2.2 基本不等式 教学设计

基本不等式
教材分析
基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重的基础的内容.前面的学习中, 学生已经学习了等式与不等式性质以及重要不等式的相关内容，对于两个数的大小关系的研究思路有一定的了解，基本不等式是几何平均数小于等于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至个正数的几何平均数不大于算术平均数.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养.
通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。
学情分析
在知识结构上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数与式的大小比较，也具备一定的平面几何的基本知识. 本节内容在复习、巩固不等式性质和重要不等式的前提下学习基本不等式，这为学生研究“基本不等式”提供了理论基础和探究方向．
在能力水平上，刚进入高中的学生们缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点. 其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解. 对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的; (2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课堂问题的讲解设计,引导学生掌握。
教学目标
知识与能力目标：
1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等
2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。
3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题。
过程与方法目标：
通过实例探究抽象基本不等式，发展学生的数学运算和数学建模素养.
情感态度价值观目标：
通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．
四、教学重难点
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。
难点：基本不等式的推导及证明过程。
五、教学过程
1.复习回顾，温故知新
问题1：上节课我们学习了等式与不等式的基本性质，请同学们回忆以下两个内容：
两个实数比较大小的基本事实；
重要不等式.
【设计意图】通过回顾旧知识，奠定本节课“比较两数大小关系”的探究基础，对问题的研究提供了先行条件.
问题2：在上一节，我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，有，当且仅当时等号成立.特别地，如果，我们用分别代替上式中的，可以得到怎样的式子？
师生活动：学生独立计算后回答结果.教师总结：成为基本不等式，同时给出几何平均数与算术平均数的概念.
设计意图：通过上一节课得出的不等式，得到基本不等式，让基本不等式的由来比较自然，同时也指出了两个不等式间的联系.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对它的理解.
2.抽象概念，内涵辨析
基本不等式
问题3：你能直接利用不等式的性质证明这一式子吗
师生活动：学生先独立思考，由于不等式的性质比较多，到底由哪个性质出发，利用哪些性质进行证明，学生会一头雾水．教师再让学生自学教科书第44页，然后通过问题引导学生思考．
从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 （1）
只要证 （2）
要证（2），只要证 ≥0 （3）
要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4）
显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．
3.数形结合，深入探究
问题4：我们知道，数学中“数”与“形”是紧密联系的，那“基本不等式”是否也是某种几何关系的体现呢？
师生活动：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
【设计意图】通过对图形中几何量的分析，让学生在熟悉的情境中，找到和对应的几何量，进而找到基本不等式的几何解释，让学生体会数形结合的应用.
4.归纳新知，提升素养
基本不等式：
一般地，a>0, b>0,
当且仅当a=b时，等号成立，上述不等式称为基本不等式，其中叫做正数a、b的算术平均数,叫做a、b的几何平均数
问题5：怎样利用基本不等式求最大（小）值？
师生活动：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
例题练习，巩固理解
例1：已知x＞0，求的最小值.
例2. 已知x、y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值．
（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值．
例3：下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
例4：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
六、回顾反思，思维拓展
小结：这节课，知识上我们学习了基本不等式的三种语言的表述，方法上我们学习了转化和化归以及数形结合的思想，我们还体会了对于一个新的数学发现，“大胆猜想，小心求证”的科学探索的态度.探索永无止境，希望同学们能将它落实到以后的学习之中．