 4OB OC= 9 + 4 + 1 +
4
12 2 + 6 2 + 4 2 = 12 + 12 2 + 6 ( 2 )
3
= 12 + 9 2 3√3sin2 = 12 + 6√3 (2 + )-------------------------6 分 6
0 < <
2
因为{ 2 ，解得 < <
0 < = < 6 2
3 2
7
则2 ∈ ( , )，则2 + ∈ ( , )，所以 (2 + ) ∈ [ 1,0)，
3 6 2 6 6
所以12 + 6√3 (2 + ) ∈ [12 6√3，12)，
6
→ → →
所以|3 + 2 + |√3 ．-------------------------------------------------------8 分
（3）解：如图所示：取 AB的中点 D，连接 OD，则 ⊥ ，
1
所以 = ( + ) = + = 2，
2
同理可得
1
= 2，-----------------------------------9 分
2
→ → 1
由平面向量数量积的定义可得 = ，
2
因为 = + ，所以， = 2 + ，
1 → 2 → 2 1 → → 即 | | = | | + | | | |，所以2 + = ，①
2 2
2 1 →
2 1 → → → 2
= + ，即 | | = | | | | + | | ，
2 2
所以 + 2 = ，②．---------------------------------------------------10 分
2 1 2 1
联立①②可得 = ， = ，
3 3 3 3
4 1
所以， + = ( + )
3 3
1 √3
又因为 ( + ) + 1 √3 1= = = 2 2 = + ，
2 2
3 1
因为 ∈ ( , )，所以 √ ∈ ( ,+∞)，可得 ∈ ( , 2)，
6 2 3 2
5 1 2
所以 + ∈ [2, )， + ∈ ( ， ].-------------------------------------------------------12 分
2 2 3
答案第 4 页，共 4 页
{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}绝密★考试结束前
2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1,本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一，选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=V2,b=1,A=45°，
B=(
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.60°或120°
2.已知向量d=(1,-1),万=(m,2),若/万，则à.6=()
A.-2
B.2
C.-4
D.4
3.已知a,万，是平面上的非零向量，则“a=”是“a.=方.”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D,既不充分也不必要条件
4.下列结论正确的是()
A.若直线l不平行于平面，且l￠a,那么α内存在一条直线与平行
B.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l垂直
C.如果两个平面相交，则它们有有限个公共点
D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
5.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,若V3 b sin A=acos B,
6S=V3AB·AC,△ABC的形状是()
A,等腰三角形B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8，侧棱长为2√5，则其体积为)
A.84v2
B.80w2
C.80v2
D.28V2
3
7.已知扇形AOB的半径为13，以0为原点建立如图所示的平面直角坐标
系，0A=(13,0),0B=(12,5),弧AB的中点为C,则OC=(
A.(3v3,2W3)B(V26,2V26)C(4V而，3)D(V153,4)
高一数学学科试题第1页〔共4页)
8.如图，四面体各个而都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的
下底面圆周上，另一个项点是上底面圆心，则圆柱的体积是(
A.yen
Bgπ
cπ
D.π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列命题是真命题的是(
A.空间三点可以确定一个平面
B.a,B为两个不同的平面，直线lca,则“l∥B”是“α∥B必要不充分条件
C.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D.长方体是直平行六面体
10.已知e,e是夹角为红的单位向量，且=G+2,石-g-,则下列选项正确的是（）
A.lal=v3
B.a6=-月
Ca与的夹角为经
De在e2方向上的投影向量为-号e
11.正方体ABCD一ABCD1的棱长为1，E、F、G分别为BC,CC1,BB的中点，则()
A.直线AG与平面AEF平行
B.EAG=立
B
C.过AC的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形
D.过AC的平面截此正方体所得的截面的面积范围是，V回
.---E
A
12.“奔驰定理因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与
三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联它的具体内容是：已知M是△ABC内一
点，△BMC,△MMC,△MMB的面积分别为SA,SB,Sc,且Sa·MA+Sg·ME+Sc·MC=可.以下命题
正确的有〔)
SCSB
B
SA
A,若SA:SB:Sc=1:1:1,则M为△AMC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC.MA+AC.MB+AB.MC=O
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA:SB:Sc=1:V3:2
D.若M为△ABC的垂心，2MA+3ME+4M元=，则cos∠AMB=-7
7
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知球的半径为2cm,则球的表面积是
cm2
高一数学学科试题第2页〔共4页)
