8.1基本立体图形（一） 学案

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8.1基本立体图形（一）
棱柱、棱锥、棱台
班级 姓名
学习目标
1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．
3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　多面体类别定义图形相关概念多面体一般地，多面体是由若干个 所围成的几何体面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边；顶点：棱和棱的公共点；体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段
阅读教材，完成右边的内容 知识点2　棱柱、棱锥、棱台的结构特征类别定义图形及表示相关概念棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱记作：棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1(或棱柱AD1等)底面：两个互相平行的面；侧面：除两个底面外其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥记作：棱锥S－ABCD底面：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 之间的部分叫做棱台记作：棱台ABCD－A1B1C1D1(或棱台AC1等)上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
阅读教材，完成右边的内容 知识点3　棱柱、棱锥、棱台的分类(1)棱柱①按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按侧棱与底面的关系分： 直棱柱：侧棱垂直于底面． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面．③特别地，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．④底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．(2)棱锥①按底面多边形边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……②三棱锥又叫四面体．③底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．(3)棱台①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台……②由正棱锥截得的棱台叫正棱台．【即时训练】下列几何体中，是棱柱的有___________；是棱锥的有__________；是棱台的有__________．
棱柱的结构特征 例1、下列命题中，正确的是(　　)A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形变式1、(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　)A．所有棱柱的两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D．棱柱至少有五个面
棱锥、棱台的结构特征 例2、(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是(　　)A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥变式2、有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点．其中正确的有(　　)A．0个　　　　　B．1个 　　 C．2个 D．3个
多面体的表面展开图 例3、(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　) (2)某人用如图所示的纸片，沿折痕向纸外折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”(字在灯的外表面)，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上(　　)A．快、新、乐　　 B．乐、新、快C．新、乐、快 D．乐、快、新变式3、如图，正三棱锥D－ABC中，∠ADB＝40°，侧棱长为a，一质点从A点出发，经棱BD，CD再回到A点，则该质点经过最短路程为________．
课后作业
一、基础训练题
1．下列说法正确的是(　　)
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
2．棱台不具备的特点是(　　)
A．两底面相似　 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
3．(多选题)下列说法错误的是(　　)
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
4．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(　　)
5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　)
A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
6．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(　　)
A．四边形 B．三角形 C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
7．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(　　)
①　　　 　②　　　　③　　　　　④
A．①②　　　 B．②③ C．③④　　　 D．①④
8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm．
9．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
10．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
12．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱；
(4)四个面都是直角三角形的三棱锥.
二、综合训练题
13．已知集合A＝{正方体}，B＝{长方体}，C＝{正四棱柱}，D＝{平行六面体}，E＝{四棱柱}，F＝{直平行六面体}，则(　　)
A．ABCDFE
B．ACBFDE
C．CABDFE
D．以上均不对
14．下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱锥的所有面都是三角形；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
三、能力提升题
15．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿三棱锥的表面绕一周，再回到A点，问蚂蚁经过的最短路程是________．
8.1基本立体图形（一）
参考答案
1、【答案】B　
【解析】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．
【答案】C　
【解析】由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．
3、【答案】ABC　
【解析】选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
①　　　　　　　　②
4、【答案】C　
【解析】动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．
【答案】A　
【解析】如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．
6、【答案】C　
【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
①　　　　　　　　②
7、【答案】B　
【解析】在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．
8、【答案】12　
【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm．
9、【答案】　
【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝．
10、【答案】3　
【解析】如图，三棱台可分成三棱锥C1 ABC，三棱锥C1 ABB1，三棱锥A A1B1C1，共3个．
11、【答案】10　
【解析】在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．
12、[解]　(1)如图①所示，三棱锥A1 AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图②所示，三棱锥B1 ACD1(答案不唯一)．
(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1 ABD(答案不唯一)．
(4)如图④所示，三棱柱D1 BCD(答案不唯一)．
①　　　　　　　 ② ③ ④
13、【答案】B
【解析】几种常见的棱柱间的关系如下所示：
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
14、【答案】②③
【解析】
①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④错误，棱锥的底面可以不是三角形；⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
15【答案】2
【解析】将三棱锥P－ABC的侧面沿PA剪开，再展开，得五边形PABCA′，
如图，连接AA′，交PB于点D，交PC于点E，AA′即为蚂蚁经过的最短路程，
∵在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，
∴图中∠A′PA＝3×30°＝90°.在Rt△AA′P中，AA′＝＝2.
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