山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二下学期期中数学模拟测试二（含答案）

新泰一中东校高二下学期期中模拟测试二
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种.
A．48 B．64 C．72 D．120
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．72 B．56 C．48 D．36
8．函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体
B．甲 乙 丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表
C．从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个
D．个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种
10．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
11．若，，且，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 种．（用数字作答）
若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
14．已知当时，恒成立，则m的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
(1)求n的值.
(2)求 的展开式中的常数项.
(3)求展开式中所有系数的和.
16．（本题15分）用1，2，3，4，5，6这六个数字，可以组成多少个无重复数字的：
(1)四位偶数？
(2)数字1、3、5互不相邻的六位数？
(3)六位数，其中数字6、4、1按自左至右的顺序保持不变（如634512，562431）.
（注：所有结果均用数值表示）
17．（本题15分）在暑假期间，小明同学到某乡镇参加社会调查活动.小明利用所学知识帮一苹果农户解决年利润最大问题.经小明调查，对苹果精包装需要投入年固定成本3万元，每加工万斤苹果，需要流动成本万元.当苹果年加工量不足10万斤时，；当苹果年加工量不低于10万斤时，.通过市场分析，加工后的苹果每斤售价7元，当年加工的苹果能全部售完.
(1)求年利润关于年加工量的解析式；（年利润=年销售收入流动成本年固定成本）
(2)当年加工量为多少万斤时，该苹果农户获得年利润最大，最大年利润是多少？（参考数据：）
18．（本题17分）设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
19．（本题17分）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
新泰一中东校高二下学期期中模拟测试二
数学参考答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C
9．ACD 10．CD 11．ABC
【详解】令，，则，
∵当时，，，即，
∴在上单调递增，
∵的定义域关于原点对称，，
∴为偶函数，图象关于轴对称，
∴在上单调递减，
∵，即，
∴，故D正确，而ABC不一定成立.
12．24 13．5
【详解】由，得，由，解得，
则直线与曲线相切于点，∴，得，
∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，
则，且，联立可得，解得，所以．∴．
14．【详解】因为，所以，
构造，因为，所以，
因为，所以在上是减函数.
因为，所以，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
构造，显然在上单调递增，所以，即.
15．【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，故常数项为.
（3）由令得，即展开式中所有系数的和为.
16．【详解】（1）要组成无重复数字的四位偶数，
则个位数字为2、4、6其中一个即可，则可以组成个四位偶数.
（2）要组成数字1、3、5互不相邻的六位数，
则现将2、4、6先排列好，再将1、3、5插入到排列所形成的空位中，
则可以组成个数字1、3、5互不相邻的六位数.
（3）将六位数的数字从左到右分别记作第一位、第二位、….
将6、4分别安排在第一位和第二位，有个，将6、4分别安排在第一位和第三位，有个，
将6、4分别安排在第一位和第四位，有个，将6、4分别安排在第一位和第五位，有个，
将6、4分别安排在第二位和第三位，有个，将6、4分别安排在第二位和第四位，有个，
将6、4分别安排在第二位和第五位，有个，将6、4分别安排在第三位和第四位，有个，
将6、4分别安排在第三位和第五位，有个，将6、4分别安排在第四位和第五位，有个，
综上所述，共有个.
17．【详解】（1）解：当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，；当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减，
此时.
当时，，
当且仅当，即时取得等号.
因为，所以当年加工量为12万斤时，该苹果农户获得最大年利润为45万元.
18．【详解】（1）解：函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
故函数的极大值为，极小值为.
（2）解：对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
19．【详解】（1）当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为