课件38张PPT。2.1
第一课时
数列的概念与通项公式理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三知识点一知识点二知识点三第一课时 数列的概念与通项公式数列的概念 顺序 每一个数首项{an} 数列的分类 有限无限大于22小于各项相等大于小于数列的通项公式 序号n 一个式子 公式数列的概念及分类 由数列的前几项求通项公式 通项公式的简单应用 答案：D答案：C“课时达标检测”见“课时跟踪检测(五)”课件30张PPT。2.1
第二课时
数列的通项公式与递推公式理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三知识点第二课时 数列的通项公式与递推公式数列的递推关系 第一项 前一项an－1 数列的表示方法 由递推公式求数列中的项 由递推公式归纳数列的通项公式 答案：B答案：C“课时达标检测”见“课时跟踪检测(六)”课件36张PPT。2.2
第一课时
等差数列理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三知识点一知识点二知识点三第一课时 等差数列等差数列的定义 同一个 公差d 等差中项 A 等差数列的通项公式 an－an－1 a1＋(n－1)d 等差数列的判定与证明 等差数列的通项公式 等差中项 答案：A答案：B“课时达标检测”见“课时跟踪检测(七)”课件23张PPT。2.2
第二课时
等差数列的性质突破常考题型第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三第二课时 等差数列的性质等差数列性质的应用 答案：(1)24 (2)C灵活设元求解等差数列 等差数列的实际应用 答案：A答案：B“课时达标检测”见“课时跟踪检测(八)”课件38张PPT。2.3
等差数列的前n项和理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三知识点一知识点二题型四数列的前n项和 a1＋a2＋…＋an 等差数列的前n项和等差数列前n项和的有关计算 已知Sn求通项公式an 等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和的最值 答案：B答案：C“课时达标检测”见“课时跟踪检测(九)”课件34张PPT。2.4
第一课时
等比数列理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三知识点一知识点二知识点三第一课时 等比数列等比数列的定义 同一常数 公比q 等比中项 等比数列 等比数列的通项公式 a1qn－1 等比数列的判断与证明 等比数列的通项公式 答案：(1)A (2)2n等比中项 [答案] B答案：D 答案：A 答案：B答案：D“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十)”课件31张PPT。2.4
第二课时
等比数列的性质突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用 灵活设元求解等比数列 答案：B等比数列的实际应用 答案：B答案：A“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十一)”课件34张PPT。2.5
第一课时
等比数列的前n项和理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三知识点第一课时 等比数列的前n项和等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式的基本运算 等比数列前n项和的性质 答案：B等比数列的综合应用 答案：C答案：C“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十二)”课件35张PPT。2.5
第二课时
数列求和(习题课)回顾相关知识突破常考题型跨越高分障碍第二章题型一题型二应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三第二课时 数列求和(习题课)分组转化法求和 错位相减法求和 裂项相消法求和 数列求和的常用方法归纳 1．公式法(分组求和法)
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
2．裂项求和法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：第(2)问答案：Ｄ答案：Ｂ“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十三)”点击此图进入“阶段质量检测(二)”
_2.1数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式
数列的概念
[提出问题]
观察下列示例，回答后面问题．
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，.
(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.
(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….
(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次分为：，，，，，….
问题：观察上面4个例子，它们都涉及到了一些数，这些数的呈现有什么特点？
提示：按照一定的顺序排列．
[导入新知]
数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an…简记为{an}．
[化解疑难]
1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．
2．项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．
3．{an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项.
数列的分类
[提出问题]
问题：观察上面4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？
提示：数列1中有6项，数列2中有4项，数列3、4有无穷多项；数列1中每一项都小于它的前一项，数列2中的项大小不确定，数列3中每一项都大于它的前一项，数列4中每一项都小于它的前一项．
[导入新知]
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
[化解疑难]
在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列.
数列的通项公式
[提出问题]
问题：仍然观察上面4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？
提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．
[导入新知]
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
[化解疑难]
1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
数列的概念及分类
[例1] 已知下列数列：
(1)0,0,0,0,0,0；
(2)0，－1,2，－3,4，－5，…；
(3)0，，，…，，…；
(4)1,0.2,0.22,0.23，…；
(5)0，－1,0，…，cosπ，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
[解析] (1)是常数列且是有穷数列；
(2)是无穷摆动数列；
(3)是无穷递增数列(因为＝1－)；
(4)是无穷递减数列；
(5)是无穷摆动数列．
[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
[类题通法]
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an
an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．
[活学活用]
1．给出下列数列：
(1)2006～2013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列
82,93,105,119,129,130,132,135.
(2)无穷多个构成数列．
，，，，….
(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列－2,4，－8,16，－32，….
(4)精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1,1.4,1.41,1.414，…；
2,1.5,1.42,1.415，….
指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
解：有穷数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；
无穷数列有：，，，，…；
－2,4，－8,16，－32，…；
1,1.4,1.41,1.414，…；
2,1.5,1.42,1.415，….
递增数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；
1,1.4,1.41,1.414，….
递减数列有：2,1.5,1.42,1.415，….
常数列有：，，，，….
摆动数列有：－2,4，－8,16，－32，….
由数列的前几项求通项公式
[例2] 写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，…；
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N*)
(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1.
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N*)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n.
[类题通法]
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
[活学活用]
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
通项公式的简单应用
[例3] 已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)写出该数列的第4项和第7项；
(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．
[解] (1)由通项公式an＝可得
a4＝＝，a7＝＝.
(2)令＝，得n2＝9，
所以n＝3(n＝－3舍去)，
故是该数列中的项，并且是第3项；
令＝，得n2＝，所以n＝±，
由于±都不是正整数，
因此不是数列中的项．
[类题通法]
1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．
[活学活用]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解：(1)由题意知q4－q2＝72?q2＝9
或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n，令(－3)n＝－81＝－34，也无解．
∴－81不是此数列中的项．
[典例] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
求n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解]∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
[易错防范]
1．忽视了借助二次函数求最值，而认为当n＝1时取得最小值．
2．由an＝2－知n＝取最小值，忽视n∈N*.
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
[成功破障]
求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项．
解：已知－2n2＋9n＋3＝－22＋，由于n为正整数，故当n＝2时，取得最大值为13，所以数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项为第二项，为13.
[随堂即时演练]
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.
那么可以称为数列的有( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析：选D 数列是按“一定顺序”排列着的一列数．因此选D.注意此题易错选B.
2．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的( )
A．第100项 B.第12项
C．第10项 D．第8项
解析：选C ∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．
3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
答案：3－4n
4．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
5．已知：an＝，(1)求a3；(2)若an＝，求n.
解：(1)将n＝3代入an＝，得a3＝＝.
(2)将an＝代入an＝，得＝，解得n＝8.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下面有四个结论，其中叙述正确的有
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70 B.28
C．20 D．8
解析：选C 由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
4．(2012·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选A an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
5．下列命题：
①已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．
②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.
③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.
④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．
其中正确命题的个数为( )
A．4个 B.3个
C．2个 D．1个
解析：选A 对于①，令an＝＝?n＝10，易知最大项为第一项．①正确．
对于②，数列，，2，，…变为，，，，…?，，，，…?an＝，②正确；
对于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29.③正确；
对于④，由an＋1－an＝3＞0，易知④正确．
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
解析：令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．
答案：4
7．已知数列{an}的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是
an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n.
8．(2013·福州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．
解析：令an＝n2－8n＋12＜0，解得2＜n＜6，又因为n∈N*，所以n＝3,4,5，一共有3项．
答案：3
三、解答题
9．求下列数列的一个可能的通项公式：
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)1,10,2,11,3,12，…；
(3)1＋，1－，1＋，1－，….
解：(1)an＝(－1)n＋1或an＝
(2)an＝
或an＝.
(3)an＝1＋(－1)n＋1.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 013；
(3)2 014是否为数列{an}中的项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2.
(2)a2 013＝4×2 013－2＝8 050.
(3)令2 014＝4n－2，解得n＝504∈N*，
∴2 014是数列{an}的第504项．
第二课时 数列的通项公式与递推公式
数列的递推关系
[提出问题]
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．
问题1：写出前五排座位数．
提示：20,22,24,26,28.
问题2：第n排与第n＋1排座位数有何关系？
提示：第n＋1排比第n排多2个座位．
问题3：第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
提示：能．an＋1＝an＋2.
[导入新知]
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
[化解疑难]
1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项．
2．有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．
数列的表示方法
[例1] 根据数列{an}的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n≤5，且n∈N*)．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
[解] (1)数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．
(2)数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如下图②所示．
[类题通法]
通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
[活学活用]
1．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．
解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：
站号(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
剩余邮件数(an)
7
12
15
16
15
12
7
0
由递推公式求数列中的项
[例2] 已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
[类题通法]
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[活学活用]
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为
a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，
b4＝＝.
故b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
由递推公式归纳数列的通项公式
[例3] 已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．
[解] 可依次代入项数进行求值．
a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，
a4＝＝－，
a5＝＝－.
即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－.
也可写为，，，，－.
即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，
所以an＝－(n∈N*)．
[类题通法]
根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
[活学活用]
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．
解：a1＝1，
a2＝a1＋＝1＋＝，
a3＝a2＋＝＋＝，
a4＝a3＋＝＋＝，
a5＝a4＋＝＋＝.
故数列的前5项分别为1，，，，.
由于1＝，＝，＝，＝，＝，
故数列{an}的一个通项公式为an＝＝2－.
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法．
【角度一】 累加法
对于数列{an}若满足an＋1－an＝f(n)时，需用累加法，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求an.
[例1] 已知a1＝1，an＋1－an＝2，求数列{an}的一个通项公式．
[解] ∵a1＝1，an＋1－an＝2，∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加，(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴an＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.
【角度二】 累乘法
对于数列{an}若满足＝f(n)时，需用累乘法，即an＝··…···a1来求an.
[例2] 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，
所以an＝a1·3n－1，
又a1＝2，故an＝2·3n－1.
[随堂即时演练]
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，…
C.，2，，2，… D．0，，2,2，…
解析：选B B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
2．数列，，，，…的递推公式可以是( )
A．an＝(n∈N*) B.an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*)
解析：选C 数列从第二项起，后一项是前一项的，故递推公式为an＋1＝an(n∈N*)．
3．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________.
解析：由a1＝1，an＝1＋得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
答案：
4．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
解析：由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)，
得an>0(n∈N*)．
又an＋1－an＝an－an＝－an<0，
所以{an}是递减数列．
答案：递减
5．已知数列{an}的通项公式为an＝，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．
解：对于公式an＝，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
而an＋1－an＝－＝.
因为n∈N*，所以1－n2－n＜0，所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故该数列为递减数列．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B.递减数列
C．常数列 D．不能确定
解析：选A an＋1－an＝3＞0，故数列{an}为递增数列．
2．数列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝ ( )
A．－3 B.－11
C．－5 D．19
解析：选D 由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋an＋1，
由于a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B.－33
C．－30 D．－21
解析：选C 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)
＝2a2＋2(a1＋a2)
＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)
＝－30.
5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 012＝( )
A．3 B.－3
C．6 D．－6
解析：选C 由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3
……
故知{an}是周期为6的数列，
∴a2 012＝a2＝6.
二、填空题
6．数列{an}中，an＋1－an－n＝0，则a2 012－a2 011＝________.
解析：∵an＋1－an－n＝0，
∴a2 012－a2 011－2 011＝0，
∴a2 012－a2 011＝2 011.
答案：2 011
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
8．已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0对于任意的正整数n恒成立，即λ ＞－2n－1对于任意的正整数n恒成立，∴λ＞－3.
答案：λ＞－3
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式；
(3)画出数列{an}的图象．
解：(1)a1＝1，a2＝×1＝，
a3＝×＝，
a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
(3)图象如图所示：
10．设f(x)＝log2 x－logx4(0＜x＜1)，又知数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)试判断数列{an}的增减性．
解：(1)∵f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，f(2an)＝2n，
∴log22an－log2an4＝2n，由换底公式，得log22an－＝2n，
即an－＝2n，
∴a－2nan－2＝0，
∴an＝n±.③
由0＜x＜1，有0＜2an＜1，
∴an＜0.④
由③④得an＝n－，此即为数列{an}的通项公式．
(2)＝
＝＜1
∵an＜0，∴an＋1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
_2.2等差数列
第一课时 等差数列
等差数列的定义
[提出问题]
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为：16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.
2．2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为：48,53,58,63.
3．鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，…
问题1：上面三组数构成数列吗？
提示：构成．
问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从2项起，每一项与前一项的差有什么特点？
提示：等于同一常数．
[导入新知]
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
等差中项
[提出问题]
问题：观察上面三个数列，每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？
提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍．
[导入新知]
等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
等差数列的通项公式
[提出问题]
若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d.
问题1：试用a1、d表示a2、a3、a4.
提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
问题2：由此猜想等差数列的通项公式an.
提示：an＝a1＋(n－1)d.
[导入新知]
等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
等差数列的判定与证明
[例1] 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
[解] (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
[类题通法]
定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
[活学活用]
1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解：数列{bn}是等差数列．
理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，
∴an＋1－an＝d(n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.
∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列.
等差数列的通项公式
[例2] (1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通项公式an.
(2)已知数列{an}为等差数列a3＝，a7＝－，求a15的值．
[解] (1)∵a5＝10，a12＝31，
则?
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5
∴通项公式an＝3n－5.(n∈N*)
(2)法一：由
得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×(－)＝－.
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×(－)＝－.
[类题通法]
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d则较为简捷．
[活学活用]
2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，
由题意知，－401＝－4n－1.
得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
等差中项
[例3] 已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
[解] 在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，
∴3a3＝18，a3＝6.
解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)
＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
[类题通法]
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
[活学活用]
3．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.
(2)已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，
所以∴
(2)由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：(1)5 －1 －4 (2)21
[典例] 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？
[解] 由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：
解得
∴a14＝－46＋13×2＝－20
∴an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48
令an≥0，即2n－48≥0?n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
[易错防范]
1．忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n＝24也满足条件．
2．由通项公式计算时，易把公式写成an＝a1＋nd，导致结果错误．
[成功破障]
一个等差数列的首项为，公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围．
解：设等差数列为{an}，
由d＞0，知a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11…，
依题意，有
即?
解得＜d≤，即公差d的取值范围是.
[随堂即时演练]
1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2
解析：选A ∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.
2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为( )
A．an＝2n－5 B.an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
解析：选B ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，
∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
解析：设首项为a1，公差为d，
由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
答案：3
4．已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y ①，
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10 ②，
由①，②可解得x＝4，y＝7.
答案：4,7
5．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：(1)由题意，知
解得
(2)由题意，知解得
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a9＝2×9－1＝17.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选B 由题意，得
解得
2．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b B.a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
解析：选C 由等差中项的定义知：x＝，
x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
3．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，
则n＝( )
A．50 B.51
C．52 D．53
解析：选D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，
令an＝35，解得n＝53.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 012等于( )
A．2 009 B.2 010
C．2 011 D．2 012
解析：选D 由于an＋1－an＝1，则数列{an}是等差数列，且公差d＝1，则an＝a1＋(n－1)d＝n，故a2 012＝2 012.
5．下列命题中正确的个数是( )
(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；
(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；
(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；
(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．
A．4个 B.3个
C．2个 D．1个
解析：选B 对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3
?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．
对于(2)a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正确；
对于(3)∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b.
∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4
＝2(kb＋2)，(3)正确；
对于(4)，a＝b＝c≠0?＝＝，
(4)正确．综上可知选B.
二、填空题
6．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x2－8x＋7＝0的两根，则它的通项公式是________．
解析：解方程x2－8x＋7＝0得x1＝1，x2＝7.
∵数列{an}的各项均为正数，∴a1＝1，a3＝7.
∴公差d＝＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.
答案：an＝3n－2
7．等差数列1，－3，－7，…的通项公式为________，a20＝________.
解析：∵d＝－3－1＝－4，a1＝1，
∴an＝1－4(n－1)＝－4n＋5.
∴a20＝－80＋5＝－75.
答案：an＝－4n＋5 －75
8．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________.
解析：∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数．
∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．
∴2a＝0，∴a＝0.
答案：0
三、解答题
9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
解：由题意，得
d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，又因为n为正整数，故有38项．
10．数列{an}满足a1＝1，＝＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由＝＋1，可得－＝2，
∴数列是以1为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝.
第二课时 等差数列的性质
等差数列性质的应用
[例1] (1)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450.求a2＋a8的值．
(2)(2012·江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
(1)[解] ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，
由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.
∴5a5＝450.∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
(2)[解析] 法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)
∴2×21＝7＋a5＋b5
∴a5＋b5＝35.
[答案] 35
[类题通法]
1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．
2．本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
[活学活用]
1．(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
(2)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
解析：法一：因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项， 所以a60＝a15＋3d，得d＝4.
所以a75＝a60＋d?a75＝24.
法二：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
所以
解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
(2)∵a3＋a4＋a5＝12，
∴3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
答案：(1)24 (2)C
灵活设元求解等差数列
[例2] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得
∴这三个数为4,3,2.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得(1－d)(1＋d)＝－8，即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，
a＝－2.
故所求的四个数为－2,0,2,4.
[类题通法]
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
[活学活用]
2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
由题设知
解得或
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
等差数列的实际应用
[例3] 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
[类题通法]
1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
[活学活用]
3．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B.升
C.升 D.升
解析：选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即解得则a5＝a1＋4d＝，
故第5节的容积为升．
[随堂即时演练]
1．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A．bn＝－an B．bn＝a
C．bn＝ D．bn＝
解析：选A ∵数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．
对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如数列{an}＝{n}，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C、D：及不一定有意义，故选A.
2．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B.16
C．20 D．24
解析：选B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3．已知数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d＝________.
解析：d＝＝＝3.
答案：3
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．
解析：∵a2＋a14＝2a8，
∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.
∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
答案：30
5．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解：∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，亦即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
[课时达标检测]
一、选择题
1．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}，(c常数且c≠0)是( )
A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列
C．不是等差数列 D．以上都不对
解析：选B 设bn＝can，则bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.
2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39 B.20
C．19.5 D．33
解析：选D 由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6.
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.
3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0 B.37
C．100 D．－37
解析：选C 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100.
4．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B.有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
解析：选A 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．
5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B.4
C．6 D．12
解析：选A 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
二、填空题
6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．
解析：不妨设角A＝120°，c则a＝b＋4，c＝b－4，
于是cos 120°＝＝－，
解得b＝10，所以S＝bcsin 120°＝15.
答案：15
7．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
8．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案：23.2元
三、解答题
9．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这五个数．
解：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得
解得
所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
10．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？
解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．
(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．
_2.3等差数列的前n项和
数列的前n项和
[导入新知]
数列的前n项和
对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
[化解疑难]
数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.
等差数列的前n项和
[提出问题]
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？
提示：六层，等腰梯形．
问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？
提示：(4＋9)×6＝78.
问题3：原来有多少根钢管？
提示：×78＝39.
问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式
Sn＝a1＋a2＋…＋an?
提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)
＝n(a1＋an)，
∴Sn＝.
问题5：试用a1，d，n表示Sn.
提示：∵an＝a1＋(n－1)d，
∴Sn＝＝na1＋d.
[导入新知]
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用
公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
[化解疑难]
等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
等差数列前n项和的有关计算
[例1] (2012·北京高考)(1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________.
(2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
(1)[解析] 设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝.
[答案] 1
(2)[解] 由
得
解方程组，得或
[类题通法]
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
[活学活用]
1．已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解：∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
又Sn＝na1＋·d＝－5，
解得n＝15，n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
已知Sn求通项公式an
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列？
[解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，
∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是
an＝
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
[类题通法]
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝(如本例)．
[活学活用]
2．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n－2.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)
＝2n2－3n－2n2＋7n－5
＝4n－5.
此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，
故an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；
当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1
＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.
此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，
故an＝
等差数列前n项和的性质
[例3] (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )
A．58 B．88
C．143 D．176
(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
(1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列．
设其公差为D，则S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
即10S10＋×D＝S100＝10.
又∵S10＝100，代入上式，得D＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
[类题通法]
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列{}为等差数列．
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
[活学活用]
3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.
解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，
又a2＋a7＋a12＝24，
所以a7＝8.
所以S13＝＝13×8＝104.
答案：104
(2)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( )
A．9 B.12
C．16 D．17
解析：选A 由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
等差数列前n项和的最值
[例4] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：由S17＝S9，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：先求出d＝－2(同法一)，
∵a1＝25＞0，由，
得
即12＜n≤13.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
[类题通法]
求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路
(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)邻项变号法：
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值．
当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值．
[活学活用]
4．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
解：(1)设{an}的公差为d，
由已知条件，得
解得a1＝3，d＝－2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.
所以n＝2时，Sn最大，且最大值为4.
[典例] 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.求an及Sn.
[解题流程]
[名师批注]
解决等差数列问题时，有以下几点容易造成失分
(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；
(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；
(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项．
[活学活用]
已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.
又k∈N*，故k＝7为所求．
[随堂即时演练]
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选B 由S5＝5a3＝25，∴a3＝5.
∴d＝a3－a2＝5－3＝2.
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B.35
C．49 D．63
解析：选C 法一：设数列{an}公差为d，
解得
于是S7＝7×1＋×2＝49.
法二：由等差数列前n项和公式及性质知
S7＝＝＝＝49.
3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝
________.
解析：∵an＝－5n＋2，
∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，
∴Sn＝＝－.
答案：－
4．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝________时，前n项和Sn取最大值，最大值是________．
解析：∵d＝an＋1－an＝－4，
∴an＝－4n＋36.
令an＝－4n＋36≥0，得n≤9，
∴n＝8或9时，Sn最大，且S8＝S9＝144.
答案：8或9 144
5．在等差数列{an}中，
(1)已知：a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知：a2＋a4＝，求S5.
解：(1)由已知得
解得
所以a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16(或a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16)．
(2)由a2＋a4＝及等差数列的性质，知
a1＋a5＝a2＋a4＝，
所以S5＝＝×＝24.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( )
A．18 B.20
C．22 D．24
解析：选B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于( )
A．138 B.135
C．95 D．23
解析：选C 由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可知d＝3，
a1＝－4.∴S10＝－40＋×3＝95.
3．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．5或7 B.3或5
C．7或－1 D．3或－1
解析：选D 由题意，得
即
解得或
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B.45
C．36 D．27
解析：选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B.4
C．3 D．2
解析：选C 由题意得S偶－S奇＝5d＝15，
∴d＝3.
或由解方程组求得d＝3，故选C.
二、填空题
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
解析：设{an}的公差为d，
则
解得
于是an＝2＋(n－1)×2＝2n.
答案：2n
7．(2011·天津高考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：110
8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4＝2a3，则＝________.
解析：由等差数列的性质知＝＝×＝×2＝.
答案：
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．求数列{an}的通项公式．
解：依题意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
因a1＝S1＝1，满足an＝6n－5，
所以an＝6n－5(n∈N*)．
10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解：(1)设{an}的首项，公差分别为a1，d.
则
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝(n－)2－，
∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.
_2.4等比数列
第一课时 等比数列
等比数列的定义
[提出问题]
考察下面几个数列：
(1)4，－4,4，－4，…；
(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是
1,2,22,23，…，263；
(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055.
问题1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？
提示：不是．
问题2：这三个数列，从第二项起与前一项的比有什么特点？
提示：都等于同一个常数．
[导入新知]
等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
[化解疑难]
1．“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
3．“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列.
等比中项
[提出问题]
问题：观察上面的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？
提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．
[导入新知]
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
等比数列的通项公式
[提出问题]
问题：若数列{an}为等比数列，公比为q，则：
a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？
提示：an＝a1qn－1.
[导入新知]
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
[化解疑难]
1．在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项；
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数.
等比数列的判断与证明
[例1] 已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
[类题通法]
证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
[活学活用]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.
∴{an}是等比数列.
等比数列的通项公式
[例2] 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解] (1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
[类题通法]
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．
[活学活用]
2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是( )
A．405 B．－405
C．135 D．－135
(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：(1)选A ∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，
∴a5＝405.
(2)根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.
a＝a10>0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：(1)A (2)2n
等比中项
[例3] 设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B.4
C．6 D．8
[解析] ∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，
k＝4.
[答案] B
[类题通法]
等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．
[活学活用]
3．已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是( )
A．1或 B.1或－
C．1或 D．1或－
解析：选D 由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
∴或
因此的值为1或－.
[典例] 等比数列{an}(an＞0)满足a1－a5＝90，a2－a4＝36，求a5，a7的等比中项．
[解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，因a1－a5＝90，
a2－a4＝36得：
解得或(舍)
令G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
所以a5，a7的等比中项是±3.
[易错防范]
1．误认为a5，a7的等比中项是a6，故a6＝a1q5＝96×5＝3.
2．要明确同号两数的等比中项G有两个且互为相反数，若G为a，b的等比中项，则G＝±.
[成功破障]
等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是
A．±4 B．4
C．± D.
解析：选A 依题意得a4·a8＝(a1q3)·(a1q7)＝(a1q5)2＝2＝42，
∴a4与a8的等比中项为±4.
[随堂即时演练]
1．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则公比q等于( )
A. B.
C．2 D．8
解析：选B ∵{an}为等比数列，∴a4＋a6＝(a1＋a3)q3，
∴q3＝，∴q＝.
2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A．9 B.3
C．－3 D．－9
解析：选D a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，
由于a1，a3，a4成等比数列，
则a＝a1a4，
所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.
3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
解析：∵3an＋1－an＝0，
∴＝，
因此{an}是以为公比的等比数列，
又a1＝2，所以an＝2×n－1.
答案：2×n－1
4．(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.
解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.
答案：2
5．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
(3)若等比数列{an}中an＋4＝a4，求公比q.
解：(1)由已知得
得，
∵an＞0，∴
∴an＝128×n－1＝28－n.
(2)由an＝a1·qn－1，
得＝n－1，
即n－1＝3，得n＝4.
(3)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn，
又an＋4＝a4，∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 原式＝＝＝.
2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的第________项( )
A．2 B.4
C．6 D．8
解析：选B 由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4n－1，由－4n－1＝－13，得n＝4.
3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B.－1
C．－3 D．－4
解析：选D 由题意，得
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
4．若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．必有两个不等实根
B．必有两个相等实根
C．必无实根
D．以上三种情况均有可能
解析：选C ∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac＞0.
又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac＜0，
∴方程无实数根．
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B.－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
三、解答题
9．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.
解：∵{an}是等差数列，
∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d，
又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，
∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)(a1＋12d)，
解得d＝2a1.
设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝，
又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3，
∴bn＝3·n－1.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)法一：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．
法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∵＝＝＝2(n∈N*)，
∴数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.
第二课时 等比数列的性质
等比数列性质的应用
[例1] (2012·广东高考)(1)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.
(2)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
(1)[解析] 等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
[答案]
(2)[解] ∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．
∵t1＝4，t2＝16，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，
＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，
＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
[类题通法]
等比数列常用性质
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝ap·aq.
特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝a.
(2)＝qn－m(m，n∈N*)．
(3)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．
(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ为不等于0的常数){}仍然成等比数列．
[活学活用]
1．(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝
________.
(2)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
解析：(1)法一：设{an}的公比为q，则
解得q4＝6，
∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72.
法二：∵{an}是等比数列，
∴a＝a2·a10，
于是a10＝＝＝＝72.
(2)由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
答案：(1)72 (2)－213
灵活设元求解等比数列
[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
[解]
法一：设三个数依次为a，aq，aq2，
由题意知
∴
即解得＝，
得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝，
∴q＝±3或q＝±，
若q＝3，则a1＝1；若q＝－3，则a1＝－1；
若q＝，则a1＝9；若q＝－，则a1＝－9.
故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
法二：设这三个数分别为，a，aq.
?
得9q4－82q2＋9＝0，
即得q2＝或q2＝9.
∴q＝±或q＝±3.
故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
[类题通法]
三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq；
(2)若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3.
[活学活用]
2．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或17 B．4或17
C．4 D．17
解析：选B 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝17.
等比数列的实际应用
[例3] 某工厂2011年1月的生产总值为a万元，计划从2011年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2012年8月底该厂的生产总值为多少万元？
[解] 设从2011年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．
∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2012年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
[类题通法]
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[活学活用]
3．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．
答案：45
等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
【性质1】 等差数列{an}，当d＝0时，数列为常数列，当d＞0时，数列为递增数列，当d＜0时，数列为递减数列；等比数列{bn}，当q＞1，b1＞0或0＜q＜1，b1＜0时，数列{an}是递增数列，当q＞1，b1＜0或0＜q＜1，b1＞0时，数列{bn}是递减数列，当q＝1时，数列{bn}是常数列．
[例1] 设{an}是首项大于零的等比数列，且a1＜a2＜a3，则数列{an}是________数列(填“递增”、“递减”、“摆动”)．
[解析] 设数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1＜a2＜a3，所以a1＜a1q＜a1q2，解得q＞1，且a1＞0，所以数列{an}是递增数列．
[答案] 递增
【性质2】 等差数列{an}满足an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，等比数列{bn}满足bn＝bm·qn－m(m，n∈N*)．
(当m＝1时，上述式子为通项公式)．
[例2] 已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，则{an}的通项公式为________．
[解析] 因a6＝a3＋3d，则0＝－6＋3d，得d＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋(n－3)×2＝2n－12.
[答案] 2n－12
【性质3】 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，等差数列{an}满足am＋an＝ap＋aq，特别地，若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…(n∈N*)．
等比数列{bn}满足bmbn＝bpbq特别地，数列{bn}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b1·bn＝b2·bn－1＝b3·bn－2＝…＝bm·bn－m＋1.
[例3] (1)等差数列{an}的前n项和为Sn若a3＋a17＝10，则S19的值是( )
A．55 B．95
C．100 D．105
(2)在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q值的个数可能为( )
A．1个 B.2个
C．3个 D．4个
[解析] (1)S19＝＝＝＝95.
(2)∵a2·a8＝a3·a7，
∴由
解得a3＝3，a7＝12，或a3＝12，a7＝3.
若a3＝3，a7＝12，则有12＝3×q4，
∴q4＝4，
∴q2＝2，q＝±.
若a3＝12，a7＝3，则有3＝12×q4，
∴q4＝，q2＝，q＝±.
∴q的值可能有4个．
[答案] (1)B (2)D.
【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k＋1)d，(公比为qk＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．
[例4] 在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，求a＋b＋c的值．
[解] ∵1，a，b，c,16成等比数列，
∴1，b,16为等比数列．∴b＝4.
∴1，a，b也成等比数列，b，c,16也成等比数列．
∴a＝2，c＝8.
∴a＋b＋c＝2＋4＋8＝14.
[随堂即时演练]
1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
解析：选B 由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N*，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.
2．若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于( )
A．－ B.
C．± D.
解析：选A ∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，
∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2 ＞0，
∴b2＝2，
∴＝＝－.
3．在等比数列{an}中，a888＝3，a891＝81，则公比q＝________.
解析：∵a891＝a888q891－888＝a888q3，
∴q3＝＝＝27.
∴q＝3.
答案：3
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，
∴a＋a＝41，
又a4a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49，
∵数列各项都是正数，
∴a4＋a8＝7.
答案：7
5．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
解：(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，
∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·n－1.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
[课时达标检测]
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B.递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
解析：选D 由于公比q＝－＜0，
所以数列{an}是摆动数列．
2．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值( )
A．35 B.63
C．21 D．±21
解析：选B ∵{an}成等比数列．
∴a4，a6，a8成等比数列
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
3．在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( )
A．81 B.27
C．3 D．243
解析：选A 因为数列{an}是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a2a9)·(a3a8)(a4a7)(a5a6)＝(a1a10)4＝34＝81.故选A.
4．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有几个( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选D ①∵＝3＝q3，故{a}是等比数列；
②∵＝＝q，故{pan}是等比数列；
③∵＝＝q2，故{an·an＋1}是等比数列；
④∵＝＝q，故{an＋an＋1}是等比数列．
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B.4
C．8 D．16
解析：选C 等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
二、填空题
6．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a
＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴b6b8＝b＝16.
答案：16
7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048.
答案：2048
8．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝________.
解析：∵{an}是等比数列，
∴a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，
∴或
∵＝q10，
∴q10＝或q10＝.
而＝q10，∴＝或＝.
答案：或
三、解答题
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，
解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
∴d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8.
10.如图所示，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连结各边中点得△A2B2C2，再连结△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
解：由题意，得△AnBnCn(n＝1,2,3…)的边长AnBn是首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝n－1，所以S△AnBnCn＝2n－2，所以＝＝.
因此，数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
_2.5等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
[提出问题]
已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
问题1：若q＝1，则Sn与a1有何关系？
提示：Sn＝na1.
问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？
提示：∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①
两边同乘以q，可得：
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②
①－②得：
(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴当q≠1时，Sn＝.
[导入新知]
等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
[化解疑难]
1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
2．当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好；若已知an，则用公式Sn＝较好．
等比数列的前n项和公式的基本运算
[例1] 在等比数列{an}中，
(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；
(2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q.
[解] (1)因{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16
∴a5＝a1q4
∴16＝q4
∴q＝2(负舍)
∴S7＝＝＝127.
(2)法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得
∴a1·2n＝192，
∴2n＝.
∴189＝a1(2n－1)＝a1，
∴a1＝3.
又∵2n－1＝＝32，
∴n＝6.
法二：由公式Sn＝及条件得
189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，
得96＝3·2n－1，解得n＝6.
(3)①当q≠1时，S3＝＝，
又a3＝a1·q2＝，
∴a1(1＋q＋q2)＝，
即(1＋q＋q2)＝，
解得q＝－(q＝1舍去)，
∴a1＝6.
②当q＝1时，S3＝3a1，
∴a1＝.
综上得或
[类题通法]
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
[活学活用]
1．在等比数列{an}中，
(1)若q＝2，S4＝1，求S8.
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
解：(1)设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，
q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝
等比数列前n项和的性质
[例2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
[解] 由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
[类题通法]
等比数列前n项和的重要性质
(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，＝q；
等比数列的项数是奇数时，＝q.
[活学活用]
2．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
解析：(1)设公比为q(q≠0)，则题意知q≠－1，根据等比数列前n项和的性质，得＝＝1＋q3＝3，
即q3＝2.
于是＝＝＝.
答案：B
(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析：由题意知：
∴∴公比q＝＝＝2.
答案：2
等比数列的综合应用
[例3] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解] (1)∵S1，S3，S2成等差数列，
∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1，
于是＝a1＋，
即2(1＋q＋q2)＝2＋q，
整理得2q2＋q＝0，
∴q＝－(q＝0舍去)．
(2)∵q＝－，
又a1－a3＝3，
∴a1－a1·(－)2＝3，
解得a1＝4.
于是Sn＝＝.
[类题通法]
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键．
[活学活用]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋3，
当n＝1时，a1＝S1＝2×1－12＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式an＝－2n＋3(n∈N*)．
又an＝log5bn，
∴log5bn＝－2n＋3，
于是bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1，
∴＝＝5－2＝.
因此{bn}是公比为的等比数列，且b1＝5－2＋3＝5，
于是{bn}的前n项和Tn＝
＝.
[典例] 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
[解]当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；
当q≠1时，＝3a1q2，
因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，
2q2－q－1＝0，
解得q＝－.
综上所述，公比q的值是1或－.
[易错防范]
1．易忽视q＝1这一情况，从而得出错解．
2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q，若其中含有字母，就应按q＝0，q＝1，q≠0且q≠1讨论．
[成功破障]
已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
[随堂即时演练]
1．数列{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
解析：?课时跟踪检测(七) 等差数列
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
2．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
3．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，
则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 012等于( )
A．2 009 B．2 010
C．2 011 D．2 012
5．下列命题中正确的个数是( )
(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；
(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；
(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；
(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
二、填空题
6．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x2－8x＋7＝0的两根，则它的通项公式是________．
7．等差数列1，－3，－7，…的通项公式为________，a20＝
________.
8．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
10．数列{an}满足a1＝1，＝＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
答 案
课时跟踪检测(七)
1．选B 由题意，得
解得
2．选C 由等差中项的定义知：x＝，
x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
3．选D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，
令an＝35，解得n＝53.
4．选D 由于an＋1－an＝1，则数列{an}是等差数列，且公差d＝1，则an＝a1＋(n－1)d＝n，故a2 012＝2 012.
5．选B 对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3
?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．
对于(2)a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正确；
对于(3)∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b.
∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4
＝2(kb＋2)，(3)正确；
对于(4)，a＝b＝c≠0?＝＝，
(4)正确．综上可知选B.
6．解析：解方程x2－8x＋7＝0得x1＝1，x2＝7.
∵数列{an}的各项均为正数，∴a1＝1，a3＝7.
∴公差d＝＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.
答案：an＝3n－2
7．解析：∵d＝－3－1＝－4，a1＝1，
∴an＝1－4(n－1)＝－4n＋5.
∴a20＝－80＋5＝－75.
答案：an＝－4n＋5 －75
8．解析：∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数．
∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．
∴2a＝0，∴a＝0.
答案：0
9．解：由题意，得
d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，又因为n为正整数，故有38项．
10．解：(1)证明：由＝＋1，可得－＝2，
∴数列是以1为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
∴an＝.
课时跟踪检测(九) 等差数列的前n项和
一、选择题
1．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( )
A．18 B．20
C．22 D．24
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于( )
A．138 B．135
C．95 D．23
3．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
二、填空题
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
7． 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4＝2a3，则＝
________.
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．求数列{an}的通项公式．
10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
答 案
课时跟踪检测(九)
1．选B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
2．选C 由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可知d＝3，
a1＝－4.∴S10＝－40＋×3＝95.
3．选D 由题意，得
即
解得或
4．选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
5．选C 由题意得S偶－S奇＝5d＝15，
∴d＝3.
或由解方程组
求得d＝3，故选C.
6．解析：设{an}的公差为d，
则
解得
于是an＝2＋(n－1)×2＝2n.
答案：2n
7．解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：110
8．解析：由等差数列的性质知＝＝×＝×2＝.
答案：
9．解：依题意得，＝3n－2，
即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
因a1＝S1＝1，满足an＝6n－5，
所以an＝6n－5(n∈N*)．
10．解：(1)设{an}的首项，公差分别为a1，d.
则
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝(n－)2－，
∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.
课时跟踪检测(五) 数列的概念与通项公式
一、选择题
1．下面有四个结论，其中叙述正确的有
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
4．(2012·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
5．下列命题：
①已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．
②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.
③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.
④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．
其中正确命题的个数为( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
7．已知数列{an}的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．
8．(2013·福州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．
三、解答题
9．求下列数列的一个可能的通项公式：
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)1,10,2,11,3,12，…；
(3)1＋，1－，1＋，1－，….
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 013；
(3)2 014是否为数列{an}中的项？
答 案
课时跟踪检测(五)
1．选B 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
2．选C 由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
3．选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
4．选A an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
5．选A 对于①，令an＝＝?n＝10，易知最大项为第一项．①正确．
对于②，数列，，2，，…变为，，，，…?，，，，…?an＝，②正确；
对于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29.③正确；
对于④，由an＋1－an＝3＞0，易知④正确．
6．解析：令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．
答案：4
7．解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是
an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．解析：令an＝n2－8n＋12＜0，解得2＜n＜6，又因为n∈N*，所以n＝3,4,5，一共有3项．
答案：3
9．答案：(1)an＝(－1)n＋1
或an＝
(2)an＝
或an＝.
(3)an＝1＋(－1)n＋1.
10．解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2.
(2)a2 013＝4×2 013－2＝8 050.
(3)令2 014＝4n－2，解得n＝504∈N*，
∴2 014是数列{an}的第504项．
课时跟踪检测(八) 等差数列的性质
一、选择题
1．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}，(c常数且c≠0)是( )
A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列
C．不是等差数列 D．以上都不对
2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39 B．20
C．19.5 D．33
3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
4．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
二、填空题
6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．
7．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
8．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________．
三、简答题
9．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这五个数．
10．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？
答 案
课时跟踪检测(八)
1．选B 设bn＝can，则bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.
2．选D 由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6.
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.
3．选C 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100.
4．选A 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，
即3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，
无实数解．
5．选A 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
6．解析：不妨设角A＝120°，c则a＝b＋4，c＝b－4，
于是cos 120°＝
＝－，
解得b＝10，
所以S＝bcsin 120°＝15.
答案：15
7．解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
8．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案：23.2元
9．解：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得
解得
所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
10．解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．
(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．
课时跟踪检测(六) 数列的通项公式与递推公式
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
2．数列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝ ( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B.
C．－ D.
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 012＝( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
二、填空题
6．数列{an}中，an＋1－an－n＝0，则a2 012－a2 011＝________.
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
8．已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
三、简答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式；
(3)画出数列{an}的图象．
10．设f(x)＝log2 x－logx4(0＜x＜1)，又知数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)试判断数列{an}的增减性．
答 案
课时跟踪检测(六)
1．选A an＋1－an＝3＞0，故数列{an}为递增数列．
2．选D 由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋an＋1，
由于a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3．选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
4．选C 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)
＝2a2＋2(a1＋a2)
＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)
＝－30.
5．选C 由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3
……
故知{an}是周期为6的数列，
∴a2 012＝a2＝6.
6．解析：∵an＋1－an－n＝0，
∴a2 012－a2 011－2 011＝0，
∴a2 012－a2 011＝2 011.
答案：2 011
7．解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
8．解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0对于任意的正整数n恒成立，即λ ＞－2n－1对于任意的正整数n恒成立，∴λ＞－3.
答案：λ＞－3
9．解：(1)a1＝1，a2＝×1＝，
a3＝×＝，
a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
(3)图象如图所示：
10．解：(1)∵f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，f(2an)＝2n，
∴log22an－log2an4＝2n，由换底公式，得log22an－＝2n，
即an－＝2n，
∴a－2nan－2＝0，
∴an＝n±.③
由0＜x＜1，有0＜2an＜1，
∴an＜0.④
由③④得an＝n－，此即为数列{an}的通项公式．
(2)＝
＝＜1
∵an＜0，∴an＋1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
课时跟踪检测(十) 等比数列
一、选择题
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B.
C. D．1
2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的第________项( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
4．若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．必有两个不等实根
B．必有两个相等实根
C．必无实根
D．以上三种情况均有可能
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
8．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
三、解答题
9．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
答 案
课时跟踪检测(十)
1．选A 原式＝＝＝.
2．选B 由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4n－1，由－4n－1＝－13，得n＝4.
3．选D 由题意，得
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
4．选C ∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac＞0.
又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac＜0，
∴方程无实数根．
5．选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
6．解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝
384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，
故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
9．解：∵{an}是等差数列，
∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝
a1＋12d，
又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，
∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)，
解得d＝2a1.
设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝，
又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3，
∴bn＝3·n－1.
10．解：(1)法一：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．
法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∵＝＝＝2(n∈N*)，
∴数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.
课时跟踪检测(十一) 等比数列的性质
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
2．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值( )
A．35 B．63
C．21 D．±21
3．在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( )
A．81 B．27
C．3 D．243
4．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有几个( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
二、填空题
6．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
8．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝
________.
三、简答题
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
10.如图所示，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连结各边中点得△A2B2C2，再连结△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
答 案
课时跟踪检测(十一)
1．选D 由于公比q＝－＜0，
所以数列{an}是摆动数列．
2．选B ∵{an}成等比数列．
∴a4，a6，a8成等比数列
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
3．选A 因为数列{an}是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a2a9)·(a3a8)(a4a7)(a5a6)＝(a1a10)4＝34＝81.故选A.
4．选D ①∵＝3＝q3，故{a}是等比数列；
②∵＝＝q，故{pan}是等比数列；
③∵＝＝q2，故{an·an＋1}是等比数列；
④∵＝＝q，故{an＋an＋1}是等比数列．
5．选C 等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
6．解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴b6b8＝b＝16.
答案：16
7．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048.
答案：2 048
8．解析：∵{an}是等比数列，
∴a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，
∴或
∵＝q10，
∴q10＝或q10＝.
而＝q10，
∴＝或＝.
答案：或
9．解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，
解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
∴d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8.
10．解：由题意，得△AnBnCn(n＝1,2,3…)的边长AnBn是首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝n－1，所以S△AnBnCn＝2n－2，所以＝＝.
因此，数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
课时跟踪检测(十三) 数列求和(习题课)
一、选择题
1．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
A．35 B．33
C．31 D．29
2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 012等于( )
A．1 006 B．－1 006
C．2 012 D．－2 012
3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( )
A．11 B．99
C．120 D．121
4．数列1，，，…，的前n项和为( )
A. B.
C. D.
5．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为( )
A．4(1－) B．4(－)
C．1－ D.－
二、填空题
6．数列{an}中，Sn＝3n＋m，当m＝________时，数列{an}是等比数列．
7．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.
三、解答题
9．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设的前n项和为Tn，求证Tn＜1.
答 案
课时跟踪检测(十三)
1．选C 设{an}的公比为q，
则有，
解得
∴S5＝＝
32＝31，故选C.
2．选A S2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006.
3．选C ∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(－1)＋(－)＋…＋
(－)
＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
4．选B 该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝
2，令n＝1,2,3，…，
则Sn＝21－＋－＋－＋…＋－，
∴Sn＝2＝.
5．选A ∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4(－)．
∴Sn＝4(1－＋－＋－＋…＋－)
＝4(1－)．
6．解析：因为a1＝S1＝3＋m，a2＝S2－S1＝32－3＝6，a3＝S3－S2＝33－32＝18，又由a1·a3＝a，得m＝－1.
答案：－1
7．解析：∵an＝2n－7，
∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
答案：153
8．解析：数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.
答案：(10n－1)＋n2
9．解：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
(2)易知bn＝2n－1，
则Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
10．解：(1)∵Sn＝n2＋n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
又a1＝2满足上式，
∴an＝2n(n∈N*)．
(2)证明：∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋＝1－.
∵n∈N*，∴＞0，即Tn＜1.
课时跟踪检测(十二) 等比数列的前n项和
一、选择题
1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8
C．15 D．16
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
4．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
5．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2 010项和等于( )
A．2 010 B．－1
C．1 D．0
二、填空题
6．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝
________.
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
8．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．
三、解答题
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
答 案
课时跟踪检测(十二)
1．选A 由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝.
∴a7＋a8＝40×()3＝135.
2．选C 设{an}的公比为q，
∵4a1,2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，
即q2－4q＋4＝0，
∴q＝2，
又a1＝1，
∴S4＝＝15，故选C.
3．选C 易知公比q≠1.
由9S3＝S6，得9·＝，
解得q＝2.
∴是首项为1，公比为的等比数列．
∴其前5项和为＝.
4．选B 根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.
5．选D 由an＋2＝an＋1＋2an得qn＋1＝qn＋2qn－1，
即q2－q－2＝0，又q＜0，解得q＝－1，
又a2＝1，∴a1＝－1，
S2 010＝＝0.
6．解析：对于S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.
答案：15
7．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝.
由题意得＝，
∴1＋q＝3，
∴q＝2.
答案：2
8．解析：设公比为q，
由
得
∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)
＝a1q2·＝585.
答案：585
9．解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
10．解：(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝－.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝
－.
阶段质量检测(二) 数 列
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1,2，－3,4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
3．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( )
A．2 B．3
C．6 D．7
4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101 的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
5．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
A．90 B．100
C．145 D．190
6．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
7．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于( )
A．0 B.
C. D．－1
8．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的( )
A．第5项 B．第12项
C．第13项 D．第6项
9．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：
则第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．
12．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5＝________.
13．等比数列{an}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝________.
14．在等差数列{an}中，其前n项的和为Sn，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：
①此数列的公差d＜0；
②S9一定小于S6；
③a7是各项中最大的一项；
④S7一定是Sn中的最大项．
其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
16．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.
(1)求证：数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
17．(12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是各项都是正数的等比数列，
(1)若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{an}的通项公式；
(2)若b1＝1，且b2，b3,2b1成等差数列，求数列{bn}的通项公式．
18．(14分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.
答 案
阶段质量检测(二) 数 列
1．选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1.
2．选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．
3．选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，
∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，
∴d＝3.
4．选D ∵2an＋1－2an＝1，
∴an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，
∴a101＝2＋(101－1)＝52.
5．选B 设公差为d，
∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，
∵d≠0,
∴d＝2，从而S10＝100.
6．选A 因为a3a11＝a，又数列{an}的各项都是正数，所以解得a7＝4，
由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1.
7．选B 设数列{bn}的通项bn＝，因{bn}为等差数列，b3＝＝，b7＝＝，公差d＝＝，
∴b11＝b3＋(11－3)d＝＋8×＝，即得1＋a11＝，a11＝.
8．选C 162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．
9．选A 由已知可得an＝n＋1，
bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.
10．选B 法一：∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，
∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，
a7＝28.
法二：由图可知第n个三角形数为，
∴a7＝＝28.
11．解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)知{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝＝＝255.
答案：16 255
12．解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n.则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，
∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.
答案：15
13．解析：S偶＝a2＋a4＋…＋a20，
S奇＝a1＋a3＋…＋a19，
则＝q，
∴S奇＝＝＝2.
∴S20＝S偶＋S奇＝6＋2＝8.
答案：8
14．解析：∵S7＞S6，即S6＜S6＋a7，
∴a7＞0.同理可知a8＜0.
∴d＝a8－a7＜0.
又∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＜0，
∴S9＜S6.
∵数列{an}为递减数列，且a7＞0，
a8＜0，
∴可知S7为Sn中的最大项．
答案：①②③
15．解：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，
则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n.
16．解：(1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n①，
∴a1＋S1＝1，得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1②，
①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，
即＝，也即＝，
故数列{cn}是等比数列．
(2)∵c1＝a1－1＝－，
∴cn＝－，an＝cn＋1＝1－，
an－1＝1－.
故当n≥2时，bn＝an－an－1＝－＝.
又b1＝a1＝，即bn＝.
17．解：(1)由题意可设公差为d，则d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
解得d＝1或d＝0(舍去)，
故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由题意可设公比为q，则q＞0，
由b1＝1，且b2，b3,2b1成等差数列得b3＝b2＋2b1，
∴q2＝2＋q，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，
故数列{bn}的通项公式为bn＝1×2n－1＝2n－1.
18．解：(1)证明：由已知可得＝，
即＝＋1，即－＝1.
∴数列{}是公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝.
(3)由(2)知bn＝n·2n.
Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
相减得
－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
