2023 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一 选择题（每题 5分，共 40分）
1-4 BACD 5-8 CBAC
7.【答案】A
【详解】当 x (0,π)，则2 x ,2 ， ( 0)，
3 3 3
5 7 17
依题意可得2 2 ，解得 ，
3 2 6 12
7 17
即 的取值范围是 ， .
6 12
8. 【答案】C
【详解】函数 y = e x 2asin x在 x (0, )上有且仅有一个零点.
e x
方程2a = 在 x (0, )上有且仅有一个实数根.
sin x
e x
令函数 f (x) = , x (0, )
sin x
直线 y = 2a 与函数 y = f (x)有且仅有一个交点.
sin x cos x
令 f (x) = e x 0得 x
sin 2 x 4
f ( x)在 0，
4
上单调递减， ， 上单调递增,
4
( )
2
则 2a = f x min = f = 2e
4 ，即a = e 4 .
4 2
二 多选题（每题 5分，少选得 2 分，多选不给分，共 20分）
9. CD 10.ABD 11.BD 12.ACD
9.【答案】CD
3 5π π 3π 2π
【详解】由题图知 A = 2, T = = T = π, = = 2，
4 12 3 4 π
所以 f (x) = 2sin (2x+ )，
5π π
由图象可知 f (x)在 x = 时取得最大值，计算得 = .
12 3
高二数学学科 试题参考答案 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABCQQEogCgAoAAARgCQQ1CCEGQkBECAAoGxEAAMAABiBNABAA=}#}
π 2π 2π π
所以 f (x) = 2sin 2x .所以 f = 2sin 2 = 3 ，A错误；
3 3 3 3
3
+ 2k 2x + 2k ,k Z
2 3 2
5 11
解得 + k x + k ,k Z ，所以 f (x) 在 0， 单调递增，B错误;
12 12 6
π
因为函数 f (x)的周期为π，将 y = f (x) 图象上的所有点沿 x轴向右平移 个单位长度后得到
12
π π
y = f x = 2sin 2x = 2cos 2x的图象，为偶函数，
12 2
π
所以函数 y = f x 的图象关于 y 轴对称，C正确；
12
π
若 f (x1 ) f (x2 ) = 4，则 x1 x2 的最小值为 , D 正确.
2
故选：CD.
12.【答案】ACD
ln x 1
【详解】由 f (x) = 0 且 f (x)定义域为 (0,1) (1，+ )知函数 f (x)的单调递减区间为 (0,1)和 (1，e) ，A
ln 2 x
正确;
当0 x1 x2 1时， ln x 0且 ln x 0，若 x1 ln x2 x2 ln x1，则 与函数1 2 x x f (x)
在 (0,1)上单调
1 2
ln x1 ln x2
递减矛盾，B错误；
由函数 y = f ( x )的对称性可知，直线 y = k 与函数 y = f ( x )有 6个不同交点满足k e成立，C正确;
由题意分析知函数 g(x)值域 a,+ )是函数 f (x)值域 ( ，0) e,+ )的子集，则a e ，D正确.
三 填空题（单空每空 5分；多空题一空对得 3分，全对 5分，共 20分）
13. 8 14.1 15.120 16.50m
16.【答案】50m
【详解】如图，设瀑布顶端为D，底端为C ，高为 h，
该同学第一次测量的位置为A ,第二次测量的位置为 B ,
5
则 tan DAC = ,AB = 20m
4
4 2 3
由题得 AC = h, BC = h ，
5 5
在 ABC中，由余弦定理可知：
BC2 = AC2 + AB2 2AC AB cos CAB ,
解得h =50 m.
高二数学学科 试题参考答案 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABCQQEogCgAoAAARgCQQ1CCEGQkBECAAoGxEAAMAABiBNABAA=}#}
四 解答题（17题满分 10分，其余各题满分 12分，共 70分）
17. （10 分）【详解】
r r 4
1 1 n r
（1）展开式中第 r +1项为T =Cr xn r r 3 1 r+1 n = Cnx ，…… 分
2 3 x 2
1 1C（n - ）
2 4= - ，……1 分
2 1C（n - ）
2 7
2
解得 n = 8 .……1 分
由二项式系数的性质可知，展开式中第 5 项的二项式系数最大，……1 分
4 4 8
1 8 4
即T = C4
35
3 3 . 1
5 8 x = x …… 分
2 8
r 4
1 8 r
（2）由（1）知，T r 3 r+1 = C8x ，
2
4
又0 r 8, r Z ，由8 r Z可得 r = 0,3,6，……2 分
3
故展开式中的有理项为：
3 6
T = x8
1
，T = C3 4 4
1 7
1 T = C
6x0 = 1
4 8x = 7x ， 7 8 ……各 分
2 2 16
x2 1 (x +1)(x 1)
18. （12 分）【详解】 f (x) = = 0
x x
1
(1) 当a = 1时，函数 f (x) = ln x + x
2 , x 0……1 分
2
由得0 x 1，……1 分
则函数 f (x)的单调减区间为 (0,1)，增区间为 (1，+ ).……2 分
x2 + a
(2)若a 0，令 f (x) = = 0 得 x = a （舍负），且 x 1,e ……2 分
x
（ⅰ）当 a 1，即 1 a 0时，函数 f (x)在 1,e 递增，
1 1
则 f (x)max = f (e) = a + e
2 = e，得a = e e
2
.……2 分
2 2
(ⅱ)当1 a e
2
，即 e a 1时，函数 f (x)在 1, a 递减， ( a ,e 递增，
1 1
则 f (x)max = max f (1), f (e) = max
2
,a + e ，
2 2
1 2 1
如若可以，只能a + e = e，则a = e e
2 1（舍）.……2 分
2 2
高二数学学科 试题参考答案 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABCQQEogCgAoAAARgCQQ1CCEGQkBECAAoGxEAAMAABiBNABAA=}#}
2
（ⅲ）当 a e，即a e 时，函数 f (x)在 1,e 递减，
1
则 f (x)max = f (1) = e（舍）.
2
1 2
综上可知，a = e e .……2 分
2
19. （12 分）【详解】
C 2 7
（1）1- 10 n = ,得n = 5 .……2分
C 210 9
事件 A:取出的 3球中恰有 2球同色，则
C 2C1 C 2 1 2 1
P(A)= 3 7 + 5
C5 C C 79+ 2 8 =
C310 C
3 3
10 C10 120 .……3分
(2) X = 2, 1,0,1,2,4 . ……1分
C 2 1 C1C1 2
P(X = 2)= 3 = , P(X = 1)=
3 2 =
C 2 2 10 15 C10 15
C 2 1 C1C1 1
P(X = 0)= 2 = , P(X =1)=
3 5 =
C 2 210 45 C10 3
C1C1 2 C 2 2
P(X = 2)= 5 2 = , P(X = 4)=
5 =
C 2 9 C 2 9 10 10
X的概率分布列
X -2 -1 0 1 2 4
P 1 2 1 1 2 2
15 15 45 3 9 9
1 2 1 2 2 63 7
E(X )= 2 + ( 1) +1 + 2 + 4 = = .……6 分
15 15 3 9 9 45 5
20. （12 分）【详解】
（1）因为a cos(B C) a cos(B +C) = 2 3csin Bcos A
acos BcosC + asin BsinC a (cos BcosC sin BsinC ) = 2 3csin Bcos A
所以 ，.……2 分
即asin BsinC = 3csin Bcos A，由正弦定理得sin Asin BsinC = 3sinC sin Bcos A，
显然sinC 0，sin B 0，所以sin A= 3cos A，所以 tan A = 3 ，.……2 分
因为 π πA 0, ，所以 A = ．.……1分
2 3
a b c
a b c = = = 4
（2）由正弦定理得 = = = 4，即 sin A sinB π ，
sinA sinB sinC sin π + B
3
高二数学学科 试题参考答案 第 4 页（共 6 页）
{#{QQABCQQEogCgAoAAARgCQQ1CCEGQkBECAAoGxEAAMAABiBNABAA=}#}
则 π b = 4sinB,c = 4sin B + ，.……2分
3
π
a +b + c = 2 3 + 4sin B + 4sin B +
3
π π
= 2 3 + 4sin B + 4 sin Bcos + cos Bsin
3 3
π
= 2 3 + 4 3sin B +
6 ，.……2 分
π
0 B 2 π π π π 2π
因为 ，解得 B ，得B + , ，
2π π 6 2 6 3 3 0 B
3 2
所以 π 3
sin B + ,1
，.……2分
6 2
得 a +b+ c (6+ 2 3,6 3 ．.……1分
21. （12 分）【详解】
(1) x =55 0.06+65 0.28+75 0.3+85 0.32+95 0.04 = 75. ……3 分
（2）事件 A:竞赛成绩在区间[60，70) [80，90)内且恰有3名学生
P(A)=C35 0.6
30.42 = 0.3456. ……4 分
( ) 2 ( )2 2 2 23 = 55 75 0.06 + (65 75) 0.28+ (75 75) 0.3+ (85 75) 0.32
( )2
+ 95 75 0.04 =100. ……2分
1
因为P(X 75+10)= (1 P(75 10 X 75+10)) 0.15865
2
所以甲同学能获得“学习达人”称号. ……3 分
22. （12 分）【详解】
1 1 ln x 1
(1) 令 f (x) = ln x mx 1 = 0, x 0得 m = , x 0
2 2 x
ln x 1
令 h(x) = , x 0
x
1
直线 y = m 与函数 y = h(x)交点个数.……1 分
2
1
x ln x +1
x 2 ln x则由h (x) = = 0得0 x e2
x 2 x 2
2 1
函数h(x)在 (0,e2 )上递增， e2 ,+ )递减,得 g(x)max = g(e )= ，
e2
+
当 x → 0 时，h(x)→ ；
当 x →+ 时，h(x)→ 0+ .……2 分
高二数学学科 试题参考答案 第 5 页（共 6 页）
{#{QQABCQQEogCgAoAAARgCQQ1CCEGQkBECAAoGxEAAMAABiBNABAA=}#}
1 1 1 2
故当 m = 或 m 0，即m = 或m 0时，函数 f (x)只有一个零点；
2 e2 2 e2
1 1 2
当0 m ，即0 m 时，函数 f (x)有两个零点；
2 e2 e2
2
当m 时，函数 f (x)没有零点.……2 分
e2
1
(2) 函数 g(x) = xf (x) = x ln x mx2 x, x 0有两个极值点 x . 1, x2
2
方程 g (x)= ln x mx = 0有两个不同正根，
ln x1 mx = 0不妨设0 x1 x ，则有
1
2 ( ).……2 分
ln x2 mx2 = 0
要证明 x1 x2 e
2
只需证明 ln x1 + ln x2 2
将（*）式两式相加整理得 ln x + ln x = m(x + x ) 1 2 1 2
将（*）式两式相减整理得 ln x ln x = m(x x ) 2 1 2 1
ln x1 + ln x2 x1 + x2 x1 + x x则 = ，即 ln x 21 + ln x2 = ln
2 ……2 分
ln x2 ln x1 x2 x1 x2 x1 x1
x2 t +1令 = t, t 1，则有 ln x1 + ln x2 = ln t .
x t 11
t +1
只需证明 ln t 2, t 1
t 1
t 1
即证 ln t 2 0, t 1
t +1
t 1 1 t +1 (t 1) (t 1)2
令 m(t) = ln t 2 , t 1 ,则 m (t) = 2 = 0(t 1) 恒成立，所以函数 m(t) 在区间
t +1 t ( 2 2t +1) t(t +1)
(1,+∞)内单调递增,
所以函数m(t) m(1)= 0成立.
2
故原不等式 x1 x2 e 成立.……3 分
高二数学学科 试题参考答案 第 6 页（共 6 页）
{#{QQABCQQEogCgAoAAARgCQQ1CCEGQkBECAAoGxEAAMAABiBNABAA=}#}绝密★考试结束前
2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4,考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)
1.函数y=x’+x在点A1,2)处的切线方程()
A.y=4x+2B.y=4x-2
C.y=-4x+2
D.y=-4x-2
2.己知tana=3,a∈0,7
2
A.-3v10
3v10
B.
C.=V10
D.10
10
10
10
10
3.己知今天是星期三，则6"-3天后是(
A.星期四
B.星期五
C.星期六
D.星期日
1。在△MBC巾，∠A-子AB=4BC=0,且满足该条件的△1BC有丙个，则a的取位范同是
A.(0,2)
B.（2,23
C.(2,4)
D.(25,4
5.某校高二数学期末考试成绩X近似服从正态分布N95,σ2)，且P(80校高二数学期未考试成绩超过80分的人数有420人，则()
A.估计该校高二学生人数为520.
B.估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280.
C.估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170.
D.在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率.
6.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”一一科学点燃青春：未米科学大
奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织
5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获
高二数学学科试题第1页（共4页）
奖者只去一个会场，则不同的派出方法有(
A.60种
B.90种
C.150种
D.180种
7.若函数f(x)=2sin20x-。
(0>0)在区间(0，π)恰存在三个零点，两个最值点，则0的取值范围
是(
人
11
c.
12'12
8.己知函数y=e-2 asinx在x∈(0，π)上有且仅有一个零点，则实数a的取值为()
A.2e4
B.2e4
C.v2
D.V2、
2
-e 4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.)
g.己知函数fx)=Asin(ax+)4>0,o>0,pk2
的部分图像如图所示，
则下列结论正确的是(
A-2)=5
B.fx)在0，
单调递减
6
C函数y=-)的图象关于y箱对称
D若/)-f)》=4,则-的最小值为号
10.某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列
说法正确的是(
24
A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为
49
B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为
11
C.若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是CC+C
C2
D.若不放回抽取，则在至少收出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为
4
11.已知f(x)=(2x-3)”(n∈N)展开式的二项式系数和为512，
f(x)=a+a,(x-1)+a2(-l)+…+an(-”，下列选项正确的是()
A.a1+a2+…+an=1
B.a1+2a2+3a3+…+na,n=18
C.a2=144
D.ao+a,+…+lan=39
高二数学学科试题第2页（共4页）
