新安中学2024春学期高二年级第一次月考
数 学 试 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
3．设，则函数的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A．-3 B．-1 C．5 D．6
6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A．在处的切线斜率是
B．若，则
C．若，则
D．过点的切线方程是
10．设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等差数列
11．若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，下列选项中，的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列，，，4成等差数列且，，成等比数列，则的值是 ．
13．已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
14．已知函数，都有，则的取值范围为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
已知函数，是的极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求在上的最值．
（本小题15分）
已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．
（本小题15分）
已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围.
（本小题17分）
已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列.
求数列与的通项公式；
（2）求数列的最大项；
(3)记数列{}的前n项和为，求.
（本小题17分）
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.新安中学2024春学期高二年级第一次月考
数学参考答案
A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B
AB 10.AB 11.ACD
12. 13. 14.
15.【详解】（1）函数，定义域为，
，因为是的极值点，所以，所以，.
当时，，
，解得或；，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
是的极小值点，所以.......................................................................(6分）
（2）由（1）在和上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最值.只要比较，，即可，
，，，
所以在上的最大值为.最小值为.......(13分）
16.【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，依题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），
所以........................................................................................(6分）
（2）由（1）可知，
故
........................................................................................(12分）
显然，随着的增大而增大，
，，
所以满足的最小整数.......................................................(15分）
17.【详解】（1）当时，，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
而，又，即，
故在有一个零点，即在有一个零点，
而在上最小值为，此时无零点，
故函数的零点个数为1；....................................................................(6分）
（2）当时，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，.......................(8分）
1)当时，在上单调递增，
则此时，由题意得
解得，与矛盾，不合题意；................................................(11分）
2)当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时，由题意得，
解得，故，...................................................................(14分）
综合可得实数的取值范围为........................................................(15分）
18.【详解】（1）∵，∴
∴
∴，又∵，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，......................(3分）
设等差数列的公差为d，则由)得，
解得：(舍)，或，所以....................................................(6分）
由（1）可知
经分析可知当n=2时，最大，且最大值为2.........................................(10分）
（3）由（1）可知：，令，
则
∴
∴
∴
综上，...................................................................................(17分）
19.【详解】（1）当时，，得
， ，
所以切线方程为：；..........................................(4分）
由题，可得
当时，，单调递减
，单调递增
当，的解为，
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
③当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；..............(12分）
（3）解法一：
①当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立
②当时，，
所以在上单调递增，所以成立.
③当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合.
综上所述，的取值范围是. ............................................................................(17分）
解法二：
当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
当时，，所以.
当时， ，所以恒成立.
设，则
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是........................................................................(17分）
