期中考试全真模拟试卷01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A. 点 B. 点 C. 点，但不过点 D. 点和点
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且，则（ ）
A. B. C. D.
6．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年～前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个完全相同圆锥容器组成，圆锥的体积为，底面半径为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个完全盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此时圆锥形沙堆的高为（ ）
A. B. C. D.
7．在△中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 已知非零向量，若，则
B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形
C. 已知，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为
10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（ ）
A. B. 与相交 C. D. 与异面
11．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当，时，
C. 当，时， D. 当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
12．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为3 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若复数，则复数的模是________.
14.已知在中，，，若，则___________.
15.在中，角A，，所对边分别为，，，面积为S，若，则____________.
16．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）若实数、满足，求实数、的值.
18．如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．
（1）证明：点F在平面内；
（2）若，求三棱锥的体积．
19．已知正六边形的边长为1，
（1）当点满足__________时，．
（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；
（3）若点H是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围.
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．如图，圆是边长为的正方形的内切圆，为圆周上一点，过作，的垂线，垂足分别为，．设，
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值．
22．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C
（2）若，，为角C的平分线，求的长；
（3）若，求锐角面积的取值范围.
期中考试全真模拟试卷01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
2．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A. 点 B. 点 C. 点，但不过点 D. 点和点
【答案】D
【解析】由题意知，，，∴，又，
∴，即在平面与平面的交线上，又，，
∴点C在平面与平面的交线上，即平面的交线必过点和点
故选：D.
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】A＝60°，a，
由正弦定理可得，2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则2．
故选：D．
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与的夹角为，
则在上的投影向量为: .
故选：B.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，，即，由余弦定理得：，而，解得，由，显然，则，所以，所以．
故选：C．
6．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年～前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个完全相同圆锥容器组成，圆锥的体积为，底面半径为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个完全盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此时圆锥形沙堆的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据已知条件有, ,即
圆锥形沙堆的高
故选：C
7．在△中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】，得，
由余弦定理，
即，所以的最小值为2．
故选A．
8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】平面ABC，，
，，
面SAB，
面SAB，
，
，中AC中点O，
，
为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，
故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 已知非零向量，若，则
B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形
C. 已知，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】对A：对于非零向量，若，则成立，
即选项A正确；
对于B：因为，所以边和平行且相等，
即四边形为平行四边形，
即选项B正确；
对于C：因，所以，
所以不可以作为平面向量的一组基底，
即选项C错误；
对于D：易知与同向的单位向量为，
设、的夹角为，则，
所以向量在向量上的投影向量为，
即选项D正确.
故选：ABD.
10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（ ）
A. B. 与相交 C. D. 与异面
【答案】BCD
【解析】画出原正方体如图所示，
不平行，所以A错；与相交，所以B正确；由正方体的性质知，所以C正确；与即不平行也不相交，所以与是异面直线，所以D正确.
故选：BCD.
11．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当，时，
C. 当，时， D. 当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【答案】AC
【解析】对于复数有，
，而，所以选项A正确；
根据复数的三角形式，时，
此时，，选项B错误；
时，
根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；
时，，n为偶数时，
设, ，
所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.
故选：AC.
12．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为3
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】由题设，外接圆直径为，故，A正确；
锐角中，则，故，B错误；
，则，当且仅当时等号成立，C正确；
由C分析知：，而，
又且，
则
，而，
所以，则，
所以，D正确
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若复数，则复数的模是________.
【答案】2
【解析】，所以的模长为.
故答案为：2
14.已知在中，，，若，则___________.
【答案】.
【解析】因为，所以，即，而，所以，即，所以．
故答案为：．
15.在中，角A，，所对边分别为，，，面积为S，若，则____________.
【答案】或
【解析】由，
根据正弦定理得：.
由于 ，故，
由于 ，故，
由于，
而，
故答案为：或
16．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）若实数、满足，求实数、的值.
【答案】（1） （2），
【解析】（1）纯虚数，则，可得，
所以，，因此，.
（2）由（1）可知，则，
，
由已知可得，解得，.
18．如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．
（1）证明：点F在平面内；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：如图，连接，，
在长方体中，，且，
所以四边形是平行四边形，则．
因为，，所以，
所以，所以，
所以，所以四点共面，
即点在平面内．
（2）在长方体中，点到平面的距离
即为点到平面的距离，即为；
所以．
19．已知正六边形的边长为1，
（1）当点满足__________时，．
（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；
（3）若点H是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析 （2） （3）
【解析】（1）
建系如图，则
因为，设，所以，，又因为，所以，，可得，又因为，，所以，直线
：，所以， M为直线AD上的任意一点即可(答案不唯一).
故答案为： (答案不唯一)
（2）
建系如图，则
设，
由可得：
所以解得
所以
故答案为：
（3）设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则，则==
故答案为：
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）若选①：在中，因，
所以，即，
由正弦定理可得，，
又因为，，所以，，
所以，则，
若选②：在中，因，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
又因为，所以，所以，则，
若选③：在中，因为，所以，
所以，由正弦定理可得，，
又因为，所以，所以，又，
即，又，所以，所以，
所以，又因为，所以，则，
（2）因为角的平分线为，又，所以
，
即，即，
又，
所以，所以，即，
故外接圆的面积，
21．如图，圆是边长为的正方形的内切圆，为圆周上一点，过作，的垂线，垂足分别为，．设，
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如图，以为原点，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系．
设点，由题可知，，，，
，，
所以，
令，则，，
所以当时，有最小值为，
当时，有最大值，
所以的取值范围是．
（2），
令，原式，
当且仅当时，即时等号成立．
所以的最小值为．
22．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C
（2）若，，为角C的平分线，求的长；
（3）若，求锐角面积的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
（2）设由得
.
解得，即角平分线的长度为
（3）设外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴期中考试全真模拟试卷02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2．下列各组向量中，可以作为平面向量基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. D. ，
3．的内角、、的对边分别为、、，，.如果有两解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5．已知在中，，则（ ）
A. B. C. D.
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
8．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 六棱锥 D. 六面体
10．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，为虚数单位，则下列判断中正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11．在△中，角的对边分别为，则下列的结论中正确的是（ ）
A. 若，则△一定是等腰三角形
B. 若，则
C. 若△是锐角三角形，则
D. 已知△不是直角三角形，则
12．设，且对任意，均有，D为线段AB上一点，连接OD并延长到P，使，若，则（ ）
A. 为直角三角形 B. C. D. 这样的D点有2个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算__.
14.如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________.
15. 已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为________．
16．在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球体积的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，，在下列条件下分别求k的值：
（1）与平行；
（2）与的夹角为．
18．已知圆锥的底面半径，高
（1）求圆锥的表面积和体积
（2）如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值
19．如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，.
（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达处？（注：，）
20．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD.
（1）求证：平面AEF；
（2）若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积.
21．的内角为A，B，C，边上的高为.
（1）用表示；
（2）若E为边上一点，且，试确定E点的位置，并说明理由.
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
①；
②；
③．
若______，且，．
（ⅰ）求B及a的值；
（ⅱ）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
（2）若，，为连续正整数，求．
期中考试全真模拟试卷02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
2．下列各组向量中，可以作为平面向量基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. D. ，
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，不能作为基底，所以A不符合题意，
对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不符合题意，
对于C，若共线，则存在实数，使，所以，方程无解，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意，
对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不符合题意，
故选：C
3．的内角、、的对边分别为、、，，.如果有两解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：
因为有两解，所以，解得.
故选：D.
4．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，
所以四棱锥的表面积为.
故选：C
5．已知在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，
则，，
则.
故选：B.
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理得，即，
由于为三角形内角，所以.
故选：C.
7．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】如图，连接，作于点，作于点，
由正八边形的特征可得，，
故，
所以，
则，
又因，
所以，
所以.
故选：C.
8．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．
所以外接球表面积为：．
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 六棱锥 D. 六面体
【答案】BC
【解析】一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意所以选项A可能；
棱台的上底面与下底面的边长不相等，所以不满足题意，所以选项B不可能；
如果正六棱锥的棱长都相等，则正六棱锥的六个顶角都是，所以它们的和为360°，则正六棱锥的所有定点共面，显然不成立，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；
六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能.
故选：BC.
10．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，为虚数单位，则下列判断中正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AC
【解析】选项A. 由，则，所以，故选项A正确.
选项B. 当，, 满足.
但，即，故B不正确.
选项C. 设，由，则
所以，，，故C正确.
选项D. 设，，则满足
此时，，此时，故选项D不正确.
故选：AC
11．在△中，角的对边分别为，则下列的结论中正确的是（ ）
A. 若，则△一定是等腰三角形
B. 若，则
C. 若△是锐角三角形，则
D. 已知△不是直角三角形，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，
即，因为在中，令，，此时，仍有，所以，不一定是等腰三角形，A错误；
对于B，因为在上是减函数，，所以，所以，由正弦定理得，B正确；
对于C，若是锐角三角形，则均为锐角，所以，，得和，且，得，同理，可证得，，，所以成立，C正确；
对于D，已知△不是直角三角形， ，
则有，所以，
得
所以，D正确；
故选：BCD.
12．设，且对任意，均有，D为线段AB上一点，连接OD并延长到P，使，若，则（ ）
A. 为直角三角形 B. C. D. 这样的D点有2个
【答案】AC
【解析】因为对任意，均有，
两边平方得得：，
即对任意恒成立，
所以，
所以，
所以，故A正确；
设=,
又因为，
所以，解得：，
所以，
即有，,
所以 ，
故B错误，C正确；
设，
两边平方整理得：，
此方程有两异号的根，
又因为D在线段AB上，所以，
故方程 只有一个正根，即这样的D点只有一个，故D错.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算__.
【答案】
【解析】，
故答案为：
14.如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________.
【答案】12
【解析】如图，根据直观图复原原图，
则 ,
故的周长为 ，
故答案为:12
15. 已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为________．
【答案】
【解析】因为的重心为G，
所以，即，
因为，
所以，
因为不共线，所以，且，
所以，
所以，
因为，所以，
故答案为:
16．在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球体积的最小值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】由题意，正方体盒内四个小球最大时，四个小球相切，且与正方体侧面相切，
此时小球半径，则小球体积最大值为，
显然大球此时最小，大球球心O与四个小球球心，，，构成一个正四棱锥，
，侧棱，
设正方形的中心，则，
高，
将向两端延长交上底面于H，交下底面于K，则：
，
故，即，解得．
∴大球体积的最小值为．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，，在下列条件下分别求k的值：
（1）与平行；
（2）与的夹角为．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，所以，，又与平行，所以，解得；
（2）因为，，所以，
因为与夹角为，所以，
即，解得．
18．已知圆锥的底面半径，高
（1）求圆锥的表面积和体积
（2）如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值
【答案】（1）,; （2）.
【解析】（1）∵圆锥的底面半径R=6，高H=8，
圆锥的母线长，
则表面积，体积.
（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,
其中，
设圆柱底面半径为r，则，即 .
设圆柱的侧面积为.
当时，有最大值为.
19．如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，.
（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达处？（注：，）
【答案】（1）不能 （2）能
【解析】（1）由已知（公里）.在中，由正弦定理，
可得，解（公里）.因为，
所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.
（2）在中，由余弦定理，可得，
解得（公里）.
在中，
.
由正弦定理，可得，解得（公里）.
因为（分钟），
所以汽车能先到达C处.
20．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD.
（1）求证：平面AEF；
（2）若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：∵平面ABD，平面BCD，平面平面，
∴，
又∵平面AEF，平面AEF，
∴平面AEF；
（2）∵，，且，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，又因为，
所以，
所以，
因为平面，
所以.
21．的内角为A，B，C，边上的高为.
（1）用表示；
（2）若E为边上一点，且，试确定E点的位置，并说明理由.
【答案】（1） （2）E为的中点，理由见解析
【解析】（1）由题意得.
因为，
所以.
又，所以，
所以.
（2）设.
因，
所以
，
解得.
故E为的中点.
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
①；
②；
③．
若______，且，．
（ⅰ）求B及a的值；
（ⅱ）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
（2）若，，为连续正整数，求．
【答案】（1）（ⅰ）;.（ⅱ）. （2）6
【解析】（1）（ⅰ）选条件①：因为，所以，代入，解得：，所以.
因为，所以.
选条件②：对于，利用正弦定理得：，
所以，即.
在中，因为，所以,即.
因为，所以，所以.
因为，所以.
选条件③：对于，利用正弦定理得：.
利用余弦定理得：
因为，所以.
在中，，，，
由余弦定理得：
，即，解得：（舍去）.
（ⅱ）在中，，，，.
由三角形的面积公式可得：.
因为AD为内角B的平分线，所以
而所以，
所以.
（2）在中，，，为连续正整数，不妨设a最小，所以角A最小.
若，则所以，与矛盾，故,所以.
因为为正整数，且，所以.所以，.
所以，即
因为，，为连续正整数，，所以不妨设，.
代入成立，所以，，.
所以期中考试全真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为的边的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A. B. C. D.
4．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的值是（ ）
A. B. C. 9 D. 11
6．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
7．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 4
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. B. C D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件
D. 若，则实数a的值为2
10．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
11．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（ ）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米
12．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足，则_____．
14.已知是平面内两个不共线向量，，A，B，C三点共线，则_____．
15. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．
16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，i为虚数单位，复数．
（1）若，求m的值；
（2）若复数z对应的点在第二象限，求m的取值范围．
18．已知，．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
19．已知长方体全部棱长的和为28，其外接球的表面积为，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（1）求棱的长；
（2）求几何体的表面积．
20．在①，，且；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答.
已知中，三个内角，，所对边分别是，，，其中，且____________.
（1）求外接圆半径；
（2）若点是的中点，的长度为，求的面积.
21．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点.
（1）证明：平面
（2）求三棱锥的体积.
22．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）若，求△ABC的面积；
（3）求的值；
（3）求的取值范围．
期中考试全真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为的边的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为为的边的中点，
所以，根据向量加法法则得，
所以.
故选：B
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】 ,对应点为 , 位于第二象限,
故选：B
3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.
4．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵向量，，
∴，故A错误；
由，可得B错误；
又，，
所以，即，故C正确；
由，故D错误.
故选：C.
5． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的值是（ ）
A. B. C. 9 D. 11
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，又，，
∴ ，，
∴ ，又，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C.
6．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
即，又的夹角为，
所以，
所以，解得.
故选：B.
7．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】，且，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
由正弦定理知，，
，即，
，
．
故选：D
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，
则，
解得，
由球的截面性质得： ，
解得，
所以球的体积为，
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件
D. 若，则实数a的值为2
【答案】ACD
【解析】
∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确
选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误
选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确
选项D：时，有，即，故正确
故选：ACD
10．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】AD
【解析】∵P是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
11．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（ ）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米
【答案】ACD
【解析】对A选项，设顶角为，则，得，所以顶角为，A正确；
对B选项，因为顶角为，则截面三角形的最大面积为平方厘米，B错误；
对C选项，因为顶角为，则，所以外接球半径等于圆锥母线长，即
则该球的表面积为平方厘米，C正确；
对D选项，设球的最大半径为，因为顶角为，则，所以
，D正确．
故选：ACD
12．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等边三角形
【答案】CD
【解析】对于A选项，由余弦定理可得，且，故为锐角，
但角或角可能为钝角，A错；
对于B选项，因为，则，
所以，，则或，
所以，为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，由及正弦定理得
，
所以，，
、、，则，所以，，
因为余弦函数在上为减函数，故，所以，一定是等腰三角形，C对；
对于D选项，由及正弦定理可得，
即，
因为至少有两个锐角，不妨设、为锐角，
所以，，则也为锐角，
因为函数在上单调递增，所以，，
因此，为等边三角形，D对.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足，则_____．
【答案】
【解析】由，
所以.
14.已知是平面内两个不共线向量，，A，B，C三点共线，则_____．
【答案】
【解析】由可得，解的
故答案为：
15. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．
【答案】##
【解析】依题意，不妨令，于是得直三棱柱共点于A的三条棱AB，AC，AA1两两垂直，，
则以AB，AC，AA1为相邻三条棱可作长方体，该长方体与直三棱柱有相同的外接球，
外接球的直径2R即为长方体体对角线长，即，
此球的体积为，
故答案为：.
16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
【答案】
【解析】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，i为虚数单位，复数．
（1）若，求m的值；
（2）若复数z对应的点在第二象限，求m的取值范围．
【答案】（1）-3或1 （2）
【解析】（1）
由题意得：，解得：或1，
经检验，均满足题意，故m的值为-3或1
（2）由题意得：，
解得：或
故m的取值范围是
18．已知，．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，
所以，，
因为与的夹角为钝角，
所以，且，
解得且，
所以的取值范围为；
（2）根据题意，，
则，
所以，
又，则，
所以的取值范围是．
19．已知长方体全部棱长的和为28，其外接球的表面积为，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（1）求棱的长；
（2）求几何体的表面积．
【答案】（1）2或3；（2）．
【解析】（1）设，，，则，∴①
又为长方体外接球半径)，∴②
又，∴③
由①②③，解得或或
∴棱长AA1为2或3
（2）由（1）知，
若，，则
其他情况，同理
∴
20．在①，，且；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答.
已知中，三个内角，，所对边分别是，，，其中，且____________.
（1）求外接圆半径；
（2）若点是的中点，的长度为，求的面积.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】（1）选①：，则，
所以，又，
则，，故，可得外接圆半径；
选②：，而，
所以，即，
又，则，，故，外接圆半径；
选③：由，
所以，故
由，故，则外接圆半径；
（2）由题设，，
所以，
，
所以，即，则的面积.
21．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点.
（1）证明：平面
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】（1）连交AE于点M，连 MF，
为BC的中点，G为CF的中点，，
，，∽，
，，
平面AEF，平面AEF，平面
（2）在三棱柱中，平面平面，平面ABC，平面，
点A，F到平面距离相等，
，
侧面为矩形，，
，，，
，AB，平面，
平面，
为三棱锥的高，
，，
，
，
三棱锥的体积为
22．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）若，求△ABC的面积；
（3）求的值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由余弦定理
结合可知，△ABC的面积
（2）因为，，所以，
由正弦定理，
所以，①
由于，
带入①式可知：
（3）解法1：
设BC中点为D，则
所以
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，
所以
解法2：
由余弦定理②
由定义
所以
设，
则
由正弦定理：
其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知
注意到，
所以
所以，②式变形为，故
从而，
此时函数单调递减，而，
所以期中考试全真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2．下列命题中正确的是（ ）
A. －＝ B. ＋＝0
C. 0＝ D. ＋＋＝
3．在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定
4．斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级（14）班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=1，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5．如图，O是的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（ ）
A. B.
C. D.
6．对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义：
0~10 10~25 25~50 50~100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨
C. 大雨 D. 暴雨
7．在△ABC中，已知点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
10．下列说法中正确的为（ ）
A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为30°
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
12．六氟化疏，化学式为，在常压下是一种无色 无臭 无毒 不燃稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（ ）
A. 直线与为异面直线 B. 平面平面
C. 直线与为异面直线 D. 八面体外接球体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，是不共线的平面向量，，，，若，，三点共线，则实数______.
14.测量塔高AB时，选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，测塔高______．
15.如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．
16．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
18．已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若满足，求的值.
19.如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若，判断的形状，并说明理由．
21．在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．
（1）求sin∠CBD；
（2）求AC的长．
22．如图，A B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域.
期中考试全真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限；
故选：A
2．下列命题中正确的是（ ）
A. －＝ B. ＋＝0
C. 0＝ D. ＋＋＝
【答案】D
【解析】起点相同向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；
，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；
0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；
根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，
故选：D.
3．在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 一解
C. 两解 D. 解的个数不确定
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，
则或，
所以有两解．
故选：C
4．斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级（14）班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=1，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=1，DC⊥BC，∴，DC=2，
∴原来的平面图形上底长为1，下底为2，高为的直角梯形，
∴该平面图形的面积为.
故选：B
5．如图，O是的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，
则点E为BC的中点，
且
由3，得：D是BC的四等分点，
则
，
故选A．
6．对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义：
0~10 10~25 25~50 50~100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨
C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】由题可知，设圆锥形容器中积水水面半径为，所以，解得，所以积水厚度为，因此这一天的雨水属于中雨．
故选：B
7．在△ABC中，已知点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设，因为，点O在线段CD上（与点C，D不重合），所以，
所以
因为，所以.
故选：B．
8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：
，
连接，并延长交于，
由是三角形的重心，得是的中点，
，，
由重心的性质得，即，
由余弦定理得：，
，
，，
，
则，
，，，为锐角，
是钝角三角形，或为钝角，
或，
将代入得：，，，
．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】A：由题意，，正确；
B：由题意，为纯虚数，正确；
C：由题意，，其模长为1，正确；
D：由题意，，则其共轭复数为，错误.
故选：ABC
10．下列说法中正确的为（ ）
A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为30°
【答案】BD
【解析】对于：若，，，则，故错误；
对于：向量，，所以不共线，
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故正确；
对于：已知，，则，
所以：，且和不共线．
即，且
解得且，故错误；
对于：非零向量和满足，
则以为边长的三角形为等边三角形，
所以与的夹角为，故正确．
故选：．
11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由正弦定理得，故，
所以，即，所以C正确；
又，故，所以，A正确，错误；
由得：，
所以，即，
又，所以，D正确，
故选:ACD.
12．六氟化疏，化学式为，在常压下是一种无色 无臭 无毒 不燃稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（ ）
A. 直线与为异面直线 B. 平面平面
C. 直线与为异面直线 D. 八面体外接球体积为
【答案】BCD
【解析】连接与，设，则为正方形的中心，连接，
根据正棱锥的性质可知必过点，即，所以、、、四点共面，所以、共面，故A错误，
显然、、、四点不共面，故直线与为异面直线，即C正确；
因为，平面，平面，所以平面，
依题意，
所以，所以，即为等腰直角三角形，
所以，即四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，故B正确；
显然，则即为外接球的球心，外接球的半径，
所以外接球的体积，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，是不共线的平面向量，，，，若，，三点共线，则实数______.
【答案】10
【解析】依题意得，.
由，，三点共线知、共线，所以存在不为零的实数，使得，即，又因为，是不共线的向量，所以，所以.
故答案为：.
14.测量塔高AB时，选取与塔底B在同一水平内的两个测量点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，测塔高______．
【答案】
【解析】如图，线段AB是塔，在地平面内，，，，
则有，由正弦定理得：，
直角中，，则，
所以塔高.
故答案为：
15.如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】在BA上取点，使得，连接，此时，所以即为直线SA与PD所成角．
在中，，，，由余弦定理得，，
过P作，在△BHD中，，，，由余弦定理得，
在Rt△PHD中，，，所以．
在中，，，，
所以．
故答案为：.
16．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由正弦定理知：，
∵，
∴，即，
又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，
∴，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，且，
所以，则，故．
又因为，所以，
故．
（2）由（1）及条件，．
因为，所以，解得．
18．已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若满足，求的值.
【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）因为复数为纯虚数，所以满足:解得:或
（2）设，则，将其带入中得:，整理得:，，解得:，解得:
19.如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）连接OM，则，
设，，
在中，，
∴.
（2）∵，，，∴，
∴.
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1） （2）以A为的直角三角形，理由见解析
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
即，，，
所以，，
所以．
（2）因为，
由正弦定理得，
所以，即，
即，
所以，
，所以，
所以或，
所以或，
当时，；
当时，,
所以△ABC是以A为的直角三角形．
21．在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．
（1）求sin∠CBD；
（2）求AC的长．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）中，由余弦定理得，，
即，所以，
由正弦定理可得，
即.
（2）中，由正弦定理得，，
所以，
同理，中，由正弦定理得，
因为，，
所以，所以 ，
所以，
所以.
22．如图，A B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域.
【答案】（1） （2）①；②
【解析】（1）
（2）①.
设.由题意得，则
所以
因为，则
所以，则；
②设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
即.
，令
∵，则，即
∴在上单调递增，则
所以函数值域是.期中考试全真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. i D. 1
2．在中，，，则（ ）
A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120°
3．已知在中，点M为上的点，且，若，则（ ）
A. 1 B. C. D.
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中π的近似取值为（ ）
A. B. C. D. 3
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 6π B. 12π C. D. 24π
6．在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13 B. C. D.
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. AF与CN平行 B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线 D. BN与DE是异面直线
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，，则三角形有两解
C. 若，则一定为等腰直角三角形
D. 若面积为则
11．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 是与平行的一个单位向量 B. 是与垂直的一个单位向量
C. A到OB的距离为 D. 在上的投影向量为
12．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1 B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90° 半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为___________.
15. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______．
16．在中，角的对边分别为，若，，则___________，的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．已知复数z满足方程，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．
（1）求z；
（2）设，在复平面上的对应点分别为B，C，求的值．
19．的内角，，的对边分别是，，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
20．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
21．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
（1）求；
（2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
22．在平面四边形中，为等边三角形，设.
（1）求四边形面积的最大值，以及相应的值；
（2）求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
期中考试全真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. i D. 1
【答案】D
【解析】由题意，
故，的虚部是1
故选：D
2．在中，，，则（ ）
A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120°
【答案】C
【解析】∵，，，
∴根据正弦定理，得：
，
又，得到，即，
则或．
故选：C
3．已知在中，点M为上的点，且，若，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
又，所以，
所以．
故选：B．
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中π的近似取值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，所以，
所以.
令，得.
故选：A.
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 6π B. 12π C. D. 24π
【答案】D
【解析】设正四棱柱的外接球半径为
因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，
所以，得，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为，
故选：D
6．在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】】由于，，
根据正弦定理得： ，
令 , ,
由于 ，满足条件的三角形有且只有两个，A为锐角，故,
故选：A
7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13 B. C. D.
【答案】B
【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. AF与CN平行 B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线 D. BN与DE是异面直线
【答案】CD
【解析】把正方体的平面展开图还原原正方体如图，
由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故A错误；
BM与AN平行，故B错误；
平面，平面，平面，，
由异面直线定义可得，与是异面直线，故C正确；
平面，平面，平面，，
由异面直线定义可得，BN与DE是异面直线，故D正确．
故选：CD．
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，，则三角形有两解
C. 若，则一定为等腰直角三角形
D. 若面积为则
【答案】AD
【解析】A. 由正弦定理得，因为，所以，则，故正确；
B.因为，，由正弦定理得，则，因为，所以，则，所以三角形有一解，故错误；
C. 因为，所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
D. 因为面积为所以，即，因为，所以故正确，
故选：AD
11．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 是与平行的一个单位向量 B. 是与垂直的一个单位向量
C. A到OB的距离为 D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】对于A，，且，所以是与平行的一个单位向量，故A正确，
对于B，记，且，所以与不垂直，故B错误，
对于C，因为，，所以，所以，所以A到OB的距离为，故C正确，
对于D，因为，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
12．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以，
当时（如图1），，
故平面截正方体所得的截面为四边形，
当时（如图2），
过点作的平行线交于，
此时平面截正方体所得的截面为四边形，
当时，
过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，
此时平面截正方体所得的截面为五边形，
综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______
【答案】1
【解析】
故答案：1
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90° 半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为___________.
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，
又侧面展开图是圆心角为，半径为4的扇形，
，，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
三棱锥的体积也为．
故答案为：．
15. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由，
得，
因为，在线段上
，
设，
则．
故答案为：
16．在中，角的对边分别为，若，，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】，以及正弦定理边角互化可知
所以，即，
，即，
因为，所以；
根据余弦定理可知，
即，得，且
所以
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，则，即
，解得：．
（2），则存在实数使得，即，整理得：，又与不共线，则，解得：.
18．已知复数z满足方程，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．
（1）求z；
（2）设，在复平面上的对应点分别为B，C，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，
设（a，R，）．
又复数z满足，故，
即，
根据复数相等的定义，
由，解得，所以；
（2）由(1)知，，，，
则点，，，
则，，
因此．
又因为，
所以．
19．的内角，，的对边分别是，，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）中，由正弦定理及，
知，所以，
由余弦定理知，所以，所以，又，所以；
（2）选①
为的平分线，，所以，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，所以，
解得或（舍，所以的面积；
选②
因为为的中点，，则，因为，
所以，
由余弦定理可得，即，
整理得，
由余弦定理得，，所以，
所以的面积．
20．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值，
依题意，，且，
由余弦定理得，
所以，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，设其高为，正内切圆的半径为，
由，解得，
正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
21．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
（1）求；
（2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，
又，所以，所以，
由得，
所以
.
所以；
（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则
，，，，，，
又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，
所以，
所以当时，取得最大值：，
当或时，取得最小值：，
所以的取值范围为.
22．在平面四边形中，为等边三角形，设.
（1）求四边形面积的最大值，以及相应的值；
（2）求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
【答案】（1）；； （2）；
【解析】（1）由题意，为等边三角形，∴，
在中，，
∴，，
∴四边形面积为
，
因为，∴，即时，
四边形面积最大，此时
（2）设，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
∴，，
当，即时，，
即的最大值为.
